本条 ほんじょう 目 め 中 ちゅう ,向 むかい 量 りょう 與 あずか 标量 分別 ふんべつ 用 よう 粗 そ 體 からだ 與 あずか 斜體 しゃたい 顯示 けんじ 。例 れい 如,位置 いち 向 こう 量 りょう 通 どおり 常用 じょうよう
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
表示 ひょうじ ;而其大小 だいしょう 則 そく 用 よう
r
{\displaystyle r\,\!}
來 らい 表示 ひょうじ 。
波 なみ 尔兹曼动力学 りきがく 方 かた 程 ほど 在 ざい 众多近似 きんじ 模型 もけい (从微观动力学 りきがく 到 いた 宏 ひろし 观连续介质动力学 りきがく )中 ちゅう 所 しょ 处的位置 いち [1] 。
玻尔兹曼方 かた 程 ほど 或 ある 玻尔兹曼输运方 かた 程 ほど (Boltzmann transport equation ,BTE )是 ぜ 由 ゆかり 玻尔兹曼 于1872年 ねん 提出 ていしゅつ 的 てき 一 いち 个方程 ほど ,用 よう 于描述 じゅつ 非 ひ 平衡 へいこう 状 じょう 态热力学 がく 系 けい 统 的 てき 统计行 ぎょう 为[2] 。具有 ぐゆう 溫度 おんど 梯 はしご 度 ど 的 てき 流体 りゅうたい 即 そく 为这类系统的一个经典的例子:构成流体 りゅうたい 的 てき 微粒 びりゅう 在 ざい 系 けい 统中通 どおり 过随机 つくえ 而具有 ぐゆう 偏向 へんこう 性 せい 的 てき 运动让热量 从较热的区域 くいき 流 りゅう 向 こう 较冷的 てき 区域 くいき ,而这一过程可用玻尔兹曼方程来描述。在 ざい 现今的 てき 论文中 ちゅう ,“玻尔兹曼方 かた 程 ほど ”这个术语常 つね 被 ひ 用 よう 于更一般 いっぱん 的 てき 意 い 义上,它可以是任 にん 何 なん 涉 わたる 及描述 じゅつ 热力学 がく 系 けい 统 中 なか 宏 ひろし 观量(如能量 りょう ,电荷或 ある 粒子 りゅうし 数 すう )的 てき 变化的 てき 动力学 がく 方 かた 程 ほど 。
波 なみ 尔兹曼方程 ほど 并不去 さ 确定流体 りゅうたい 中 ちゅう 每 まい 个粒子 りゅうし 的 てき 位置 いち 和 わ 动量 ,而是求 もとめ 出 で 具有 ぐゆう 特定 とくてい 位置 いち 和 わ 动量的 てき 粒子 りゅうし 的 てき 概 がい 率 りつ 分布 ぶんぷ 。具体 ぐたい 而言,考 こう 虑某一瞬 いっしゅん 间,以位置 いち 矢 や 量 りょう
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
末端 まったん 为中心 ちゅうしん 的 てき 无穷小 しょう 区域 くいき 内 ない ,动量无限接近 せっきん 动量矢 や 量 りょう
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
(即 そく 这些粒子 りゅうし 在 ざい 动量空 そら 间 中也 ちゅうや 处于无穷小 しょう 区域 くいき
d
3
p
{\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }
内 うち )的 てき 粒子 りゅうし 的 てき 概 がい 率 りつ 分布 ぶんぷ 。
波 なみ 尔兹曼方程 ほど 可用 かよう 于确定 じょう 物理 ぶつり 量 りょう 是 これ 如何 いか 变化的 てき ,例 れい 如流体 りゅうたい 在 ざい 输运过程中 ちゅう 的 てき 热能和 わ 动量;还可由 よし 此推导出其他的 てき 流体 りゅうたい 特 とく 征 せい 性 せい 质,例 れい 如黏度 ,熱 ねつ 導 しるべ 率 りつ ,以及电阻率 りつ (将 はた 材料 ざいりょう 中 ちゅう 的 てき 载流子 こ 视为气体)[2] ,详见对流扩散方程式 ほうていしき 。
波 なみ 尔兹曼方程 ほど 是 ぜ 一 いち 个非 ひ 線 せん 性 せい 的 てき 积微分 びぶん 方 かた 程 ほど 。方 ほう 程 ほど 中 なか 的 てき 未知 みち 函数 かんすう 是 ぜ 一个包含了粒子空间位置和动量的六维概 がい 率 りつ 密度 みつど 函数 かんすう 。方 ほう 程 ほど 解 かい 的 てき 存在 そんざい 性 せい 和 わ 唯一 ゆいいつ 性 せい 问题仍然没 ぼつ 有 ゆう 完全 かんぜん 解 かい 决,但 ただし 就最近 さいきん 发表的 てき 一 いち 些工作 こうさく 而言,对于解 かい 决这一问题还是有一定希望的。[3] [4]
系 けい 统中所有 しょゆう 可能 かのう 的 てき 位置 いち
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
和 かず 动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
组成的 てき 集合 しゅうごう 被 ひ 称 しょう 作 さく 此系统的相 あい 空 そら 间 ,其中位置 いち 坐 すわ 标记为
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
,动量坐 すわ 标记为
p
x
,
p
y
,
p
z
{\displaystyle p_{x},p_{y},p_{z}}
。整 せい 个空间是六 ろく 维 的 てき :空 そら 间中某 ぼう 一点的坐标可表示为
(
r
,
p
)
=
(
x
,
y
,
z
,
p
x
,
p
y
,
p
z
)
{\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {p} )=(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z})}
,每 まい 个坐标均通 どおり 过时间
t
{\displaystyle t}
参 さん 数 すう 化 か 。微 ほろ 元 もと (或 ある 微分 びぶん 体 たい 积元)可 か 写 うつし 作 さく :
d
3
r
d
3
p
=
d
x
d
y
d
z
d
p
x
d
p
y
d
p
z
{\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}\ }
波 なみ 尔兹曼方程 ほど 的 てき 核心 かくしん 是 ぜ “
f
{\displaystyle f}
”函数 かんすう ,它表示 ひょうじ 的 てき 是 ぜ 在 ざい 一段极短的时间内,每 ごと 一相空间单位体积中的
N
{\displaystyle N}
个分子 ぶんし 在 ざい 微 ほろ 元 もと
d
3
r
d
3
p
{\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }
中 なか ,位置 いち 都 と 为
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
且动量 りょう 都 と 为
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
的 てき 概 がい 率 りつ 。通 つう 过定义,我 わが 们可使 し 概 がい 率 りつ 密度 みつど 函数 かんすう
f
(
r
,
p
,
t
)
{\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}
满足以下 いか 条件 じょうけん :
d
N
=
f
(
r
,
p
,
t
)
d
3
r
d
3
p
{\displaystyle dN=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }
d
N
{\displaystyle dN}
被 ひ 定 てい 义为在 ざい 时间
t
{\displaystyle t}
,位 い 于
(
r
,
p
)
{\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {p} )}
的 てき 空 そら 间元
d
3
r
d
3
p
{\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }
中 なか 的 てき 粒子 りゅうし 总数[5] :61-62 。对坐标空间与动量空 そら 间的一 いち 个区域 くいき 积分即 そく 可 か 得 とく 该区域内 いきない 所有 しょゆう 具有 ぐゆう 对应位置 いち 和 わ 动量的 てき 粒子 りゅうし 的 てき 总数:
N
=
∫
p
o
s
i
t
i
o
n
s
d
3
r
∫
m
o
m
e
n
t
a
d
3
p
f
(
r
,
p
,
t
)
=
∭
p
o
s
i
t
i
o
n
s
∭
m
o
m
e
n
t
a
f
(
x
,
y
,
z
,
p
x
,
p
y
,
p
z
,
t
)
d
x
d
y
d
z
d
p
x
d
p
y
d
p
z
{\displaystyle N=\int \limits _{\mathrm {positions} }d^{3}\mathbf {r} \int \limits _{\mathrm {momenta} }d^{3}\mathbf {p} \,f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=\iiint \limits _{\mathrm {positions} }\quad \iiint \limits _{\mathrm {momenta} }f(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)\,dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}}
虽然
f
{\displaystyle f}
是 ぜ 和 わ 一 いち 群 ぐん 粒子 りゅうし 相 しょう 关的,但 ただし 此相空 そら 间是对于单一 粒子 りゅうし 的 てき (而不是 ぜ 像 ぞう 多 た 体系 たいけい 统中考 こう 虑全部 ぶ 粒子 りゅうし )。这里不 ふ 使用 しよう r 1 , p 1 表示 ひょうじ 粒子 りゅうし 1,r 2 , p 2 表示 ひょうじ 粒子 りゅうし 2,……,r N , p N 表示 ひょうじ 粒子 りゅうし N。
系 けい 统中的 てき 粒子 りゅうし 被 ひ 假定 かてい 是 ぜ 相 あい 同 どう 的 てき (因 いん 此他们均有 ゆう 相 しょう 同 どう 的 てき 质量
m
{\displaystyle m}
)。对于具有 ぐゆう 超 ちょう 过一种化学组分的混合物,每 ごと 一种成分都需要有一个分布函数,见下文 ぶん 。
方 ほう 程 ほど 的 てき 一般形式可以写作:[6]
d
f
d
t
=
(
∂
f
∂
t
)
f
o
r
c
e
+
(
∂
f
∂
t
)
d
i
f
f
+
(
∂
f
∂
t
)
c
o
l
l
{\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {force} }+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {diff} }+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }}
这里“force”一词指的是外部对粒子施加的力(而不是 ぜ 粒子 りゅうし 间的作用 さよう ),“diff”表示 ひょうじ 粒子 りゅうし 的 てき 扩散 ,“coll”表示 ひょうじ 粒子 りゅうし 的 てき 碰撞 ,指 ゆび 的 てき 是 ぜ 碰撞中 ちゅう 粒子 りゅうし 间相互 そうご 的 てき 作用 さよう 力 りょく 。上述 じょうじゅつ 三项的具体形式将会在下文给出。[6]
注意 ちゅうい ,一些作者会使用粒子的速度
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
,来 らい 代替 だいたい 上 じょう 文 ぶん 的 てき
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
;这两个物理 ぶつり 量 りょう 可 か 以通过定义
p
=
m
v
{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }
来 らい 联系。
考 こう 虑一群 ぐん 以
f
{\displaystyle f}
分布 ぶんぷ 的 てき 粒子 りゅうし 。每 まい 个粒子 こ 均 ひとし 受到外力 がいりょく
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
的 てき 作用 さよう (不 ふ 包括 ほうかつ 粒子 りゅうし 间作用 よう 力 りょく 。粒子 りゅうし 间的作用 さよう 见后面 めん 对“coll”项的处理)。
假 かり 设在时间
t
{\displaystyle t}
,一定数量的粒子都有位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
(于微元 もと
d
3
r
{\displaystyle d^{3}\mathbf {r} }
内 うち ),和 かず 动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
(于微元 もと
d
3
p
{\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }
内 うち )。如果此时有 ゆう 一 いち 个力
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
在 ざい 这一瞬作用在每个颗粒上,那 な 么在时间
t
+
Δ でるた
t
{\displaystyle t+\Delta \,t}
,它们的 てき 位置 いち 将 しょう 会 かい 是 ぜ
r
+
Δ でるた
r
=
r
+
p
Δ でるた
t
/
m
{\displaystyle \mathbf {r} +\Delta \,\mathbf {r} =\mathbf {r} +\mathbf {p} \Delta \,t/m}
,动量将 はた 变成
p
+
Δ でるた
p
=
p
+
F
Δ でるた
t
{\displaystyle \mathbf {p} +\Delta \,\mathbf {p} =\mathbf {p} +\mathbf {F} \Delta \,t}
。在 ざい 没 ぼつ 有 ゆう 碰撞的 てき 情 じょう 况下,
f
{\displaystyle f}
必须满足
f
(
r
+
p
m
Δ でるた
t
,
p
+
F
Δ でるた
t
,
t
+
Δ でるた
t
)
d
3
r
d
3
p
=
f
(
r
,
p
,
t
)
d
3
r
d
3
p
{\displaystyle f\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\Delta t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \Delta t,t+\Delta t\right)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }
这里,注意 ちゅうい 到 いた 相 あい 空 そら 间元
d
3
r
d
3
p
{\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }
是 ぜ 恒 つね 定 じょう 的 てき 这个事 ごと 实可以从哈密顿方程 ほど (见刘维尔定理 ていり )得知 とくち 。然 しか 而,由 ゆかり 于存在 そんざい 碰撞,相 そう 空 そら 间元
d
3
r
d
3
p
{\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }
中 なか 的 てき 粒子 りゅうし 密度 みつど 是 ぜ 可 か 变的,所以 ゆえん
d
N
c
o
l
l
=
(
∂
f
∂
t
)
c
o
l
l
Δ でるた
t
d
3
r
d
3
p
=
f
(
r
+
p
m
Δ でるた
t
,
p
+
F
Δ でるた
t
,
t
+
Δ でるた
t
)
d
3
r
d
3
p
−
f
(
r
,
p
,
t
)
d
3
r
d
3
p
=
Δ でるた
f
d
3
r
d
3
p
{\displaystyle {\begin{aligned}dN_{\mathrm {coll} }&=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }\Delta td^{3}\mathbf {r} d^{3}\mathbf {p} \\&=f\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\Delta t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \Delta t,t+\Delta t\right)d^{3}\mathbf {r} d^{3}\mathbf {p} -f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)d^{3}\mathbf {r} d^{3}\mathbf {p} \\&=\Delta fd^{3}\mathbf {r} d^{3}\mathbf {p} \end{aligned}}}
1
其中
Δ でるた
f
{\displaystyle \Delta f}
指 ゆび 的 てき 是 ぜ
f
{\displaystyle f}
的 てき 总变化 か 量 りょう 。(1 )式 しき 除 じょ 以
d
3
r
d
3
p
Δ でるた
t
{\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} \,\Delta t}
并取极限
Δ でるた
t
→
0
{\displaystyle \Delta t\,\rightarrow 0}
和 わ
Δ でるた
f
→
0
{\displaystyle \Delta f\,\rightarrow 0}
可 か 得 とく
d
f
d
t
=
(
∂
f
∂
t
)
c
o
l
l
{\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }}
2
f
{\displaystyle f}
的 てき 全 ぜん 微分 びぶん :
d
f
=
∂
f
∂
t
d
t
+
(
∂
f
∂
x
d
x
+
∂
f
∂
y
d
y
+
∂
f
∂
z
d
z
)
+
(
∂
f
∂
p
x
d
p
x
+
∂
f
∂
p
y
d
p
y
+
∂
f
∂
p
z
d
p
z
)
=
∂
f
∂
t
d
t
+
∇
f
⋅
d
r
+
∂
f
∂
p
⋅
d
p
=
∂
f
∂
t
d
t
+
∇
f
⋅
p
d
t
m
+
∂
f
∂
p
⋅
F
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}df&={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}dz\right)+\left({\frac {\partial f}{\partial p_{x}}}dp_{x}+{\frac {\partial f}{\partial p_{y}}}dp_{y}+{\frac {\partial f}{\partial p_{z}}}dp_{z}\right)\\&={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+\nabla f\cdot d\mathbf {r} +{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot d\mathbf {p} \\&={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+\nabla f\cdot {\frac {\mathbf {p} dt}{m}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} dt\end{aligned}}}
3
其中 ∇ 为梯 はしご 度 ど 算 さん 符 ふ ,· 为点 てん 积 ,
∂
f
∂
p
=
e
^
x
∂
f
∂
p
x
+
e
^
y
∂
f
∂
p
y
+
e
^
z
∂
f
∂
p
z
=
∇
p
f
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\mathbf {\hat {e}} _{x}{\frac {\partial f}{\partial p_{x}}}+\mathbf {\hat {e}} _{y}{\frac {\partial f}{\partial p_{y}}}+\mathbf {\hat {e}} _{z}{\frac {\partial f}{\partial p_{z}}}=\nabla _{\mathbf {p} }f}
是 ぜ ∇的 てき 动量类比的 てき 一 いち 个简写 うつし ,ê x , ê y , ê z 为笛 ふえ 卡尔坐标系下 した 的 てき 单位矢 や 量 りょう 。
对(3 )两边同 どう 除 じょ 以dt 并代入 だいにゅう (2 )可 か 得 とく :
∂
f
∂
t
+
p
m
⋅
∇
f
+
F
⋅
∂
f
∂
p
=
(
∂
f
∂
t
)
c
o
l
l
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }}
这里,
F
(
r
,
t
)
{\displaystyle F(\mathbf {r} ,t)}
为流体 たい 中 ちゅう 作用 さよう 在 ざい 粒子 りゅうし 上 じょう 的 てき 力 ちから 场 ,
m
{\displaystyle m}
为粒子 りゅうし 质量 。 右 みぎ 边的一项用于描述粒子间相互碰撞产生的影响;如果此项为零,则说明 あかり 粒子 りゅうし 之 の 间没有 ゆう 碰撞。无碰撞情况下的 てき 玻尔兹曼方 かた 程 ほど 常 つね 被 ひ 称 しょう 为弗 どる 拉 ひしげ 索 さく 夫 おっと 方程式 ほうていしき 。
这个方 かた 程 ほど 比 ひ 上 じょう 一 いち 节“主要 しゅよう 论述”中 ちゅう 的 てき 一般 いっぱん 形式 けいしき 更 さら 加 か 有用 ゆうよう 。然 しか 而这个方程 ほど 依 よ 旧 きゅう 是 ぜ 不 ふ 完 かん 整 せい 的 てき :除 じょ 非 ひ 已 やめ 知 ち
f
{\displaystyle f}
中 なか 的 てき 碰撞项,否 いや 则
f
{\displaystyle f}
是 ぜ 解 かい 不出来 ふでき 的 てき 。这一项并不像其他项一样可以简单地或一般地得到——这一项是表示粒子的碰撞的统计项 ,需要 じゅよう 知道 ともみち 粒子 りゅうし 遵守 じゅんしゅ 怎样的 てき 统计规律,例 れい 如麦 むぎ 克 かつ 斯韦-玻尔兹曼分布 ぶんぷ ,费米-狄拉克 かつ 分布 ぶんぷ 或 ある 玻色–爱因斯坦分布 ぶんぷ 。
碰撞项(Stosszahlansatz)和 かず 分子 ぶんし 混沌 こんとん [ 编辑 ]
玻尔兹曼 的 てき 一个关键见解就是对碰撞项的确定。他 た 假 かり 设的碰撞项完全 ぜん 是 ぜ 由 よし 假定 かてい 在 ざい 碰撞前 ぜん 不 ふ 相 あい 关的两个粒子 りゅうし 的 てき 相互 そうご 碰撞得 え 到 いた 的 てき 。这个假 かり 设被波 は 尔兹曼称为“Stosszahlansatz”,也叫做“分子 ぶんし 混沌 こんとん 假 かり 设 ”。根 ね 据 すえ 这一假 かり 设,碰撞项可以被写 うつし 作 さく 单粒子 りゅうし 分布 ぶんぷ 函数 かんすう 的 てき 乘 じょう 积在动量空 そら 间上的 てき 积分:[2]
(
∂
f
∂
t
)
c
o
l
l
=
∬
g
I
(
g
,
Ω おめが
)
[
f
(
p
′
A
,
t
)
f
(
p
′
B
,
t
)
−
f
(
p
A
,
t
)
f
(
p
B
,
t
)
]
d
Ω おめが
d
3
p
A
d
3
p
B
.
{\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }=\iint gI(g,\Omega )[f(\mathbf {p'} _{A},t)f(\mathbf {p'} _{B},t)-f(\mathbf {p} _{A},t)f(\mathbf {p} _{B},t)]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p} _{A}\,d^{3}\mathbf {p} _{B}.}
其中
p
A
{\displaystyle \mathbf {p} _{A}}
和 わ
p
B
{\displaystyle \mathbf {p} _{B}}
表示 ひょうじ 碰撞前 ぜん 任意 にんい 两个粒子 りゅうし 的 てき 动量(为了方便 ほうべん 而标记为
A
{\displaystyle A}
和 わ
B
{\displaystyle B}
),
p
A
′
{\displaystyle \mathbf {p} '_{A}}
和 わ
p
B
′
{\displaystyle \mathbf {p} '_{B}}
表示 ひょうじ 碰撞后 きさき 的 てき 动量
g
=
|
p
B
−
p
A
|
=
|
p
′
B
−
p
′
A
|
{\displaystyle g=|\mathbf {p} _{B}-\mathbf {p} _{A}|=|\mathbf {p'} _{B}-\mathbf {p'} _{A}|}
指 ゆび 对应动量的 てき 大小 だいしょう (此概念 がいねん 参考 さんこう 相 あい 对速度 そくど ),
I
(
g
,
Ω おめが
)
{\displaystyle I(g,\Omega )}
是 ぜ 碰撞的 てき 微 ほろ 分散 ぶんさん 射 い 截面 。
求 もとめ 解 かい 波 は 尔兹曼方程 ほど 时,许多挑战都 と 来 らい 自 じ 于其复杂的 てき 碰撞项;因 いん 此我们会做一些对碰撞项“建 けん 模 も ”和 かず 简化的 てき 尝试。现知最 さい 好 このみ 的 てき 模型 もけい 是 ぜ 由 ゆかり Bhatnagar,Gross和 わ Krook作出 さくしゅつ 的 てき (BGK近似 きんじ )[7] 。BGK近似 きんじ 中 ちゅう 假 かり 设分子 ぶんし 的 てき 碰撞会 かい 迫 はさま 使 し 一 いち 个物理 ぶつり 空 そら 间中的 てき 某 ぼう 一点的非平衡分布函数回到麦克斯韦平衡分布函数,且其发生率 りつ 正 せい 比 ひ 于分子 ぶんし 碰撞频率。于是,波 は 尔兹曼方程 ほど 可 か 被 ひ 写 うつし 作 さく 以下 いか 的 てき BGK形式 けいしき :(也叫做“驰豫时间近似 きんじ ”,relaxation time approximation[8] )
∂
f
∂
t
+
p
m
⋅
∇
f
+
F
⋅
∂
f
∂
p
=
ν にゅー
(
f
0
−
f
)
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\nu (f_{0}-f)}
其中
ν にゅー
{\displaystyle \nu }
是 ぜ 分子 ぶんし 碰撞频率,和 わ 驰豫时间
τ たう
{\displaystyle \tau }
具有 ぐゆう 倒 たおせ 数 すう 关系:
ν にゅー
=
1
/
τ たう
{\displaystyle \nu =1/\tau }
。
f
0
{\displaystyle f_{0}}
是 ぜ 此处局 きょく 域 いき 的 てき 麦 むぎ 克 かつ 斯韦分布 ぶんぷ 函数 かんすう ,由 ゆかり 空 そら 间中这一点的气体温度给定。
普 ひろし 适方程 ほど (对于混合 こんごう 物 ぶつ )[ 编辑 ]
对于具有 ぐゆう 多 た 种化学 がく 组分的 てき 混合 こんごう 物 ぶつ ,我 わが 们以 i =1,2,3,……,n 标记各 かく 种成分 ぶん 。则对于组分 ぶん i的 てき 方 かた 程 ほど 是 ぜ :[2]
∂
f
i
∂
t
+
p
i
m
i
⋅
∇
f
i
+
F
⋅
∂
f
i
∂
p
i
=
(
∂
f
i
∂
t
)
c
o
l
l
{\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m_{i}}}\cdot \nabla f_{i}+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }}
其中
f
i
=
f
i
(
r
,
p
i
,
t
)
{\displaystyle f_{i}=f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p_{i}} ,t)}
。碰撞项为
(
∂
f
i
∂
t
)
c
o
l
l
=
∑
j
=
1
n
∬
g
i
j
I
i
j
(
g
i
j
,
Ω おめが
)
[
f
i
′
f
j
′
−
f
i
f
j
]
d
Ω おめが
d
3
p
′
.
{\displaystyle \left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }=\sum _{j=1}^{n}\iint g_{ij}I_{ij}(g_{ij},\Omega )[f'_{i}f'_{j}-f_{i}f_{j}]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p'} .}
其中
f
′
=
f
′
(
p
i
′
,
t
)
{\displaystyle f'=f'(\mathbf {p_{i}'} ,t)}
,相 あい 对动量的 りょうてき 大小 だいしょう 是 ぜ
g
i
j
=
|
p
i
−
p
j
|
=
|
p
′
i
−
p
′
j
|
{\displaystyle g_{ij}=|\mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{j}|=|\mathbf {p'} _{i}-\mathbf {p'} _{j}|}
Iij 是 ぜ 粒子 りゅうし i和 わ 粒子 りゅうし j之 の 间的微 ほろ 分散 ぶんさん 射 い 截面。此积分 ぶん 的 てき 和 わ 描述的 てき 是 ぜ 某 ぼう 一 いち 相 そう 空 そら 间元中 ちゅう ,组分i粒子 りゅうし 的 てき 进出。
玻尔兹曼方 かた 程 ほど 可用 かよう 于推导流体 りゅうたい 动力学 がく 中 ちゅう 的 てき 质量守恒 もりつね ,电量守恒 もりつね ,动量守恒 もりつね ,以及能 のう 量 りょう 守恒 もりつね 定律 ていりつ [9] :p 163 。对于只 ただ 含有 がんゆう 一 いち 种粒子 りゅうし 的 てき 流体 りゅうたい ,粒子 りゅうし 数 すう 密度 みつど
n
{\displaystyle n}
为:
n
=
∫
f
d
3
p
{\displaystyle n=\int f\,d^{3}p}
算 さん 符 ふ A 的 てき 期 き 望 もち 值由下 か 式 しき 给出:
⟨
A
⟩
=
1
n
∫
A
f
d
3
p
{\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{n}}\int Af\,d^{3}p}
由 よし 于守恒 つね 方 かた 程 ほど 中 ちゅう 包含 ほうがん 张量 ,以下 いか 使用 しよう 爱因斯坦求 もとめ 和 わ 约定 简化标记,即 そく
x
→
x
i
{\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow x_{i}}
且
p
→
p
i
=
m
w
i
{\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow p_{i}=mw_{i}}
,其中
w
i
{\displaystyle w_{i}}
为粒子 りゅうし 速度 そくど 矢 や 量 りょう 。定 てい 义某函数 かんすう
g
(
p
i
)
{\displaystyle g(p_{i})}
,使 つかい 得 とく 其唯一的自变量为动量
p
i
{\displaystyle p_{i}}
(碰撞中 ちゅう 动量守恒 もりつね )。假 かり 设力
F
i
{\displaystyle F_{i}}
为位置 いち 的 てき 函数 かんすう ,且对于
p
i
→
±
∞
{\displaystyle p_{i}\rightarrow \pm \infty }
,
f
{\displaystyle f}
为0。对玻尔兹曼方程 ほど 两边同乘 どうじょう
g
{\displaystyle g}
,并对动量积分可 か 得 とく 如下四 よん 项:
∫
g
∂
f
∂
t
d
3
p
=
∂
∂
t
(
n
⟨
g
⟩
)
{\displaystyle \int g{\frac {\partial f}{\partial t}}\,d^{3}p={\frac {\partial }{\partial t}}(n\langle g\rangle )}
∫
p
j
g
m
∂
f
∂
x
j
d
3
p
=
1
m
∂
∂
x
j
(
n
⟨
g
p
j
⟩
)
{\displaystyle \int {\frac {p_{j}g}{m}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\,d^{3}p={\frac {1}{m}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n\langle gp_{j}\rangle )}
∫
g
F
j
∂
f
∂
p
j
d
3
p
=
−
n
F
j
⟨
∂
g
∂
p
j
⟩
{\displaystyle \int gF_{j}{\frac {\partial f}{\partial p_{j}}}\,d^{3}p=-nF_{j}\left\langle {\frac {\partial g}{\partial p_{j}}}\right\rangle }
∫
g
(
∂
f
∂
t
)
c
o
l
l
d
3
p
=
0
{\displaystyle \int g\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }\,d^{3}p=0}
因 いん 为
g
{\displaystyle g}
在 ざい 碰撞中 ちゅう 守恒 もりつね ,所以 ゆえん 最 さい 后 きさき 一 いち 项为零 れい 。
令 れい
g
=
m
{\displaystyle g=m}
,即 そく 粒子 りゅうし 质量,积分后 きさき 的 てき 玻尔兹曼方 かた 程 ほど 化 か 为质量 りょう 守恒 もりつね 方 かた 程 ほど [9] :pp 12,168 :
∂
∂
t
ρ ろー
+
∂
∂
x
j
(
ρ ろー
V
j
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho +{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{j})=0}
ρ ろー
=
m
n
{\displaystyle \rho =mn}
为质量 りょう 密度 みつど ,
V
i
=
⟨
w
i
⟩
{\displaystyle V_{i}=\langle w_{i}\rangle }
为平均 へいきん 流体 りゅうたい 速度 そくど 。
令 れい
g
=
m
w
i
{\displaystyle g=mw_{i}}
,即 そく 粒子 りゅうし 动量,积分后 きさき 的 てき 玻尔兹曼方 かた 程 ほど 化 か 为动量 りょう 守恒 もりつね 方 かた 程 ほど [9] :pp 15,169 :
∂
∂
t
(
ρ ろー
V
i
)
+
∂
∂
x
j
(
ρ ろー
V
i
V
j
+
P
i
j
)
−
n
F
i
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{i}V_{j}+P_{ij})-nF_{i}=0}
P
i
j
=
ρ ろー
⟨
(
w
i
−
V
i
)
(
w
j
−
V
j
)
⟩
{\displaystyle P_{ij}=\rho \langle (w_{i}-V_{i})(w_{j}-V_{j})\rangle }
为压强 きょう 张量(粘性 ねんせい 应力张量加 か 上流 じょうりゅう 体 たい 静 しずか 力学 りきがく 压强 )。
令 れい
g
=
1
2
m
w
i
w
i
{\displaystyle g={\tfrac {1}{2}}mw_{i}w_{i}}
,即 そく 粒子 りゅうし 动能,积分后 きさき 的 てき 玻尔兹曼方 かた 程 ほど 化 か 为能量 りょう 守恒 もりつね 方 かた 程 ほど [9] :pp 19,169 :
∂
∂
t
(
u
+
1
2
ρ ろー
V
i
V
i
)
+
∂
∂
x
j
(
u
V
j
+
1
2
ρ ろー
V
i
V
i
V
j
+
J
q
j
+
P
i
j
V
i
)
−
n
F
i
V
i
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(u+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(uV_{j}+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i}V_{j}+J_{qj}+P_{ij}V_{i})-nF_{i}V_{i}=0}
u
=
1
2
ρ ろー
⟨
(
w
i
−
V
i
)
(
w
i
−
V
i
)
⟩
{\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (w_{i}-V_{i})(w_{i}-V_{i})\rangle }
为动力 りょく 热能密度 みつど (kinetic thermal energy density),
J
q
i
=
1
2
ρ ろー
⟨
(
w
i
−
V
i
)
(
w
k
−
V
k
)
(
w
k
−
V
k
)
⟩
{\displaystyle J_{qi}={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (w_{i}-V_{i})(w_{k}-V_{k})(w_{k}-V_{k})\rangle }
热通量 りょう 矢 や 量 りょう 。
在 ざい 哈密顿力学 がく 中 なか , 玻尔兹曼方 かた 程 ほど 通常 つうじょう 写 うつし 作 さく
L
^
[
f
]
=
C
[
f
]
,
{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}[f]=\mathbf {C} [f],\,}
其中 L 是 これ 刘维尔算子 こ (这里定 てい 义的刘维尔算子 こ 和 わ 链接文章 ぶんしょう 中 ちゅう 的 てき 定 てい 义不一致 いっち ),它描述 じゅつ 了 りょう 相 しょう 空 そら 间体积的演 えんじ 化 か ;C 是 ぜ 碰撞算 さん 子 こ 。非 ひ 相 あい 对论下 か 的 てき L 写 うつし 作 さく
L
^
N
R
=
∂
∂
t
+
p
m
⋅
∇
+
F
⋅
∂
∂
p
.
{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.}
量子 りょうし 理 り 论和粒子 りゅうし 数 すう 守恒 もりつね 的 てき 违背[ 编辑 ]
直 ちょく 到 いた 2010年 ねん ,波 なみ 尔兹曼方程 ほど 的 てき 准 じゅん 确解才 ざい 在 ざい 数学 すうがく 上 じょう 被 ひ 证明是 ぜ 良好 りょうこう (well-behaved)的 てき 。这意味 いみ 着 ぎ ,如果对服从波尔兹曼方程 ほど 的 てき 系 けい 统施加 か 一 いち 个微扰,此系统最终将回 かい 到 いた 平衡 へいこう 状 じょう 态,而不是 ぜ 发散到 いた 无穷,或 ある 表 おもて 现出其他的 てき 行 ぎょう 为[10] [11] 。然 しか 而,这种存在 そんざい 性 せい 证明是 ぜ 无助于我们在现实问题中 ちゅう 求 もとめ 解 かい 该等式 しき 的 てき 。 事 こと 实上,这个结论只 ただ 告 つげ 诉我们某种特定 とくてい 条件下 じょうけんか 的 てき 解 かい 是 ぜ 否 ひ 存在 そんざい ,而不是 ぜ 如何 いか 找到他 た 们。在 ざい 实践中 ちゅう ,数 かず 值计算 さん 方 かた 法被 はっぴ 用 よう 于寻找各种形式 しき 的 てき 波 なみ 尔兹曼方程 ほど 的 てき 近似 きんじ 解 かい ,应用范围从稀薄 うす 气流中 ちゅう 的 てき 高 こう 超 ちょう 音速 おんそく 空 そら 气动力学 りきがく [12] ,到 いた 等 とう 离子体 たい 的 まと 流 りゅう 动[13] 中 ちゅう 都 と 可 か 以见到。
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