包つつみ立りつ方程式ほうていしき

在ざい這篇文章ぶんしょう內，向むかい量りょう與あずか标量分別ふんべつ用よう粗そ體からだ與あずか斜體しゃたい顯示けんじ。例れい如，位置いち向こう量りょう通どおり常用じょうよう $\mathbf {r} \,\!$ 表示ひょうじ；而其大小だいしょう則そく用よう $r\,\!$ 來らい表示ひょうじ。

包つつみ立りつ方程式ほうていしき或ある稱しょう薛丁格かく-包つつみ立りつ方程式ほうていしき，為ため描述帶たい有ゆう自じ旋1/2的てき粒子りゅうし在ざい與あずか電磁場でんじば交互こうご作用さよう下か的てき修正しゅうせい方程式ほうていしき（自じ旋1/2粒子りゅうし例れい如電子でんし）。在ざい此之前まえ，用よう以描述じゅつ粒子りゅうし行為こうい的てき薛丁格かく方程式ほうていしき則のり未み考慮こうりょ到いた粒子りゅうし自じ旋的てき性質せいしつ。其為狄拉克かつ方程式ほうていしき在ざい非ひ相對そうたい論ろん極限きょくげん下か的てき特例とくれい，應用おうよう在ざい粒子りゅうし速度そくど慢到相對そうたい論ろん效こう應おう可か以忽略りゃく的てき場合ばあい。

包つつみ立りつ方程式ほうていしき是ぜ由ゆかり沃爾夫おっと岡おか·包つつみ立りつ於1927年ねん所しょ建けん構。

方程式ほうていしき

一自旋粒子具有質量しつりょうm、電荷でんかq，於外加か電磁場でんじば中ちゅう運動うんどう；外がい加か電磁場でんじば可か以純量じゅんりょう勢ぜいϕ、向こう量りょう勢ぜいA = (A_x, A_y, A_z)來らい描述。包つつみ立りつ方程式ほうていしき可か描述外がい加か電磁場でんじば與あずか自じ旋交互こうご作用さよう的てき影響えいきょう：

包つつみ立りつ方程式ほうていしき （廣義こうぎ形式けいしき）

$\left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

其中

$\mathbf {p}$為ため動どう量りょう算さん符ふ（p = −iħ∇，∇為ため梯はしご度ど算さん符ふ），

${\vec {\sigma }}$為ため包つつみ立りつ矩のり陣じん，

$|\psi \rangle :={\begin{pmatrix}|\psi _{+}\rangle \\|\psi _{-}\rangle \end{pmatrix}}$為ため包つつみ立りつ旋量。

兩個りゃんこ旋量分量ぶんりょう都と滿足まんぞく薛丁格かく方程式ほうていしき

${\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$，

這表示ひょうじ系統けいとう是ぜ有ゆう額がく外がい但ただし簡併的まと的てき自由じゆう度ど。

另可看み出で包つつみ立りつ方程式ほうていしき的てき哈密頓ひたぶる算さん符ふ為ため：

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi$

因いん包つつみ立りつ矩のり陣じん的てき存在そんざい，此哈密みつ頓ひたぶる算さん符ふ為ため2 × 2矩のり陣じん算さん符ふ。包つつみ立りつ方程式ほうていしき的てき哈密頓ひたぶる算さん符ふ形がた似に於帶電たいでん粒子りゅうし在ざい電磁場でんじば中ちゅう的てき古典こてん哈密頓ひたぶる算さん符ふ，但ただし後者こうしゃ沒ぼつ有ゆう考慮こうりょ到いた自じ旋。

包つつみ立りつ矩のり陣じん可か以從動どう能のう項こう中ちゅう移出いしゅつ，只ただ要よう使用しよう包つつみ立りつ矩のり陣じん的てき關係かんけい式しき：

$({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)$

將はたp = −iħ∇代入だいにゅう，可か得え到いた

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi$

其中B = ∇ × A，即そく磁場じば。

與あずか斯特恩おん-革かわ拉ひしげ赫實驗じっけん的てき關係かんけい

包つつみ立りつ方程式ほうていしき可分かぶん拆為兩りょう項こう：

包つつみ立りつ方程式ほうていしき （磁場じばB）

$\underbrace {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\pm }\rangle =\left({\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}{2m}}+q\phi \right){\hat {1}}|\psi _{\pm }\rangle } _{\mathrm {Schr{\ddot {o}}dinger~equation} }-\underbrace {{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} |\psi _{\pm }\rangle } _{\text{Stern-Gerlach term}}$

同どう上述じょうじゅつ，

$|\psi _{\pm }\rangle$為ため包つつみ立りつ旋量，

${\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$為ため包つつみ立りつ矩のり陣じん所ところ構成こうせい的てき包つつみ立りつ向むこう量りょう，

B為ため外がい加か磁場じば，與あずか磁向量りょう勢ぜいA的てき關係かんけい為ため：$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$，

而

${\hat {1}}$為ため二に階かい單位たんい矩のり陣じん${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$。

左ひだり半はん部ぶ為ため薛丁格かく方程式ほうていしき（上うえ式しきSchrödinger equation），右みぎ半はん部ぶ斯特恩おん-革かわ拉ひしげ赫項（上うえ式しきStern-Gerlach term）。如此可か解釋かいしゃく帶たい有ゆう一いち個こ價あたい電子でんし的てき原子げんし何なん以得到いた得え到いた自じ旋取向こう，例れい如流過か不ふ均ひとし勻磁場じょう的てき銀ぎん原子げんし。相似そうじ地ち，比ひ如在反はん常つね塞ふさが曼效應おう，這一項造成磁場中的譜線（對應たいおう到いた能のう階かい）分裂ぶんれつ。

與あずか薛丁格かく方程式ほうていしき、狄拉克かつ方程式ほうていしき的てき關係かんけい

包つつみ立りつ方程式ほうていしき為ため非ひ相對そうたい論ろん性的せいてき量子力學りょうしりきがく方程式ほうていしき，但ただし其能描述自じ旋相關そうかん的てき行為こうい，因いん此其具有ぐゆう薛丁格かく方程式ほうていしき與あずか狄拉克かつ方程式ほうていしき的中てきちゅう介かい角かく色しょく：

• 常見つねみ的てき薛丁格かく方程式ほうていしき（作用さよう於複ふく純量じゅんりょう波動はどう方程式ほうていしき），非ひ相對そうたい論ろん性せい，也無法ほう描述自じ旋。
• 狄拉克かつ方程式ほうていしき（作用さよう於複數ふくすう四よん分量ぶんりょう旋量），完かん整地せいち考慮こうりょ了りょう相對そうたい論ろん效こう應おう，可か描述自じ旋。

注意ちゅうい到いた：若わか磁向量りょう勢ぜいA為ため零れい，包つつみ立りつ方程式ほうていしき則そく約やく化か為ため一いち個こ在ざい純じゅん電でん勢ぜいϕ中ちゅう運動うんどう的てき帶電たいでん粒子りゅうし之の薛丁格かく方程式ほうていしき：

$\left[{\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+q\phi \right]{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}$

但ただし因よし為ため包つつみ立りつ矩のり陣じん的てき存在そんざい，此方こちら程ほど式しき是ぜ作用さよう在ざい二に分量ぶんりょう旋量上じょう的てき。因よし此僅當とう磁場じば存在そんざい時じ，粒子りゅうし自じ旋才會かい對たい粒子りゅうし的てき運動うんどう發揮はっき影響えいきょう。

由よし狄拉克かつ方程式ほうていしき推導包つつみ立りつ方程式ほうていしき

自じ狄拉克かつ方程式ほうていしき開始かいし，設定せってい弱じゃく的てき電磁場でんじば交互こうご作用さよう：

$i\hbar \partial _{t}\left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)=c\left({\begin{array}{c}{\vec {\hat {\sigma }}}{\vec {\pi }}{\vec {\varphi }}_{2}\\{\vec {\hat {\sigma }}}{\vec {\pi }}{\vec {\varphi }}_{1}\end{array}}\right)+q\phi \left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)+mc^{2}\left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\-{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)$

其中${\vec {\pi }}={\vec {p}}-q{\vec {A}}$

利用りよう到いた如下近似きんじ：

• 透過とうか如下擬なずらえ設しつらえ對たい方程式ほうていしき做簡化か

$\left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)=e^{-i{\frac {mc^{2}t}{\hbar }}}\left({\begin{array}{c}{\vec {{\tilde {\varphi }}_{1}}}\\{\vec {{\tilde {\varphi }}_{2}}}\end{array}}\right)$

• 透過とうか緩慢かんまん時間じかん相しょう依よ性的せいてき前提ぜんてい去さ除じょ掉靜せい能のう量りょう

$\partial _{t}{\vec {\varphi }}_{i}\ll {\frac {mc^{2}}{\hbar }}{\vec {\varphi }}_{i}$

• 與あずか電場でんじょう勢いきおい有ゆう弱じゃく的てき耦合

$q\phi \ll mc^{2}$

外部がいぶ連結れんけつ

• （英文えいぶん）The Schrödinger-Pauli Hamiltonian （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• （英文えいぶん）The relativistic Pauli equation （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）