Moment

Moment[data,r]

data の r 次じサンプルモーメントを与あたえる．

Moment[data,{r₁,…,r_m}]

data の多た変量へんりょう{r_x,r_y,…}次じモーメントを与あたえる．

Moment[dist,…]

分布ぶんぷ dist のモーメントを与あたえる．

Moment[r]

r 次つぎの形式けいしき的てきなモーメントを表あらわす．

詳細しょうさい

Momentは原点げんてんの周まわりのモーメントとしても知しられている．
次数じすう r のスカラーと data が配列はいれつである場合ばあい：
r 乗じょうの和わ »

列れつごとの r 乗じょうの和わ »

$x in TemplateBox[{Arrays, paclet:ref/Arrays}, RefLink, BaseStyle -> {3ColumnTableMod}][{n_(1),...,n_(k)}]$ 列れつごとの r 乗じょうの和わ »
Moment[x,r]はArrayReduce[Moment[#,r]&,x,1]に等ひとしい．
次数じすう{r₁,…,r_m}のベクトルと data が配列はいれつである場合ばあい：
第だい j 列れつの r 乗じょうの和わ

$x in TemplateBox[{Arrays, paclet:ref/Arrays}, RefLink, BaseStyle -> {3ColumnTableMod}][{n_(1),...,n_(k)}]$ 第だい j 列れつの r 乗じょうの和わ »
Moment[x,{r₁,…,r_m}]はArrayReduce[Moment[#, ${r_1,r_2,...,r_m}$ ]&,x,{{1},{2}}]に等ひとしい．
Momentは数値すうちデータと記号きごうデータの両方りょうほうを扱あつかう．
data は，以下いかの追加ついか的てきな形式けいしきと解釈かいしゃくを持もつことができる．

	Association	値ね（キーは無視むしされる） »
	WeightedData	もとになっているEmpiricalDistributionに基もとづく加重かじゅう平均へいきん »
	EventData	もとになっているSurvivalDistributionに基もとづく »
	TimeSeries, TemporalData, …	値ねのベクトルまたは配列はいれつ（タイムスタンプは無視むしされる） »
	Image,Image3D	RGBチャンネル値ちまたはグレースケールの強度きょうど値ち »
	Audio	すべてのチャンネルの振幅しんぷく値ち »

分布ぶんぷ dist の r 次じモーメントはExpectation[x^r,xdist]で与あたえられる． »
多た変量へんりょう分布ぶんぷ dist の {r₁,…,r_m}次じモーメントはExpectation[x₁^r₁⋯ x_m^r_m,{x₁,…,x_m}dist]で与あたえられる． »
ランダム過程かてい proc については，モーメント関数かんすうは時点じてん t におけるスライス分布ぶんぷSliceDistribution[proc,t]について，μみゅー_r[t]=Moment[SliceDistribution[proc,t],r]として計算けいさんすることができる． »
Moment[r]はMomentConvertやMomentEvaluate等ひとしの関数かんすうで使つかうことができる． »

例題れいだい

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例れい (2)

データからモーメントを計算けいさんする：

記号きごうデータを使つかう：

一いち変量へんりょう分布ぶんぷの二に次じモーメントを計算けいさんする：

多た変量へんりょう分布ぶんぷのモーメント：

スコープ (22)

基本きほん的てきな用法ようほう (6)

厳密げんみつな入力にゅうりょくは厳密げんみつな出力しゅつりょくを与あたえる：

近似きんじ入力にゅうりょくは近似きんじ出力しゅつりょくを与あたえる：

WeightedDataのモーメントを求もとめる：

EventDataのモーメントを求もとめる：

TimeSeriesのモーメントを求もとめる：

モーメントは値ねのみに依存いぞんする：

数量すうりょうを含ふくむデータのモーメントを求もとめる：

配列はいれつデータ (5)

Momentは，行列ぎょうれつについては列れつごとの平均へいきんを与あたえる：

Momentは，配列はいれつについては第だい1レベルの列れつごとの平均へいきんを与あたえる：

配列はいれつについての多た変量へんりょうMoment：

大おおきい配列はいれつに使つかうことができる：

入力にゅうりょくがAssociationのとき，Momentはその値ねに作用さようする：

SparseArrayデータは密みつな配列はいれつのように使つかうことができる：

QuantityArrayのモーメントを求もとめる：

画像がぞうデータと音声おんせいデータ (2)

RGB画像がぞうのチャンネルごとのモーメント：

グレースケール画像がぞうのモーメントの強度きょうど値ち：

Momentは，音声おんせいオブジェクトに対たいしてはチャンネルごとに作用さようする：

分布ぶんぷのモーメントと過程かていのモーメント (5)

一いち変量へんりょう分布ぶんぷのスカラーモーメント：

多た変量へんりょう分布ぶんぷのスカラーモーメント：

多た変量へんりょう分布ぶんぷの結合けつごうモーメント：

記号きごう次数じすう r についてのモーメントを計算けいさんする：

モーメントは特定とくていの次数じすうについてしか評価ひょうかできないことがある：

モーメントは数値すうち評価ひょうかしかできないことがある：

派生はせい分布ぶんぷについてのモーメント：

データ分布ぶんぷについて：

ランダム過程かていについてのモーメント関数かんすう：

時点じてん t=0.5におけるTemporalDataのモーメントを求もとめる：

対応たいおうするモーメント関数かんすうを，すべてのシミュレーションとともに求もとめる：

形式けいしき的てきなモーメント (4)

形式けいしき的てきなモーメントのTraditionalFormによる表示ひょうじ：

形式けいしき的てきなモーメントの組合くみあわせをMomentを含ふくむ式しきに変換へんかんする：

形式けいしき的てきなモーメント μみゅー₂+μみゅー₃ を含ふくむ式しきを分布ぶんぷについて評価ひょうかする：

データについて評価ひょうかする：

Momentを含ふくむ式しきについてのサンプル推定すいてい量りょうを求もとめる：

結果けっかの推定すいてい量りょうをデータについて評価ひょうかする：

アプリケーション (10)

データと時とき系列けいれつのモーメント (3)

大数たいすうの法則ほうそくには，サンプルサイズが大おおきくなるにつれてサンプルモーメントは母集団ぼしゅうだんモーメントに近付ちかづくとある．Histogramを使つかい，さまざまなサンプルサイズについて一様いちよう確かく率りつ変量へんりょうの二に次じサンプルモーメントの確かく率りつ分布ぶんぷを示しめす：

収束しゅうそくプロセスを可視かし化かする：

時どき系列けいれつデータの移動いどうモーンメントを計算けいさんする：

長ながさ.1の窓まどを使つかう：

ランダム過程かていの経路けいろ集合しゅうごうのスライスについてモーメントを計算けいさんする：

いくつかのスライス時間じかんを選えらぶ：

これらの経路けいろ上じょうに第だい4モーメントをプロットする：

モーメント法ほう (3)

モーメント法ほうを使つかって分布ぶんぷの母はは数すうを推定すいていする：

データと推定すいていパラメトリック分布ぶんぷを比較ひかくする：

モーメント法ほうを使つかってGammaDistributionの正規せいき近似きんじを求もとめる：

とがとにいかに依存いぞんしているかを示しめす：

もとの分布ぶんぷと近似きんじされた分布ぶんぷを比較ひかくする：

PearsonDistributionのモーメントは密度みつど関数かんすうの定義ていぎ微分びぶん方程式ほうていしきによって暗示あんじされる3項こうの再帰さいき方程式ほうていしきを満足まんぞくする：

モーメント方程式ほうていしきを証明しょうめいする：

再帰さいき方程式ほうていしきを使つかいPearsonDistributionの母はは数すうをそのモーメントについて表あらわす：

PearsonDistributionをデータにフィットする：

結果けっかの分布ぶんぷのモーメントがデータのモーメントと等ひとしいことを確たしかめる：

モーメントからの確かく率りつ密度みつど関数かんすうの近似きんじ (3)

2つの異ことなる分布ぶんぷがモーメントの同おなじシーケンスを持もつことがある：

両者りょうしゃの密度みつどを対数たいすうスケールで比較ひかくする：

両者りょうしゃのモーメントを計算けいさんする：

両者りょうしゃが非負ひふのすべての整数せいすう次数じすうで等ひとしいことを証明しょうめいする：

六ろく次じでタイプAのGram–Charlier展開てんかいを構築こうちくする：

正せいの領域りょういきにおける単調たんちょうの確かく率りつ密度みつど関数かんすうはによって有界ゆうかいである：

最初さいしょの数次すうじについての指数しすう分布ぶんぷの恒等こうとう式しきを証明しょうめいする：

モーメントからの期待きたい値ち近似きんじ (1)

確かく率りつ変数へんすうの関数かんすうの期待きたい値ちを近似きんじする求もとめ積せき法ほうを求もとめる：

個この最低さいてい次じ直交ちょっこう多項式たこうしきを求もとめる：

正規せいき直交ちょっこう性せいを検証けんしょうする：

求もとめ積せき法ほうの点てんを求もとめる：

次つぎまでの多項式たこうしきで規則きそくが厳密げんみつであるという条件じょうけんで，求もとめ積せき法ほうの重おもみを求もとめる：

の期待きたい値ちの近似きんじを計算けいさんする：

NExpectationでチェックする：

特性とくせいと関係かんけい (8)

次数じすう r のMomentは確かく率りつ変数へんすうの r 乗じょうのExpectationに等ひとしい：

多た変量へんりょうモーメントは，多た変量へんりょう単項式たんこうしきのExpectationに等ひとしい：

一いち次じMomentは一いち変量へんりょう分布ぶんぷのMeanである：

データについても同おなじことが言いえる：

多た変量へんりょう分布ぶんぷのMeanはその一いち変量へんりょう周辺しゅうへん分布ぶんぷのモーメントのリストである：

Momentを単位たんいベクトルで与あたえられる次数じすうとともに使つかうこともできる：

次つぎMomentとの両方りょうほうが存在そんざいする場合ばあい，この2つは等ひとしい：

Momentを直接ちょくせつ使つかう：

GeneratingFunctionを使つかってモーメント母はは関数かんすうを求もとめる：

MomentGeneratingFunctionの直接ちょくせつ評価ひょうかと比較ひかくする：

Momentは，CentralMoment，CumulantあるいはFactorialMomentを使つかって表あらわすことができる：

サンプルモーメントは母集団ぼしゅうだんモーメントの不偏ふへん推定すいてい量りょうである：

ゆえに，推定すいてい量りょうのサンプリング分布ぶんぷ期待きたい値ちは推定すいていモーメントに等ひとしい：

固定こていサイズのサンプルでこれを確たしかめる．サンプルで推定すいてい量りょうを評価ひょうかする：

独立どくりつ同どう分布ぶんぷに従したがう確かく率りつ変数へんすうとを仮定かていして期待きたい値ちを求もとめる：

深度しんどの配列はいれつの多た変量へんりょうモーメントの深度しんどはである：

考かんがえられる問題もんだい (2)

裾すそ部ぶの重おもい分布ぶんぷについては2，3の低てい次つぎモーメントしか定義ていぎできないことがある：

裾すそ部ぶの重おもい分布ぶんぷの中なかにはモーメントが定義ていぎできないものもある：

分布ぶんぷを特徴付とくちょうづけるのに変位へんい値ちがよく用もちいられる：

おもしろい例題れいだい (2)

モーメントの積せきの不偏ふへん推定すいてい量りょうを求もとめる：

GammaDistributionについての特殊とくしゅケースの不偏ふへん性せいをチェックする：

20個こ，100個こ，300個このサンプルについてのMoment推定すいてい値ちの分布ぶんぷ：

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例題れいだい

例れい (2)