應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう

應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう，也稱應力おうりょく-能のう量りょう-動どう量りょう張はり量りょう、能のう量りょう-應力おうりょく張はり量りょう、能のう量りょう-動どう量りょう張はり量りょう、簡稱能動のうどう張はり量りょう，在ざい物理ぶつり學がく中ちゅう是ぜ一いち個こ張ちょう量りょう，描述能のう量りょう與あずか動どう量りょう在ざい時空じくう中ちゅう的てき密度みつど與あずか通つう量りょう(flux)，其為牛うし頓ひたぶる物理ぶつり中なか應力おうりょく張はり量りょう的てき推廣。在ざい廣義こうぎ相對そうたい論ろん中なか，應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう為ため重力じゅうりょく場じょう的まと源げん，一如いちにょ牛うし頓ひたぶる重力じゅうりょく理論りろん中なか質量しつりょう是ぜ重力じゅうりょく場じょう源げん一般いっぱん。應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう具有ぐゆう重要じゅうよう的てき應用おうよう，尤ゆう其是在ざい愛あい因いん斯坦場じょう方程式ほうていしき。

定義ていぎ

請注意ちゅうい我わが們將全ぜん程ほど使用しよう到いた愛あい因いん斯坦取と和わ原則げんそく。當用とうよう到いた座標ざひょう表示ひょうじ，x⁰代表だいひょう時間じかん，其他座標ざひょう項こうx¹, x²及x³則のり為ため剩あま下した的てき空間くうかん分量ぶんりょう。

應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう為ため一いち個こ二に階かい張ちょう量りょう $T^{ab}$ ，給きゅう出で四よん維動量りょう或ある4-動どう量りょう之これa分量ぶんりょう通過つうか一いち座標ざひょう為ため常數じょうすうx^b之これ表面ひょうめん的てき通つう量りょう。另外要注意ようちゅうい的てき是ぜ應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう是ぜ對稱たいしょう(當とう自じ旋張量りょう為ため零れい時じ)，亦また即そく

T^{ab}=T^{ba}\,

若わか自じ旋張量りょうS非ひ零れい，則のり

\partial _{\alpha }S^{\mu \nu \alpha }=T^{\mu \nu }-T^{\nu \mu }

例れい子こ

此處ここら舉出一いち些特例れい：

T^{00}

代表だいひょう能のう量りょう密度みつど。

T^{0i}

代表だいひょう能のう量りょう通過つうかxⁱ表面ひょうめん之の通つう量りょう，等ひとし同どう於

T^{i0},

第だいi 動どう量りょう之の密度みつど。

分量ぶんりょう

T^{ij}

代表だいひょうi 動どう量りょう通過つうかx^j表面ひょうめん之の通つう量りょう。其中較特別べつ的てき是ぜ：

T^{ii}

代表だいひょう一いち個こ類似るいじ壓力あつりょく與あずか張ちょう應力おうりょく的てき物理ぶつり量りょう——正せい向こう應力おうりょく(normal stress)，而

T^{ij},\quad i\neq j

代表だいひょう剪應力りょく(shear stress)。

提ひさげ醒：在ざい固かた態たい物理ぶつり與あずか流體りゅうたい力學りきがく中なか，應力おうりょく張はり量りょう所ところ指ゆび為ため應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう於共きょう動どう參考さんこう系けい(comoving frame of reference)的てき空間くうかん分量ぶんりょう。換かわ句く話はなし說せつ，工程こうてい學がく中なか的てき應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう與あずか此處ここら由よし動どう量りょう對流たいりゅう項こう(momentum convective term)表示ひょうじ的てき應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう有ゆう所しょ差異さい。

作為さくい諾だく特とく流りゅう(Noether current)

應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう滿足まんぞく連續れんぞく性せい方程式ほうていしき(continuity equation)

\nabla _{b}T^{ab}=T^{ab}{}_{;b}=0

.

此一物理ぶつり量りょう

\int d^{3}xT^{a0}

是ぜ對たい一いち類るい空むなし切きり面めん積分せきぶん，得とく出で能のう量りょう-動どう量りょう向むこう量りょう。分量ぶんりょう $T^{a0}$ 因いん此可以詮釋しゃく為ため（非ひ重力じゅうりょく的てき）能のう量りょう與あずか動どう量りょう之の局きょく域いき密度みつど，而連續れんぞく性せい方程式ほうていしき的てき第だい一いち分量ぶんりょう

\nabla _{b}T^{0b}=\nabla \cdot \mathbf {p} -{\frac {\partial E}{\partial t}}=0

則のり單純たんじゅん是ぜ能のう量りょう守恆もりつね的まと表ひょう述じゅつ。空間くうかん分量ぶんりょう $T^{ij}$ (i, j = 1, 2, 3)則のり對應たいおう到いた局きょく域いき非ひ重力じゅうりょく的てき應力おうりょく分量ぶんりょう，其中包括ほうかつ了りょう壓力あつりょく。此一張量為與時空じくう移動いどう相應そうおう的てき守恆もりつね諾だく特とく流りゅう(Noether current)。

於廣義こうぎ相對そうたい論ろん中ちゅう

上面うわつら所しょ給きゅう的てき關係かんけい並なみ不ふ唯ただ一いち決定けってい此張量りょう。在ざい廣義こうぎ相對そうたい論ろん中なか，對稱たいしょう形式けいしき的てき張はり量りょう，也就是ぜ額がく外がい滿足まんぞく

T^{ab}=T^{ba}

的てき關係かんけい的てき張はり量りょう成なり為ため時空じくう曲きょく率りつ的まと源げん，並なみ且是與あずか規範きはん变換(gauge transformation)相應そうおう的てき流りゅう密度みつど(current density)，在ざい此是以座標ざひょう变換為ため例れい。若わか有ゆう扭率(torsion)，則のり此張量りょう就不再さい是ぜ對稱たいしょう的てき。這對應おう到いた非ひ零れい自じ旋張量りょう的てき例れい子こ。參まいり見み愛あい因いん斯坦-嘉よしみ當とう重力じゅうりょく。

在ざい廣義こうぎ相對そうたい論ろん中ちゅう，平たいら直ただし時空じくう所用しょよう的てき偏へん導しるべ數すう(偏へん微分びぶん，partial derivative)修おさむ改あらため為ため協きょう變へん導しるべ數すう(covariant derivative)。這表示ひょうじ連續れんぞく性せい方程式ほうていしき中ちゅう用よう張はり量りょう表示ひょうじ的てき能のう量りょう和わ動どう量りょう不ふ是ぜ絕對ぜったい地ち守恆もりつね。在ざい牛うし頓ひたぶる重力じゅうりょく的てき古典こてん極限きょくげん，這一いち點てん有ゆう一いち個こ簡單かんたん的てき解釋かいしゃく：與あずか引力いんりょく位くらい能のう互相交換こうかん的てき能のう量りょう，它沒有ゆう包含ほうがん在ざい能動のうどう張はり量りょう中ちゅう，而動量りょう是ぜ通過つうか場じょう傳でん遞到其他物體ぶったい。然しか而在廣義こうぎ相對そうたい論ろん中ちゅう，無法むほう定義ていぎ對應たいおう「重力じゅうりょく場じょう」能のう量りょう密度みつど與あずか動どう量りょう密度みつど的てき物理ぶつり量りょう；任にん何なん意圖いと要よう定義ていぎ這些密度みつど的てき膺張量りょう(pseudo-tensor)均ひとし可か以透過とうか一個座標轉換使它們局域地消失為零。一般いっぱん情況じょうきょう下か，對たい於應力りょく─能のう量りょう張はり量りょう只ただ是ぜ部分ぶぶん的てき"協きょう變へん守恆もりつね"，我わが們必須ひっす感かん到いた心こころ滿まん意い足あし。

在ざい彎曲わんきょく時空じくう中ちゅう，一般いっぱん而言類るい空そら積分せきぶん依賴いらい於類空そら截面。事實じじつ上じょう在ざい一般的彎曲時空中是無法定義一個全局的能量─動どう量りょう張はり量りょう（原文げんぶん誤あやま為ため'vector'）。

愛あい因いん斯坦場じょう方程式ほうていしき

在ざい廣義こうぎ相對そうたい論ろん中ちゅう，應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう主要しゅよう出現しゅつげん在ざい愛あい因いん斯坦場じょう方程式ほうていしき的てき研究けんきゅう題材だいざい中ちゅう，方程式ほうていしき常つね寫うつし為ため：

R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}R\,g_{\alpha \beta }={8\pi G \over c^{4}}T_{\alpha \beta },

其中 $R_{\alpha \beta }$ 為ため里さと奇き張はり量りょう, $R$ 為ため里さと奇き純量じゅんりょう（對たい里さと奇き張はり量りょう做張ちょう量りょう縮ちぢみ併(tensor contraction)而得），以及 $G$ 為ため宇宙うちゅう重力じゅうりょく常數じょうすう(universal gravitational constant).

特殊とくしゅ情じょう况下的てき应力-能のう量りょう张量

孤立こりつ粒子りゅうし

在ざい狭せま义相对论中ちゅう，质量为m的てき无相互そうご作用さよう粒子りゅうし的てき应力-能のう量りょう张量为：

T^{\alpha \beta }[t,x,y,z]={\frac {m\,v^{\alpha }[t]v^{\beta }[t]}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\delta (x-x[t])\delta (y-y[t])\delta (z-z[t])

其中δでるた是ぜ狄拉克かつδでるた函数かんすう， $v^{\alpha }\!$ 是ぜ速度そくど矢や量りょう：

{\begin{pmatrix}v^{0}[t]\\v^{1}[t]\\v^{2}[t]\\v^{3}[t]\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\{dx[t] \over dt}\\{dy[t] \over dt}\\{dz[t] \over dt}\end{pmatrix}}.

处于平衡へいこう状じょう态下的てき流体りゅうたい的てき应力-能のう量りょう张量

对于处于热平衡へいこう状じょう态下的てき流体りゅうたい，应力-能のう量りょう张量具有ぐゆう一个特别简单的形式：

T^{\alpha \beta }\,=(\rho +{p \over c^{2}})u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }

其中 $\rho$ 是ぜ质量-能のう量りょう密度みつど（牛うし顿每立方りっぽう米まい）， $p$ 是ぜ流体りゅうたい静せい压力（牛うし顿每平方へいほう米まい）， $u^{\alpha }$ 是ぜ流体りゅうたい的てき四よん维速度そくど， $g^{\alpha \beta }$ 是これ度量どりょう张量的てき逆ぎゃく。

四よん维速度そくど满足：

u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.

在ざい随ずい流体りゅうたい一いち起おこり移うつり动的惯性参考さんこう系けい中ちゅう，四よん维速度そくど为：

u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,

度量どりょう张量的てき倒たおせ数すう为：

g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-c^{-2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,,

应力-能のう量りょう张量是ぜ一个对角矩阵：

T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).

电磁应力-能のう量りょう张量

一个无源电磁场的应力-能のう量りょう张量为：

T^{\mu \nu }(x)={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)

其中 $F_{\mu \nu }$ 是これ电磁张量。

标量场

满足克かつ莱因-戈ほこ尔登方かた程ほど的てき标量场 $\phi$ 的てき应力-能のう量りょう张量为：

T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta })\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi .

各かく式しき各樣かくよう的てき應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう

存在そんざい有ゆう一些互不相等的應力-能のう量りょう張はり量りょう。

正則せいそく(Canonical)應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう

其為與あずか時空じくう平たいら移うつり相關そうかん的てき諾だく特とく流りゅう。

希まれ爾しか伯はく特とく應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう

應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう在ざい廣義こうぎ相對そうたい論ろん中ちゅう僅能以動態度たいど規ぶんまわし來らい定義ていぎ。其定義ていぎ成なり一いち個こ泛函導しるべ數すう(functional derivative)

T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\mathcal {S}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}

其中S_matter是これ作用さよう量りょう的てき非ひ重力じゅうりょく部ぶ份，為ため對稱たいしょう的てき且有規範きはん不變ふへん性せい。

Belinfante-Rosenfeld應力おうりょく-能のう量りょう張はり量りょう

赝張量りょう(Pseudotensors)

赝張量りょう的てき例れい子こ有ゆう愛あい因いん斯坦赝張量りょう與あずか藍あい道みち-里さと夫おっと須茲赝張量りょう(Landau-Lifschitz pseudotensor)。

外部がいぶ連結れんけつ

Lecture, Stephan Waner
Caltech Tutorial on Relativity — A simple discussion of the relation between the Stress-Energy tensor of General Relativity and the metric