排他はいた的てき論理ろんり和わ

排他はいた的てき論理ろんり和わ（はいたてきろんりわ、英えい: exclusive or / exclusive disjunction）とは、ブール論理ろんりや古典こてん論理ろんり、ビット演算えんざんなどにおいて、2つの入力にゅうりょくのどちらか片方かたがたが真しんでもう片方かたがたが偽にせの時ときには結果けっかが真しんとなり、両方りょうほうとも真しんあるいは両方りょうほうとも偽にせの時ときは偽にせとなる演算えんざん（論理ろんり演算えんざん）である。XOR、EOR、EX-OR（エクスオア、エックスオア、エクソア）などと略称りゃくしょうされる。

表記ひょうき法ほう

中置ちゅうち演算えんざん子このある体系たいけいでは、中置ちゅうち演算えんざん子こを利用りようした中置ちゅうち記法きほうにより表記ひょうきされることが多おおい。演算えんざん子こは $\veebar$ (Unicode: U+22BB ⊻)、 ${\dot {\vee }}$ 。誤解ごかいのおそれがないときは、XOR、xor、 $\oplus$ (Unicode: U+2295 ⊕)、+、≠ なども使つかわれる。

論理ろんり学がくなどでは $\veebar$ を使用しようして $P\veebar Q$ と書かくことが多おおく、論理ろんり回路かいろなどでは $\oplus$ を使用しようして $A\oplus B$ と書かくことが多おおい。

プログラミング言語げんご

記号きごうを使つかった中置ちゅうち演算えんざん子ことしては ^ や @ などが使つかわれることが多おおく、キーワードが演算えんざん子こになるような言語げんごでは XOR や xor などが使つかわれることが多おおい。

z = x ^ y;

z = x xor y;

例れい

「私わたしの身長しんちょうは160cm以上いじょうである」と「私わたしの体重たいじゅうは52kg未満みまんである」の二ふたつの命題めいだいの排他はいた的てき論理ろんり和わは、これらのうち一方いっぽうのみが成なり立たつことであるから、「私わたしは身長しんちょう160cm以上いじょうであり体重たいじゅうが52kg以上いじょうである。あるいは、私わたしは身長しんちょう160cm未満みまんであり体重たいじゅうが52kg未満みまんである。」となる。

なお、2つの命題めいだい A, B について共通きょうつう部分ぶぶん A ∧ B が空そら集合しゅうごうであれば、排他はいた的てき論理ろんり和わは論理ろんり和わと同おなじになる。例たとえば A = 「私わたしの身長しんちょうは160cmである」と B = 「私わたしの身長しんちょうは170cmである」は同時どうじに成立せいりつすることはない（共通きょうつう部分ぶぶんが空そらである）ので、(A xor B) は (A ∨ B) と同おなじく「私わたしの身長しんちょうは160cmまたは170cmのいずれか一方いっぽうである」となる。

「対称たいしょう差さ」も参照さんしょう

性質せいしつ

排他はいた的てき論理ろんり和わは、論理ろんり和わ、論理ろんり積せき、否定ひていを用もちいて、

P\veebar Q=(P\land \lnot Q)\lor (\lnot P\land Q)

P\veebar Q=(P\lor Q)\land (\lnot P\lor \lnot Q)

P\veebar Q=(P\lor Q)\land \lnot (P\land Q)

などと表あらわすことができる。

真理しんり値ち表ひょう

命題めいだい P	命題めいだい Q	P ⊻ Q
真しん	真しん	偽にせ
真しん	偽にせ	真しん
偽にせ	真しん	真しん
偽にせ	偽にせ	偽にせ

2を法ほうとする剰余じょうよ体たい $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ での加算かさん（この体からだでは加算かさんと減算げんざんは等ひとしい）は、0 を偽にせ、1 を真しんとみなすと、排他はいた的てき論理ろんり和わとなる。つまり、偶数ぐうすう (0, 偽にせ) どうしまたは奇数きすう (1, 真しん) どうしを加くわえると偶数ぐうすう (0, 偽にせ) になり、偶数ぐうすう (0, 偽にせ) と奇数きすう (1, 真しん) を加くわえると奇数きすう (1, 真しん) になる。

ビットごとの排他はいた的てき論理ろんり和わ

2進数しんすう表現ひょうげんした数値すうちの各かくビットに対たいし、0 を偽にせ、1 を真しんとみなして排他はいた的てき論理ろんり和わを求もとめた結果けっかを、ビットごとの排他はいた的てき論理ろんり和わ、排他はいた的てきビット和わ、または単たんに排他はいた的てき論理ろんり和わと呼よぶ。

⊕	0	1
0	0	1
1	1	0

      P = 0011
      K = 0110
  P ⊕ K = 0101

ビットごとの排他はいた的てき論理ろんり和わは、桁けた上あがりを無視むしした2進数しんすうの加算かさんの結果けっかと等ひとしい。つまり、ビットごとの排他はいた的てき論理ろんり和わは、2 の冪べきを位い数すうとする有限ゆうげん体たい $\mathrm {GF} (2^{n})$ での加減算かげんざん（この体からだでは加算かさんと減算げんざんは等ひとしい）に等ひとしい。（なお、2を法ほうとする剰余じょうよ体たい $\mathbb {Z} /[2]$ は、位くらい数すう2の有限ゆうげん体たい $\mathrm {GF} (2)$ である。）

1 桁けたの2進数しんすうの排他はいた的てき論理ろんり和わは、半はん加算かさん器きの一部いちぶである。

排他はいた的てき論理ろんり和わとビットごとの排他はいた的てき論理ろんり和わとは、異ことなることがある。0（偽にせ）と 1（真しん）については、排他はいた的てき論理ろんり和わとビットごとの排他はいた的てき論理ろんり和わは等ひとしい。しかし、0 でない値ねが全すべて真しんとみなされる環境かんきょうや、0 でない値ねが真しん (1) に暗黙あんもくの型かた変換へんかんされる環境かんきょうでは、0 と 1 以外いがいの値ねに対たいしても（ビットごとでない）排他はいた的てき論理ろんり和わを求もとめることができ、結果けっかは一般いっぱんにはビットごとの排他はいた的てき論理ろんり和わとは異ことなるので注意ちゅういが必要ひつようである。

ビット演算えんざん

ビットごとの排他はいた的てき論理ろんり和わは、コンピュータ上じょうでビット演算えんざんを行おこなっている場合ばあいに、特定とくていのビットだけを反転はんてんさせるのによく用もちいられる。ある数値すうちと、その数値すうちのビットを反転はんてんさせたい部分ぶぶんを 1 にした数値すうちとの排他はいた的てき論理ろんり和わをとると、指定していした部分ぶぶんが反転はんてんした数値すうちが得えられる:

0011_{(2)}\oplus 0110_{(2)}=0101_{(2)}

多おおくのプロセッサで、レジスタをゼロにする場合ばあいに、直接ちょくせつゼロをレジスタへ転送てんそうするより、自分じぶん自身じしんとのXORをとってゼロとするほうが有利ゆうりな場合ばあいがある。

X\oplus X=0

主おもに以下いかの条件じょうけんが成立せいりつする場合ばあい、言語げんご処理しょり系けいが最適さいてき化かの一環いっかんとしてXORを用もちいる。

即値そくちのゼロを省略しょうりゃくすることにより、コードサイズが削減さくげんできる。
処理しょりがレジスタとALUのみで完結かんけつするので、サイクル数すうや消費しょうひ電力でんりょくが削減さくげんできる。
XOR演算えんざんによるフラグ変化へんかがその後ごの処理しょりに不利ふりな影響えいきょうを残のこさない。

ビットごとの排他はいた的てき論理ろんり和わによって、多数たすうの入力にゅうりょくにおける偽にせの個数こすうの奇数きすう・偶数ぐうすう（パリティ）が検出けんしゅつできるので、誤あやまり検出けんしゅつに用もちいられる。この目的もくてきで排他はいた的てき論理ろんり和わ（論理ろんりゲート）を樹き枝えだ状じょうに接続せつぞくした回路かいろをパリティツリーという。

ビットごとの排他はいた的てき論理ろんり和わは特定とくていビットの反転はんてん操作そうさなので、2回かい繰くり返かえせば元もとに戻もどる。つまり

(P\oplus K)\oplus K=P

これは、結合けつごう法則ほうそくによって、次つぎのとおりに証明しょうめいできる。

(P\oplus K)\oplus K=P\oplus (K\oplus K)=P

この性質せいしつは便利べんりであって、さまざまな応用おうようがある。単純たんじゅんなものでは、（現代げんだいでは有用ゆうよう性せいはほとんどないが）2個このレジスタの内容ないようを他たの資源しげんを使つかわず交換こうかんできる「XOR交換こうかんアルゴリズム」があり、データ構造こうぞうでは「XOR連結れんけつリスト」がある。

暗号あんごう

$K$ を鍵かぎとする暗号あんごうに使つかうこともできる。平文へいぶんを $P$ とすると、 $P\oplus K$ を暗号あんごう文ぶんとすることができる。

先さきの例れいでいえば、平文へいぶん $0011_{(2)}$ が鍵かぎ $0110_{(2)}$ を使つかって暗号あんごう文ぶん $0101_{(2)}$ に変換へんかんされ、次つぎのとおり同一どういつの鍵かぎを使つかって暗号あんごう文ぶんから平文へいぶんに復号ふくごうできる。

0101_{(2)}\oplus 0110_{(2)}=0011_{(2)}

バーナム暗号あんごうは、この性質せいしつを利用りようした暗号あんごうである。一般いっぱんに鍵かぎ交換こうかん問題もんだいがあることから、短みじかい鍵かぎを元もとにした何なんらかの数列すうれつを使つかうことも多おおいが、ワンタイムパッドによるバーナム暗号あんごうには原文げんぶんと同おなじ長ながさの鍵かぎ（そのような大量たいりょうの情報じょうほう量りょうをもつものは、もはや運用うんよう上じょうは「鍵かぎ」とはいえないが）が必要ひつようである。解読かいどくが絶対ぜったいに不可能ふかのう（理論りろん的てきに、どのような解読かいどく結果けっかも同様どうように確たしからしいものになってしまう）という意味いみでは最強さいきょうの暗号あんごうであるが、暗号あんごうの利用りようは運用うんようの面めんも含ふくめて総合そうごう的てきに判断はんだんしなければならないものであり、鍵かぎの事前じぜん共有きょうゆうとその秘匿ひとくに必要ひつような多大ただいなコストが大おおきな難点なんてんである。

その他た

排他はいた的てき論理ろんり和わと2進数しんすう表記ひょうきを用もちいて、三みっつ山崩やまくずれし（ニム）の必勝ひっしょう法ほうを導みちびくことができる。

表ひょう話はなし編へん歴れき論理ろんり演算えんざん
恒つね真しん式しき ( $\top$ )
NAND ( $\uparrow$ ) 逆ぎゃく含意がんい ( $\leftarrow$ ) IMP ( $\rightarrow$ ) OR ( $\lor$ )
否定ひてい ( $\neg$ ) XOR ( $\oplus$ ) 同値どうち ( $\leftrightarrow$ ) 命題めいだい
NOR ( $\downarrow$ ) 非ひ含意がんい ( $\nrightarrow$ ) 逆ぎゃく非ひ含意がんい ( $\nleftarrow$ ) AND ( $\land$ )
矛盾むじゅん ( $\bot$ )