恒等こうとう函数かんすう

恒等こうとう函数かんすう（英えい语：Identity function）是これ数学すうがく中ちゅう对于传回和わ其输入にゅう值相同どう的てき函数かんすう的てき称呼しょうこ。换句话说，恒等こうとう函数かんすう为函数すう $f(x)~=~x$ 。

定てい义[编辑]

设M为一集合しゅうごう，于M上うえ的てき恒等こうとう函数かんすうf被ひ定てい义于一いち具有ぐゆう定てい义域和わ陪域M的てき函数かんすう，其对任にん一いちM内的ないてき元素げんそx，会かい有ゆう $f(x)=x$ 的てき关系。

于M上うえ的てき恒等こうとう函数かんすうf通常つうじょう标记为 $\operatorname {Id} _{m}$ 或ある ${1}_{m}$ 。

设f : M → N为任一いち函数かんすう，则会有ゆうf o id_M = f = id_N o f（其中"o"为函数かんすう复合）。特とく别地是ぜ，id_M会かい是ぜ所有しょゆう由よしM至いたりM的てき函数かんすう所しょ组成之の幺半群ぐん的てき单位元もと。

因いん为幺半はん群ぐん的てき单位元もと是ぜ唯一ゆいいつ的てき，也可以反过来把わM上うえ的てき恒等こうとう函数かんすう定てい义为这个幺半群ぐん的てき单位元もと。此一定义广义化成了于范畴论中なか恒等こうとう态射的てき概念がいねん，其中M的てき自じ同どう态并不必然ひつぜん是ぜ函数かんすう。

于正整数せいすう上うえ的てき恒等こうとう函数かんすう为一数かず论中なか的てき完全かんぜん积性函数かんすう。
在ざい任意にんい一いち个 n 维向むかい量りょう空そら间内うち，恒等こうとう函数かんすう表示ひょうじ成なり单位矩のり阵I_n，不ふ论其基もと为何。
在ざい任意にんい一いち个度量どりょう空そら间，恒等こうとう函数かんすう很当然とうぜん地ち为等とう距同构。一いち无任何なに对称的てき物件ぶっけん会かい有一ゆういち对称群ぐん，即そく只ただ包含ほうがん这个恒等こうとう函数かんすう的てき平凡へいぼん群ぐんC₁。

各かく种函数すう
$x \mapsto f (x)$
不同ふどう定てい义域和わ陪域
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $\mathbb {B}$ $X$ →（英えい语：integer-valued function） $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ → $X$ $X$ →（英えい语：real-valued function） $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ →（英えい语：function of several real variables） $X$ $X$ →（英えい语：complex-valued function） $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ →（英えい语：Function of several complex variables） $X$
函数かんすう类/性せい质
常つね值恒等こうとう线性多た项式有理ゆうり代数だいすう解析かいせき光ひかり滑すべり连续可か测单射满射双そう射い
构造
限きり制せい复合 λらむだ逆ぎゃく
推广
偏へん（英えい语：Partial function）多た值隐
查论编