位相いそう的場まとばの理論りろん

位相いそう的場まとばの理論りろん（いそうてきばのりろん）もしくは位相いそう場じょう理論りろん（いそうばりろん）あるいはTQFTは、位相いそう不ふ変量へんりょうを計算けいさんする場ばの量子りょうし論ろんである。

TQFTは物理ぶつり学者がくしゃにより開拓かいたくされたにもかかわらず、数学すうがく的てきにも興味きょうみを持もたれていて、結むすび目め理論りろんや代数だいすうトポロジーの 4次元じげん多様たよう体たいの理論りろんや代数だいすう幾何きか学がくのモジュライ空間くうかんの理論りろんという他たのものにも関係かんけいしている。サイモン・ドナルドソン, ヴォーン・ジョーンズ, エドワード・ウィッテン, や マキシム・コンツェビッチ は皆みな、フィールズ賞しょう をとり、位相いそう的場まとばの理論りろんに関連かんれんした仕事しごとを行おこなっている。

物性ぶっせい物理ぶつり学がくでは、位相いそう的場まとばの理論りろんは、分数ぶんすう量子りょうしホール効果こうかや、ストリングネット凝縮ぎょうしゅく状態じょうたいや他たの強つよ相関そうかん量子りょうし液体えきたい状態じょうたいのような、トポロジカル秩序ちつじょの低ていエネルギー有効ゆうこう理論りろんである。

概要がいよう

位相いそう的場まとばの理論りろんでは、相関そうかん関数かんすうが時空じくうの計量けいりょうに依存いぞんしない。このことは、（トポロジーを変かえない範囲はんいで）時空じくうの形かたちが変かわっても理論りろん自体じたいは不変ふへんであることを意味いみする。もし時空じくうが曲まがったり、収縮しゅうしゅくしたりした場合ばあいでも、相関そうかん関数かんすうは変化へんかしない。結局けっきょく、それらは位相いそう不ふ変量へんりょうとなる。

位相いそう的場まとばの理論りろんは素粒子そりゅうし物理ぶつり学がくで使つかわれるミンコフスキー時空じくうにはさほど興味きょうみはない。ミンコフスキー空間くうかんは、可か縮ちぢみな空間くうかんであるから、その上うえの TQFT は自明じめいな位相いそう不ふ変量へんりょうのみの計算けいさん結果けっかとなる。結局けっきょく、TQFTは普通ふつう、例たとえばリーマン面めんのような、曲まがった時空じくう上じょうで研究けんきゅうされる。知しられている位相いそう的場まとばの理論りろんの大半たいはんは、5次元じげん未満みまんの時空じくうの上うえで定義ていぎされている。いくらか高たかい次元じげんの理論りろんも存在そんざいしそうであるが、あまりよく知しられてはいない。

量子りょうし重力じゅうりょくは（ある適当てきとうな意味いみで）背景はいけい独立どくりつであると信しんじられていて、TQFT は背景はいけい独立どくりつな場ばの量子りょうし論ろんの例れいを提供ていきょうする。これはこのクラスのモデルの理論りろん的てきな研究けんきゅうを前進ぜんしんさせるという証あかしである。

(注意ちゅうい事項じこう： TQFT は有限ゆうげんの自由じゆう度どしか持もたないと言いわれることがある。これは基本きほん的てきな性質せいしつではない。物理ぶつり学者がくしゃや数学すうがく者しゃが研究けんきゅうしている例れいの大半たいはんは、これが有限ゆうげんの自由じゆう度どを持もつこということがあるが、しかし、必かならずしも有限ゆうげんの自由じゆう度どを持もつ必要ひつようはない。もし無限むげん次元じげんの射影しゃえい空間くうかんをターゲット空間くうかんとする位相いそう的てきシグマモデルが定義ていぎされたとすれば、それは可算かさん無限むげん個この自由じゆう度どを持もつ位相いそう的場まとばの理論りろんである。

位相いそう的場まとばの理論りろんのタイプ

知しられている位相いそう的場まとばの理論りろんは、2つの一般いっぱん的てきなクラスへ分わけられる。ひとつはシュワルツタイプの TQFT であり、もうひとつはウィッテンタイプの TQFT である。ウィッテンタイプの TQFT はコホモロジカルな場ばの理論りろんとしても知しられている。(Schwarz 2000) を参照さんしょう。

シュワルツタイプ TQFT

シュワルツタイプ TQFTでは、系けいの相関そうかん函数かんすうあるいは分配ぶんぱい函数かんすうは、計量けいりょう独立どくりつな作用さよう汎ひろし関数かんすうの経路けいろ積分せきぶんとして与あたえられる。例たとえば、BFモデル(BF model)では、時空じくうは2次元じげん多様たよう体たい M であり、観測かんそく量りょうは2-形式けいしき F と補助ほじょスカラー場じょう B とそれらの微分びぶんから構成こうせいされる。（経路けいろ積分せきぶんを決定けっていする）作用さようは、

$S=\int _{M}BF\,$

である。時空じくうの計量けいりょうはこの理論りろんには全まったく現あらわれないので、理論りろんは明あきらかに位相いそう的てきな不変ふへんである。位相いそう場じょう理論りろんの最初さいしょの例れいはシュワルツによる1977年ねんに提出ていしゅつされた例れいであり、作用さよう汎ひろし関数かんすうは

$\int _{M}A\wedge dA$

である。もうひとつ、さらに有名ゆうめいな例れいがチャーン・サイモンズ理論りろんであり、この理論りろんは結むすび目め不ふ変量へんりょうを計算けいさんすることができる。一般いっぱんには、分配ぶんぱい関数かんすうは計量けいりょうに依存いぞんするが、上記じょうきの例れいでは計量けいりょうとは独立どくりつであることが示しめされている。

ウィッテンタイプ TQFT

ウィッテンタイプの位相いそう理論りろんの最初さいしょの例れいは、1988年ねんのウィッテンの論文ろんぶん(Witten 1988a)に現あらわれ、それでは4次元じげんの位相いそう的てきなヤン＝ミルズ理論りろんである。その作用さよう汎ひろし関数かんすうは時空じくうの計量けいりょう $g_{\alpha \beta }$ を含ふくんでいるが、位相いそう的てきツイストした後のちでは、計量けいりょう独立どくりつとなることが分わかる。系けいのエネルギー・運動うんどう量りょうテンソル $T^{\alpha \beta }$ の計量けいりょう独立どくりつ性せいは、BRST作用素さようそが閉とじているか否ひかにかかっている。ウィッテンの例れいの後のちに、位相いそう的てき弦つる理論りろんで多おおくの例れいが発見はっけんされている。

ウィッテンタイプの位相いそう場じょう理論りろんは、次つぎの条件じょうけんを満みたす場合ばあいに成立せいりつする。

1.TQFTの作用さよう $S$ が対称たいしょう性せいを持もつこと、つまり、$\delta$ が対称たいしょう性せい変換へんかんを表あらわしているとすると（例たとえば、リー微分びぶん）、$\delta S=0$ を満みたすこと。

2.対称たいしょう性せい変換へんかんが完全かんぜんであること、つまり、$\delta ^{2}=0$ であること。

3.観測かんそく可能かのう量りょう $O_{1},\dots ,O_{n}$ が存在そんざいして、すべての $i\in \{1,\dots ,n\}$ に対たいして $\delta O_{i}=0$ を満みたすこと。

4.エネルギー・運動うんどう量りょうテンソル（もしくは、同様どうようの物理ぶつり量りょう）が、任意にんいのテンソル $G^{\alpha \beta }$ に対たいして $T^{\alpha \beta }=\delta G^{\alpha \beta }$ の形かたちをしていること。

例れいとして、$\delta ^{2}=0$ を満みたすような外そと微分びぶん（リー微分びぶん）を持もつ 2-形式けいしきの場ば $B$ がある。この場合ばあいには、

$\delta S=\int _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int _{M}\delta B\wedge \delta B+\int _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0$

であるので、作用さよう $S=\int _{M}B\wedge \delta B$ は対称たいしょう性せいを持もっている。さらに、（$\delta$ が $B$ と独立どくりつであり、汎ひろし函数かんすう微分びぶんへ同おなじように作用さようするという条件じょうけんの下したで）

${\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S=\int _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B+\int _{M}B\wedge \delta {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=\int _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B-\int _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=2\int _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B$

を満みたす。${\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S$ という表現ひょうげんは、別べつな 2-形式けいしき $G$ を持もつような $\delta G$ に比例ひれいすることを意味いみする。

ここで、対応たいおうするハール測度そくどに対たいする観測かんそく可能かのう量りょう $<O_{i}>:=\int d\mu O_{i}e^{iS}$ の平均へいきんは、幾何きか学がく的てきな場ば $B$ に対たいし独立どくりつであるので、位相いそう的てきである。

${\frac {\delta }{\delta B}}<O_{i}>=\int d\mu O_{i}i{\frac {\delta }{\delta B}}Se^{iS}\propto \int d\mu O_{i}\delta Ge^{iS}=\delta (\int d\mu O_{i}Ge^{iS})=0$.

第だい三さんの同どう号ごうは、$\delta O_{i}=\delta S=0$ と対称たいしょう性せい変換へんかんの下したではハール測度そくどは不変ふへんであるという事実じじつを使つかった。$\int d\mu O_{i}Ge^{iS}$ は数値すうちでしかないので、リー微分びぶんはこれへ適用てきようすると 0 となる。

数学すうがく的てき定式ていしき化か

元来がんらいのアティヤ-セーガルの公理こうり化か

マイケル・アティヤは、グラミエ・セーガルの提案ていあんした共きょう形かたち場じょう理論りろんの公理こうり（後日ごじつ、セーガルは、(Segal 2001) にまとめた)や、ウィッテンの超ちょう対称たいしょう性せいの幾何きか学がく的てきな意味いみについての考かんがえ方かた(Witten 1982)に動機付どうきずけられて、一連いちれんの位相いそう的場まとばの理論りろんの公理こうりを示唆しさした(Atiyah 1988)。アティヤの公理系こうりけいは、微分びぶん可能かのう写像しゃぞう（位相いそう同型どうけい写像しゃぞう、もしくは、連続れんぞく写像しゃぞう）で境界きょうかいを張はり合あわせることで構成こうせいされるが、一方いっぽう、セーガルの公理系こうりけいは、共きょう形かたち写像しゃぞうで構成こうせいされている。シュワルツタイプは、ウィッテンタイプの全体ぜんたいをとらえていることが明あきらかではないにもかかわらず、これらの公理こうりではシュワルツタイプのほうが、数学すうがく的てきにはうまく取とり扱あつかわれた。基本きほん的てきなアイデアは、TQFT とは、あるコボルディズムの圏けんからベクトル空間くうかんの圏けんへの函はこ手しゅであるということである。

実際じっさい、Atiyahの公理こうりと呼よばれて当然とうぜんである公理系こうりけいには、2つの異ことなったセットがあり、基本きほん的てきには、TQFTを研究けんきゅうするときに一ひとつの固定こていした n 次元じげんリーマン／ローレンツ時空じくう M を考かんがえるのか、それとも全すべての n 次元じげんの時空じくうを同時どうじに考かんがえるのかの違ちがいがある。

$\Lambda$ を単位たんい元もと 1 を持もつ可か換かわ環たまきとする。（現実げんじつには、ほとんどの場合ばあい、Λらむだ として Z, R もしくは C としている。）元々もともと、アティヤは以下いかに見みるように基礎きそとなる環たまき $\Lambda$ の上うえで定義ていぎされた d 次元じげんの位相いそう的場まとばの理論りろんの公理こうりを提案ていあんしている。 この提案ていあんは、位相いそう空間くうかんの圏けんとしても特徴付とくちょうづけに似にている。

(A) 向むきづけられた閉とじた d 次元じげん微分びぶん可能かのう多様たよう体たい $\Sigma$ と結むすびついた有限ゆうげん生成せいせい $\Lambda$-加か群ぐん $Z(\Sigma )$ (ホモトピー性せいの公理こうりに対応たいおう),

(B) 向むきづけられた (d+1) 次元じげん微分びぶん可能かのう多様たよう体たい（境界きょうかいを持もつ）$M$ と結むすびついた元もと $Z(M)\in Z(\partial M)$ (加法かほう性せい公理こうりに対応たいおう).

これらのデータは次つぎのような公理こうりとなる。

(1) $Z$ は $\Sigma$ と $M$ の微分びぶん同相どうしょうについては 函はこ手しゅ的てき(functorial) である。

(2) $Z$ は 対たい合ごう(involutory)的てき、すなわち、$Z(\Sigma ^{*})=Z(\Sigma )^{*}$ である。ここに $\Sigma ^{*}$ は向むきづけを逆ぎゃくにした $\Sigma$ であり、$Z(\Sigma )^{*}$ で双そう対たい加か群ぐんを表あらわすことにする。

(3) $Z$ は 乗法じょうほう的てき(multiplicative)である.

さらに、アティヤは2つの公理こうり(4)と(5)をこれらに加くわえた。

(4) d 次元じげんの空そらな多様たよう体たいについて $Z(\phi )=\Lambda$ とし、(d+1) 次元じげんの空そらな多様たよう体たいについては $Z(\phi )=1$ とする。

もしも閉とじた多様たよう体たい $M$ 対たいし $Z(M)$ を $M$ の数値すうち的てき不変ふへん量りょうとみなすと、境界きょうかいを持もつ多様たよう体たいに対たいし $Z(M)\in Z(\partial M)$ を｢相対そうたい的てき｣不ふ変量へんりょうと考かんがえることができる。$f:\Sigma \times I\rightarrow \Sigma \times I$ を微分びぶん同相どうしょうを保たもつ向むきづけで、$\Sigma \times I$ の端はしを $f$ により同一どういつ視しする。これが多様たよう体たい $\Sigma _{f}$ を与あたえ、この公理こうりは

$Z(\Sigma _{f})={\text{Trace}}\Sigma (f)$

ということを意味いみしている。ここに $\Sigma (f)$ は $Z(\Sigma )$ の引ひき起おこされた自己じこ同型どうけいである。

(5) $Z(M^{*})={\overline {Z(M)}}$ である。(エルミート性せい公理こうり)　同値どうちであるが、$Z(M^{*})$ が $Z(M)$ の随伴ずいはん作用素さようそである。

境界きょうかい $\Sigma$ を持もつ多様たよう体たい $M$ に対たいし、共通きょうつう部分ぶぶん $M\cup _{\Sigma }M^{*}$ が常つねに常つねに閉とじた多様たよう体たいとできることに注意ちゅういすると、(5) は、

$Z(M\cup _{\Sigma }M^{*})=|Z(M)|^{2}$

であることを示しめしている。この右辺うへんはエルミートな（不ふ定値ていちでもよいが）計量けいりょうでのノルムとなっている。

物理ぶつりとの関係かんけい

物理ぶつり的てきには (2)+(4) は相対そうたい論ろん的てきな不変ふへん性せいに関連かんれんしていて、一方いっぽう (3)+(5) は理論りろんの量子りょうし的てき性質せいしつを示しめしている。

$\Sigma$ は物理ぶつり的てきな空間くうかんを表あらわしていることを意図いとしていて (標準ひょうじゅん的てきな物理ぶつりでは d = 3 )、$\Sigma \times I$ の中なかの余剰よじょう次元じげんは｢虚きょ｣時間じかんである。空間くうかん $Z(M)$ は量子りょうし論ろんのヒルベルト空間くうかんであり、ハミルトニアン $H$ を持もつ物理ぶつり的てき理論りろんは、時間じかん発展はってん作用素さようそ　$e^{itH}$ 、もしくは｢虚むなし時間じかん｣作用素さようそ　$e^{-tH}$を持もっている。｢位相いそう的てき｣量子りょうし場じょう理論りろんは $H=0$ の時ときであり、このことはシリンダー $\Sigma \times I$ に沿そった実際じっさいの力ちからや（波なみの）伝播でんぱはないことを意味いみしている。しかしながら、境界きょうかい $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ を持もち、$\Sigma _{0}$ から $\Sigma _{1}$ の間あいだに介在かいざいする多様たよう体たい $M$ を通とおして、非ひ自明じめいな｢伝播でんぱ｣（もしくはトンネル振幅しんぷく）がありうる。これは $M$ のトポロジーを反映はんえいしている。

もし $\partial M=\Sigma$ であれば、ヒルベルト空間くうかん $Z(\Sigma )$ の中なかのベクトル $Z(M)$ は、$M$ により定義ていぎされた 真空しんくう期待きたい値ち と考かんがえることができる。閉とじた多様たよう体たい $M$ に対たいして、数値すうち $Z(M)$ は真空しんくう期待きたい値ちである。統計とうけい力学りきがくとのアナロジーでは、分配ぶんぱい関数かんすうと呼よばれる。

ゼロハミルトニアンを持もつ理論りろんがなぜうまく定式ていしき化かされるかの理由りゆうは、場ばの量子りょうし論ろん(QFT)への経路けいろ積分せきぶんのアプローチにある。これは相対そうたい論ろん的てきな不変ふへん性せい (これが (d+1) 次元じげんの｢時空じくう｣を提供ていきょうするのあるが) とあいまって、理論りろんが形式けいしき的てきに適当てきとうなラグランジアン -つまり理論りろんの古典こてん場じょうの汎ひろし関数かんすうを書かき下くだすことにより定義ていぎされる。時間じかんに関かんしての形式けいしき的てきな第だい一いち微分びぶんを意味いみするラグランジアンは、ゼロハミルトニアンを導出どうしゅつするが、ラグランジアン自体じたいは $M$ のトポロジーにハミルトニアンを関連付かんれんづける非ひ自明じめいな様子ようすを呈ていするかもしれない。

アティヤの例れい

1988年ねん、アティヤは当時とうじ考かんがえられていた位相いそう的てき量子りょうし場じょうの新あたらしい例れいを書かいた論文ろんぶんを提出ていしゅつした。(Atiyah 1988) この中なかには、いくつかの新あたらしい位相いそう的てき不変ふへん量りょうと新あたらしい考かんがえ方かたがのべられている。それらは、キャッソン不ふ変量へんりょうやドナルドソン不ふ変量へんりょうやグロモフの理論りろん、フレアーホモロジーやジョーンズ-ウィッテン理論りろんである。

d = 0 の場合ばあいには、空間くうかん $\Sigma$ は有限ゆうげん個この点てんからなる。一ひとつの点てんには、ベクトル空間くうかん $V=Z(point)$ が結むすび付ついていて、n-個この点てんには n 重じゅうのテンソル積せき : $V^{\otimes n}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V$が結むすびつている。対称たいしょう群ぐん $S_{n}$ は $V^{\otimes n}$ 上うえに作用さようする。量子りょうし論ろんのヒルベルト空間くうかんを得える標準ひょうじゅん的てきな方法ほうほうは、古典こてん的てきなシンプレクティック多様たよう体たい (もしくは相あい空間くうかん) を与あたえ、それを量子りょうし化かする。対称たいしょう群ぐん $S_{n}$ をコンパクトリー群ぐん $G$ へ拡張かくちょうし、直線ちょくせん束たばからできるシンプレクティック構造こうぞうの｢可か積分せきぶん｣な軌道きどうを考かんがえると、量子りょうし化かは $G$ の $V$ 上うえへの既すんで約やく表現ひょうげんを導みちびく。これはボレル-ヴェィユの定理ていりもしくはボレル-ヴェィユ-ボットの定理ていりの物理ぶつり解釈かいしゃくとなる。これらの理論りろんのラグランジアンは古典こてん作用さよう (直線ちょくせん束たばのホロノミー)である。このようにして、次元じげんが d = 0 の位相いそう的てき量子りょうし場じょうの理論りろんは自然しぜんにリー群ぐんや対称たいしょう群ぐんの古典こてん的てき表現ひょうげん論ろんに関係かんけいしている。

d = 1 の場合ばあいは : コンパクトなシンプレクティック多様たよう体たい $X$ の中なかの閉へいループによって与あたえられる周期しゅうき的てきな境界きょうかい条件じょうけんを考かんがえる。(Witten 1982)に従したがうと、そのようなループの周しゅうるホロノミーは、d = 0 のときにラグラジアンとして使つかったように、ハミルトニアンを変形へんけいすることに使つかわれる。閉とじた曲面きょくめん $M$ に対たいし、理論りろんの不ふ変量へんりょう $Z(M)$ は、グロモフの意味いみで（もし $X$ がケーラー多様たよう体たいであれば、通常つうじょうの正則せいそく写像しゃぞうである)、擬なずらえ正則せいそく写像しゃぞうの数かずである。もしこの数かずが無限むげん大だいとなる、つまり｢モジュライ｣があるとき、$M$ 上うえのデータを固定こていする必要ひつようがある。これは、いくつかの点てん $P_{i}$ をとり、$f(P_{i})$ を決きまった超ちょう平面へいめんに固定こていする正則せいそく写像しゃぞう $f:M\rightarrow X$ を考かんがえることで可能かのうとなる。(Witten 1988b)はこの理論りろんの適当てきとうなラグランジアンを書かき下くだした。フレアーは(Witten 1982)のモース理論りろんのアイデアに基もとづき、厳密げんみつに扱あつかうフレアーホモロジーを考案こうあんした。境界きょうかい条件じょうけんが周期しゅうき的てきであることに代かわり、区間くかんである場合ばあいには、経路けいろの最初さいしょの端点たんてんと最後さいごの端点たんてんは2つのラグランジュ部分ぶぶん多様たよう体たいの上うえにある。この理論りろんは、グロモフ・ウィッテン不ふ変量へんりょうの理論りろんとして発展はってんした。

他たの例れいは、正則せいそくな共きょう形かたち場じょう理論りろんであり、1988年ねん当時とうじはヒルベルト空間くうかんが無限むげん次元じげんであるため厳密げんみつな量子りょうし場じょう理論りろんではなかったかもしれない。共きょう形かたち場じょう理論りろんもコンパクトリー群ぐん $G$ に関連かんれんしていて、そこでは古典こてん的てきな相あい空間くうかんはループ群ぐん $LG$ の中心ちゅうしん拡大かくだいからなる。これらを量子りょうし化かすると、$LG$ の既すんで約やくな（射影しゃえい的てき）表現ひょうげん論ろんのヒルベルト空間くうかんが生成せいせいされる。ここで群ぐん $Diff_{+}(S^{1})$ は対称たいしょう群ぐんにとってかわり、重要じゅうような役目やくめを果はたす。そのような理論りろんの分配ぶんぱい関数かんすうは、複素ふくそ構造こうぞうに依存いぞんしていて、純粋じゅんすいにトポロジカルではない。

d = 2 の場合ばあいの最もっとも重要じゅうような理論りろんはジョーンズ-ウィッテン理論りろんである。そこでは、古典こてん的てきな相あい空間くうかんは、閉曲面めん $\Sigma$ に結むすび付ついていて、$\Sigma$ の上うえの平坦へいたん $G$-バンドルのモジュライ空間くうかんである。ラグランジアンは（枠わく付つきである）3-次元じげん多様たよう体たいの上うえの $G$-接続せつぞくのチャーン・サイモンズ形式けいしきの整数せいすう倍ばいである。整数せいすう倍ばいの整数せいすう $k$ はレベルとも呼よばれ、理論りろんのパラメータであり、$k\rightarrow \infty$ は古典こてん極限きょくげんを与あたえる。この理論りろんは自然しぜんに d = 0 の理論りろんと結合けつごうし、｢相対そうたい的てき」な理論りろんを生成せいせいする。詳細しょうさいはウィッテンにより示しめされ、3-球たま内ないの（枠わく付つき）絡からみ目めの分配ぶんぱい関数かんすうは、まさに適当てきとうな単位たんい根ねに対たいするジョーンズ多項式たこうしきの値ねになる。理論りろんは適当てきとうな円えん分ぶん体からだの上うえで定義ていぎすることができる。境界きょうかいを持もったリーマン面めんを考かんがえると、この理論りろんは、d = 0 に結合けつごうした d = 2 理論りろんの代かわりに、d = 1 の共きょう形かたち理論りろんになっている。この理論りろんはジョーンズ-ウィッテン理論りろんとして発展はってんし、結むすび目め理論りろんと量子りょうし論ろんを結むすぶ契機けいきとなったことが分わかる。

d = 3 の場合ばあいは、ドナルドソンが $SU(2)$ インスタントンのモジュライ空間くうかんを使つかい、微分びぶん可能かのうな 4次元じげん多様たよう体たいの整数せいすう不ふ変量へんりょうを定義ていぎした。これらの不ふ変量へんりょうは第だい二にホモロジーの上うえの多項式たこうしきである。このように4次元じげん多様たよう体たいは、$H_{2}$ の対称たいしょう代数だいすうからなる余剰よじょうなデータを持もっている必要ひつようがある。 (Witten 1988a) はドナルドソン理論りろんを形式けいしき的てきに再現さいげんする超ちょう対称たいしょう性せいを持もつラグランジアンを提示ていじした。ウィッテンの公式こうしきはガウス-ボネの定理ていり(Gauss-Bonnet theorem)の無限むげん次元じげんでの類似るいじと考かんがえることができるかもしれない。後日ごじつ、この理論りろんはさらに発展はってんし、$N=2$ の超ちょう対称たいしょう性せいを持もつ4次元じげんの $SU(2)$ ゲージ理論りろんは、$U(1)$ に還元かんげんできるというサイバーグ-ウィッテン理論りろんとなっていく。この理論りろんのハミルトニアンのバージョンは、フレアーにより3-次元じげん多様たよう体たいの接続せつぞくの作つくる空間くうかんのことばで研究けんきゅうされた。フレアーはジョーンズ-ウィッテン理論りろんのラグランジアンであるチャーン-サイモンズ汎ひろし関数かんすうを使つかい、ハミルトニアンを変形へんけいした。詳細しょうさいは (Atiyah 1988) を参照さんしょうのこと. (Witten 1988a) もまた、どのように d = 3 の理論りろんと d = 1 の理論りろんが互たがいに関連かんれんしているかを示しめしていて、これはジョーンズ-ウィッテン理論りろんの d = 2 と d = 0 の理論りろんの関係かんけいに酷似こくじしている。

さて、固定こていした次元じげんで考かんがえるのではなく、同時どうじに全すべての次元じげんを考かんがえると、位相いそう的場まとばの理論りろんは函はこ手しゅとみなすことができる。

固定こていした時空じくうの場合ばあい

$Bord_{M}$ を、射い(morphism)が M の n 次元じげん部分ぶぶん多様たよう体たいであり、対象たいしょうがそのような部分ぶぶん多様たよう体たいの境界きょうかいの連結れんけつな成分せいぶんであるようなカテゴリとする。M の部分ぶぶん多様たよう体たいを通とおしてホモトピックであれば、2つの射いは同値どうちとみなし、そのことにより商しょうカテゴリを $hBord_{M}$ とすると、$hBord_{M}$ の対象たいしょう(object)は $Bord_{M}$ の対象たいしょうとなり、$hBord_{M}$ の射いは $Bord_{M}$ の射いのホモトピー同値どうち類るいである。M の位相いそう的場まとばの理論りろんとは、$hBord_{M}$ からベクトル空間くうかんのカテゴリへの対称たいしょうモノイダル函はこ手しゅである。

もし、境界きょうかいが一致いっちするのであれば、コボルディズムは互たがいに縫ぬい合あわせて、新あたらしいボルディズムを生成せいせいすることに注意ちゅういすると、コボルディズムのカテゴリの射いの合成ごうせい律りつであることが分わかる。合成ごうせい律りつを保持ほじすることが函はこ手しゅには要求ようきゅうされるので、互たがいに縫ぬい合あわせた射いに対応たいおうする線型せんけい写像しゃぞうは、まさに各々おのおのの部品ぶひんの線型せんけい写像しゃぞうの合成ごうせいに他たならない。

2次元じげんの位相いそう的場まとばの理論りろんのカテゴリと可か換かわなフロベニウス代数だいすうのカテゴリの間あいだにはカテゴリ同値どうちがある。

同時どうじに全すべての n 次元じげん時空じくうを考かんがえる

パンツのペア は(1+1) 次元じげんボルディズムで、2 次元じげんTQFTの積せきもしくは余よ積せきに対応たいおうしている。

全すべての時空じくうを同時どうじに考かんがえる、$hBord_{M}$ をより大おおきなカテゴリで置おき換かえる必要ひつようがある。$Bord_{n}$ をボルディズムのカテゴリとする。すなわち、射いが境界きょうかいを持もった n-次元じげん多様たよう体たいであり、対象たいしょう(object)が n 次元じげん多様たよう体たいの境界きょうかいの連結れんけつ成分せいぶんであるようなカテゴリとする。(任意にんいの $(n-1)$-次元じげん多様たよう体たいが $Bord_{n}$ 対象たいしょう(object)として現あらわれるかもしれない) 上じょうのように、2つの射いが $Bord_{n}$ の中なかで同値どうちとは、それらがホモトピックであり、商しょうカテゴリ $hBord_{n}$ を形成けいせいする場合ばあいをいう。$Bord_{n}$ はそれらの直ちょく和わから作つくられるボルディズムへ2つのボルディズムを持もっていく操作そうさの下したにモノイダル函はこ手しゅである。すると n-次元じげん多様たよう体たい上じょうの位相いそう的場まとばの理論りろんは、$hBord_{n}$ からベクトル空間くうかんのカテゴリへの函はこ手しゅである。そのときは、ベクトル空間くうかんのテンソル積せきをボルディズムの直和なおかずとすることで構成こうせいされる。

例たとえば、(1+1) 次元じげんボルディズム (1次元じげん多様たよう体たいの間あいだの2次元じげんボルディズム)に対たいして、パンツのペアに結むすび付つく写像しゃぞうは、積せきもしくは余よ積せきをもたらし、境界きょうかいの成分せいぶんがどのようにグループ化かされるかとは独立どくりつである – 可か換かわもしくは余よ可か換かわである。一方いっぽう、ディスクに結むすび付ついた写像しゃぞうは、コユニット (トレース) もしくはユニット (スカラー)をもたらし、境界きょうかいのグループ化かとは独立どくりつであるので、(1+1) 次元じげんの位相いそう的場まとばの理論りろんは、フロベニウス代数だいすうに対応たいおうする。

さらに最近さいきん、上記じょうきのボルディズムで関係かんけいづけられた4次元じげん、3次元じげん、2次元じげんの多様たよう体たいを同時どうじに考かんがえることで、豊富ほうふで重要じゅうような例れいが得えられている。

その後ごの発展はってん

位相いそう的場まとばの理論りろんの発展はってんをみると、それが非常ひじょうに多おおくの応用おうようを持もっていることが分わかる。応用おうよう先さきは、サイバーグ-ウィッテン理論りろんや位相いそう的てき弦つる理論りろん、結むすび目め理論りろんと量子りょうし論ろんとの関係かんけいや量子りょうし結むすび目め不ふ変量へんりょうである。さらに、数学すうがくと物理ぶつりの双方そうほうの非常ひじょうに興味深きょうみぶかい対象たいしょうを提供ていきょうしている。

最近さいきんの非常ひじょうに興味きょうみをもたれていることとして、位相いそう的場まとばの理論りろんの非ひ局所きょくしょ作用素さようそがある。(Gukov & Kapustin (2013))　弦つる理論りろんを基本きほん的てきなものとすると、非ひ局所きょくしょ的てきな位相いそう場じょう理論りろんを計算けいさん可能かのうな局所きょくしょ弦つる理論りろんで充分じゅうぶんな近似きんじすることができる非ひ物理ぶつり的てきモデルと見みなすことができる。

参考さんこう文献ぶんけん

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• Witten, Edward (1982), “Super-symmetry and Morse Theory”, J. Diff. Geom. 17: 661–692 
• Schwarz, Albert (2000), TOPOLOGICAL QUANTUM FIELD THEORIES, http://arxiv.org/pdf/hep-th/0011260.pdf 
• Segal, Graeme (2001), “Topological structures in string theory”, The Royal Society 359: 1389-1398, doi:10.1098/rsta.2001.0841, https://doi.org/10.1098/rsta.2001.0841 
• Lurie, Jacob, On the Classification of Topological Field Theories, http://www-math.mit.edu/~lurie/papers/cobordism.pdf 
• Witten, Edward (1988a), “Topological quantum field theory”, Communications in Mathematical Physics 117 (3): 353–386, Bibcode: 1988CMaPh.117..353W, doi:10.1007/BF01223371, MR953828, http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104161738 
• Witten, Edward (1988b), “Topological sigma models”, Communications in Mathematical Physics 118 (3): 411–449, Bibcode: 1988CMaPh.118..411W, doi:10.1007/bf01466725, https://doi.org/10.1007/bf01466725 
• Atiyah, Michael (1988). “New invariants of three and four dimensional manifolds”. Proc. Symp. Pure Math., 48, American Math. Soc. 48: 285–299. 
• Gukov, Sergei; Kapustin, Anton (2013). “Topological Quantum Field Theory, Nonlocal Operators, and Gapped Phases of Gauge Theories”. JHEP. doi:10.48550/arXiv.1307.4793. https://doi.org/10.48550/arXiv.1307.4793.  On arxiv url=http://arxiv.org/abs/1307.4793

• 河野こうの, 俊しゅん丈たけ (1998), “場ばの理論りろんとトポロジー”, 岩波いわなみ講座こうざ　現代げんだい数学すうがくの展開てんかい 

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