宇宙うちゅう速度そくど

地表ちひょうから水平すいへいに打うち出だされた砲弾ほうだんは重力じゅうりょくに引ひかれて地表ちひょうに落下らっかする (A)。
射出しゃしゅつ速度そくどを上あげても第だい一いち宇宙うちゅう速度そくど未満みまんならいつかは地表ちひょうに落下らっかする (B)。
第だい一いち宇宙うちゅう速度そくどで打うち出だされた場合ばあいは人工じんこう衛星えいせいとなる (C)。
それ以上いじょうの速度そくどでは楕円だえんを描えがき (D)、
第だい二に宇宙うちゅう速度そくど以上いじょうの場合ばあいは地球ちきゅうの重力じゅうりょくを振ふり切きる (E)。
（ただし大気たいきの抵抗ていこうによる影響えいきょうなどは考慮こうりょしていない）。

宇宙うちゅう速度そくど（うちゅうそくど、（英語えいご: Cosmic Velocity）とは、特とくに地球ちきゅうおよび太陽たいように対たいして、軌道きどう力学りきがく的てきに、地表ちひょうにおいて物体ぶったいにある初はつ速度そくどを与あたえたとして、衛星えいせい軌道きどうなどの「宇宙うちゅう飛行ひこう」と言いえるような軌道きどうに乗のせるために必要ひつような速度そくどのことである。対象たいしょうに合あわせて、第だい一いち宇宙うちゅう速度そくど・第だい二に宇宙うちゅう速度そくど・第だい三さん宇宙うちゅう速度そくどと呼よばれている速度そくどがある。軌道きどう力学りきがく一般いっぱん的てきには脱出だっしゅつ速度そくどと呼よばれる。なお、通常つうじょうは重力じゅうりょくのみを考慮こうりょし、空気くうき抵抗ていこう・浮力ふりょく等とうは加味かみしない。

第だい一いち宇宙うちゅう速度そくど

第だい一いち宇宙うちゅう速度そくどとは、地球ちきゅうにおいて、その高度こうどを海抜かいばつゼロ（海面かいめんもしくは地表ちひょうすれすれ）とした（仮想かそう上じょうの）円軌道えんきどうの衛星えいせい軌道きどうの軌道きどう速度そくどで、約やく 7.9 km/s (= 28,400 km/h) である。地表ちひょうにおいて、ある物体ぶったいにある初はつ速度そくどを与あたえたと仮定かていした場合ばあい、その速度そくどがこの速度そくど未満みまんの場合ばあいはどのように打うち出だしたとしても、弾道だんどう飛行ひこう（英えい: sub-orbital flight）の後のちに、地球ちきゅうの地表ちひょうに戻もどってしまう。逆ぎゃくに、これを越こえて（英えい: super-orbital）（第だい二に宇宙うちゅう速度そくど未満みまんで）水平すいへいに打うち出だした場合ばあい、その地点ちてんを近きん地点ちてんとする楕円だえん軌道きどうに投入とうにゅうされる。

第だい二に宇宙うちゅう速度そくど（地球ちきゅう脱出だっしゅつ速度そくど）

第だい二に宇宙うちゅう速度そくどとは、地球ちきゅうの重力じゅうりょくを振ふり切きるために必要ひつような、地表ちひょうにおける初はつ速度そくどである。約やく 11.2 km/s（40,300 km/h）で、第だい一いち宇宙うちゅう速度そくどの ${\sqrt {2}}$倍ばいである。この速度そくど以上いじょうに加速かそくすれば永久えいきゅうに地球ちきゅうから離はなれていくことができる。地球ちきゅうから打うち上あげる宇宙うちゅう機きを、深ふか宇宙うちゅう探査たんさ機きなどのように太陽たいようを回まわる人工じんこう惑星わくせいにするためには第だい二に宇宙うちゅう速度そくどが必要ひつようである。地球ちきゅうの重力じゅうりょく圏けんを脱出だっしゅつするという意味いみで地球ちきゅう脱出だっしゅつ速度そくどとも呼よばれる。

第だい三さん宇宙うちゅう速度そくど（太陽系たいようけい脱出だっしゅつ速度そくど）

第だい三さん宇宙うちゅう速度そくどとは、第だい二に宇宙うちゅう速度そくどと同様どうようの考かんがえ方かたで地球ちきゅう軌道きどう・地表ちひょうにおいてある初はつ速度そくどを与あたえたとして、地球ちきゅうさらには太陽たいようの重力じゅうりょくを振ふり切きるために必要ひつような速度そくどで、約やく 16.7 km/s (60,100 km/h) である。太陽たいようの質量しつりょう、地球ちきゅうの質量しつりょう、太陽たいようと地球ちきゅうの距離きょり、地球ちきゅうの半径はんけい、万有引力ばんゆういんりょく定数ていすうから求もとめることができる。現実げんじつ的てきには地球ちきゅうの公転こうてん速度そくどを利用りようする側がわに飛とび出だすか逆ぎゃくかでΔでるたvとしては違ちがってくる。この速度そくどに達たっするために必要ひつようなエネルギーが膨大ぼうだいになるため、惑星わくせい探査たんさ機きではスイングバイを利用りようして加速かそくする。これまでに第だい三さん宇宙うちゅう速度そくどを超こえた人工じんこう物体ぶったいは多おおくなく、太陽系たいようけいを離はなれる人工じんこう物ぶつの一覧いちらんに記載きさいされている。

導出どうしゅつ

各かく定数ていすうを、

• 万有引力ばんゆういんりょく定数ていすう：$G=6.67\times 10^{-11}\,\mathrm {m} ^{3}\,\mathrm {s} ^{-2}\,\mathrm {kg} ^{-1}$
• 地球ちきゅう質量しつりょう：$M=5.97\times 10^{24}\,\mathrm {kg}$
• 地球ちきゅう半径はんけい：$R=6.36\times 10^{6}\,\mathrm {m}$
• 太陽たいよう質量しつりょう：$M_{S}=1.99\times 10^{30}\,\mathrm {kg}$
• 地球ちきゅうの公転こうてん半径はんけい：$R_{E}=1.50\times 10^{11}\,\mathrm {m}$

とする。

第だい一いち宇宙うちゅう速度そくど

地球ちきゅうの重心じゅうしんを中心ちゅうしんとして速はやさ $v$ の等ひとし速そく円運動えんうんどうをした時ときに物体ぶったいの質点しつてんを原点げんてんとする慣性かんせい系けいで観測かんそくした場合ばあい質量しつりょう $m$ の物体ぶったいに働はたらく遠心えんしん力りょくは $mv^{2}/R$ である。このとき物体ぶったいに働はたらく重力じゅうりょくは $GmM/R^{2}$ である。第だい一いち宇宙うちゅう速度そくど $v_{1}$ は遠心えんしん力りょくと重力じゅうりょくが釣つり合あうとして求もとめる。すなわち、

${\frac {mv_{1}^{2}}{R}}={\frac {GmM}{R^{2}}}$

より、

$v_{1}={\sqrt {\frac {GM}{R}}}=7.91\times 10^{3}\,\mathrm {m/s} =7.91\,\mathrm {km/s}$

である。

Google 検索けんさくで天体てんたいの半径はんけいなどの天文学てんもんがくの定数ていすうが計算けいさん可能かのうで、sqrt(天体てんたい名めいの質量しつりょう*万有引力ばんゆういんりょく定数ていすう/天体てんたい名めいの半径はんけい)という検索けんさく式しきで $v$ を求もとめることができる。

第だい二に宇宙うちゅう速度そくど

地球ちきゅうから無限むげん遠とおを基準きじゅんとすると、質量しつりょう m の物体ぶったいの地球ちきゅう表面ひょうめんにおける地球ちきゅう重力じゅうりょくによって生しょうじる位置いちエネルギーは、

$U=-\int _{\infty }^{R}\left(-{\frac {GMm}{r^{2}}}\right)dr=-{\frac {GMm}{R}}$

と表あらわされる。この物体ぶったいに、負まけの位置いちエネルギーを打うち消けす速はやさ v₂ の運動うんどうエネルギー (1/2)mv 2
2  を与あたえれば無限むげん遠とおに達たっする、即すなわち地球ちきゅうの重力じゅうりょく圏けんから脱出だっしゅつすることができるとして求もとめる。すなわち、

${\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {GMm}{R}}=0$

より、

$v_{2}={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}={\sqrt {2}}v_{1}=11.2\,\mathrm {km/s}$

となる。なお、地球ちきゅうの自転じてん速度そくどは小ちいさいのでここでは無視むししている。

第だい三さん宇宙うちゅう速度そくど

第だい二に宇宙うちゅう速度そくどと同様どうように、地球ちきゅう公転こうてん軌道きどう近辺きんぺんにおける太陽たいようからの脱出だっしゅつ速度そくどは、

$v_{S}={\sqrt {\frac {2GM_{S}}{R_{E}}}}=42.1\,\mathrm {km/s}$

である。ただし、これは太陽たいようから見みた速はやさなので、地球ちきゅうからの場合ばあい、地球ちきゅうの公転こうてん運動うんどうを差さし引ひかなければならない。地球ちきゅうの公転こうてん速度そくど v_E は地球ちきゅうの公転こうてんによる遠心えんしん力りょくと太陽たいようと地球ちきゅうの引力いんりょくが釣つり合あうという関係かんけいから求もとめることができるので、

$v_{E}={\sqrt {\frac {GM_{S}}{R_{E}}}}=29.8\,\mathrm {km/s}$

である。したがって地球ちきゅう公転こうてん軌道きどうからの脱出だっしゅつ速度そくど v_E0 は

$v_{E0}=v_{S}-v_{E}=12.3\,\mathrm {km/s}$

である。地表ちひょうから打うち上あげる場合ばあいには地球ちきゅうの重力じゅうりょくを振ふり切きる分ぶんだけ速はやくする必要ひつようがある。これは地表ちひょうでの位置いちエネルギーを打うち消けした後のちに v_E0 の速度そくどになればよいということなので、質量しつりょう m の物体ぶったいの場合ばあいに

${\frac {1}{2}}mv_{3}^{2}-{\frac {GMm}{R}}={\frac {1}{2}}mv_{E0}^{2}$

という関係かんけいが成なり立たつ。したがって、

$v_{3}={\sqrt {{\frac {2GM}{R}}+v_{E0}^{2}}}=16.7\,\mathrm {km/s}$

である。

精度せいど

以上いじょうの値ねは、星ほしを球たま・公転こうてん軌道きどうを円えんとして計算けいさんしたものである。実際じっさいには、地球ちきゅうの赤道せきどう半径はんけいと極ごく半径はんけいの差さは約やく 2×10⁴ m（平均へいきん半径はんけいの0.3%）、地球ちきゅうの近日きんじつ点てんと遠日点えんじつてんの差さは約やく 5×10⁹ m（同どう3%）といったズレがあるので、3桁けた目め以降いこうの正確せいかくな値ねを求もとめるには、これらを考慮こうりょする必要ひつようがある。

関連かんれん項目こうもく

• 人工じんこう衛星えいせいの軌道きどう
• スイングバイ
• 弾道だんどう飛行ひこう
• V速度そくど
• 第だい四よん宇宙うちゅう速度そくど