特殊とくしゅユニタリ群ぐん

n 次つぎの特殊とくしゅユニタリ群ぐん（とくしゅユニタリぐん、英語えいご: special unitary group）SU(n) とは、行列ぎょうれつ式しきが1の n 次つぎユニタリ行列ぎょうれつの為なす群ぐんの事ことである。群ぐんの演算えんざんは行列ぎょうれつの積せきで与あたえられる。

特殊とくしゅユニタリ群ぐん SU(n) はユニタリ群ぐん U(n) の部分ぶぶん群ぐんであり、さらに一般いっぱん線型せんけい群ぐん GL(n, C)の部分ぶぶん群ぐんである。

特殊とくしゅユニタリ群ぐんは素粒子そりゅうし物理ぶつり学がくにおいて、電でん弱じゃく相互そうご作用さようのワインバーグ＝サラム理論りろんや強つよい相互そうご作用さようの量子りょうし色しょく力学りきがく、あるいはそれらを統合とうごうした標準ひょうじゅん模型もけいや大だい統一とういつ理論りろんなどに出でてくる。

定義ていぎ

$\mathrm {SU} (n)=\{g\in U(n);\det g=1\}$

ここで U(n) はユニタリ群ぐん、 det は行列ぎょうれつ式しきである。

性質せいしつ

特殊とくしゅユニタリ群ぐん SU(n) は、以下いかのような性質せいしつを満みたす。

• 次元じげん n²−1 の単純たんじゅんリー群ぐん
• コンパクトで単たん連結れんけつ
• ランク n−1
• SU(n) の中心ちゅうしんは巡回じゅんかい群ぐん Z_n と同型どうけい
• 外部がいぶ自己じこ同型どうけい群ぐんは n≥3 に対たいしては Z₂、n=2 に対たいしては自明じめいな群ぐん

生成せいせい子こ

SU(n) の生成せいせい子こ T は、トレースが 0 のエルミート行列ぎょうれつで表現ひょうげんされる。

$\mathrm {tr} \,T_{a}=0$

$T_{a}^{\dagger }=T_{a}$

基本きほん表現ひょうげん

基本きほん表現ひょうげん、或あるいは定義ていぎ表現ひょうげんでは、n 次つぎ正方まさかた行列ぎょうれつで表現ひょうげんされる。

$T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}(if_{abc}+d_{abc})T_{c}$

ここで、 f は構造こうぞう定数ていすうで、全すべての添そえ字じに関かんして反対称はんたいしょうであり、d は全すべての添そえ字じに関かんして対称たいしょうである。

従したがって、

$\{T_{a},T_{b}\}=T_{a}T_{b}+T_{b}T_{a}={\frac {1}{n}}\delta _{ab}I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}d_{abc}T_{c}$

$[T_{a},T_{b}]=T_{a}T_{b}-T_{b}T_{a}=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}f_{abc}T_{c}$

規格きかく化か条件じょうけんとして

$\sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}$

をとる。

随伴ずいはん表現ひょうげん

随伴ずいはん表現ひょうげんでは、n²−1 次じ正方せいほう行列ぎょうれつで表現ひょうげんされ、その成分せいぶんは、

$(T_{a})_{ij}=-if_{aij}\,$

で与あたえられる。

例れい

SU(2)

SU(2) の元もとの一般いっぱん形がたは

$U={\begin{bmatrix}\alpha &-{\bar {\beta }}\\\beta &{\bar {\alpha }}\\\end{bmatrix}}$

となる。ここで、αあるふぁ, βべーた ∈ C は |αあるふぁ|² + |βべーた|² = 1 を満みたす。

SU(3)

${\mathfrak {su}}(3)$ の生成せいせい子こ T の基本きほん表現ひょうげんは

$T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}$

ここで、$\lambda$ はゲルマン行列ぎょうれつである。

$\lambda _{1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{2}={\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}$

$\lambda _{4}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{5}={\begin{bmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{6}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{bmatrix}}$

$\lambda _{7}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}$

交換こうかん関係かんけいは

$[T_{a},T_{b}]=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c}$

となり、構造こうぞう定数ていすう f は

$f_{123}=1\,$

$f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}={\frac {1}{2}}\,$

$f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,$

となる。d は

$d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,$

$d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,$

$d_{146}=d_{157}=-d_{247}=d_{256}=d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}={\frac {1}{2}}.\,$

となる。

他たの群ぐんとの関係かんけい

素粒子そりゅうし物理ぶつり学がくでは、対称たいしょう性せいの破やぶれに関連かんれんして部分ぶぶん群ぐんが重要じゅうようになる。

$\mathrm {SU} (p+q)\supset \mathrm {SU} (p)\times \mathrm {SU} (q)\times \mathrm {U} (1)$

$\mathrm {SU} (n)\supset \mathrm {O} (n)$

$\mathrm {SU} (2n)\supset \mathrm {USp} (2n)$

$\mathrm {SO} (2n)\supset \mathrm {SU} (n)$

$\mathrm {USp} (2n)\supset \mathrm {SU} (n)$

$\mathrm {E} _{6}\supset \mathrm {SU} (6)$

$\mathrm {E} _{7}\supset \mathrm {SU} (8)$

$\mathrm {G} _{2}\supset \mathrm {SU} (3)$

O(n): 直交ちょっこう群ぐん、SO(n): 特殊とくしゅ直交ちょっこう群ぐん、USp(2n): シンプレクティック群ぐん、E₆, E₇, G₂: 例外れいがい型がたリー群ぐん

また、スピン群ぐんと以下いかの同型どうけいがある

$\mathrm {Spin} (6)=\mathrm {SU} (4)$

$\mathrm {Spin} (4)=\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)$

$\mathrm {Spin} (3)=\mathrm {SU} (2)=\mathrm {USp} (2)$

関連かんれん項目こうもく

• リー群ぐん

外部がいぶリンク

• Weisstein, Eric W. "Special Unitary Group". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• special unitary group in nLab