五ご進しん法ほう

五ご進しん法ほう（ごしんほう、英えい：quinary）とは、5 を底そこ（てい）とし、底そこおよびその冪べきを基準きじゅんにして数かずを表あらわす方法ほうほうである。

記数きすう法ほう[編集へんしゅう]

五ご進しん記数きすう法ほうとは、5 を底そことする位取くらいどり記数きすう法ほうである。慣用かんように従したがい、通常つうじょうのアラビア数字すうじは十じゅう進数しんすうとし、五ご進しん記数きすう法ほうの表記ひょうきは括弧かっこおよび下付かふの 5 で表あらわす。五ご進しん記数きすう法ほうで表あらわされた数かずを五ご進数しんすうと呼よぶ。

表記ひょうきには 0, 1, 2, 3, 4 の 5 個この数字すうじを用もちい、五ごを 10、六ろくを 11、七ななを 12…と表記ひょうきする。五ご進しん法ほうでは一いち桁けたに入はいる数かずは4までであり、一いち桁けたに入はいる数かずが5までなのは六ろく進しん法ほうである。右みぎ端はしあるいは小数点しょうすうてんで 1 の桁けたを表あらわす。数字すうじの意味いみする数かずは、左ひだりに 1 桁けたずれると 5 倍ばいになり、右みぎに 1 桁けたずれると 1/5 になる。(14)₅ という表記ひょうきにおいて、左ひだりの「1」は五ごを表あらわし、右みぎの「4」は四よんを表あらわし、合あわせて九きゅうを表あらわす。

五ご進しん表記ひょうきの整数せいすうは、以下いかのような数値すうちになる。

(20)₅ = 10 (2×5¹)
(32)₅ = 17 (3×5¹ + 2)
(100)₅ = 25 (1×5²)
(121)₅ = 36 (1×5² + 2×5¹ + 1)
(224)₅ = 64 (2×5² + 2×5¹ + 4)
(311)₅ = 81 (3×5² + 1×5¹ + 1)
(400)₅ = 100 (4×5²)
(1000)₅ = 125 (1×5³)
(1331)₅ = 216 (1×5³ + 3×5² + 3×5¹ + 1)
(10000)₅ = 625 (1×5⁴)
(13000)₅ = 1000 (1×5⁴ + 3×5³)
(20141)₅ = 1296 (2×5⁴ + 0×5³ + 1×5² + 4×5¹ + 1)
(30234)₅ = 1944 (3×5⁴ + 0×5³ + 2×5² + 3×5¹ + 4)

実際じっさいには五ご進しん記数きすう法ほうが用もちいられることは少すくない。しかし、他たのN進すすむ法ほうの内部ないぶに五ご進しん記数きすう法ほうが含ふくまれることはある。例たとえば、そろばんやローマ数字すうじは純粋じゅんすいな十進法じっしんほうではなく、五ごと十じゅうで桁けた上じょうがりするので、二に・五ご進しん法ほうという。ローマ数字すうじでは I が 1、V が 5、X が 10₍₁₀₎、L が 50₍₁₀₎ である。8 は VIII と書かき、70₍₁₀₎ は LXX と書かく。

同様どうように、マヤ文明ぶんめいの数字すうじは二に十進法じっしんほうであるが、五ご進しん記数きすう法ほうを補助ほじょ的てきに含ふくんでいる。貝殻かいがら模様もようが0、点てんが 1、横よこ棒ぼうが 5 を表あらわし、これらを組くみ合あわせて 1 から J₍₂₀₎ (= 19₍₁₀₎) までの数字すうじや、10₍₂₀₎ (= 20₍₁₀₎)以降いこうの数字すうじを作つくる。

各かく桁けたの和わが4の倍数ばいすうとなる数かずは4の倍数ばいすうになる。

5が奇数きすうなので、各かく桁けたの和わが偶数ぐうすうになる数かずは全すべて偶数ぐうすうである。

小数しょうすうと除算じょざん[編集へんしゅう]

五ご進しん法ほうは因数いんすうが5だけなので、5でしか割わり切きれない。一いち桁けたの整数せいすうを単位たんい分数ぶんすうにすると、全すべて循環じゅんかん小数しょうすうになる。十じゅう分割ぶんかつ（五ご進しん表記ひょうきで1/20）も因数いんすうが2と5なので割わり切きれず、循環じゅんかん小数しょうすうになる。

単位たんい分数ぶんすうの小数しょうすう換算かんさん値ち
除数じょすうの素因数そいんすう分解ぶんかい	五ご進しん分数ぶんすう	五ご進しん小数しょうすう	十じゅう進しん小数しょうすう	十じゅう進しん分数ぶんすう
2	1/2	0.2222…	0.5	1/2
3	1/3	0.1313…	0.3333…	1/3
2²	1/4	0.1111…	0.25	1/4
10	1/10	0.1	0.2	1/5
2×3	1/11	0.0404…	0.1666…	1/6
2×10	1/20	0.0222…	0.1	1/10

※ 単位たんい分数ぶんすうと素因数そいんすう分解ぶんかいは五ご進しん表記ひょうき。

計算けいさん表ひょう[編集へんしゅう]

加算かさん表ひょう
+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	10
2	2	3	4	10	11
3	3	4	10	11	12
4	4	10	11	12	13

乗算じょうざん表ひょう
×	1	2	3	4
0	0	0	0	0
1	1	2	3	4
2	2	4	11	13
3	3	11	14	22
4	4	13	22	31

命数めいすう法ほう[編集へんしゅう]

五ご進しん命数めいすう法ほうとは、5 を底そことする命数めいすう法ほうである。

数詞すうし[編集へんしゅう]

五ご進しん法ほうは片へん手ての指ゆびの数かずに由来ゆらいする。しかし、五ご進しん法ほうは五ごで桁けた上じょうがりするので、五ご進しん法ほうで数かぞえるなら指ゆびは五ご本ほんではなく四よん本ほんで足たりる（一いち桁けたに四よんまでしか入はいらない）。

五ご以降いこうの数詞すうしも、六ろくは「五ご一いち」、七ななは「五ご二に」というように六ろくから九きゅうまでは「五ごに一いちから四よんまでを加くわえた数詞すうし」として表現ひょうげんされ、十じゅうは「二に五ご」、十じゅう一いちは「二に五ご一いち」、十じゅう二には「二に五ご二に」…というように「M倍ばいの五ご + R」として数かぞえる。そして、二に十じゅう三さんは「四よん五ご三さん」、二に十じゅう四よんは「四よん五ご四よん」と来きて、その次つぎで五ごの二に乗じょうである二に十じゅう五ごで新あたらしい数詞すうしが命名めいめいされ、以降いこうは五ごの三さん乗じょうである百ひゃく二に十じゅう五ごなど五ごの冪べき数すうで新あたらしい数詞すうしが命名めいめいされる。

自然しぜん言語げんごで五ご進しん命数めいすう法ほうの数詞すうしを持もつものは少すくない。完全かんぜんな五ご進しん法ほうはオーストラリアのグマチ語ご^[1] (Gumatj) でのみ見出みいだされている^[2]。以下いかにグマチ語ごの数詞すうしを示しめす。

五ご進数しんすう	十じゅう進数しんすう	数詞すうし
1	1	wanggany
2	2	marrma
3	3	lurrkun
4	4	dambumiriw
10	5	wanggany rulu
20	10	marrma rulu
30	15	lurrkun rulu
40	20	dambumiriw rulu
100	25	dambumirri rulu
200	50	marrma dambumirri rulu
300	75	lurrkun dambumirri rulu
400	100	dambumiriw dambumirri rulu
1000	125	dambumirri dambumirri rulu
10000	625	dambumirri dambumirri dambumirri rulu

五ご進しん法ほうを含ふくむ十進法じっしんほうはウォロフ語ごやクメール語ご、五ご進しん法ほうを含ふくむ二に十進法じっしんほうはナワトル語ごに見みられる。

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Gumatj”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.) 2008年ねん3月がつ12日にち閲覧えつらん。
^ Harris, John (1982), Hargrave, Susanne, ed., “Facts and fallacies of aboriginal number systems”, Work Papers of SIL-AAB Series B 8: 153-181, オリジナルの2007年ねん8月がつ31日にち時点じてんにおけるアーカイブ。