角速度かくそくど

角速度かくそくど angular velocity
量りょう記号きごう	ωおめが
次元じげん	T−1
種類しゅるい	擬なずらえベクトル
SI単位たんい	ラジアン毎秒まいびょう (rad/s)

古典こてん力学りきがく
${\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})$ 運動うんどうの第だい2法則ほうそく
歴史れきし
分野ぶんや 静せい力学りきがく  · 動力どうりょく学がく / 物理ぶつり学がくにおける動力どうりょく学がく  · 運動うんどう学がく  · 応用おうよう力学りきがく  · 天体てんたい力学りきがく  · 連続れんぞく体力たいりょく学がく  · 統計とうけい力学りきがく 定式ていしき化か ニュートン力学りきがく 解析かいせき力学りきがく: ラグランジュ力学りきがく ハミルトン力学りきがく 基本きほん概念がいねん 空間くうかん · 時間じかん · 速度そくど · 速はやさ · 質量しつりょう · 加速度かそくど · 重力じゅうりょく · 力ちから · 力ちから積せき · トルク / モーメント / 偶力 · 運動うんどう量りょう · 角かく運動うんどう量りょう · 慣性かんせい · 慣性かんせいモーメント · 基準きじゅん系けい · エネルギー · 運動うんどうエネルギー · 位置いちエネルギー · 仕事しごと · 仮想かそう仕事しごと · ダランベールの原理げんり 主要しゅよう項目こうもく 剛体ごうたい · 運動うんどう · ニュートン力学りきがく · 万有引力ばんゆういんりょく · 運動うんどう方程式ほうていしき · 慣性かんせい系けい · 非ひ慣性かんせい系けい · 回転かいてん座標ざひょう系けい · 慣性かんせい力りょく · 平面へいめん粒子りゅうし運動うんどう力学りきがく · 変位へんい · 相対そうたい速度そくど · 摩擦まさつ · 単たん振動しんどう · 調和ちょうわ振動しんどう子こ · 短たん周期しゅうき振動しんどう · 減衰げんすい · 減衰げんすい比ひ · 自転じてん · 回転かいてん · 円運動えんうんどう · 非ひ等とう速そく円運動えんうんどう · 向こう心力しんりょく · 遠心えんしん力りょく · 遠心えんしん力りょく (回転かいてん座標ざひょう系けい) · 反応はんのう遠心えんしん力りょく · コリオリの力ちから · 振ふり子こ · 回転かいてん速度そくど · 角すみ加速度かそくど · 角速度かくそくど · 角すみ周波数しゅうはすう · 偏へん位い角度かくど 科学かがく者しゃ ニュートン · ケプラー · ホロックス · オイラー · ダランベール · クレロー · ラグランジュ · ラプラス · ハミルトン · ポアソン

円運動えんうんどうする物体ぶったいに対たいする角速度かくそくどベクトル Ωおめが と位置いちベクトル r、速度そくどベクトル v の関係かんけい。それぞれのベクトルは互たがいに直交ちょっこうしている。

運動うんどう学がくにおいて、角速度かくそくど（かくそくど、英えい: angular velocity）は、ある点てんをまわる回転かいてん運動うんどうの速度そくどを、単位たんい時間じかんに進すすむ角度かくどによって表あらわした物理ぶつり量りょうである。い換いかえれば角速度かくそくどとは、原点げんてんと物体ぶったいを結むすぶ線分せんぶん、すなわち動どう径みちが向むく角度かくどの時間じかん変化へんか量りょうである。特とくに等ひとし速そく円運動えんうんどうする物体ぶったいの角速度かくそくどは、物体ぶったいの速度そくどを円えんの半径はんけいで割わったものとして与あたえられる。従したがって角速度かくそくどの量りょうの次元じげんは、通常つうじょうの並進へいしん運動うんどうの速度そくどとは異ことなり、時間じかんの逆数ぎゃくすう T⁻¹ となる。

概要がいよう

角速度かくそくどの単位たんいは角度かくどの単位たんいと時間じかんの単位たんいの比ひによって表あらわされる。例たとえば国際こくさい単位たんい系けいにおいては、角度かくどの単位たんいはラジアン (rad)、時間じかんの単位たんいは秒びょう (s) であるため、角速度かくそくどの単位たんいはラジアン毎秒まいびょう (rad/s) となる。角速度かくそくどを表あらわす記号きごうとしてはしばしばギリシア文字もじの ωおめが や Ωおめが が用もちいられる。

角速度かくそくどが関係かんけいする物理ぶつり現象げんしょうとしては例たとえば遠心えんしん力りょくやコリオリ力りょくがある。

角速度かくそくどは、ある座標ざひょう系けいにおける動どう径みちの角度かくどの時間じかん微分びぶんであるが、角速度かくそくどの時間じかん微分びぶんは角すみ加速度かそくどと呼よばれる。また角速度かくそくどの時間じかん積分せきぶんはある時刻じこく間あいだにおける回転かいてん角かくを与あたえる。

角速度かくそくどの「向むき」と「大おおきさ」

角速度かくそくどは物体ぶったいが回転かいてん運動うんどうする平面へいめんに対たいして時計とけい回まわりか反はん時計とけい回まわりかいずれか一ひとつの方向ほうこうを正ただしとし、他方たほうを負まけとするように定義ていぎされる。また符号ふごうの正負せいふは、幾何きか学的がくてきには角速度かくそくどの向むきに対応たいおうづけることができる。標準ひょうじゅん的てきに用もちいられる右手みぎて系けいの座標ざひょう系けいでは、角速度かくそくどの符号ふごうは反はん時計とけい回まわりを正せいとして定義ていぎされ、角速度かくそくどの向むきは右手みぎての法則ほうそくに従したがい、回転かいてん面めんが反はん時計とけい回まわりに見みえる方向ほうこうを向むくように定さだめられる。

角速度かくそくどはしばしばスカラーやベクトルとして扱あつかわれるが、鏡かがみ映うつ反転はんてんにより向むきが変かわってしまうなどの性質せいしつから、厳密げんみつにいえば擬なずらえスカラーや擬なずらえベクトルとして扱あつかわれる。2次元じげん空間くうかん上じょうでは回転かいてん平面へいめんの軸じくは一ひとつに限かぎられるため、角速度かくそくどは擬なずらえスカラーとなり、3次元じげん空間くうかんにおいては回転かいてん平面へいめんの軸じくは自由じゆうな方向ほうこうを向むくことができるため、角速度かくそくどは擬なずらえベクトルとなる。

また、角速度かくそくどの絶対ぜったい値ち（またはノルム）をしばしば角速度かくそくどの大おおきさと呼よぶが、文脈ぶんみゃくによっては、角速度かくそくどの大おおきさを含ふくめて単たんに「角速度かくそくど」と呼よぶことがある。

定義ていぎ

質点しつてんの位置いちベクトルを r、速度そくどベクトルを v とするとき、質点しつてんの原点げんてんまわりの角速度かくそくど ωおめが は

${\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{r^{2}}}{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}$

と定義ていぎされる。ここで r は位置いちベクトルの大おおきさ |r| であり、× はベクトル積せきを表あらわす。この定義ていぎは以下いかのように示しめされる。

時刻じこく t と t′ における質点しつてんの位置いちベクトルをそれぞれ r、r′ とする。これらのなす角度かくどを φふぁい とすれば

$|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {r}}'|=r\,r'\sin \phi$

である。時間じかんの間隔かんかく Δでるたt = t' − t が小ちいさいときに

${\boldsymbol {r}}'={\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {v}}\Delta t+O(\Delta t^{2})$

$r'=r+O(\Delta t)$

$\sin \phi =\omega \Delta t+O(\Delta t^{2})$

であることから、ベクトル積せきに関かんする恒等こうとう式しき r × r ≡ 0を用もちいれば

$|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|\Delta t+O(\Delta t^{2})=r^{2}\omega \Delta t+O(\Delta t^{2})$

が得えられ、上うえ式しき両辺りょうへんにおける Δでるたt の1次じの項こうを比較ひかくして

$|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|=r^{2}\omega$

が導みちびかれる。回転かいてん角かく φふぁい = ωおめがΔでるたt の向むきを回転かいてん軸じくの方向ほうこう（すなわち右みぎねじの進すすむ方向ほうこう）に一致いっちするように定さだめると、定義ていぎ式しきが導みちびかれる。

剛体ごうたい回転かいてん

位置いちベクトルと角速度かくそくどのベクトル積せきは、三重みえ積せきの公式こうしきから

${\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {v}}-{\frac {\boldsymbol {r}}{r^{2}}}({\boldsymbol {r}}\cdot {\boldsymbol {v}})$

となる。動どう径みち方向ほうこうの単位たんいベクトル e_r = r/r を導入どうにゅうすれば

${\boldsymbol {v}}=v_{r}{\boldsymbol {e}}_{r}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}$

である。動どう径みち方向ほうこうの速度そくど成分せいぶんを持もたないとき、すなわち原点げんてんからの距離きょりが変化へんかしないとき

${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}$

となる。特とくに原点げんてんを固定こてい点てんとする剛体ごうたい回転かいてんでは、単一たんいつの角速度かくそくどによってすべての粒子りゅうしの速度そくどが同おなじ形がたで表あらわされる。

参考さんこう文献ぶんけん

• 江沢えざわ, 洋よう『力学りきがく ― 高校生こうこうせい・大学生だいがくせいのために』（初版しょはん）日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、2005年ねん2月がつ20日はつか。ISBN 4-535-78501-5。 

• ランダウ, レフ、リフシッツ, エフゲニー『力学りきがく』広重ひろしげ, 徹とおる (訳わけ); 水戸みと, 巌いわお (訳わけ)（増ぞう訂てい第だい3版はん）、東京とうきょう図書としょ〈理論りろん物理ぶつり学がく教程きょうてい〉、1974年ねん10月がつ1日にち。ISBN 978-4-489-01160-3。 

• 新井あらい, 朝雄あさお『物理ぶつり現象げんしょうの数学すうがく的てき諸しょ原理げんり ― 現代げんだい数理すうり物理ぶつり学がく入門にゅうもん』共立きょうりつ出版しゅっぱん、2003年ねん2月がつ20日はつか。ISBN 4-320-01726-9。 
• 長倉ながくら, 三郎さぶろう、井口いぐち, 洋夫ひろお、江沢えざわ, 洋よう、岩村いわむら, 秀しゅう、佐藤さとう, 文隆ふみたか、久保くぼ, 亮あきら五ご『岩波いわなみ理化学りかがく辞典じてん』（第だい5版はん）岩波書店いわなみしょてん、1998年ねん2月がつ20日はつか。 

関連かんれん項目こうもく

• 角すみ周波数しゅうはすう
• 回転かいてん速度そくど
• 角かく運動うんどう量りょう
• 角すみ加速度かそくど
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