フィックの法則ほうそく

フィックの法則ほうそく（フィックのほうそく、英えい: Fick's laws of diffusion）とは、物質ぶっしつの拡散かくさんに関かんする基本きほん法則ほうそくである。気体きたい、液体えきたい、固体こたい（金属きんぞく）どの拡散かくさんにも適用てきようできる。フィックの法則ほうそくには、第だい1法則ほうそくと第だい2法則ほうそくがある。

この法則ほうそくは、1855年ねんにアドルフ・オイゲン・フィックによって発表はっぴょうされた。フィックは拡散かくさん現象げんしょうを、熱ねつ伝導でんどうに関かんするフーリエ (1822) の理論りろんと同おなじように考かんがえることができるとしてこの法則ほうそくを与あたえた。

フィックの第だい1法則ほうそく

第だい1法則ほうそくは、定常ていじょう状態じょうたい拡散かくさん、すなわち、拡散かくさんによる濃度のうどが時間じかんに関かんして変かわらない時ときに使つかわれる、「拡散かくさん流りゅう束たばは濃度のうど勾配こうばいに比例ひれいする」という法則ほうそくである。工業こうぎょう的てきに定常ていじょう状態じょうたい拡散かくさんは水素すいそガスの純化じゅんかに見みられる。数式すうしきで表あらわすと、

${\boldsymbol {J}}=-D\operatorname {grad} c$

あるいは1次元じげんなら、

$J=-D{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} x}}$

となる。ここで、記号きごうの意味いみは以下いかである：

• J は拡散かくさん束たばまたは流ながれ束たば (flux)といい、単位たんい時間じかん当あたりに単位たんい面積めんせきを通過つうかする、ある性質せいしつの量りょうと定義ていぎされる。質量しつりょうが通過つうかする場合ばあいには次元じげんは[ML^-2T^-1]で与あたえられる。
• D は拡散かくさん係数けいすう (diffusion coefficient)といい、次元じげんは[L²T^-1]
• c は濃度のうどで、次元じげんは[ML^-3]
• x は位置いちで、次元じげんは[L]

導出どうしゅつ

任意にんいの位置いちx における拡散かくさん流りゅう束たばJ は濃度のうど勾配こうばいに比例ひれいする

1次元じげんで説明せつめいする。区間くかん$[x,x+a]$ の間あいだにある粒子りゅうし数すうを$N(x)$ とおく。粒子りゅうしはそれぞれ独立どくりつに運動うんどうしていて、時間じかん$\tau$ 後のちに左ひだりか右みぎに確かく率りつ$1/2$ で距離きょり$a$ 移動いどうすると仮定かていする。区間くかん$[x,x+a]$ を右みぎに通過つうかする粒子りゅうし数すうは

$-{\frac {1}{2}}(N(x+a)-N(x))$

となるから、流ながれ束たば$J$ は微小びしょうな$a,\tau$ に対たいして

$J=-{\frac {1}{2\tau }}(N(x+a)-N(x))=-{\frac {1}{2\tau }}{\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} x}}a$

となる。濃度のうど$c=N/a$ で書かき換かえると

$J=-D{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} x}}$

ここで、

$D={\frac {a^{2}}{2\tau }}$

である。$D$ を定数ていすうとしていることは、平均へいきん自由じゆう時間じかん$\tau$ よりも長時間ちょうじかんの時間じかんスケールで運動うんどうを見みているということ（粗あら視し化か）を意味いみする。

フィックの第だい2法則ほうそく

第だい2法則ほうそくは、非ひ定常ていじょう状態じょうたい拡散かくさん、すなわち、拡散かくさんにおける濃度のうどが時間じかんに関かんして変かわる時ときに使つかわれる。実際じっさいの拡散かくさんの状態じょうたいは、非ひ定常ていじょう状態じょうたいがほとんどである。拡散かくさん係数けいすうD が定数ていすうのとき、濃度のうどc の時間じかん変化へんかは次つぎの拡散かくさん方程式ほうていしきで表あらわされる：

${\frac {\partial c}{\partial t}}=-\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}=D\nabla ^{2}c$

これは広義こうぎの連続れんぞくの式しきと等価とうかである。あるいは1次元じげんなら、

${\frac {\partial c}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}}$

記号きごうは第だい1法則ほうそくと同様どうようである。

導出どうしゅつ

フィックの第だい2法則ほうそく導出どうしゅつ模も式しき図ず
位置いちと濃度のうどの時間じかん変化へんかが、それぞれdx とdc である

第だい2法則ほうそくは、第だい1法則ほうそくから導みちびく。第だい1法則ほうそくで導みちびいたのと同おなじように、単位たんい面積めんせきの断面だんめんを持もつパイプ状じょうの物体ぶったいを想定そうていする。x とx + dx にはさまれた体積たいせきdx の部分ぶぶんの濃度のうどをcとすると、その中なかの溶質ようしつの量りょうはcdxと書かける。この時間じかん的てき変化へんか ∂c/∂t dxを考かんがえる。 この時とき、x + dx の境界きょうかいを通とおして注目ちゅうもくしている領域りょういきに流ながれ込こむ溶質ようしつの量りょうはJ(x + dx)、この領域りょういきからx の境界きょうかいを通とおして流ながれ出でる溶質ようしつの量りょうはJ(x) である。これより、

${\frac {\partial c}{\partial t}}\mathrm {d} x=J(x)-J(x+\mathrm {d} x)$   ・・・(1)

ここで第だい1法則ほうそくより

$J(x)=-D\left({\frac {\partial c(x,t)}{\partial x}}\right),$

$J(x+\mathrm {d} x)=J(x)+{\frac {\partial J(x)}{\partial x}}\mathrm {d} x=-D\left({\frac {\partial c(x,t)}{\partial x}}\right)_{x}-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial c(x,t)}{\partial x}}\right)_{x}\mathrm {d} x$

であるから、これらを式しき(1)に代入だいにゅうしてフィックの第だい2法則ほうそくが導みちびき出だされる。

• D が定数ていすうの場合ばあいは、

${\frac {\partial c}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}}$

となり、比較的ひかくてき容易よういに解とくことができる。初期しょき条件じょうけんおよび境界きょうかい条件じょうけんによって、いくつかの解かいがある。

• D が定数ていすうでない場合ばあいは、

${\frac {\partial c}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial c}{\partial x}}\right)={\frac {\partial D}{\partial x}}{\frac {\partial c}{\partial x}}+D{\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}}$

となる。D の関数かんすう形がたにもよるが、解とくのは困難こんなんになる。

一般いっぱんの場合ばあい

上記じょうきでは拡散かくさん係数けいすうD は等ひとし方かた的てきな定数ていすうであるとしたが、より一般いっぱんには、方向ほうこうに依存いぞんし、濃度のうど勾配こうばいと流ながれ束たばが平行へいこうであるとは限かぎらない。この場合ばあい、D は2階かいのテンソル量りょうとなる。

拡散かくさん係数けいすう

具体ぐたい的てきな物質ぶっしつにおける拡散かくさん係数けいすうの例れい

物質ぶっしつ1	物質ぶっしつ2	拡散かくさん係数けいすう（m2/s）	備考びこう
O2	N2	1.74×10−5	0°C
CO2	水みず	1.70×10−9	20°C
水銀すいぎん	Cd	1.53×10−9	20°C
エタノール	水みず	1.13×10−9	27°C、1気圧きあつ、x C2H6O = 0.05
エタノール	水みず	0.90×10−9	27°C、1気圧きあつ、x C2H6O = 0.5
エタノール	水みず	2.20×10−9	27°C、1気圧きあつ、x C2H6O = 0.95
ショ糖とう	水みず	5.22×10−10	27°C、1気圧きあつ
金属きんぞく		10-12	融点ゆうてん直下ちょっか、

アインシュタイン・ストークスの式しき

ガス分子ぶんしなどの分子ぶんし拡散かくさんの場合ばあい、拡散かくさん現象げんしょうはブラウン運動うんどうによる説明せつめいができ、拡散かくさん係数けいすうD は次つぎ式しきで与あたえられる。この式しきをアインシュタイン・ストークスの式しき（Stokes-Einstein equation）という。

$D=kTB={\frac {kT}{6\pi \eta a}}$

• k ：ボルツマン定数ていすう
• T ：温度おんど
• B ：移動いどう度ど
• ηいーた：粘性ねんせい率りつ
• a ：分子ぶんし半径はんけい

金属きんぞく

金属きんぞくなどでは、拡散かくさん係数けいすうD の温度おんど依存いぞん性せいは次つぎのように表あらわされる。

$D=D_{0}\exp \left(-{\frac {Q}{RT}}\right)$

ここでD₀ は振動しんどう数すう因子いんし、Q は拡散かくさんの活性かっせい化かエネルギーと呼よばれる。R は気体きたい定数ていすうである。

無む次元じげん数すう

流体りゅうたい力学りきがくでよく用もちいられる無む次元じげん量りょうのなかで、物質ぶっしつの拡散かくさんに関係かんけいするものには以下いかがある：

• シュミット数すう - 動どう粘性ねんせい係数けいすうと拡散かくさん係数けいすうD の比ひ
• ルイス数すう - 熱ねつ拡散かくさん率りつと拡散かくさん係数けいすうD の比ひ
• ペクレ数すう - 本来ほんらいは慣性かんせいと熱ねつ拡散かくさん率りつの比ひだが、アナロジーとして慣性かんせいと拡散かくさん係数けいすうD の比ひをとることがある。

関連かんれん項目こうもく

• 物理ぶつり法則ほうそく一覧いちらん
• 俣野またの界面かいめん
• カーケンドール効果こうか
• ダーケンの理論りろん
• 移動いどう現象げんしょう論ろん
  • 熱ねつ伝導でんどう - 熱ねつの拡散かくさん現象げんしょうであり、濃度のうどを温度おんどと読よみ替かえればフィックの法則ほうそくと同様どうようのフーリエの法則ほうそくが成なり立たつ。
  • 電気でんき伝導でんどう