要約ようやく統計とうけい量りょう

要約ようやく統計とうけい（ようやくとうけい、英えい: summary statistic）あるいは、記述きじゅつ統計とうけい（英えい: descriptive statistic）とは、標本ひょうほんの分布ぶんぷの特徴とくちょうを定量ていりょう的てきに記述きじゅつし要約ようやくする統計とうけい学がく上うえの値ねであり、統計とうけい量りょうの一種いっしゅである。基本きほん統計とうけい（英えい: basic statistic）または代表だいひょう値ち(英えい: representative value)とも呼よばれることもある^[1]^[2]。

概要がいよう[編集へんしゅう]

記述きじゅつ統計とうけい学がく（英えい: descriptive statistics）は、こうした統計とうけい量りょうを用もちいて分析ぶんせきする学問がくもん領域りょういきである。記述きじゅつ統計とうけい学がくは、データを用もちいてデータの標本ひょうほんが表あらわすと考かんがえられる母集団ぼしゅうだんについて知しるのではなく、標本ひょうほんを要約ようやくすることを目的もくてきとしている点てんで、推計すいけい統計とうけい学がく（英えい: inferential statistics, or inductive statistics）と区別くべつされる^[3]。つまり、記述きじゅつ統計とうけいは推計すいけい統計とうけいと異ことなり、確率かくりつ論ろんに基もとづいて発展はってんしたものではなく、ノンパラメトリック手法しゅほうであることが多おおい^[4]。

データ分析ぶんせきにおいては、推計すいけい統計とうけいを用もちいて主要しゅような結論けつろんを出だす場合ばあいでも、一般いっぱん的てきには記述きじゅつ統計とうけいも提示ていじされる^[3]。たとえば、ヒト被験者ひけんしゃについて報告ほうこくする論文ろんぶんでは、通常つうじょう、全体ぜんたいの標本ひょうほん数すう（英語えいご版ばん）、重要じゅうようなサブグループ（たとえば、各かく治療ちりょう群ぐんや曝露ばくろ群ぐん）の標本ひょうほん数すう、平均へいきん年齢ねんれい、各かく性せいの被験者ひけんしゃの割合わりあい、関連かんれんする併存へいそん症しょうを持もつ被験者ひけんしゃの割合わりあいなどの人口じんこう統計とうけい学がくまたは臨床りんしょう的てき特徴とくちょうを示しめす表ひょうが含ふくまれる。

データセットを記述きじゅつするために一般いっぱん的てきに使用しようされる指標しひょうには、中心ちゅうしん傾向けいこう（英語えいご版ばん）の指標しひょうと、変動へんどう性せいまたはばらつきの指標しひょうがある。中心ちゅうしん傾向けいこうの指標しひょうには平均へいきん値ち、中央ちゅうおう値ち、最さい頻しき値ねがあり、変動へんどう性せいの指標しひょうには標準ひょうじゅん偏差へんさ（または分散ぶんさん）、変数へんすうの最小さいしょう値ちと最大さいだい値ち、尖とんが度たび、歪いびつ度どがある^[5]。

統計とうけい分析ぶんせきでの利用りよう[編集へんしゅう]

記述きじゅつ統計とうけいは、標本ひょうほんや行おこなわれた観察かんさつについての簡単かんたんな要約ようやくを提供ていきょうする．このような要約ようやくは、要約ようやく統計とうけい量りょう（英語えいご版ばん）のような定量ていりょう的てきなものもあれば、わかりやすいグラフのような視覚しかく的てきなものもある。また、これらの要約ようやくは、より広範こうはんな統計とうけい解析かいせきの一部いちぶとしてデータを最初さいしょに説明せつめいする際さいの基礎きそを成なすこともあれば、特定とくていの調査ちょうさのためにはそれ自体じたいで十分じゅうぶんなこともある。

たとえば、バスケットボールのシュート決定けってい率りつは、選手せんしゅやチームの成績せいせきを要約ようやくする記述きじゅつ統計とうけい量りょうである。この数値すうちは、ゴールしたシュート数すうを放はなったシュート数すうで割わったものである。たとえば、シュート率りつ33%の選手せんしゅは、3回かいに1回かいの割合わりあいでシュートを決きめている。パーセンテージは、複数ふくすうの離散りさん事象じしょうを要約ようやくまたは説明せつめいする。学生がくせいの成績せいせき評価ひょうかも考かんがえてみよう。この単一たんいつの数値すうちは、ある学生がくせいのコース経験けいけんの範囲はんい全体ぜんたいにわたる一般いっぱん的てきな成績せいせきを記述きじゅつするものである^[6]。

記述きじゅつ統計とうけいと要約ようやく統計とうけいの使用しようには幅広はばひろい歴史れきしがあり、実際じっさい、人口じんこうや経済けいざいデータの単純たんじゅんな集計しゅうけいは、統計とうけい学がくというトピックが最初さいしょに登場とうじょうした手法しゅほうであった。最近さいきんでは、探索たんさく的てきデータ解析かいせきという見出みだしの下したに要約ようやく手法しゅほうのコレクションが作成さくせいされている。そのような手法しゅほうの例れいとして、箱はこひげ図ずがある。ビジネスの世界せかいでは、記述きじゅつ統計とうけいは多おおくの種類しゅるいのデータに対たいする有用ゆうような要約ようやくを提供ていきょうする。たとえば、投資とうし家かやブローカーは、将来しょうらいのより良よい投資とうし決定けっていを行おこなうために、投資とうしに関かんする実証じっしょう的てき分析ぶんせきおよび解析かいせき的てき分析ぶんせきを行おこなうことによって、リターン動向どうこうの歴史れきし的てき根拠こんきょを活用かつようすることができる。

単たん変量へんりょう解析かいせき[編集へんしゅう]

単たん変量へんりょう解析かいせき（英語えいご版ばん）では、中心ちゅうしん傾向けいこう（平均へいきん値ち、中央ちゅうおう値ち、最さい頻しき値ね）と分散ぶんさん（データセットの範囲はんい（英語えいご版ばん）と四よん分ふん位い数すう、分散ぶんさんや標準ひょうじゅん偏差へんさなどの広ひろがりの尺度しゃくど）を含ふくむ、単たん一変いっぺん数すうの分布ぶんぷを記述きじゅつする。分布ぶんぷの形状けいじょうは、歪いびつ度どや尖とんが度たびなどの指標しひょうによって記述きじゅつすることもできる。変数へんすうの分布ぶんぷの特性とくせいは、ヒストグラムや幹みき葉は表示ひょうじなど、グラフまたは表おもて形式けいしきで表あらわすこともできる。

正規せいき分布ぶんぷの場合ばあいは、平均へいきんと、分散ぶんさんまたは標準ひょうじゅん偏差へんさで分布ぶんぷを記述きじゅつできる。正規せいき分布ぶんぷからのずれを知しるためには、尖とんが度たびや歪いびつ度どなどの高次こうじモーメントから求もとめられる統計とうけい量りょうを用もちいる。

正規せいき分布ぶんぷから著いちじるしく外はずれた場合ばあいには、より頑健がんけんな中央ちゅうおう値ち、四よん分ふん位い点てん、最大さいだい値ち・最小さいしょう値ちや最さい頻しき値ねが用もちいられる。「頑健がんけん」とは分布ぶんぷの非対称ひたいしょう性せいや外はずれ値ちなどの影響えいきょうを受うけにくいことを意味いみする統計とうけい用語ようごである。例たとえば、労働ろうどう者しゃ一いち人にんあたりの年収ねんしゅうを例れいに採とれば、最もっとも収入しゅうにゅうが少すくなくても0未満みまんにはならないのに対たいし、収入しゅうにゅうが多おおいほうでは数すう十じゅう億おく円えんという年収ねんしゅうを稼かせぐ少数しょうすう者しゃがあり得える。この場合ばあいの分布ぶんぷは、少数しょうすう者しゃが上側うわがわにいることによって、上側うわがわに極端きょくたんに尾おを引ひいた非対称ひたいしょうな分布ぶんぷとなる。平均へいきん値ちはこれらの極端きょくたんな高値たかねの影響えいきょうを受うけ、分布ぶんぷの代表だいひょう値ちとして適切てきせつでないものとなってしまう。中央ちゅうおう値ちや最さい頻しき値ねでは、いかに飛とび抜ぬけた値ねであっても1例れいとしてしか扱あつかわれないので、より大だい多数たすうの実感じっかんに近ちかい値ねを示しめすことができる。

二に変量へんりょう解析かいせきおよび多た変量へんりょう解析かいせき[編集へんしゅう]

標本ひょうほんが複数ふくすうの変数へんすうで構成こうせいされている場合ばあい、記述きじゅつ統計とうけいを使用しようして、変数へんすうのペア間あいだの関係かんけいを記述きじゅつすることができる。この場合ばあい、記述きじゅつ統計とうけいには次つぎにあげるようなものがある。

クロス集計しゅうけい表ひょうと分割ぶんかつ表ひょう
散布さんぷ図ずによるグラフィカル表現ひょうげん
相関そうかんの定量ていりょう的てき尺度しゃくど
条件じょうけん付つき確かく率りつ分布ぶんぷの記述きじゅつ

単たん変量へんりょう解析かいせきと二に変量へんりょう解析かいせきを区別くべつする主おもな理由りゆうは、二に変量へんりょう解析かいせきが単たんなる記述きじゅつ的てきな解析かいせきにとどまらず、異ことなる二ふたつの変数へんすう間あいだの関係かんけいを記述きじゅつすることである^[7]。依存いぞん性せいの定量ていりょう的てき尺度しゃくどには、相関そうかん（両方りょうほうの変数へんすうが連続れんぞく型がたの場合ばあいはピアソンのr、一方いっぽうまたは両方りょうほうが連続れんぞく型がたでない場合ばあいはスピアマンのrhoなど）と共きょう分散ぶんさん（尺度しゃくど変数へんすうが対応たいおうしていることを反映はんえいする^{[訳語やくご疑問ぎもん点てん]}）がある。回帰かいき分析ぶんせきでは、傾かたむきも変数へんすう間あいだの関連かんれん性せいを反映はんえいする。標準ひょうじゅん化かされていない勾配こうばいは、予測よそく変数へんすうの1単位たんいの変化へんかに対たいする目的もくてき変数へんすうの単位たんい変化へんかを示しめす。標準ひょうじゅん化かされている勾配こうばいは、この変化へんかを標準ひょうじゅん化かされた単位たんい（標準ひょうじゅん得点とくてん）で示しめす。大おおきく歪いがんだデータは、対数たいすうをとって変換へんかんされることがよくある。対数たいすうを用もちいると、グラフはより対称たいしょう的てきになり、正規せいき分布ぶんぷに近ちかくなるので、直感ちょっかん的てきに解釈かいしゃくしやすくなる^[8]^:47。

モーメントから求もとめられる要約ようやく統計とうけい量りょう[編集へんしゅう]

詳細しょうさいは「平均へいきん」、「分散ぶんさん (確率かくりつ論ろん)」、「標準ひょうじゅん偏差へんさ」、「歪いびつ度ど」、および「尖とんが度たび」を参照さんしょう

N 個このデータ $x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{N}$ に対たいする統計とうけい量りょうを考かんがえる。まず、平均へいきん値ち $\mu$ と、平均へいきん値ちまわりの m 次じ中央ちゅうおうモーメント^[9] $\mu _{m}$ を

\mu ={\frac {1}{\,N\,}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}

\mu _{m}={\frac {1}{\,N\,}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{m}\quad \ (m=2,3,\cdots )

で定義ていぎする。

平均へいきん[編集へんしゅう]

原点げんてんまわりの1次じモーメント $\mu$ 。和わを個数こすうで割わったもの。

\mu ={\frac {1}{\,N\,}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}

分散ぶんさん、標準ひょうじゅん偏差へんさ[編集へんしゅう]

2次じ中央ちゅうおうモーメントから求もとめられる統計とうけい量りょう。分布ぶんぷの広ひろがりを表あらわす。

分散ぶんさん：　　

\sigma ^{2}=\mu _{2}

標準ひょうじゅん偏差へんさ：

\sigma ={\sqrt {\mu _{2}}}

歪いびつ度ど[編集へんしゅう]

3次じ中央ちゅうおうモーメントから求もとめられる統計とうけい量りょう。分布ぶんぷの左右さゆう非対称ひたいしょうの度合どあいを表あらわす。

\gamma _{1}=\mu _{3}/\sigma ^{3}

尖とんが度たび[編集へんしゅう]

4次じ中央ちゅうおうモーメントから求もとめられる統計とうけい量りょう。分布ぶんぷの峰みねの鋭するどさ（裾野すそのの広ひろさ）を表あらわす。

\gamma _{2}=\mu _{4}/\sigma ^{4}-3

ただし、3 を引ひかない定義ていぎもある。

順序じゅんじょから求もとめられる要約ようやく統計とうけい量りょう[編集へんしゅう]

詳細しょうさいは「中央ちゅうおう値ち」および「分ぶん位い数すう」を参照さんしょう

以下いか、昇順しょうじゅんにソートされた N 個このデータ $x_{1}\leq x_{2}\leq \dots \leq x_{N}$ に対たいする統計とうけい量りょう（順序じゅんじょ統計とうけい量りょう）を考かんがえる。

中央ちゅうおう値ち[編集へんしゅう]

メジアン、メディアン (英えい: median) ともいう。データの大おおきさに関かんしてちょうど中央ちゅうおうに当あたるデータ x (_{N + 1) / 2} 。ただし、整数せいすうでない添数に対たいする中央ちゅうおう値ちは線形せんけい補間ほかんによって定義ていぎする（つまり N が偶数ぐうすうのときは x_{N / 2} と x_{N / 2 + 1} の平均へいきんとする）。

刈かり込こみ平均へいきん（トリム平均へいきん（英語えいご版ばん））[編集へんしゅう]

最大さいだい値ち、最小さいしょう値ちを除外じょがいした平均へいきん。除外じょがいする数かずを増ふやして行いくと、最後さいごは中央ちゅうおう値ちになる。そのため、中央ちゅうおう値ちは刈かり込こみ平均へいきんの一ひとつである^[10]。

四よん分ふん位い点てん[編集へんしゅう]

集団しゅうだんを値ねの大おおきさで4等分とうぶんするとき、その境界きょうかいとなる値ね。x (_{N + 3) / 4} を第だい1四よん分ふん位い点てん、x (_{3N + 1) / 4} を第だい3四よん分ふん位い点てんという。x_{(2N + 2) / 4} 、つまり第だい2四よん分ふん位い点てんは中央ちゅうおう値ちである。

最小さいしょう値ち・最大さいだい値ち[編集へんしゅう]

集団しゅうだんに含ふくまれる最もっとも小ちいさい値ね x₁ と、最もっとも大おおきい値ね x_N 。

これらの統計とうけい量りょうを視覚しかく化かするために、箱はこひげ図ずを用もちいる。

中点ちゅうてん値ち[編集へんしゅう]

最大さいだい値ちと最小さいしょう値ちを足たして2で割わったものを中点ちゅうてん値ち(英えい: mid-range)とよび、代表だいひょう値ちとして用もちいることがある^[11]。

範囲はんい[編集へんしゅう]

最大さいだい値ちと最小さいしょう値ちの差さを範囲はんい(英えい: range)とよび、代表だいひょう値ちとして用もちいることがある^[12]。記号きごうはRを用もちいる。

度数どすうから求もとめられる要約ようやく統計とうけい量りょう[編集へんしゅう]

最さい頻しき値ね[編集へんしゅう]

最さい頻しき値ねは、モード (英えい: mode)または並なみ数すうともいい、データのうち、度数どすう分布ぶんぷにおいて最もっとも高たかい度数どすうを示しめす値ね、つまり最もっとも多おおく現あらわれているデータの値ねである。

脚注きゃくちゅう[編集へんしゅう]

^ 西岡にしおか, p.1.
^ 伏見ふしみ, 第だいIII章あきら記述きじゅつ統計とうけい量りょう 13節せつ確かく率りつ分布ぶんぷ、統計とうけい分布ぶんぷ p.110.
^ ^a ^b “Drawing Conclusions From Data: Descriptive Statistics, Inferential Statistics, and Hypothesis Testing”, Interpreting and Using Statistics in Psychological Research (2455 Teller Road, Thousand Oaks California 91320: SAGE Publications, Inc): pp. 145–183, (2017), doi:10.4135/9781506304144.n6, ISBN 978-1-5063-0416-8 2021年ねん6月がつ1日にち閲覧えつらん。
^ Dodge, Y. (2003). The Oxford Dictionary of Statistical Terms. OUP. ISBN 0-19-850994-4
^ Investopedia, Descriptive Statistics Terms
^ Trochim, William M. K. (2006年ねん). “Descriptive statistics”. Research Methods Knowledge Base. 2011年ねん3月がつ14日にち閲覧えつらん。
^ Babbie, Earl R. (2009). The Practice of Social Research (12th ed.). Wadsworth. pp. 436–440. ISBN 978-0-495-59841-1
^ Nick, Todd G. (2007). “Descriptive Statistics”. Topics in Biostatistics. Methods in Molecular Biology. 404. New York: Springer. pp. 33–52. doi:10.1007/978-1-59745-530-5_3. ISBN 978-1-58829-531-6. PMID 18450044
^ 用語ようご「m 次じ中央ちゅうおうモーメント」は、竹内たけうち啓あきら（編集へんしゅう委員いいん代表だいひょう）『統計とうけい学がく辞典じてん』東洋経済新報社とうようけいざいしんぽうしゃ, 1989 による。
^ 西岡にしおか康夫やすお,数学すうがくチュートリアルやさしく語かたる確かく率りつ統計とうけい,オおーム社むしゃ, p.5, p.52013, ISBN 9784274214073
^ JIS Z 8101-1 : 1999, 2.16 中点ちゅうてん値ち.
^ JIS Z 8101-1 : 1999, 2.17 範囲はんい.

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

西岡にしおか康夫やすお『数学すうがくチュートリアルやさしく語かたる確かく率りつ統計とうけい』オおーム社むしゃ、2013年ねん。ISBN 9784274214073。
日本にっぽん数すう学会がっかい『数学すうがく辞典じてん』岩波書店いわなみしょてん、2007年ねん。ISBN 9784000803090。
JIS Z 8101-1:1999 統計とうけい − 用語ようごと記号きごう − 第だい1部ぶ:確率かくりつ及および一般いっぱん統計とうけい用語ようご, 日本にっぽん規格きかく協会きょうかい, (1999)
伏見ふしみ康治こうじ『確かく率りつ論及ろんきゅう統計とうけい論ろん』河出かわで書房しょぼう、1942年ねん。ISBN 9784874720127。
竹内たけうち啓あきら（編集へんしゅう委員いいん代表だいひょう）『統計とうけい学がく辞典じてん』東洋経済新報社とうようけいざいしんぽうしゃ、1989年ねん。ISBN 9784492010389。

外部がいぶリンク[編集へんしゅう]

坂田さかた綾香あやか. “記述きじゅつ統計とうけいと確かく率りつ変数へんすう・確かく率りつ分布ぶんぷ” (PDF). 統計数理研究所とうけいすうりけんきゅうしょ. 2022年ねん4月がつ29日にち閲覧えつらん。

[FOOTNOTE西岡p.1-1] 西岡にしおか, p.1.

[FOOTNOTE伏見第III章_記述統計量_13節_確率分布、統計分布_p.110-2] 伏見ふしみ, 第だいIII章あきら記述きじゅつ統計とうけい量りょう 13節せつ確かく率りつ分布ぶんぷ、統計とうけい分布ぶんぷ p.110.

[:0-3] “Drawing Conclusions From Data: Descriptive Statistics, Inferential Statistics, and Hypothesis Testing”, Interpreting and Using Statistics in Psychological Research (2455 Teller Road, Thousand Oaks California 91320: SAGE Publications, Inc): pp. 145–183, (2017), doi:10.4135/9781506304144.n6, ISBN 978-1-5063-0416-8 2021年ねん6月がつ1日にち閲覧えつらん。

[4] Dodge, Y. (2003). The Oxford Dictionary of Statistical Terms. OUP. ISBN 0-19-850994-4

[Inv-5] Investopedia, Descriptive Statistics Terms

[trochim-6] Trochim, William M. K. (2006年ねん). “Descriptive statistics”. Research Methods Knowledge Base. 2011年ねん3月がつ14日にち閲覧えつらん。

[7] Babbie, Earl R. (2009). The Practice of Social Research (12th ed.). Wadsworth. pp. 436–440. ISBN 978-0-495-59841-1

[8] Nick, Todd G. (2007). “Descriptive Statistics”. Topics in Biostatistics. Methods in Molecular Biology. 404. New York: Springer. pp. 33–52. doi:10.1007/978-1-59745-530-5_3. ISBN 978-1-58829-531-6. PMID 18450044

[9] 用語ようご「m 次じ中央ちゅうおうモーメント」は、竹内たけうち啓あきら（編集へんしゅう委員いいん代表だいひょう）『統計とうけい学がく辞典じてん』東洋経済新報社とうようけいざいしんぽうしゃ, 1989 による。

[10] 西岡にしおか康夫やすお,数学すうがくチュートリアルやさしく語かたる確かく率りつ統計とうけい,オおーム社むしゃ, p.5, p.52013, ISBN 9784274214073

[FOOTNOTEJIS_Z_8101-1_:_19992.16_中点値-11] JIS Z 8101-1 : 1999, 2.16 中点ちゅうてん値ち.

[FOOTNOTEJIS_Z_8101-1_:_19992.17_範囲-12] JIS Z 8101-1 : 1999, 2.17 範囲はんい.

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