内うち能のう

內能
常見つねみ符號ふごう	U
国くに际单位い	J
基本きほん單位たんい	m2*kg/s2
從したがえ其他物理ぶつり量的りょうてき推衍	$U=\sum _{i}E_{i}\!$
因いん次じ	${\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {T}}^{-2}$

在ざい熱ねつ力學りきがく裡うら，內能（internal energy）是これ熱ねつ力學りきがく系統けいとう內兩個りゃんこ具ぐ狀態じょうたい變數へんすう之の基本きほん狀態じょうたい函數かんすう的てき其中一いち個こ函數かんすう。內能是ぜ指ゆび系統けいとう所しょ含有がんゆう的てき能のう量りょう，但ただし不ふ包含ほうがん因いん外部がいぶ力りょく場じょう而產生せい的てき系統けいとう整體せいたい之の動どう能のう與あずか位くらい能のう。內能會かい因いん系統けいとう能のう量的りょうてき增ぞう損そん而隨之の改變かいへん。

系統けいとう的てき內能可能かのう因いん（1）對たい系統けいとう加熱かねつ、（2）對たい系統けいとう作さく功こう，或ある（3）添加てんか或ある移うつり除じょ物質ぶっしつ而改變かいへん。當とう系統けいとう內有不可ふか穿ほじ透とおる的てき牆阻止そし物質ぶっしつ傳でん遞時，該系統けいとう稱しょう之の為ため「封ふう閉系統けいとう」。如此一いち來らい，熱ねつ力學りきがく第だい一いち定律ていりつ描述，內能的てき增加ぞうか會かい等とう於增加ぞうか的てき熱量ねつりょう加か上じょう環境かんきょう對たい該系統けいとう所作しょさ的てき功こう。若わか該系統けいとう周圍しゅうい的てき牆不能ふのう傳でん遞物質ぶっしつ與能よのう量りょう，則のり該系統けいとう稱しょう之の為ため「孤立こりつ系統けいとう」，且其內能會かい維持いじ定てい值。

一系統內給定狀態下的內能不能被直接量測。給きゅう定てい狀態じょうたい下か的てき內能可か由よし一已給定其內能參考值之參考狀態開始，經過けいか一連いちれん串くし熱ねつ力學りきがく操作そうさ及熱ねつ力學りきがく過程かてい，以達到いた該給定てい狀態じょうたい來らい決定けってい其值。這一連串的操作及過程，理論りろん上じょう可か使用しよう該系統けいとう的てき某ぼう些外延がいえん狀態じょうたい變數へんすう來らい描述，亦また即そく該系統けいとう的てき熵 S、容量ようりょう V 及莫耳數すう {N_j}。內能 U(S,V,{N_j}) 是ぜ這些變數へんすう的てき函數かんすう。有ゆう時じ，該函數すう還かえ能のう再さい附加ふか上じょう其他的てき外延がいえん狀態じょうたい變數へんすう，如電でん偶極矩のり。就熱力學りきがく及工程こうてい學がく上じょう的てき實際じっさい用途ようと來らい看み，一般很少需要考慮一個系統的所有內含能量，如質量りょう所しょ含有がんゆう的てき等價とうか能のう量りょう。一般いっぱん而言，只ただ有ゆう與あずか研究けんきゅう的てき系統けいとう及程序じょ有ゆう關せき的てき部分ぶぶん才ざい會かい被ひ包含ほうがん進しん來らい。熱ねつ力學りきがく一般只在意內能的「變化へんか量りょう」。

內能是ぜ一系統內的狀態函數，因いん為ため其值僅取決けつ於該系統けいとう的てき目前もくぜん狀態じょうたい，而與達たち到いた此一狀態所採之途徑或過程無關。內能是ぜ個こ外延がいえん物理ぶつり量りょう。內能是ぜ個こ基本きほん熱ねつ動力どうりょく位い能のう。使用しよう勒壤得とく轉換てんかん，可か從したがえ內能開始かいし，在ざい數學すうがく上じょう建けん構出其他的てき熱ねつ動力どうりょく位い能のう。這些函數かんすう的てき狀態じょうたい變數へんすう，部分ぶぶん外延がいえん變數へんすう會かい被ひ其共軛きょうやく內含變數へんすう所ところ取と代だい。因よし為ため僅是將はた外延がいえん變數へんすう由よし內含變數へんすう所しょ取と代だい並なみ無法むほう得とく出で其他熱ねつ動力どうりょく位い能のう，所以ゆえん勒壤得とく轉換てんかん是ぜ必要ひつよう的てき。熱ねつ力學りきがく系統けいとう的てき另一個基本狀態函數為該系統的熵 S(U,V,{N_j})，是ぜ個こ除じょ熵 S 這個狀態じょうたい變數へんすう被ひ內能 U 所しょ取と代だい外そと，具有ぐゆう相しょう同どう狀態じょうたい變數へんすう之の狀態じょうたい函數かんすう。

雖然內能是ぜ個こ宏ひろし觀かん物理ぶつり量りょう，內能也可在ざい微ほろ觀かん層そう面めん上じょう由よし兩個りゃんこ假設かせつ的てき量りょう來らい解釋かいしゃく。一個是系統內粒子的微觀運動（平ひら移うつり、旋轉せんてん、振動しんどう）所產しょさん生せい的てき微ほろ觀かん動どう能のう。另一個是與粒子間的化學かがく鍵かぎ及組成そせい物質ぶっしつ的てき靜止せいし質量しつりょう能のう量りょう等ひとし微ほろ觀かん力りょく有ゆう關せき之の位くらい能のう。在ざい微ほろ觀かん的てき量りょう與あずか系統けいとう因いん作さく功こう、加熱かねつ或ある物質ぶっしつ轉移てんい而產生せい之の能のう量りょう增ぞう損そん的てき量りょう之の間あいだ，並なみ不ふ存在そんざい一いち個こ簡單かんたん的てき普遍ふへん關係かんけい。

能のう量りょう的てき國際こくさい單位たんい為ため焦こげ耳みみ（J）。有ゆう時じ使用しよう單位たんい質量しつりょう（公おおやけ斤きん）的てき內能（稱しょう之の為ため「比ひ內能」）會かい比較ひかく方便ほうべん。比ひ內能的てき國際こくさい單位たんい為ため J/kg。若わか比ひ內能以物質ぶっしつ數量すうりょう（莫耳）的てき單位たんい來らい表示ひょうじ，則のり稱しょう之の為ため「莫耳內能」，且該單位たんい為ため J/mol。

從したがえ統計とうけい力學りきがく的てき觀點かんてん來らい看み，內能等とう於系統けいとう總そう能のう量的りょうてき系けい綜平均へいきん值。

描述和かず定義さだよし

一系統內給定狀態的內能 U 可か由よし該系統けいとう的てき標準ひょうじゅん狀態じょうたい開始かいし，透過とうか能のう量的りょうてき宏ひろし觀かん轉移てんい，使つかい得とく該系統けいとう的てき狀態じょうたい由よし參考さんこう狀態じょうたい轉てん變成へんせい給きゅう定てい狀態じょうたい而決定けってい：

$\Delta U=\sum _{i}E_{i}\,$

其中，$\Delta U$ 表示ひょうじ內能在ざい給きゅう定てい狀態じょうたい與あずか在ざい參考さんこう狀態じょうたい下か的てき差さ，而 $E_{i}$ 則のり是ぜ該系統けいとう由よし參考さんこう狀態じょうたい轉てん變成へんせい給きゅう定てい狀態じょうたい的てき過程かてい中ちゅう所傳しょでん輸之各種かくしゅ能のう量りょう，亦また即そく由よし該系統けいとう的てき參考さんこう狀態じょうたい產さん生出おいで給きゅう定てい狀態じょうたい所しょ需之能のう量りょう。

從したがえ非ひ相對そうたい論ろん微ほろ觀かん角度かくど來らい看み，內能可か被ひ分ぶん為ため微ほろ觀かん位い能のう $U_{micro,pot}$ 與あずか微ほろ觀かん動どう能のう $U_{micro,kin}$ 兩個りゃんこ部分ぶぶん：

$U=U_{\mathrm {micro,pot} }+U_{\mathrm {micro,kin} }$

一系統的微觀動能是該系統內所有粒子之運動的總和，包含ほうがん原子げんし、分子ぶんし、原子核げんしかく、電子でんし等とう粒子りゅうし的てき運動うんどう。微ほろ觀かん位い能のう則そく是ぜ指ゆび化學かがく能のう與あずか核かく位い能のう，以及該系統けいとう內因為ため內含的てき電でん偶極矩のり與あずか磁偶極ごく矩のり所產しょさん生せい的てき物理ぶつり力りょく場じょう，以及固體こたい的てき形かたち變へん（應力おうりょく-應變おうへん）所しょ具有ぐゆう之の能のう量的りょうてき總和そうわ。一般いっぱん而言，宏ひろし觀かん熱ねつ力學りきがく不ふ會かい討論とうろん到いた微ほろ觀かん的てき動どう能のう與あずか位くらい能のう。

內能不ふ包含ほうがん因いん系統けいとう整體せいたい的てき運動うんどう或ある位置いち所產しょさん生せい之の能のう量りょう，亦また即そく排除はいじょ任にん何なん因いん為ため系統けいとう於一外部がいぶ重力じゅうりょく場じょう、靜せい電場でんじょう或ある電磁場でんじば之これ運動うんどう或ある位置いち，而產生せい之の動どう能のう與あずか位くらい能のう。不ふ過か，系統けいとう內之物體ぶったい的てき內含自由じゆう度ど與あずか這些場じょう耦合所產しょさん生せい之の能のう量りょう，也算是ぜ內能的てき一いち部分ぶぶん。在ざい此一情じょう形がた下か，系統的けいとうてき熱ねつ力學りきがく狀態じょうたい需要じゅよう使用しよう額がく外的がいてき外部がいぶ參さん數すう來らい描述之の。

就熱力學りきがく及工程こうてい學がく上じょう的てき實際じっさい用途ようと來らい看み，一般いっぱん很少需要じゅよう，或ある甚至不可能ふかのう考慮こうりょ一個系統的所有內含能量，如質量りょう所しょ含有がんゆう的てき等價とうか能のう量りょう。一般いっぱん而言，只ただ有ゆう與あずか研究けんきゅう的てき系統けいとう及程序じょ有ゆう關せき的てき部分ぶぶん才ざい會かい被ひ包含ほうがん進しん來らい。實際じっさい上じょう，在ざい大だい多數たすう考量こうりょう的てき系統けいとう內，尤ゆう其是在ざい熱ねつ力學りきがく裡うら，計けい算出さんしゅつ所有しょゆう內能是ぜ不可能ふかのう的てき。因よし此，通常つうじょう會かい為ため內能選定せんてい一いち參考さんこう零れい值。

內能是ぜ個こ外延がいえん物理ぶつり量りょう，即そく內能與あずか系統けいとう之の大小だいしょう，或ある系統けいとう所しょ含物質ぶっしつ多寡たか有ゆう關せき。

在ざい溫度おんど大だい於絕對ぜったい零れい度ど時とき，微ほろ觀かん位い能のう與あずか動どう能のう間あいだ會かい不斷ふだん地ち互相轉換てんかん，但ただし在ざい一いち孤立こりつ系統けいとう內，其和會かい維持いじ一いち個こ定じょう值。在ざい古典こてん熱ねつ力學りきがく的てき觀點かんてん下か，動どう能のう在ざい絕對ぜったい零れい度ど時じ會かい消失しょうしつ，而內能會のうかい只ただ剩あま下位かい能のう。不ふ過か，量子力學りょうしりきがく表示ひょうじ，即そく使つかい在ざい絕對ぜったい零れい度ど下か，粒子りゅうし仍然會かい有ゆう剩餘じょうよ的てき動どう能のう，即そく零れい點てん能のう量りょう。在ざい絕對ぜったい零れい度ど的てき系統けいとう只ただ會かい處しょ在ざい量子りょうし力量りきりょう的てき基もと態たい，最低さいてい可か達たち能のう量りょう狀態じょうたい之の下した。在ざい絕對ぜったい零れい度ど時じ，一系統會達成其最低可達到的熵。

內能的てき微ほろ觀かん動どう能のう部分ぶぶん取と決けつ於該系統けいとう的てき溫度おんど。統計とうけい力學りきがく將はた個別こべつ粒子りゅうし半はん隨ずい機き的てき動どう能のう與あずか構成こうせい整せい個こ系統けいとう的てき粒子りゅうし之の平均へいきん動どう能のう所しょ關連かんれん。甚至，統計とうけい力學りきがく將はた微ほろ觀かん的てき平均へいきん動どう能のう與あずか宏ひろし觀かん可か見み的てき系統けいとう之の溫度おんど相しょう關連かんれん。此一能量通常被指為系統的「熱ねつ能のう」 ，並なみ將はた此能量りょう（如溫度おんど）與あずか人ひと們對冷熱れいねつ的てき體驗たいけん相しょう關連かんれん。

統計とうけい力學りきがく將はた每まい個こ系統けいとう視し為ため是ぜ在ざい N 個こ微ほろ觀かん狀態じょうたい所ところ組成そせい之これ系けい綜下做統計上けいじょう的てき分布ぶんぷ。每まい個こ微ほろ觀かん狀態じょうたい都と具有ぐゆう一いち個こ能のう量りょう E_i，並なみ有ゆう著ちょ機き率りつ p_i。內能即そく為ため該系統けいとう總そう能のう量的りょうてき平均へいきん值，亦また即そく為ため所有しょゆう微ほろ觀かん狀態じょうたい之の能のう量りょう，在ざい其出現しゅつげん機き率りつ之の加か權けん下か的てき總和そうわ：

$U=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\,E_{i}\ .$

這是熱ねつ力學りきがく第だい一いち定律ていりつ在ざい統計とうけい下か描述。

內能變化へんか量りょう

熱ねつ力學りきがく系統けいとう允許いんきょ的てき傳つて遞

系統けいとう類型るいけい	物質ぶっしつ	功こう	熱ねつ
開放かいほう系統けいとう	Y	Y	Y
封ふう閉系統けいとう	N	Y	Y
绝热系統けいとう	N	Y	N
力學りきがく孤立こりつ系統けいとう	N	N	Y
孤立こりつ系統けいとう	N	N	N

熱ねつ力學りきがく一般只在意內能的變化量 ΔでるたU。

在ざい沒ぼつ有ゆう物質ぶっしつ傳でん遞的封ふう閉系統けいとう內，內能只ただ會かい因いん傳でん熱ねつ Q 及作功こう而變化へんか。後者こうしゃ又また可分かぶん成なり兩個りゃんこ類型るいけい，與あずか容量ようりょう有ゆう關せき的てき功こう W_{pressure-volume}，以及與容量ようりょう無關むせき的てき功こう W_isochoric（如摩擦まさつ力りょく與あずか極きょく化か）。因よし此，在ざい封ふう閉系統けいとう內，內能的てき變化へんか量りょう ΔでるたU 可か寫うつし成なり

$\Delta U=Q+W_{\mathrm {pressure-volume} }+W_{\mathrm {isochoric} }$

當とう一封閉系統得到熱之類的能量時，該能量りょう會かい增加ぞうか內能。該能量りょう會かい分配ぶんぱい給きゅう微ほろ觀かん動どう能のう與あずか微ほろ觀かん位い能のう。一般いっぱん而言，熱ねつ力學りきがく不ふ會かい去さ理會りかい此類分配ぶんぱい。在ざい一いち理想りそう氣體きたい裡うら，所有しょゆう的てき外そと加能かのう量りょう都會とかい導しるべ致溫度ど上じょう升ます，因いん為ため該能量りょう只ただ會かい被ひ分配ぶんぱい給きゅう微ほろ觀かん動どう能のう；此類加熱かねつ被ひ稱しょう為ため「顯あらわ熱ねつ」。

封ふう閉系統けいとう裡うら內能變化へんか的てき第だい二個機制為對該系統作功こう，不ふ論ろん是ぜ透過とうか改變かいへん壓力あつりょく或ある容量ようりょう所作しょさ的てき機械きかい功こう，或ある是ぜ透過とうか向こう系統けいとう通電つうでん等とう方式ほうしき所作しょさ的てき功こう。

若わか系統けいとう不ふ是ぜ封ふう閉的，則のり改變かいへん內能的てき第だい三個機制還包括系統內物質的傳遞。其變化へんか量りょう ΔでるたU_matter 無む法被はっぴ分ぶん成なり加熱かねつ或ある作さく功こう這兩個りゃんこ部分ぶぶん。若わか系統けいとう的てき加熱かねつ與作よさく功こう是ぜ以與物質ぶっしつ傳でん遞無關せき之の方式ほうしき在ざい進行しんこう的てき，則のり能のう量的りょうてき傳でん遞可加か在ざい內能的てき變化へんか量りょう上じょう：

$\Delta U=Q+W_{\mathrm {pressure-volume} }+W_{\mathrm {isochoric} }+\Delta U_{\mathrm {matter} }$

若わか一系統在加熱中發生了某種相變（如熔化か或ある汽化），可か觀察かんさつ到いた該系統けいとう的てき溫度おんど在ざい完成かんせい所有しょゆう轉變てんぺん之の前ぜん都と不ふ會かい改變かいへん。加入かにゅう系統けいとう內，卻不會かい改變かいへん系統けいとう溫度おんど的てき能のう量りょう，稱しょう之の為ため潛せん能のう（或ある潛熱せんねつ），與あずか會かい跟溫度おんど變化へんか相しょう關連かんれん的てき顯あらわ熱ねつ相對そうたい。

理想りそう氣體きたい的てき內能

熱ねつ力學りきがく通常つうじょう會かい使用しよう理想りそう氣體きたい的てき概念がいねん作為さくい教學きょうがく目的もくてき，並なみ作為さくい工作こうさく系統けいとう的てき近似きんじ。理想りそう氣體きたい是ぜ由よし可か被ひ視し為ため點てん的てき粒子りゅうし所しょ組成そせい之の氣體きたい，這些粒子りゅうし只ただ會かい因いん彈性だんせい碰撞而互動どう，且其自由じゆう平均へいきん路ろ徑みち遠大えんだい於其半徑はんけい。此類系統けいとう可か使用しよう單たん原子げんし氣體きたい（如氦氣或ある其他惰性だせい氣體きたい）來らい近似きんじ。這裡的てき動どう能のう僅包含ほうがん個別こべつ粒子りゅうし的てき平ひら移うつり動どう能のう。單たん原子げんし粒子りゅうし不ふ會かい旋轉せんてん或ある振動しんどう，也不會かい被ひ激發げきはつ到いた更さら高だか的てき能のう階かい，除じょ非ひ在ざい非常ひじょう高だか的てき溫度おんど時とき。

因いん此，理想りそう氣體きたい的てき內能變化へんか可か是ぜ只ただ透過とうか其動能のう的てき變化へんか來らい描述。在ざい理想りそう氣體きたい裡うら，動どう能のう完全かんぜん由よし該系統けいとう的てき壓力あつりょく、容量ようりょう與あずか熱ねつ力學りきがく溫度おんど來らい決定けってい。

理想りそう氣體きたい的てき內能會かい正せい比ひ於其質量しつりょう（莫耳數すう）N 與あずか溫度おんど T

$U=cNT,$

其中，c 為ため該氣體たい（在ざい固定こてい容量ようりょう下か）的てき熱容量ねつようりょう。內部可か寫うつし成なり三さん個こ外延がいえん物理ぶつり量りょう（熵 S、容量ようりょう V 與あずか質量しつりょう N）的てき函數かんすう，如下 ：

$U(S,V,N)=const\cdot e^{\frac {S}{cN}}V^{\frac {-R}{c}}N^{\frac {R+c}{c}},$

其中，const 為ため一いち任意にんい正數せいすう，而 R 則のり為ため氣體きたい常數じょうすう。簡單かんたん可知かち，U 會かい是ぜ三さん個こ變數へんすう的てき線せん性せい齊ひとし次じ函數かんすう（亦また即そく為ため這些變數へんすう的てき「外延がいえん」函數かんすう），且為弱じゃく凸とつ函數かんすう。知道ともみち溫度おんど與あずか壓力あつりょく為ため導しるべ數すう $T={\frac {\partial U}{\partial S}},$ 及 $p=-{\frac {\partial U}{\partial V}},$，理想りそう氣體きたい定律ていりつ $pV=RNT$ 就可立りつ即そく被ひ推導出來でき。

封ふう閉熱力學りきがく系統けいとう的てき內能

上面うわつら內能之の變化へんか量りょう均ひとし假定かてい附加ふか給きゅう系統けいとう的てき熱量ねつりょう及對系統けいとう作さく的てき功こう為ため正せい值，而系統けいとう對たい環境かんきょう作さく的てき功こう則そく為ため負ふ值。

一般いっぱん，內能的てき關係かんけい式しき會かい以無窮むきゅう小量しょうりょう的てき方式ほうしき來らい表示ひょうじ，其中只ただ有ゆう內能一いち項こう為ため全ぜん微分びぶん。對たい一個只進行熱力學過程的系統（即そく一只交換熱與功的封閉系統），內能的てき變化へんか量りょう為ため

$dU=\delta Q+\delta W\,$

這即是ぜ熱ねつ力學りきがく第だい一いち定律ていりつ。該關係かんけい式しき亦また可か使用しよう其他熱ねつ力學りきがく參さん數すう來らい表示ひょうじ。每まい一項均由一內含變數（廣義こうぎ力りょく）及與其共軛きょうやく之これ無窮むきゅう小しょう外延がいえん變數へんすう（廣義こうぎ位い移うつり）所しょ組成そせい。

例れい如，對たい一いち非ひ黏性流體りゅうたい，在ざい該系統けいとう上じょう所作しょさ的てき機械きかい功こう，會かい與あずか壓力あつりょく p 及容量ようりょう V 相關そうかん。壓力あつりょく是ぜ個こ內含的てき廣義こうぎ力りょく，而容量りょう則そく是これ個こ外延がいえん的てき廣義こうぎ位い移うつり：

$\delta W=-p\mathrm {d} V\,$.

這裡，功いさお W 的てき方向ほうこう定義ていぎ為ため從したがえ作用さよう系統けいとう流りゅう向こう周圍しゅうい環境かんきょう的てき能のう量りょう，熱量ねつりょう Q 的てき傳つて遞方向ほうこう則定のりさだ義よし為ため流入りゅうにゅう作用さよう流體りゅうたい之の能のう量りょう，並なみ假定かてい為一ためいち可逆かぎゃく過程かてい：

$\delta Q=T\mathrm {d} S\,$.

其中，T 是ぜ溫度おんど，S 是ぜ熵，而內能のう的てき變化へんか量りょう則のり變成へんせい

$\mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V\!$

隨ずい溫度おんど與あずか容量ようりょう而變的てき變化へんか量りょう

內能隨ずい溫度おんど與あずか容量ようりょう而變的てき變化へんか量りょう之の公式こうしき為ため

$dU=C_{V}dT+\left[T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p\right]dV\,\,{\text{ (1)}}.\,$

在ざい已やめ知ち狀態じょうたい方程式ほうていしき之これ下か，可か使用しよう該公式しき求もとめ出で內能。

在ざい理想りそう氣體きたい的てき情じょう形がた下か，可か推導出どうしゅつ $dU=C_{v}dT$，亦また即そく理想りそう氣體きたい的てき內能可か寫うつし成なり只ただ與あずか溫度おんど有ゆう關せき之の函數かんすう。

其中$C_{v}$是ぜ物体ぶったい的てき定てい容よう比ひ热容。对于理想りそう气体，$C_{v}={R \over \gamma -1}$，其中R是これ理想りそう气体常数じょうすう，$\gamma$是ぜ一个和气体有关的常数，称しょう为绝热指数しすう。对于单原子げんし理想りそう气体，$\gamma =5/3$，对于双そう原子げんし理想りそう气体，$\gamma =7/5$。至いたり于实际气体，有ゆう：

气体	绝热指数しすう
$H_{2}$	1.410
$O_{2}$	1.397
$N_{2}$	1.402
空そら气	1.400
$SO_{2}$	1.272

證明しょうめい理想りそう氣體きたい的てき公式こうしき與あずか壓力あつりょく無關むせき

內能隨ずい溫度おんど與あずか容量ようりょう而變的てき變化へんか量りょう之の公式こうしき為ため

$dU=C_{V}dT+\left[T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p\right]dV.\,$

而狀態じょうたい方程式ほうていしき為ため理想りそう氣體きたい定律ていりつ

$pV=nRT.\,$

求もとめ壓力あつりょく解かい為ため：

$p={\frac {nRT}{V}}.$

代入だいにゅう內能的てき公式こうしき裡うら：

$dU=C_{V}dT+\left[T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {nRT}{V}}\right]dV.\,$

取と壓力あつりょく相對そうたい於溫度おんど的てき導しるべ數すう：

$\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {nR}{V}}.$

代入だいにゅう：

$dU=C_{V}dT+\left[{\frac {nRT}{V}}-{\frac {nRT}{V}}\right]dV.$

並なみ簡化：

$dU=C_{V}dT.\,$

使用しよう dT 與あずか dV 表示ひょうじ dU 的てき公式こうしき推導

為ため了りょう使用しよう dT 與あずか dV 表示ひょうじ dU，將はた

$dS=\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}dT+\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}dV\,$

代入だいにゅう熱ねつ力學りきがく基本きほん關係かんけい

$dU=TdS-pdV.\,$

會かい給きゅう出で：

$dU=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}dT+\left[T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p\right]dV.\,$

$T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}$ 為ため固定こてい容量ようりょう下か的てき熱容量ねつようりょう $C_{V}.$。

若わか狀態じょうたい方程式ほうていしき可知かち，則のり可か算出さんしゅつ S 相對そうたい於 V 的てき偏へん導しるべ數すう。由よし熱ねつ力學りきがく基本きほん關係かんけい可知かち，亥い姆霍茲自由じゆう能のう A 的てき微分びぶん如下：

$dA=-SdT-pdV.\,$

A 相對そうたい於 T 與あずか V 之これ二に階かい導みちびけ數すう的てき對稱たいしょう性せい，可か給きゅう出で麥むぎ克かつ斯韋關係かんけい式しき：

$\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}.\,$

如此，即そく可か導出どうしゅつ上面うわつら的てき公式こうしき。

隨ずい溫度おんど與あずか壓力あつりょく而變的てき變化へんか量りょう

當とう處理しょり液體えきたい或ある固體こたい時じ，隨ずい溫度おんど與あずか壓力あつりょく而變的てき變化へんか量りょう之の公式こうしき通常つうじょう會かい比較ひかく有用ゆうよう：

$dU=\left(C_{p}-\alpha pV\right)dT+\left(\beta _{T}p-\alpha T\right)Vdp\,$

其中，假定かてい固定こてい壓力あつりょく下か的てき熱容量ねつようりょう與あずか固定こてい容量ようりょう下か的てき熱容量ねつようりょう之の間あいだ有ゆう下か列れつ關係かんけい：

$C_{p}=C_{V}+VT{\frac {\alpha ^{2}}{\beta _{T}}}\,$

使用しよう dT 與あずか dP 表示ひょうじ dU 的てき公式こうしき推導

壓力あつりょく在ざい固定こてい相對そうたい於溫度おんど的てき偏へん導しるべ數すう可か以熱ねつ膨脹ぼうちょう係數けいすう

$\alpha \equiv {\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\,$

與あずか等溫とうおん壓縮あっしゅく性せい

$\beta _{T}\equiv -{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T}\,$

表示ひょうじ之の，寫うつし成なり：

$dV=\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T}dp+\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}dT=V\left(\alpha dT-\beta _{T}dp\right)\,\,{\text{ (2)}}\,$

在ざい固定こてい容量ようりょう的てき情じょう形がた下か，令れい dV 為ため 0，並なみ求もとめ dp/dT 的てき解かい，可か得とく：

$\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}=-{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}}{\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T}}}={\frac {\alpha }{\beta _{T}}}\,\,{\text{ (3)}}\,$

將はた (2) 與あずか (3) 代入だいにゅう (1) 內，即そく可か得とく出上いでかみ面めん公式こうしき。

在ざい固定こてい溫度おんど下か，隨ずい容量ようりょう而變的てき變化へんか量りょう

內壓可か定義ていぎ為ため在ざい固定こてい溫度おんど下か，內能相對そうたい於容量的りょうてき偏へん導しるべ數すう：

$\pi _{T}=\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}$

多た成分せいぶん系統けいとう的てき內能

除じょ了りょう以熵 S 與あずか容量ようりょう V 表示ひょうじ內能之の外そと，一いち個こ系統けいとう通常つうじょう也會使用しよう內含的てき粒子りゅうし與あずか化合かごう物ぶつ之の數量すうりょう來らい表示ひょうじ之の：

$U=U(S,V,N_{1},\ldots ,N_{n})\,$

其中 N_j 為ため該系統けいとう內類型がた j 的てき成分せいぶん之の莫耳數すう。內能是ぜ外延がいえん變數へんすう S、V 與あずか數量すうりょう N_j 的てき外延がいえん函數かんすう，可か寫うつし成なり一いち階かい線せん性せい齊ひとし次じ函數かんすう：

$U(\alpha S,\alpha V,\alpha N_{1},\alpha N_{2},\ldots )=\alpha U(S,V,N_{1},N_{2},\ldots )\,$

其中，αあるふぁ 為ため描述該系統けいとう成長せいちょう之の因子いんし。內能的てき微分びぶん可か寫うつし成なり

$\mathrm {d} U={\frac {\partial U}{\partial S}}\mathrm {d} S+{\frac {\partial U}{\partial V}}\mathrm {d} V+\sum _{i}\ {\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\mathrm {d} N_{i}\ =T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V+\sum _{i}\mu _{i}\mathrm {d} N_{i}\,$

其中，溫度おんど T 被ひ定義ていぎ為ため U 相對そうたい於熵 S 的てき偏へん導しるべ數すう，壓力あつりょく p 被ひ定義ていぎ為ため U 相對そうたい於容量りょう V 的てき偏へん導しるべ數すう之の負ふ值

$T={\frac {\partial U}{\partial S}},$

$p=-{\frac {\partial U}{\partial V}},$

而係數すう $\mu _{i}$ 則のり為ため類型るいけい i 的てき成なり份之化學かがく勢ぜい。該化學がく勢いきおい被ひ定義ていぎ為ため內能相對そうたい於成分ぶん數量すうりょう之の偏へん導しるべ數すう：

$\mu _{i}=\left({\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right)_{S,V,N_{j\neq i}}$

作為さくい成分せいぶん數量すうりょう $\lbrace N_{j}\rbrace$ 的てき共軛きょうやく變數へんすう，化學かがく勢ぜい是これ個こ內含物理ぶつり量りょう，與あずか系統けいとう的てき大小だいしょう無關むせき。因よし為ため內能 U 的てき外延がいえん性質せいしつ，以及各かく獨立どくりつ之の變數へんすう，使用しよう歐おう拉ひしげ的てき齊ひとし次じ函數かんすう定理ていり，微分びぶん dU 可か被ひ積分せきぶん，並なみ給きゅう出で內能的てき公式こうしき：

$U=TS-pV+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}\,$.

該系統けいとう內成分ぶん部分ぶぶん的てき總和そうわ即そく為ため吉よし布ぬの斯能：

$G=\sum _{i}\mu _{i}N_{i}\,$

吉よし布ぬの斯能表示ひょうじ在ざい固定こてい溫度おんど與あずか壓力あつりょく下か，系統けいとう成分せいぶん數量すうりょう的てき改變かいへん所產しょさん生せい之の能のう量りょう變化へんか。對たい一いち個こ單たん成分せいぶん的てき系統けいとう，化學かがく勢ぜい會かい等とう於每單位たんい物質ぶっしつ量的りょうてき吉きち布ぬの斯能。

彈性だんせい介かい質しつ裡うら的てき內能

在ざい一いち彈性だんせい介かい質しつ裡うら，內能裡うら的てき機械きかい能のう項こう必須ひっす以應力おうりょく $\sigma _{ij}$ 與あずか應變おうへん $\varepsilon _{ij}$ 來き取ど代だい。其無窮きゅう小しょう的てき公式こうしき為ため：

$\mathrm {d} U=T\mathrm {d} S+V\sigma _{ij}\mathrm {d} \varepsilon _{ij}$

其中，張ちょう量りょう使用しよう到いた愛あい因いん斯坦求もとめ和わ約定やくじょう，亦また即そく對たい每まい個こ重じゅう復ふく指數しすう相乘そうじょう後ご加か總そう。依據いきょ歐おう拉ひしげ定理ていり，可か給きゅう出で內能的てき公式こうしき為ため：

$U=TS+{\frac {1}{2}}\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}$

對たい一線いっせん性せい彈性だんせい材料ざいりょう，應力おうりょく與あずか應變おうへん之の間あいだ的てき關係かんけい如下：

$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\varepsilon _{kl}$

其中，C_ijkl 為ため介かい質しつ的てき彈性だんせい常數じょうすう張はり量りょう。

計算けいさん方法ほうほう

路みち徑みち積分せきぶん蒙こうむ地ち卡羅方法ほうほう是これ個こ用よう來らい計算けいさん內能的てき數すう值方法ほう，其理論ろん依據いきょ為ため量子力學りょうしりきがく原理げんり。

歷史れきし

詹姆斯·焦こげ耳みみ研究けんきゅう過熱かねつ、作さく功こう與あずか溫度おんど間あいだ的てき關係かんけい。他た觀察かんさつ到いた，若わか透過とうか攪拌液體えきたい等とう方式ほうしき對たい液體えきたい作さく機械きかい功こう，該液體えきたい的てき溫度おんど會かい上じょう升ます。焦こげ耳みみ假設かせつ，他た對たい該系統けいとう所作しょさ的てき機械きかい功こう會かい轉換てんかん成なり「熱ねつ能のう」。具體ぐたい來らい說せつ，他た還かえ發現はつげん了りょう需要じゅよう4185.5焦こげ耳みみ的てき能のう量りょう來らい提ひさげ升ます1公おおやけ斤きん的てき水みず1度どC的てき溫度おんど，輸入ゆにゅう功こう和わ熱ねつ能のう的てき比例ひれい即そく為ため热功当とう量りょう，1850年ねん時じ，焦こげ耳みみ发表了りょう一个修正的测量值，772.692 ft·lbf/Btu（4.159J/cal），这个值很接近せっきん20世せい纪初期き采さい用よう的てき值，4.1860J/cal。。

另見

• 熱量ねつりょう測定そくてい
• 焓
• 㶲
• 亥い姆霍茲自由じゆう能のう
• 熱ねつ力學りきがく方かた程ほど
• 熱ねつ動力どうりょく位い能のう
• 温度おんど
• 热量

參考さんこう文獻ぶんけん

• Alberty, R. A. Use of Legendre transforms in chemical thermodynamics (PDF). Pure Appl. Chem. 2001, 73 (8): 1349–1380 [2015-09-05]. doi:10.1351/pac200173081349. （原始げんし内容ないよう存そん档 (PDF)于2017-08-14）. 
• Lewis, Gilbert Newton; Randall, Merle: Revised by Pitzer, Kenneth S. & Brewer, Leo. Thermodynamics 2nd. New York, NY USA: McGraw-Hill Book Co. 1961. ISBN 0-07-113809-9. 
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. Theory of Elasticity (Course of Theoretical Physics Volume 7). (Translated from Russian by J.B. Sykes and W.H. Reid) Third. Boston, MA: Butterworth Heinemann. 1986. ISBN 0-7506-2633-X.