正せい四よん面体めんてい

正せい四よん面体めんてい
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種別しゅべつ	正せい多面体ためんたい、デルタ多面体ためんたい、四よん面体めんてい
面めん数すう	4
面めん形状けいじょう	正三角形せいさんかっけい
辺あたり数すう	6
頂点ちょうてん数すう	4
頂点ちょうてん形状けいじょう	3, 3, 3; 33;
シュレーフリ記号きごう	{3, 3}
ワイソフ記号きごう	3 \| 2 3; \| 2 2 2
対称たいしょう群ぐん	Td
双対そうつい多面体ためんたい	自己じこ双対そうつい
特性とくせい	凸とつ集合しゅうごう
	; 展開てんかい図ず
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正せい四よん面体めんてい（せいしめんたい、せいよんめんたい、英えい: regular tetrahedron）とは、4枚まいの合同ごうどうな正三角形せいさんかっけいを面めんとする四よん面体めんていである。

最もっとも頂点ちょうてん・辺あたり・面めんの数かずが少すくない正せい多面体ためんたいであり、最もっとも頂点ちょうてん・辺へん・面めんの数かずが少すくないデルタ多面体ためんたいであり、アルキメデスの正せい三さん角錐かくすいである。また、3次元じげんの正せい単体たんたいである。

なお一般いっぱんに、n 面体めんていのトポロジーは一定いっていしないが、四よん面体めんていだけは1種類しゅるいのトポロジーしかない。つまり、四よん面体めんていは全すべて、正せい四よん面体めんていと同相どうしょうであり、正せい四よん面体めんていの辺あたりを伸のばしたり縮ちぢめたりしたものである。

性質せいしつ[編集へんしゅう]

面めんの数かずは4、辺あたりの数かずは6、頂点ちょうてんの数かずは4。これらは全すべて多面体ためんたいで最少さいしょうである。また、パスカルの三角形さんかっけいの第だい5段だんの2～4番目ばんめの数字すうじでもある。
頂点ちょうてん形状けいじょうは正三角形せいさんかっけいであり、3本ほんの辺あたりと3枚まいの正三角形せいさんかっけいが集あつまる。これらはパスカルの三角形さんかっけいの第だい4段だんの2、3番目ばんめの数字すうじである。
自みずからと双対そうついである（自己じこ双対そうつい多面体ためんたい）。
対角線たいかくせんは存在そんざいしない。
ペトリー多角たかく形がたは正方形せいほうけいである。
立方体りっぽうたい (±1, ±1, ±1) の4つの頂点ちょうてん (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) を結むすべば、正せい四よん面体めんていになる。
正せい四よん面体めんていの辺あたりの中点ちゅうてんを結むすべば、正せい八はち面体めんていになる。このとき4個この正せい四よん面体めんていができる。逆ぎゃくに正せい八はち面体めんていの互たがい違ちがいの4面めんを延長えんちょうすると、正せい四よん面体めんていになる。
展開てんかい図ずは2通とおりあり、一方いっぽうは正三角形せいさんかっけい、もう一方いっぽうは平行四辺形へいこうしへんけいになる。
単独たんどくで空間くうかん充填じゅうてんは出来できないが、正せい八はち面体めんていと組くみ合あわせた空間くうかん充填じゅうてんは可能かのうである。

対称たいしょう性せい[編集へんしゅう]

対称たいしょう性せいは、

中心ちゅうしんと頂点ちょうてんを通とおる直線ちょくせんについて3回かい対称たいしょう
中心ちゅうしんと辺あたりの中点ちゅうてんを通とおる直線ちょくせんについて4回かい反対称はんたいしょう、したがって線せん対称たいしょう（2回かい対称たいしょう）
中心ちゅうしんと辺あたりを通とおる面めんについて面めん対称たいしょう

などである。

計量けいりょう[編集へんしゅう]

辺あたりの長ながさを $a\,$ とする。

面めんの面積めんせき	$A={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}$	$\approx 0.433012702a^{2}$
表面積ひょうめんせき	$S=4A={\sqrt {3}}a^{2}$	$\approx 1.732050808a^{2}$
高たかさ	$h={\frac {\sqrt {6}}{3}}a$	$\approx 0.816496581a$
体積たいせき	$V={\frac {1}{3}}Ah={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}$	$\approx 0.117851130a^{3}$
辺あたりと面めんのなす角かく	$\tan ^{-1}{\sqrt {2}}$	$\approx 54.735610^{\circ }$
二に面めん角かく	$\cos ^{-1}{\frac {1}{3}}=\tan ^{-1}{\sqrt {8}}$	$\approx 70.528779^{\circ }$
中心ちゅうしんと頂点ちょうてんを結むすぶ直線ちょくせんのなす角かく	${\frac {\pi }{2}}+\sin ^{-1}{\frac {1}{3}}=2\tan ^{-1}{\sqrt {2}}$	$\approx 109.471221^{\circ }$
頂点ちょうてんの立体りったい角かく	$3\cos ^{-1}{\frac {1}{3}}-\pi =\cos ^{-1}{\frac {23}{27}}$	$\approx 0.551285598\ \mathrm {sr}$
外接がいせつ球だま（頂点ちょうてんを通とおる球たま）の半径はんけい	$R={\sqrt {\frac {3}{8}}}a$	$\approx 0.612372436a$
内接ないせつ球だま（面めんと接せっする球たま）の半径はんけい	$r={1 \over 3}R={1 \over {\sqrt {24}}}a$	$\approx 0.204124145a$
中ちゅう接せっ球だま（辺あたりと接せっする球たま）の半径はんけい	$r_{\mathrm {M} }={\sqrt {rR}}={1 \over {\sqrt {8}}}a$	$\approx 0.353553391a$
傍はた接せっ球だまの半径はんけい	$r_{\mathrm {E} }={1 \over {\sqrt {6}}}a$	$\approx 0.408248290a$
頂点ちょうてんから傍はた心こころ（傍はた接せっ球だまの中心ちゅうしん）までの距離きょり	${\sqrt {\frac {3}{2}}}a$	$\approx 1.224744871a$