双曲線そうきょくせん軌道きどう

青あおい線せんが双曲線そうきょくせん軌道きどうの例れい.

軌道きどう力学りきがくないし天体てんたい力学りきがくにおいて双曲線そうきょくせん軌道きどう(hyperbolic trajectory)とは、ケプラー軌道きどうの中なかで離はなれ心しん率りつが1よりも大おおきい軌道きどうを指さす。通常つうじょう、この軌道きどう上じょうを運動うんどうする物体ぶったいは中心ちゅうしん天体てんたいに対たいして無限むげんに遠とおざかる。

放物線ほうぶつせん軌道きどうと同様どうよう、双曲線そうきょくせん軌道きどうもまた脱出だっしゅつ軌道きどうである。ただし、双曲線そうきょくせん軌道きどう上じょうをとる物体ぶったいの軌道きどうエネルギーは０より大おおきい（放物線ほうぶつせん軌道きどうでは0）、つまり、無限むげん遠とおで運動うんどうエネルギーを失うしなう放物線ほうぶつせん軌道きどうと異ことなり無限むげん遠とおでも運動うんどうエネルギーを有ゆうする。

軌道きどうの表現ひょうげん

「軌道きどう要素ようそ」も参照さんしょう

2次じ曲線きょくせんは焦点しょうてんを原点げんてんとする極座標きょくざひょう (r, φふぁい) により

$r={\frac {L}{1+e\cos \phi }}$

で表あらわされる。離はなれ心しん率りつが e > 1 である双曲線そうきょくせんの場合ばあいは、cos φふぁい = −1/e、あるいは tan φふぁい = ±√(e² − 1) において分母ぶんぼがゼロとなるため、φふぁい → ±arctan √(e² − 1) において焦点しょうてんからの距離きょりが r → ∞ となる。

双曲線そうきょくせんにおいて長ちょう半径はんけいに相当そうとうするパラメータは、楕円だえんと同おなじく

$a={\frac {L}{1-e^{2}}}<0$

と定義ていぎして負まけのパラメータに選えらぶ場合ばあいと、符号ふごうを変かえて

$a=\left|{\frac {L}{1-e^{2}}}\right|={\frac {L}{e^{2}-1}}>0$

と定義ていぎして正せいのパラメータに選えらぶ場合ばあいの2通とおりの選えらび方かたがある。以降いこうでは前者ぜんしゃを採用さいようする。

真ま近きん点てん角かく φふぁい = 0 のとき、近きん点てん距離きょり

$r_{\text{min}}={\frac {L}{1+e}}=|a|(e-1)=a(1-e)$

となる。

無限むげん遠とお点てんでの速はやさ

双曲線そうきょくせん軌道きどうにおける、中心ちゅうしん天体てんたいから無限むげんに離はなれた地点ちてんでの速はやさ($v_{\infty }\,\!$)は、エネルギー保存ほぞん則そくより、

$v_{\infty }={\sqrt {\mu \over {-a}}}\,\!$

ここで

• $\mu \,\!$ は 中心ちゅうしん天体てんたいの重力じゅうりょく定数ていすう
• $a\,\!$ は双曲線そうきょくせんの軌道きどう長ちょう半径はんけいに-1を掛かけたもの

を表あらわす。

$v_{\infty }\,\!$は(単位たんい質量しつりょうあたりの)軌道きどうエネルギーと以下いかの式しきにより一意いちいに関係付かんけいづけられる。

$2\epsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}\,\!$

ここで、

• $\epsilon \,\!$は(単位たんい質量しつりょうあたりの)軌道きどうエネルギー
• $C_{3}\,$は特性とくせいエネルギー

を表あらわす。

軌道きどう速度そくど

双曲線そうきょくせん軌道きどうにおいて、軌道きどう速度そくど ($v\,$)は以下いかの通とおり計算けいさんされる。

$v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}$

ここで

• $\mu \,$ は中心ちゅうしん天体てんたいの重力じゅうりょく定数ていすう
• $r\,$は中心ちゅうしん天体てんたいからの距離きょり,
• $a\,\!$は双曲線そうきょくせんの軌道きどう長ちょう半径はんけいに-1を掛かけたもの

を表あらわす。

関連かんれん項目こうもく

• 軌道きどう
• 人工じんこう衛星えいせいの軌道きどう

外部がいぶリンク

• https://web.archive.org/web/20081008041919/http://homepage.mac.com/sjbradshaw/msc/traject.html
• http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/ellipse.html