クロソイド曲線きょくせん

クロソイド曲線きょくせん（クロソイドきょくせん、英えい: clothoid curve）とは緩和かんわ曲線きょくせんの一種いっしゅである^[1]。「クロソイド」という名なは、人間にんげんの運命うんめいの糸いとを紡つむぐとされるギリシア神話しんわの女神めがみクローソーに由来ゆらいするもので、イタリアの数学すうがく者しゃエルネスト・チェザロによって名付なづけられた^[2]。光学こうがく分野ぶんやにおいては、同どう曲線きょくせんはオイラー螺旋らせん（オイラーらせん）やコルニュ螺旋らせん（コルニュらせん）とも呼よばれる。

詳細しょうさい[編集へんしゅう]

曲きょく率りつを一定いってい割合わりあいで変化へんかさせていった場合ばあいに描えがかれる軌跡きせきがクロソイド曲線きょくせんである^[1]。曲きょく率りつ半径はんけいと始点してんからの曲線きょくせん長ちょうをそれぞれ $R$ と $L$ としたとき、両者りょうしゃの積せきは一定いっていとなる。

RL=A^{2}

$A$ は、クロソイドパラメーターと呼よばれる、長ながさの次元じげんを持もつ定数ていすうである。この式しきにおいて、無む次元じげん量りょう $r=R/A$ および $l=L/A$ をそれぞれ定義ていぎすると、 $rl=1$ となり、 $r$ および $l$ の幾何きか学がく的てき性質せいしつから、実際じっさいの応用おうようにはスケール因子いんしとして機能きのうする $A$ を調節ちょうせつすることで足たりる。これは、初等しょとう幾何きか学がくの三角形さんかっけいの相似そうじのように、多おおくの曲線きょくせんの中なかで極ごく稀まれな相似そうじ則そくを有ゆうする曲線きょくせんである。この相似そうじ則そくを利用りようして、直線ちょくせん・円弧えんこ・クロソイド曲線きょくせんの複ふく合あわした複雑ふくざつな道路どうろの路線ろせん設計せっけいが可能かのうとなる。

始点してんの座標ざひょうをユークリッド空間くうかん上うえの原点げんてんとして、 $x$ 軸じくを原点げんてんにおける接線せっせん方向ほうこうに取とれば、無む次元じげん化かされた座標ざひょう $(x,y)$ は媒介ばいかい変数へんすう ${\theta }$ と既すでに定義ていぎされている無む次元じげん化かされた曲線きょくせん長ちょう $l$ を用もちいて次つぎのように書かき表あらわされる。

x(l)={\int }_{0}^{l}{\cos }{\frac {{\theta }^{2}}{2}}d{\theta },{\quad }y(l)={\int }_{0}^{l}{\sin }{\frac {{\theta }^{2}}{2}}d{\theta }

本式ほんしき中ちゅうの積分せきぶんはフレネル積分せきぶんとして知しられている。

なお、 $0$ の曲きょく率りつを有ゆうするものが直線ちょくせんで、そうではない有限ゆうげん値ねに曲きょく率りつを固定こていしたものが円えんである^[1]。

実用じつよう例れい[編集へんしゅう]

道路どうろ・線路せんろ[編集へんしゅう]

例たとえば、自動車じどうしゃの運転うんてんにおいて、運転うんてん者しゃが一定いっていの走行そうこう速度そくどで、ハンドルを一定いっていの角速度かくそくどで回まわしていった場合ばあいに自動車じどうしゃが走行そうこうした軌跡きせきはクロソイド曲線きょくせんを描えがく^[3]。もし、直線ちょくせんの道路どうろに円弧えんこ状じょうの道路どうろが直接ちょくせつ接続せつぞくされると、その地点ちてんで曲きょく率りつ半径はんけいの変化へんかに不連続ふれんぞくが生しょうじて、自動車じどうしゃならば急きゅうなハンドル操作そうさを、自動じどう二に輪りん車しゃならば車体しゃたいの急きゅうな倒たおし込こみを、それぞれ行おこなわなければ円周えんしゅう上じょうを辿たどれない。すなわち、躍おど度たびの急増きゅうぞうで、乗員じょういんや積つみ荷にが危険きけんに曝さらされる。そのために、直線ちょくせんと円弧えんことを繋つなぐ中なか間あいだにクロソイド曲線きょくせん等とうの緩和かんわ曲線きょくせんが挿入そうにゅうされる。この緩和かんわ曲線きょくせんに沿そって、運転うんてん者しゃに取とって好このましい、ハンドルを滑なめらかに等ひとし速そく回転かいてんする運転うんてん操作そうさを行おこなえば、自動車じどうしゃ走行そうこう路線ろせん長ちょうの最短さいたんを通とおり、2次じ微分びぶん連続れんぞく( $C^{2}$ 連続れんぞく)で変へん曲きょく点てんのない一定いっていの曲きょく率りつの線上せんじょうを、回転かいてん揺ゆれなく走行そうこうできる。つまり、クロソイド曲線きょくせんとは、慣性かんせい航法こうほうの理想りそう軌道きどう上うえを走行そうこうする、消費しょうひエネルギーを最小さいしょうにする経路けいろである。既すんで述じゅつの通とおり、クロソイド曲線きょくせんは容易よういなハンドル操作そうさのために道路どうろ等とうに利用りようされているが、クロソイド曲線きょくせんの区間くかんが短みじか過すぎると、これも運転うんてん者しゃに無理むりなそれを強しいることになってしまう^[3]。安全あんぜんなハンドル操作そうさのためには、クロソイド曲線きょくせん区間くかんの走行そうこう時間じかんが3秒びょう以上いじょうとならなければならない^[3]。

クロソイド曲線きょくせんは、ドイツの第だい一いち次じ世界せかい大戦たいせん後ごの復興ふっこうの象徴しょうちょうとなるアウトバーン建設けんせつで、総そう監督かんとくを務つとめたフリッツ・トートによって道路どうろ線形せんけいとして世界せかいで最初さいしょに採用さいようされた。日本にっぽんにおいては、同どう曲線きょくせんは1952年ねんに国道こくどう17号ごうの三国峠みくにとうげ付近ふきんの区間くかんを改良かいりょうする際さいに初はじめて導入どうにゅうされた^[4]。

この峠とうげの群馬ぐんま県けん側がわには記念きねん碑ひ『クロソイド曲線きょくせん碑ひ』が建たてられている^[5]^[6]。

クロソイド曲線きょくせんが日本にっぽんの道路どうろに本格ほんかく的てきに採用さいようされ始はじめたのは、フリッツ・トートが監督かんとくしたアウトバーンの建設けんせつに従事じゅうじしていた経歴けいれきを持もち、世界銀行せかいぎんこうの提案ていあんが発端ほったんとなって名神めいしん高速こうそく道路どうろ建設けんせつの技術ぎじゅつ顧問こもんとして来日らいにち滞在たいざいしたフランツ・クサーヴァー・ドルシュによる平面へいめん線形せんけいの主要しゅよう線形せんけい要素ようそにおける採用さいようが契機けいきである^[7]^[8]。その後ごは、同どう曲線きょくせんは、道路どうろのみならず、曲きょく率りつ半径はんけいの小ちいさい地下鉄ちかてつ等ひとしに用もちいられている。なお、在来ざいらい線せんには3次じ放物線ほうぶつせんが、新幹線しんかんせんには半はん波長はちょう正弦せいげん逓減ていげん曲線きょくせんが、それぞれ用もちいられている^[1]。

クロソイド曲線きょくせんは、設計せっけいやシミュレーションの段階だんかいから電子でんし計算けいさんを活用かつようして、多用たようされている。

スプライン系けいの曲線きょくせんと比較ひかくするとデータ点数てんすうと変数へんすうが大幅おおはばに少すくないので、電子でんし媒体ばいたいの使用しよう容量ようりょうの増加ぞうかを防ふせいでコンピューターネットワークの負荷ふかを大おおきく減少げんしょうさせる利点りてんもあって、ADAS(先進せんしん運転うんてんシステム)の高度こうど化かと車両しゃりょうの超ちょう短期たんき開発かいはつの最前線さいぜんせんで、各種かくしゅアクティブ制御せいぎょ等とう高度こうど化かの基本きほん関数かんすうとなっている。同時どうじに、道路どうろのアップダウン情報じょうほうの縦断じゅうだん勾配こうばい(設計せっけい値ちは放物線ほうぶつせん軌道きどうの数式すうしきを採とる)や横断おうだん勾配こうばい(カント)の摺すり付づけ・拡幅かくふく量りょうの摺すり付づけ・路面ろめん凹凸おうとつ三さん次元じげん座標ざひょう・凍結とうけつ等とう路面ろめん状況じょうきょうと風速ふうそく等ひとしの気象きしょう環境かんきょう・渋滞じゅうたい状況じょうきょうの報知ほうち・予測よそくデータを使用しようした ${\rm {{CO}_{2}}}$ 排出はいしゅつ量りょうの削減さくげん・転覆てんぷく防止ぼうし等とうの安全あんぜん運転うんてん支援しえん・車両しゃりょう制御せいぎょや前ぜん照あきら灯とうの傾かたむきの制御せいぎょに使つかわれている。

カーナビゲーションシステムで使用しようされている折線おれせん列れつ3次元じげんデータから車載しゃさいコンピューターがリアルタイムに曲きょく率りつを計算けいさんしてこれらの用途ようとに利用りようする動向どうこうも在ある。しかし、現実げんじつの道路どうろ中心ちゅうしん線形せんけいは建設けんせつ時じに5cmから1mほどの製造せいぞう誤差ごさがあり、しかも、直線ちょくせん・円弧えんこ・クロソイド曲線きょくせん・放物線ほうぶつせんの複雑ふくざつな組くみ合あわせから構成こうせいされているために、車載しゃさいコンピューターで逆ぎゃく問題もんだいを精度せいど良よく高速こうそくに解とく自動じどう計算けいさんによる線形せんけいの復元ふくげんにおいて安全あんぜん運転うんてん支援しえんの目的もくてきで走行そうこう時じの安定あんてい的てきな計算けいさん値ちを保証ほしょうすることが大変たいへん困難こんなんである。リアルタイム処理しょりではない事前じぜんの前ぜん処理しょりと超ちょう高速こうそくデータベースに線形せんけいデータを格納かくのうするためのオーサリングが欠かかせない。

かつては、クロソイド曲線きょくせんを平面へいめん図ずに描えがく際さいには $X$ 軸じくの一定いってい間隔かんかく毎ごとに $Y$ 軸じくの数値すうちを収録しゅうろくしたクロソイド表ひょうを参照さんしょうしてプロットしたいくつかの点てんを雲形くもがた定規じょうぎや専用せんようのクロソイド定規じょうぎを用もちいて繋つなぐ等ひとして仕上しあげていたが、現在げんざいはCADきゃどをはじめとした種々しゅじゅのソフトウェアが普及ふきゅうしてからは容易よういに描えがけるようになった。ADAS用途ようとのデジタル地図ちずとしては、HERE Electronic Horizon^[9]やSANEI Virtual Orbit (仮想かそう軌道きどう)^[10]が良よく知しられている。クロソイド曲線きょくせんをデジタル地図ちずの走行そうこう路ろデータとして活用かつようしている自動車じどうしゃ開発かいはつ・検査けんさ用途ようとのCAEソフトウェアとしては、CarSim・veDYNA・Simulink・VT2000・Adams・AVL InMotion等ひとしのように数多あまた在ある。このデジタル地図ちずを各種かくしゅの通信つうしんネットワークから受信じゅしんし、デジタル地図ちずの走行そうこう路ろを前ぜん読よみしてリアルタイム制御せいぎょする試こころみも活発かっぱつになりつつあることや、高速こうそく走行そうこうになるほどに変へん曲きょく点てんおよび運転うんてん時じのハンドルの回転かいてん揺ゆれがないなどの有利ゆうりな実用じつよう的てき軌道きどう特性とくせいを持もつことから、将来しょうらい的てきには自動じどう運転うんてん基盤きばん地図ちず要素ようそとしての利用りようが期待きたいされる。

ローラーコースター[編集へんしゅう]

クロソイド曲線きょくせんはローラーコースターの垂直すいちょくループ(縦たて方向ほうこうの $360$ 度ど回転かいてん)にも利用りようされている^[6]。これは、直線ちょくせん軌道きどうからクロソイド曲線きょくせんを用もちいずに直じかに円軌道えんきどうへ遷移せんいすると、その瞬間しゅんかんに乗員じょういんの首くびに強烈きょうれつな負荷ふかが掛かかって外傷がいしょう性せい頸部症候群しょうこうぐん(鞭打むちうち損傷そんしょう)やブラックアウトが起おこりうるためである。

実際じっさいに、コニーアイランドにあった遊ゆう園地えんち『シーライオンパーク（英語えいご版ばん）』に建設けんせつされた、世界せかいで初はじめて垂直すいちょくループを備そなえたローラーコースター『フリップフラップ（英語えいご版ばん）』では正せい円型えんけいのそれが採用さいようされていた。そして、それに乗車じょうしゃした人ひとが鞭打むちうち損傷そんしょうを負おった^[11]^[12]。その後ご1970年代ねんだいにはアントン・シュワルツコフがクロソイド曲線きょくせんとパイプ型がたレールを合あわせた近代きんだい的てきな垂直すいちょくループ式しきのローラーコースターを開発かいはつし^[13]、「レボリューション」としてアメリカに初はつ導入どうにゅうされた^[14]。

機械きかい[編集へんしゅう]

機械きかい系けいへの応用おうようでも、このクロソイド曲線きょくせんの優すぐれた幾何きか学がく的てき特性とくせいをタービンブレード（英語えいご版ばん）やカムの補間ほかん曲線きょくせんに利用りようしようとする研究けんきゅうがある^[15]。

脚注きゃくちゅう[編集へんしゅう]

^ ^a ^b ^c ^d 松本まつもと英敏ひでとし. “クロソイド曲線きょくせん” (PDF). 国土こくど交通省こうつうしょう. pp. 2,5. 2017年ねん1月がつ1日にち閲覧えつらん。
^ Clothoid National Aeronautics and Space Administration
^ ^a ^b ^c 福田ふくだ正ただし, 遠藤えんどう孝夫たかお, 武山たけやま泰やすし, 堀井ほりい雅史まさし, 村井むらい貞さだ規ぶんまわし『交通こうつう工学こうがく』（第だい3版はん）朝倉書店あさくらしょてん、2011年ねん、84-86頁ぺーじ。ISBN 9784254261585。 NCID BB05443509。全国ぜんこく書誌しょし番号ばんごう:21916269。
^ 『道路どうろの日本にっぽん史し古代こだい駅路えきろから高速こうそく道路どうろへ』中央公論ちゅうおうこうろん新しん社しゃ〈中公新書ちゅうこうしんしょ〉、2015年ねん5月がつ25日にち。ASIN 4121023218。ISBN 9784121023216。
^ “国道こくどう17号ごう・三さん国防こくぼう災わざわい”. 国土こくど交通省こうつうしょう. 2011年ねん11月9日にち時点じてんのオリジナルよりアーカイブ。2011年ねん11月9日にち閲覧えつらん。
^ ^a ^b “「国道こくどうの維持いじ管理かんり」について(沼田ぬまた維持いじ修繕しゅうぜん出張所しゅっちょうしょ編へん)”. 国土こくど交通省こうつうしょう. 2006年ねん3月がつ7日にち閲覧えつらん。
^ 橋本はしもと政子まさこ, 齋藤さいとう潮うしお「名神めいしん・東名高速道路とうめいこうそくどうろにおけるドイツ人じん技師ぎしドルシュの設計せっけい思想しそうに関かんする研究けんきゅう」（PDF）『景観けいかん・デザイン研究けんきゅう論ろん文集ぶんしゅう』第だい8号ごう、土木どぼく学会がっかい、2010年ねん、41-49頁ぺーじ、ISSN 18816045、NAID 40017398472。
^ 名神めいしん高速こうそく道路どうろ建設けんせつ誌し編纂へんさん委員いいん会かい編へん『名神めいしん高速こうそく道路どうろ建設けんせつ誌し各論かくろん』 a、日本道路公団にほんどうろこうだん、1966年ねん。ISBN 9784121023216。
^ ステファン・ベクトルシャイム・ダン・ラリー・アンドレアス・ヘクト・マティア・シュミット・ジェリー・フェイゲン・ミケーレ・ローザー. “Method and system for providing an electronic horizon in an advanced driver assistance system architecture” (（英語えいご）). ナビゲーション·テクノロジーズ. 2004年ねん5月がつ11日にち閲覧えつらん。
^ 山本やまもと忠ただし・田村たむら覚さとし. “運転うんてん支援しえんシステム、運転うんてん支援しえん方法ほうほう及および運転うんてん支援しえんプログラム”. 三さん英えい技研ぎけん. 2003年ねん11月28日にち閲覧えつらん。
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^ 宙返ちゅうがえりコースターバイエルン製せいスリル製造せいぞう機き - リーダーズ・ダイジェスト1981年ねん12月がつ号ごう（日本にっぽんリーダーズダイジェスト社しゃ）
^ roller coaster Introduction of steel coasters - Britannica
^ 黒田くろだ満みつる、斉藤さいとう剛つよし、渡辺わたなべ由美子ゆみこ、東あずま正毅まさき「曲きょく率りつが弧こ長ちょうの区分くぶん2次じ関数かんすうとなるG3補間ほかん曲線きょくせん」『情報処理じょうほうしょり学会がっかい論文ろんぶん誌し』第だい38巻かん第だい3号ごう、情報処理じょうほうしょり学会がっかい、1997年ねん3月がつ、555-562頁ぺーじ、ISSN 1882-7764、NAID 110002721508。

外部がいぶリンク[編集へんしゅう]

この項目こうもくは、解析かいせき学がくに関連かんれんした書かきかけの項目こうもくです。この項目こうもくを加筆かひつ・訂正ていせいなどしてくださる協力きょうりょく者しゃを求もとめています（プロジェクト:数学すうがく／Portal:数学すうがく）。

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[kumamoto-u_clothoid-1] 松本まつもと英敏ひでとし. “クロソイド曲線きょくせん” (PDF). 国土こくど交通省こうつうしょう. pp. 2,5. 2017年ねん1月がつ1日にち閲覧えつらん。

[2] Clothoid National Aeronautics and Space Administration

[asakura_9784254261585-3] 福田ふくだ正ただし, 遠藤えんどう孝夫たかお, 武山たけやま泰やすし, 堀井ほりい雅史まさし, 村井むらい貞さだ規ぶんまわし『交通こうつう工学こうがく』（第だい3版はん）朝倉書店あさくらしょてん、2011年ねん、84-86頁ぺーじ。ISBN 9784254261585。 NCID BB05443509。全国ぜんこく書誌しょし番号ばんごう:21916269。

[chuko_9784121023216-4] 『道路どうろの日本にっぽん史し古代こだい駅路えきろから高速こうそく道路どうろへ』中央公論ちゅうおうこうろん新しん社しゃ〈中公新書ちゅうこうしんしょ〉、2015年ねん5月がつ25日にち。ASIN 4121023218。ISBN 9784121023216。

[mlit_17mikuni-5] “国道こくどう17号ごう・三さん国防こくぼう災わざわい”. 国土こくど交通省こうつうしょう. 2011年ねん11月9日にち時点じてんのオリジナルよりアーカイブ。2011年ねん11月9日にち閲覧えつらん。

[mlit_radio06_0307-6] “「国道こくどうの維持いじ管理かんり」について(沼田ぬまた維持いじ修繕しゅうぜん出張所しゅっちょうしょ編へん)”. 国土こくど交通省こうつうしょう. 2006年ねん3月がつ7日にち閲覧えつらん。

[jsce_00911-7] 橋本はしもと政子まさこ, 齋藤さいとう潮うしお「名神めいしん・東名高速道路とうめいこうそくどうろにおけるドイツ人じん技師ぎしドルシュの設計せっけい思想しそうに関かんする研究けんきゅう」（PDF）『景観けいかん・デザイン研究けんきゅう論ろん文集ぶんしゅう』第だい8号ごう、土木どぼく学会がっかい、2010年ねん、41-49頁ぺーじ、ISSN 18816045、NAID 40017398472。

[w-nexco_meishinn-1966-8] 名神めいしん高速こうそく道路どうろ建設けんせつ誌し編纂へんさん委員いいん会かい編へん『名神めいしん高速こうそく道路どうろ建設けんせつ誌し各論かくろん』 a、日本道路公団にほんどうろこうだん、1966年ねん。ISBN 9784121023216。

[uspto_6735515-9] ステファン・ベクトルシャイム・ダン・ラリー・アンドレアス・ヘクト・マティア・シュミット・ジェリー・フェイゲン・ミケーレ・ローザー. “Method and system for providing an electronic horizon in an advanced driver assistance system architecture” (（英語えいご）). ナビゲーション·テクノロジーズ. 2004年ねん5月がつ11日にち閲覧えつらん。

[reserge_2002271152-10] 山本やまもと忠ただし・田村たむら覚さとし. “運転うんてん支援しえんシステム、運転うんてん支援しえん方法ほうほう及および運転うんてん支援しえんプログラム”. 三さん英えい技研ぎけん. 2003年ねん11月28日にち閲覧えつらん。

[chartwell_9780785808855-11] Bennett, David (1 September 1998). Roller Coaster: Wooden and Steel Coasters, Twisters, and Corkscrews (英語えいご). hartwell Books. ISBN 9780785808855。

[harpercollins_9780061747663-12] Editors of Mental Floss (1 November 2005). mental floss presents Instant Knowledge (英語えいご). HarperCollins Publishers. ASIN B000FCKH8I. ISBN 9780060784751。

[readers-13] 宙返ちゅうがえりコースターバイエルン製せいスリル製造せいぞう機き - リーダーズ・ダイジェスト1981年ねん12月がつ号ごう（日本にっぽんリーダーズダイジェスト社しゃ）

[14] roller coaster Introduction of steel coasters - Britannica

[nii_110002721508-15] 黒田くろだ満みつる、斉藤さいとう剛つよし、渡辺わたなべ由美子ゆみこ、東あずま正毅まさき「曲きょく率りつが弧こ長ちょうの区分くぶん2次じ関数かんすうとなるG3補間ほかん曲線きょくせん」『情報処理じょうほうしょり学会がっかい論文ろんぶん誌し』第だい38巻かん第だい3号ごう、情報処理じょうほうしょり学会がっかい、1997年ねん3月がつ、555-562頁ぺーじ、ISSN 1882-7764、NAID 110002721508。

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