熵 (信しん息いき论)

  此条目め页的主題しゅだい是ぜ信しん息いき论的てき熵。关于「熵」的てき其他意思いし，請見「熵 (消しょう歧義)」。

2 bit的てき熵。

在ざい信しん息いき论中なか，熵（英語えいご：entropy，又また稱たたえ信しん息いき熵、信しん源げん熵、平均へいきん自信じしん息いき量りょう）是ぜ接收せっしゅう的てき每ごと条じょう消息しょうそく中ちゅう包含ほうがん的てき信しん息いき的てき平均へいきん量りょう。这里的てき“消息しょうそく”代表だいひょう来らい自分じぶん布ぬの或ある数かず据すえ流りゅう中ちゅう的てき事件じけん、样本或ある特とく征せい。（熵最好こう理解りかい为不确定性的せいてき量りょう度ど而不是ぜ确定性的せいてき量りょう度ど，因いん为越随ずい机つくえ的てき信しん源げん的てき熵越大だい。）来らい自信じしん源げん的てき另一个特征是样本的概率分布。这里的てき想そう法ほう是ぜ，比ひ较不可能ふかのう发生的てき事情じじょう，当とう它发生せい了りょう，会かい提供ていきょう更さら多た的てき信しん息いき。由よし于一些其他た的てき原因げんいん，把わ信しんじ息いき（熵）定てい义为概がい率りつ分布ぶんぷ的てき对数的てき相反あいはん数すう是ぜ有ゆう道理どうり的てき。事件じけん的てき概がい率りつ分布ぶんぷ和わ每ごと个事件じけん的てき信しん息いき量りょう构成了りょう一个随机变量，这个随ずい机つくえ变量的てき均ひとし值（即そく期き望もち）就是这个分布ぶんぷ产生的てき信しん息いき量的りょうてき平均へいきん值（即そく熵）。熵的单位通常つうじょう为比特とく，但ただし也用Sh、nat、Hart计量，取と决于定てい义用到いた对数的てき底そこ。

采さい用よう概がい率りつ分布ぶんぷ的てき对数作さく为信息いき的てき量りょう度ど的てき原因げんいん是ぜ其可加か性せい。例れい如，投とう掷一次硬币提供了1 Sh的てき信しん息いき，而掷m次じ就为m位い。更さら一般いっぱん地ち，你需要用ようようlog₂(n)位い来らい表示ひょうじ一いち个可以取n个值的てき变量。

在ざい1948年ねん，克かつ劳德·艾もぐさ尔伍德とく·香が农將はた熱ねつ力學りきがく的てき熵，引入到いた信しん息いき论，因いん此它又また被ひ稱しょう為ため香こう农熵（Shannon entropy）。

简介

熵的概念がいねん最早もはや起源きげん于物理ぶつり学がく，用よう于度量りょう一个热力学系统的无序程度。在ざい信しん息いき论里さと面めん，熵是对不确定性せい的てき测量。但ただし是ぜ在ざい信しん息いき世界せかい，熵越高だか，则能传输越えつ多た的てき信しん息いき，熵越低てい，则意味いみ着ぎ传输的てき信しん息いき越えつ少しょう。

英えい语文ぶん本数ほんすう据すえ流りゅう的てき熵比较低，因いん为英语很容易ようい读懂，也就是ぜ说很容易ようい被ひ预测。即そく便びん我わが们不知道ともみち下か一段英语文字是什么内容，但ただし是ぜ我わが们能很容易ようい地ち预测，比ひ如，字母じぼe总是比ひ字母じぼz多た，或ある者ものqu字母じぼ组合的てき可能かのう性せい总是超ちょう过q与あずか任にん何なん其它字母じぼ的てき组合。如果未み经压缩，一段英文文本的每个字母需要8个比特とく来らい编码，但ただし是ぜ实际上じょう英文えいぶん文ぶん本ほん的てき熵大概がい只ただ有ゆう4.7比ひ特とく。這是由よし於英文えいぶん的てき編へん碼包含ほうがん了りょう各かく式しき符號ふごう，如逗號ごう、引號等とう。因よし此英文えいぶん輸入ゆにゅう法ほう使用しよう了りょう8個こ位い元來がんらい表ひょう達たち一いち共ども256個こ字母じぼ及符號ごう。

如果压缩是ぜ无损的てき，即そく通どおり过解压缩可か以百分之百地恢复初始的消息内容，那な么压缩后的てき消息しょうそく携带的てき信しん息いき和わ未み压缩的てき原始げんし消息しょうそく是ぜ一いち样的多た。而压缩后的てき消息しょうそく可か以通过较少しょう的まと比ひ特とく传递，因いん此压缩消息いき的てき每まい个比特とく能のう携带更さら多た的てき信しん息いき，也就是ぜ说压缩信息いき的てき熵更加か高だか。熵更高だか意味いみ着ぎ比ひ较难于预测压缩消息いき携带的てき信しん息いき，原因げんいん在ざい于压缩消息いき里さと面めん没ぼつ有ゆう冗余，即そく每まい个比特とく的てき消息しょうそく携带了りょう一个比特的信息。香こう农的信しん源げん编码定理ていり揭示けいじ了りょう，任にん何なん无损压缩技わざ术不可能ふかのう让一比特的消息携带超过一比特的信息。消息しょうそく的てき熵乘以消息いき的てき长度决定了りょう消息しょうそく可か以携带多少しょう信しん息いき。

香こう农的信しん源げん编码定理ていり同どう时揭示けいじ了りょう，任にん何なん无损压缩技わざ术不可能ふかのう缩短任にん何なん消息しょうそく。根ね据すえ鸽笼原理げんり，如果有ゆう一些消息变短，则至少しょう有ゆう一いち条じょう消息しょうそく变长。在ざい实际使用しよう中ちゅう，由ゆかり于我们通常つうじょう只ただ关注于压缩特定とくてい的てき某ぼう一いち类消息いき，所しょ以这通常つうじょう不ふ是ぜ问题。例れい如英语文档和随ずい机つくえ文字もじ，数字すうじ照あきら片かた和わ噪音，都みやこ是ただし不同ふどう类型的てき。所以ゆえん如果一个压缩算法会将某些不太可能出现的，或ある者もの非ひ目め标类型がた的てき消息しょうそく变得更さら大だい，通常つうじょう是ぜ无关紧要的てき。但ただし是ぜ，在ざい我わが们的日常にちじょう使用しよう中ちゅう，如果去さ压缩已やめ经压缩过的てき数すう据すえ，仍会出で现问题。例れい如，将はた一いち个已经是FLAC格式かくしき的てき音おと乐文件けん压缩为ZIP文ぶん件けん很难使し它占用よう的てき空そら间变小しょう。

熵的计算

如果有ゆう一枚理想的硬币，其出现正面めん和わ反面はんめん的てき机つくえ会かい相等そうとう，则抛硬かた币事件じけん的てき熵等于其能のう够达到的てき最大さいだい值。我わが们无法ほう知道ともみち下か一个硬币抛掷的结果是什么，因いん此每一次抛硬币都是不可预测的。因よし此，使用しよう一枚正常硬币进行若干次抛掷，这个事件じけん的てき熵是一いち比ひ特とく，因いん为结果はて不ふ外そと乎两个——正面しょうめん或ある者もの反面はんめん，可か以表示ひょうじ为0, 1编码，而且两个结果彼此ひし之の间相互そうご独立どくりつ。若わか进行n次つぎ独立どくりつ实验，则熵为n，因いん为可以用长度为n的てき比ひ特とく流りゅう表示ひょうじ。但ただし是ぜ如果一枚硬币的两面完全相同，那な个这个系列けいれつ抛ほう硬かた币事件じけん的てき熵等于零，因いん为结果はて能のう被ひ准じゅん确预测。现实世界せかい里さと，我わが们收集しゅうしゅう到いた的てき数すう据すえ的てき熵介于上面めん两种情じょう况之间。

另一个稍微复杂的例子是假设一个随ずい机つくえ变量X，取と三种可能值${\begin{smallmatrix}x_{1},x_{2},x_{3}\end{smallmatrix}}$，概がい率りつ分ぶん别为${\begin{smallmatrix}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\end{smallmatrix}}$，那な么编码平均へいきん比ひ特とく长度是ぜ：${\begin{smallmatrix}{\frac {1}{2}}\times 1+{\frac {1}{4}}\times 2+{\frac {1}{4}}\times 2={\frac {3}{2}}\end{smallmatrix}}$。其熵为3/2。

因いん此熵实际是ぜ对随机つくえ变量的てき比ひ特とく量りょう和わ顺次发生概がい率りつ相乘そうじょう再さい总和的てき数学すうがく期き望もち。

定てい义

依よ据すえBoltzmann's H-theorem，香こう农把随ずい机つくえ变量X的てき熵值 Ηいーた（希まれ腊字母ははEta）定てい义如下か，其值域いき为{x₁, ..., x_n}：

$\mathrm {H} (X)=\mathrm {E} [\mathrm {I} (X)]=\mathrm {E} [-\ln(\mathrm {P} (X))]$。

其中，P为X的てき機き率りつ質量しつりょう函數かんすう（probability mass function），E为期き望もち函數かんすう，而I(X)是これX的てき資し訊量（又また稱たたえ為ため資し訊本體ほんたい）。I(X)本身ほんみ是ぜ個こ隨ずい機き變數へんすう。

当とう取と自じ有限ゆうげん的てき样本时，熵的公式こうしき可か以表示ひょうじ為ため：

$\mathrm {H} (X)=\sum _{i}{\mathrm {P} (x_{i})\,\mathrm {I} (x_{i})}=-\sum _{i}{\mathrm {P} (x_{i})\log _{b}\mathrm {P} (x_{i})},$

在ざい這裏b是これ對數たいすう所ところ使用しよう的てき底そこ，通常つうじょう是ぜ2，自然しぜん常數じょうすうe，或ある是ぜ10。當とうb = 2，熵的單位たんい是ぜbit；當とうb = e，熵的單位たんい是ぜnat；而當b = 10,熵的單位たんい是ぜHart。

p_i = 0时，对於一いち些i值，对应的てき被加数ひかすう0 log_b 0的てき值将会かい是ぜ0，这与极限一致いっち。

$\lim _{p\to 0+}p\log p=0$。

还可以定义事件じけん X 与あずか Y 分ぶん别取 x_i 和わ y_j 时的条件じょうけん熵为

$\mathrm {H} (X|Y)=-\sum _{i,j}p(x_{i},y_{j})\log {\frac {p(x_{i},y_{j})}{p(y_{j})}}$

其中p(x_i, y_j)为 X = x_i 且 Y = y_j 时的概がい率りつ。这个量りょう应当理解りかい为你知道ともみちY的てき值前提ぜんてい下か随ずい机つくえ变量 X 的てき随ずい机つくえ性的せいてき量りょう。

範はん例れい

抛ほう硬かた币的熵H(X)（即そく期き望もち自信じしん息いき），以位い元もと度量どりょう，與あずか之これ相對そうたい的てき是ぜ硬かた幣ぬさ的てき公正こうせい度どPr(X=1).

注意ちゅうい图的最大さいだい值取决於分布ぶんぷ；在ざい這裡，要よう傳達でんたつ一個公正的拋硬幣結果至多需要1位い元もと，但ただし要よう傳達でんたつ一いち個こ公正こうせい的てき拋骰子さいころ結果けっか至いたり多た需要じゅようlog2(6)位い元もと。

如果有ゆう一いち个系统S内うち存在そんざい多た个事件じけんS = {E₁,...,E_n}，每まい个事件じけん的てき機き率りつ分布ぶんぷP = {p₁, ..., p_n}，则每个事件じけん本身ほんみ的てき訊息（資し訊本體ほんたい）为：

$I_{e}=-\log _{2}{p_{i}}$（对数以2为底，单位是ぜ位い元もと（bit））

$I_{e}=-\ln {p_{i}}$（对数以$e$为底，单位是ぜ纳特/nats）

如英语有26个字母はは，假かり如每个字母はは在ざい文章ぶんしょう中出なかいで现次数すう平均へいきん的てき话，每まい个字母はは的てき訊息量りょう为：

$I_{e}=-\log _{2}{1 \over 26}=4.7$

以日文ぶん五十音平假名作為相對範例，假設かせつ每ごと個こ平假名ひらがな日び語ご文字もじ在ざい文章ぶんしょう中ちゅう出現しゅつげん的てき機き率りつ相等そうとう，每まい個こ平假名ひらがな日び語ご文字もじ可か攜帶的てき資し訊量為ため：

$I_{e}=-\log _{2}{1 \over 50}=5.64$

而汉字じ常用じょうよう的てき有ゆう2500个，假かり如每个汉字在ざい文章ぶんしょう中出なかいで现次数すう平均へいきん的てき话，每まい个汉字じ的てき信しん息いき量りょう为：

$I_{e}=-\log _{2}{1 \over 2500}=11.3$

实际上じょう每まい个字母はは和わ每ごと个汉字じ在ざい文章ぶんしょう中出なかいで现的次数じすう并不平均へいきん，比ひ方かた说较少しょう见字母はは（如z）和かず罕用汉字就具有ぐゆう相しょう对高的てき信しん息いき量りょう。但ただし上述じょうじゅつ计算提供ていきょう了りょう以下いか概念がいねん：使用しよう书写单元越えつ多た的てき文字もじ，每まい个单元もと所しょ包含ほうがん的てき訊息量りょう越えつ大だい。

熵是整せい个系统的平均へいきん消息しょうそく量りょう，即そく：

$H_{s}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}I_{e}=-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log _{2}p_{i}$

因いん为和热力学がく中ちゅう描述热力学がく熵的てき玻尔兹曼公式こうしき本ほん质相同どう（仅仅单位不同ふどう，一いち纳特的てき信しん息いき量りょう即そく相当そうとう于k焦こげ耳みみ每まい开尔文ぶん的てき热力学がく熵），所以ゆえん也称为“熵”。

如果两个系けい统具有ぐゆう同どう样大的てき消息しょうそく量りょう，如一篇用不同文字写的同一文章，由よし于汉字じ的てき信しん息いき量りょう较大，中ちゅう文ぶん文章ぶんしょう应用的てき汉字就比英文えいぶん文章ぶんしょう使用しよう的てき字母じぼ要よう少しょう。所以ゆえん汉字印刷いんさつ的てき文章ぶんしょう要よう比ひ其他应用总体数量すうりょう少しょう的てき字母じぼ印刷いんさつ的てき文章ぶんしょう要よう短たん。即そく使つかい一个汉字占用两个字母的空间，汉字印刷いんさつ的てき文章ぶんしょう也要比ひ英文えいぶん字母じぼ印刷いんさつ的てき用よう纸少。

熵的特性とくせい

可か以用很少的てき标准来らい描述香が农熵的てき特性とくせい，将はた在ざい下面かめん列れつ出で。任にん何なん满足这些假かり设的熵的定てい义均正せい比ひ以下いか形式けいしき

$-K\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log(p_{i})$

其中，K是ぜ与あずか选择的てき度量どりょう单位相しょう对应的てき一いち个正比ひ常数じょうすう。

下しも文中ぶんちゅう，p_i = Pr(X = x_i)且$\mathrm {H} _{n}(p_{1},\ldots ,p_{n})=\mathrm {H} (X)$

连续性せい

该量度ど应连续，概がい率りつ值小幅はば变化只ただ能のう引起熵的微小びしょう变化。

对称性せい

符号ふごうx_i重じゅう新しん排はい序じょ后きさき，该量度ど应不变。

$\mathrm {H} _{n}\left(p_{1},p_{2},\ldots \right)=\mathrm {H} _{n}\left(p_{2},p_{1},\ldots \right)$等ひとし。

极值性せい

当とう所有しょゆう符号ふごう有ゆう同等どうとう機會きかい出で现的情じょう况下，熵达到最大さいだい值（所有しょゆう可能かのう的てき事件じけん同等どうとう概がい率りつ时不确定性せい最高さいこう）。

$\mathrm {H} _{n}(p_{1},\ldots ,p_{n})\leq \mathrm {H} _{n}\left({\frac {1}{n}},\ldots ,{\frac {1}{n}}\right)=\log _{b}(n)$。

等とう概がい率りつ事件じけん的てき熵应随ずい符号ふごう的てき数量すうりょう增加ぞうか。

$\mathrm {H} _{n}{\bigg (}\underbrace {{\frac {1}{n}},\ldots ,{\frac {1}{n}}} _{n}{\bigg )}=\log _{b}(n)<\log _{b}(n+1)=\mathrm {H} _{n+1}{\bigg (}\underbrace {{\frac {1}{n+1}},\ldots ,{\frac {1}{n+1}}} _{n+1}{\bigg )}.$

可か加か性せい

熵的量りょう与あずか该过程ほど如何いか被ひ划分无关。

最さい后きさき给出的てき这个函数かんすう关系刻こく画が了りょう一个系统与其子系统的熵的关系。如果子こ系けい统之间的相互そうご作用さよう是ぜ已やめ知的ちてき，则可以通过子系けい统的熵来计算一个系统的熵。

给定n个均匀分布ぶんぷ元素げんそ的てき集合しゅうごう，分ふん为k个箱（子こ系けい统），每まい个里面めん有ゆう b₁, ..., b_k 个元素げんそ，合ごう起おこり来らい的てき熵应等とう于系统的熵与各かく个箱子こ的てき熵的和わ，每まい个箱子こ的てき权重为在该箱中ちゅう的てき概がい率りつ。

对于正せい整数せいすうb_i其中b₁ + ... + b_k = n来らい说，

$\mathrm {H} _{n}\left({\frac {1}{n}},\ldots ,{\frac {1}{n}}\right)=\mathrm {H} _{k}\left({\frac {b_{1}}{n}},\ldots ,{\frac {b_{k}}{n}}\right)+\sum _{i=1}^{k}{\frac {b_{i}}{n}}\,\mathrm {H} _{b_{i}}\left({\frac {1}{b_{i}}},\ldots ,{\frac {1}{b_{i}}}\right)$。

选取k = n，b₁ = ... = b_n = 1，这意味いみ着ぎ确定符号ふごう的てき熵为零れい：Ηいーた₁(1) = 0。这就是ぜ说可以用n进制熵来定てい义n个符号ごう的てき信しん源げん符号ふごう集しゅう的てき效率こうりつ。参まいり见信しん息いき冗余。

进一いち步ほ性せい质

香こう农熵满足以下いか性せい质，藉由將はた熵看成なり「在ざい揭示けいじ随ずい机つくえ变量X的てき值後，從したがえ中ちゅう得え到いた的てき信しん息いき量りょう（或ある消しょう除じょ的てき不ふ确定性せい量りょう）」，可か來らい幫助理解りかい其中一いち些性質しつ。

• 增減ぞうげん一概率为零的事件不改变熵：

$\mathrm {H} _{n+1}(p_{1},\ldots ,p_{n},0)=\mathrm {H} _{n}(p_{1},\ldots ,p_{n})$

• 可用かよう琴きん生せい不等式ふとうしき证明

$\mathrm {H} (X)=\operatorname {E} \left[\log _{b}\left({\frac {1}{p(X)}}\right)\right]\leq \log _{b}\left(\operatorname {E} \left[{\frac {1}{p(X)}}\right]\right)=\log _{b}(n)$

具有ぐゆう均ひとし匀概率りつ分布ぶんぷ的てき信しん源げん符号ふごう集しゅう可か以有效ゆうこう地ち达到最大さいだい熵log_b(n)：所有しょゆう可能かのう的てき事件じけん是ぜ等とう概がい率りつ的てき时候，不ふ确定性せい最大さいだい。

• 计算 (X,Y)得とく到いた的てき熵或信しん息いき量りょう（即そく同どう时计算さんX和わY）等とう于通过进行ぎょう两个连续实验得え到いた的てき信しん息いき：先さき计算Y的てき值，然しか后きさき在ざい你知道どうY的てき值条件下じょうけんか得とく出でX的てき值。写うつし作さく

$\mathrm {H} (X,Y)=\mathrm {H} (X|Y)+\mathrm {H} (Y)=\mathrm {H} (Y|X)+\mathrm {H} (X)$。

• 如果Y=f(X)，其中f是ぜ确定性せい的てき，那な么Ηいーた(f(X)|X) = 0。应用前まえ一いち公式こうしきΗいーた(X, f(X))就会产生

$\mathrm {H} (X)+\mathrm {H} (f(X)|X)=\mathrm {H} (f(X))+\mathrm {H} (X|f(X)),$

所以ゆえんΗいーた(f(X)) ≤ Ηいーた(X)，因いん此当后きさき者しゃ是ぜ通どおり过确定性ていせい函数かんすう传递时，变量的てき熵只能のう降くだ低てい。

• 如果X和わY是ぜ两个独立どくりつ实验，那な么知道どうY的てき值不影かげ响我们对X值的认知（因いん为两者しゃ独立どくりつ，所以ゆえん互不影かげ响）：

$\mathrm {H} (X|Y)=\mathrm {H} (X)$。

• 两个事件じけん同どう时发生せい的てき熵不大だい于每个事件じけん单独发生的てき熵的总和，且仅当とう两个事件じけん是ぜ独立どくりつ的てき情じょう况下相等そうとう。更さら具体ぐたい地ち说，如果X和わY是ぜ同どう一概率空间的两个随机变量，而 (X,Y)表示ひょうじ它们的てき笛ふえ卡尔积，则

$\mathrm {H} (X,Y)\leq \mathrm {H} (X)+\mathrm {H} (Y)$。

在ざい前ぜん两条熵的性せい质基础上，很容易ようい用よう数学すうがく证明这一いち点てん。

和かず热力学がく熵的联系

物理ぶつり学がく家か和わ化学かがく家か对一个系统自发地从初始状态向前演进过程中，遵循热力学がく第だい二定律而发生的熵的变化更感兴趣。在ざい传统热力学がく中ちゅう，熵被定てい义为对系统的宏ひろし观测定じょう，并没有ゆう涉わたる及概率りつ分布ぶんぷ，而概率りつ分布ぶんぷ是ぜ信しん息いき熵的核心かくしん定てい义。

根ね据すえJaynes（1957）的てき观点，热力学がく熵可以被视为香が农信息いき理り论的一いち个应用よう： 热力学がく熵被解釋かいしゃく成なり與あずか定義ていぎ系統けいとう的てき微ほろ態たい細ほそ節ぶし所しょ需的進しん一步香农資訊量成正比，波なみ茲曼常數じょうすう為ため比例ひれい系けい數すう，其中系統けいとう與あずか外界がいかい無む交流こうりゅう，只ただ靠もたれ古典こてん熱ねつ力學りきがく的てき巨きょ觀かん變數へんすう所しょ描述。加熱かねつ系統けいとう會かい提ひさげ高だか其热力学りきがく熵，是ぜ因いん為ため此行為こうい增加ぞうか了りょう符合ふごう可か測はか巨きょ觀かん變數へんすう 的てき系統けいとう微ほろ態たい的てき數すう目もく，也使得とく所有しょゆう系統けいとう的てき的てき完かん整せい敘述變へん得どく更さら長ちょう。（假想かそう的てき）麦むぎ克かつ斯韦妖可か利用りよう每ごと個こ分子ぶんし的てき状じょう态信息いき，來き降ぶ低てい热力学がく熵，但ただし是これ羅ら夫おっと·蘭らん道どう爾なんじ（於1961年ねん）和かず及其同どう事こと則そく證明しょうめい了りょう，让小妖精ようせい行使こうし职责本身ほんみ——即そく便びん只ただ是ぜ了解りょうかい和わ储存每ごと个分子ぶんし最初さいしょ的てき香こう农信息いき——就会给系统带来らい热力学がく熵的增加ぞうか，因いん此总的てき来らい说，系けい统的熵的总量没ぼつ有ゆう减少。这就解かい决了Maxwell思想しそう实验引发的てき悖もと论。蘭らん道どう爾しか原理げんり也為現代げんだい計算けいさん機き處理しょり大量たいりょう資し訊時所產しょさん生せい的てき熱量ねつりょう給きゅう出で了りょう下限かげん，雖然現在げんざい計算けいさん機き的てき廢はい熱ねつ遠とお遠とお比ひ這個限げん制せい高だか。

逸いっ闻

贝尔实验室しつ曾流传一则可信度不高的传闻：冯诺依曼建けん议香农为这个概念がいねん取と名めい为“熵”，理由りゆう是ぜ这个热力学名がくめい词别人じん不ふ懂，容易ようい被ひ唬住。

参まいり见

• 熵 (生なま态学)
• 熵 (熱ねつ力學りきがく)
• 熵编码
• 麦むぎ克かつ斯韦妖

外部がいぶ链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Entropy, 数学すうがく百科ひゃっか全ぜん书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4