この
項目 こうもく 「
光 ひかり 円錐 えんすい 」は
翻訳 ほんやく されたばかりのものです。
不自然 ふしぜん あるいは
曖昧 あいまい な
表現 ひょうげん などが
含 ふく まれる
可能 かのう 性 せい があり、このままでは
読 よ みづらいかもしれません。(
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en:Light cone )
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表現 ひょうげん をより
自然 しぜん な
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(2016年 ねん 10月 がつ )
特殊 とくしゅ および一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん において、光 ひかり 円錐 えんすい (こうえんすい 英 えい : light cone )とはある事象 じしょう (英語 えいご 版 ばん ) (時空 じくう 上 じょう の一 いち 点 てん )からあらゆる方向 ほうこう に向 む けて発 はっ せられた閃光 せんこう が描 えが く時空 じくう 上 うえ の軌跡 きせき をいう。 ある二 に 次元 じげん 平面 へいめん 上 うえ に閉 と じ込 こ められた光 ひかり を考 かんが えてみれば、事象 じしょう E で発 はっ せられた光 こう は同心円 どうしんえん 状 じょう に拡 ひろ がっていき、時間 じかん を表 あら わす縦 たて 軸 じく を付 つ け加 くわ えれば、光 ひかり の軌跡 きせき は円錐 えんすい を描 えが く。これを未 み 来光 らいこう 円錐 えんすい と呼 よ ぶ。過去 かこ 光 ひかり 円錐 えんすい は、これを時間 じかん 反転 はんてん したものであり、円 えん の半径 はんけい は光速 こうそく で縮 ちぢ まり、事象 じしょう E において一 いち 点 てん に収縮 しゅうしゅく する。空間 くうかん の次元 じげん は3であるので、光 こう は2次元 じげん 平面 へいめん 上 じょう の円 えん ではなく3次元 じげん 空間 くうかん 上 じょう の球面 きゅうめん を描 えが いて拡 ひろ がっていく4次元 じげん 時空 じくう 上 じょう の超 ちょう 円錐 えんすい (英語 えいご 版 ばん ) (3次元 じげん 空間 くうかん 上 じょう の円錐 えんすい の断面 だんめん が二 に 次元 じげん 平面 へいめん 上 じょう の円 えん となるのと同様 どうよう )である。しかし、この概念 がいねん を可視 かし 化 か しわかりやすくするため、2次元 じげん 空間 くうかん で考 かんが える。
2+1次元 じげん 時空 じくう における光 ひかり 円錐 えんすい 。
数式 すうしき で表 あら わせば座標 ざひょう (x,y,z,t) が下記 かき の式 しき を満 み たす事象 じしょう の集合 しゅうごう である。
x
2
+
y
2
+
z
2
−
(
c
t
)
2
=
0
{\displaystyle \,x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}=0}
信号 しんごう その他 た の因果 いんが 関係 かんけい の伝播 でんぱ は光速 こうそく を超 こ えることができないため(特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん および量子 りょうし もつれ の項 こう を参照 さんしょう のこと)、光 ひかり 円錐 えんすい は因果律 いんがりつ を定義 ていぎ する上 じょう で重要 じゅうよう な役割 やくわり を果 は たす。ある事象 じしょう E について、E の過去 かこ 円錐 えんすい 内 ない に含 ふく まれる事象 じしょう 群 ぐん は信号 しんごう を送 おく って E に何 なん らかの影響 えいきょう を与 あた えることが可能 かのう である。例 たと えば、E の十 じゅう 年 ねん 前 まえ において E に将来 しょうらい 影響 えいきょう を与 あた えうるような事象 じしょう をすべて集 あつ めると、 E が将来 しょうらい 起 お こることになる位置 いち を中心 ちゅうしん とする球体 きゅうたい (2次元 じげん ならば円盤 えんばん )を成 な す。したがって、この球面 きゅうめん 上 じょう およびその内側 うちがわ にある点 てん は光速 こうそく あるいはそれより遅 おそ い速度 そくど で伝播 でんぱ する信号 しんごう を送 おく り、事象 じしょう E に影響 えいきょう を及 およ ぼすのに十分 じゅうぶん な時間 じかん があるということになる。逆 ぎゃく に、その瞬間 しゅんかん にこの球面 きゅうめん の外側 そとがわ にある点 てん は決 けっ して E に影響 えいきょう を及 およ ぼすことはできない。同様 どうよう に、事象 じしょう E の「未来 みらい 」光 ひかり 円錐 えんすい に含 ふく まれる事象 じしょう は E の位置 いち と時刻 じこく から信号 しんごう を受 う け取 と ることができる全 すべ ての点 てん を含 ふく むので、未 み 来光 らいこう 円錐 えんすい には E から相対 そうたい 論 ろん 的 てき 因果律 いんがりつ に従 したが って影響 えいきょう を受 う ける可能 かのう 性 せい のある事象 じしょう が全 すべ て含 ふく まれている。
特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん において、光 ひかり 円錐 えんすい (もしくはヌル円錐 えんすい 英 えい : null cone )はミンコフスキー時空 じくう 上 うえ において閃光 せんこう が時間 じかん 発展 はってん する面 めん を記述 きじゅつ する。これを三 さん 次元 じげん 空間 くうかん 上 じょう に可視 かし 化 か するためには、二 ふた つの水平 すいへい 軸 じく を二 ふた つの空間 くうかん 次元 じげん に、一 ひと つの縦 たて 軸 じく を時間 じかん にわりあてればよい[1] 。
光 ひかり 円錐 えんすい は次 つぎ のように構成 こうせい できる。事象 じしょう p を時刻 じこく t 0 における閃光 せんこう (光 ひかり パルス )とすると、この p から発 はっ したパルスが到達 とうたつ できる全 すべ ての事象 じしょう は p の未 み 来光 らいこう 円錐 えんすい を形成 けいせい し、逆 ぎゃく に p に光 ひかり パルスを送 おく ることのできる全 すべ ての事象 じしょう がp の過去 かこ 光 ひかり 円錐 えんすい を形成 けいせい する。
ある事象 じしょう E について、時空 じくう 上 じょう の全 すべ ての事象 じしょう は次 つぎ の5つのカテゴリーに分 わ けることができる。
E の未 み 来光 らいこう 円錐 えんすい 上 じょう にある事象 じしょう
E の過去 かこ 光 ひかり 円錐 えんすい 上 じょう にある事象 じしょう
E の未 み 来光 らいこう 円錐 えんすい の内側 うちがわ にあり、E から発 はっ した物質 ぶっしつ 粒子 りゅうし から影響 えいきょう を受 う け得 え る事象 じしょう
E の過去 かこ 光 ひかり 円錐 えんすい の内側 うちがわ にあり、そこから発 はっ した物質 ぶっしつ 粒子 りゅうし が E で何 なに が起 お こるかに影響 えいきょう を与 あた え得 え る事象 じしょう
これ以外 いがい の全 すべ ての事象 じしょう は E の(絶対 ぜったい ) 他所 よそ (elsewhere)[訳語 やくご 疑問 ぎもん 点 てん ] にあり、E の影響 えいきょう を受 う けることも E に影響 えいきょう を与 あた えることも不可能 ふかのう である。
上 うえ の分類 ぶんるい はどのような基準 きじゅん 系 けい を用 もち いても変 か わらない。つまり、ある観測 かんそく 者 しゃ がある事象 じしょう を光 ひかり 円錐 えんすい の内側 うちがわ にあると判断 はんだん したならば、他 た の全 すべ ての観測 かんそく 者 しゃ から見 み ても、基準 きじゅん 系 けい に関 かか わらず同 どう じ光 こう 円錐 えんすい の内側 うちがわ にあるということである。これがこの概念 がいねん の強力 きょうりょく さの理由 りゆう である。
ここまでは特定 とくてい の位置 いち と特定 とくてい の時刻 じこく に起 お こる事象 じしょう について述 の べてきた。ある事象 じしょう がもう一 ひと つの事象 じしょう に影響 えいきょう を及 およ ぼすことができないということは、光 ひかり がある位置 いち から別 べつ の位置 いち に「与 あた えられた時間 じかん 内 ない に」到達 とうたつ することができないということである。それらの事象 じしょう から発 はっ する光 ひかり は究極 きゅうきょく 的 てき には別 べつ の事象 じしょう の「以前 いぜん の」位置 いち には到達 とうたつ するが、それがその事象 じしょう が起 お こってしまった「後 ご 」になるということである。
時間 じかん が進 すす むにつれ、ある事象 じしょう の未 み 来光 らいこう 円錐 えんすい はより多 おお くの位置 いち を囲 かこ むことになる(い換 いか えれば、4次元 じげん 時空 じくう 上 じょう の光 ひかり 円錐 えんすい のある時刻 じこく における断面 だんめん である3次元 じげん 空間 くうかん 上 じょう の球面 きゅうめん は、時刻 じこく が後 のち になるにつれて大 おお きくなる)。同様 どうよう に、ある事象 じしょう から時間 じかん を遡 さかのぼ ることを考 かんが えると、その事象 じしょう の過去 かこ 光 ひかり 円錐 えんすい は未 み 来光 らいこう 円錐 えんすい と同 おな じように時間 じかん が遡 さかのぼ るにつれてより多 おお くの事象 じしょう を囲 かこ むことになる。より遠 とお い位置 いち は当然 とうぜん より時間 じかん が経 た ってからになる。今日 きょう の地球 ちきゅう で起 お こる事象 じしょう の過去 かこ 光 ひかり 円錐 えんすい を例 れい にとれば、一 いち 万 まん 光年 こうねん 離 はな れた星 ほし は一 いち 万 まん 年 ねん 以上 いじょう 遡 さかのぼ らなければ光 ひかり 円錐 えんすい の中 なか に含 ふく まれない。 今日 きょう の地球 ちきゅう で起 お こるある事象 じしょう の過去 かこ 光 ひかり 円錐 えんすい は、その端 はし の方 ほう では非常 ひじょう に遠 とお い物体 ぶったい をも(可 か 観測 かんそく 宇宙 うちゅう に存在 そんざい する全 すべ てをも)含 ふく むことになるが、非常 ひじょう に昔 むかし 、宇宙 うちゅう が若 わか かったころの姿 すがた を見 み ることになる。
異 ことな る場所 ばしょ で(ある基準 きじゅん 系 けい で)同 おな じ時刻 じこく に起 お こる二 ふた つの事象 じしょう は常 つね に相手 あいて の過去 かこ 光 ひかり 円錐 えんすい にも未 み 来光 らいこう 円錐 えんすい にも含 ふく まれない。光 ひかり は瞬時 しゅんじ に伝 つた わることはできないからである。もちろん、他 た の観測 かんそく 者 しゃ にはこれら二 ふた つの事象 じしょう が別 べつ の時刻 じこく 、別 べつ の場所 ばしょ で起 お こるように見 み えるだろうが、どちらにせよどちらの光 ひかり 円錐 えんすい にも入 はい らないことは同 おな じなのである。
真空 しんくう 中 なか の光速 こうそく を1とするような単位 たんい 系 けい を使 つか えば、例 たと えば距離 きょり の単位 たんい を光 ひかり 秒 びょう とし時間 じかん の単位 たんい を秒 びょう とすれば、光 こう は1秒 びょう のうちに真空 しんくう 中 ちゅう を1光 ひかり 秒 びょう だけ進 すす むので、光 ひかり 円錐 えんすい の傾 かたむ きは 45° となる。特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん においては光速 こうそく は全 すべ ての慣性 かんせい 系 けい において不変 ふへん であるから、全 すべ ての観測 かんそく 者 しゃ の光 ひかり 円錐 えんすい は同 おな じく 45° の傾 かたむ きを持 も つ。ローレンツ変換 へんかん の性質 せいしつ を表 あらわ すには一般 いっぱん 的 てき にミンコフスキーダイアグラム (英語 えいご 版 ばん ) が用 もち いられる。ある事象 じしょう の光 ひかり 円錐 えんすい の外側 そとがわ の、一 いち 繋 つな がりの部分 ぶぶん を他所 よそ (elsewhere)[訳語 やくご 疑問 ぎもん 点 てん ] と呼 よ ぶ。互 たが いに他所 よそ の関係 かんけい にある事象 じしょう は相互 そうご に観測 かんそく 不可能 ふかのう であり、因果律 いんがりつ 的 てき に繋 つな がることはできない。
(45° という数字 すうじ は空間 くうかん 的 てき な意味 いみ しか持 も たない。実際 じっさい の時空 じくう の性質 せいしつ を理解 りかい するために空間 くうかん に引 ひ き落 おと して図 ず を書 か いているためである。空間 くうかん 的 てき な傾 かたむ きは角度 かくど で測 はか られ、三角 さんかく 関数 かんすう で計算 けいさん される。これに対 たい して、時空 じくう 的 てき な傾 かたむ きはラピディティ によって測 はか られ、双曲線 そうきょくせん 関数 かんすう により計算 けいさん される。)
一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん における光 ひかり 円錐 えんすい
編集 へんしゅう
重力 じゅうりょく 崩壊 ほうかい を起 お こし星 ほし がブラックホールとなる瞬間 しゅんかん の近傍 きんぼう における光 ひかり 円錐 えんすい 。紫色 むらさきいろ の破線 はせん は重力 じゅうりょく 崩壊 ほうかい しつつある星 ほし の表面 ひょうめん から発 はっ せられる光 ひかり の軌跡 きせき を示 しめ す。緑色 みどりいろ の一 いち 点 てん 鎖線 させん は特異 とくい 点 てん へと落 お ちる光 ひかり の軌跡 きせき を示 しめ す。
平坦 へいたん な時空 じくう においては、ある事象 じしょう の未 み 来光 らいこう 円錐 えんすい はその因果 いんが 的 てき 未来 みらい (英語 えいご 版 ばん ) の境界 きょうかい であり、 過去 かこ 光 ひかり 円錐 えんすい はその因果 いんが 的 てき 過去 かこ (英語 えいご 版 ばん ) の境界 きょうかい である。
曲 ま がった時空 じくう では、大域 たいいき 双 そう 曲 きょく 時空 じくう (英語 えいご 版 ばん ) を仮定 かてい した場合 ばあい はある事象 じしょう の未 み 来光 らいこう 円錐 えんすい がその因果 いんが 的 てき 未来 みらい の境界 きょうかい を含 ふく む ことまでは成 な り立 た つ(過去 かこ も同様 どうよう )。しかし、重力 じゅうりょく レンズ効果 こうか により光 ひかり 円錐 えんすい の一部 いちぶ が自身 じしん の内側 うちがわ に折 お り込 こ まれ、光 ひかり 円錐 えんすい の一部 いちぶ が因果 いんが 的 てき 未来 みらい (もしくは過去 かこ )の境界 きょうかい ではなくその厳密 げんみつ な内側 うちがわ となることもありうる。
また、全 すべ ての光 ひかり 円錐 えんすい が平行 へいこう な傾 かたむ きを持 も つことはなくなる。このことは時空 じくう が曲 ま がっておりミンコフスキー空間 くうかん とは本質 ほんしつ 的 てき に異 こと なっていることを反映 はんえい している。真空 しんくう 領域 りょういき 中 ちゅう (物質 ぶっしつ の存在 そんざい しない時空 じくう 領域 りょういき )においては、全 すべ ての光 ひかり 円錐 えんすい が平行 へいこう でないことはワイルテンソル (英語 えいご 版 ばん ) が非 ひ 零 れい となることを意味 いみ する。