泡あわ利り方かた程ほど

在ざい这篇文章ぶんしょう内ない，向むかい量りょう与あずか标量分ぶん别用粗そ体からだ与あずか斜体しゃたい显示。例れい如，位置いち向こう量りょう通どおり常用じょうよう $\mathbf {r} \,\!$ 表示ひょうじ；而其大小だいしょう则用 $r\,\!$ 来らい表示ひょうじ。

泡あわ利り方かた程ほど或ある称しょう薛定谔-泡あわ利り方かた程ほど，为描述じゅつ带有自じ旋1/2的てき粒子りゅうし在ざい与あずか电磁场相互そうご作用さよう下か的てき修正しゅうせい方かた程ほど（自じ旋1/2粒子りゅうし例れい如电子）。在ざい此之前まえ，用よう以描述じゅつ粒子りゅうし行ぎょう为的薛定谔方程ほど则未考こう虑到粒子りゅうし自じ旋的まと性せい质。其为狄拉克かつ方かた程ほど在ざい非ひ相あい对论极限下か的てき特例とくれい，应用在ざい粒子りゅうし速度そくど慢到相しょう对论效こう应可以忽略りゃく的てき场合。

泡あわ利り方かた程ほど是ぜ由ゆかり沃尔夫おっと冈·泡あわ利り于1927年ねん所しょ建けん构。

方かた程ほど

一自旋粒子具有质量m、电荷q，于外加か电磁场中运动；外がい加か电磁场可以标势ϕ、矢や势A = (A_x, A_y, A_z)来らい描述。泡あわ利り方かた程ほど可か描述外がい加か电磁场与あずか自じ旋相互そうご作用さよう的てき影かげ响：

泡あわ利り方かた程ほど （广义形式けいしき）

$\left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

其中

$\mathbf {p}$为动量算さん符ふ（p = −iħ∇，∇为梯はしご度ど算さん符ふ），

${\vec {\sigma }}$为泡あわ利り矩のり阵，

$|\psi \rangle :={\begin{pmatrix}|\psi _{+}\rangle \\|\psi _{-}\rangle \end{pmatrix}}$为泡利り旋量。

两个旋量分量ぶんりょう都と满足薛定谔方程ほど

${\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$，

这表示ひょうじ系けい统是有ゆう额外但ただし简并的まと的てき自由じゆう度ど。

另可看み出で泡あわ利り方かた程ほど的てき哈密顿算符ふ为：

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi$

因いん泡あわ利り矩のり阵的存在そんざい，此哈密みつ顿算符ふ为2 × 2矩のり阵算さん符ふ。泡あわ利り方かた程ほど的てき哈密顿算符ふ形がた似に于带电粒子りゅうし在ざい电磁场中的てき经典哈密顿算符ふ，但ただし后きさき者しゃ没ぼつ有ゆう考こう虑到自じ旋。

泡あわ利り矩のり阵可以从动能项中移出いしゅつ，只ただ要よう使用しよう泡あわ利り矩のり阵的关系式しき：

$({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)$

将はたp = −iħ∇代入だいにゅう，可か得え到いた

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi$

其中B = ∇ × A，即そく磁场。

与あずか施ほどこせ特とく恩おん-格かく拉ひしげ赫实验的关系

泡あわ利り方かた程ほど可分かぶん拆为两项：

泡あわ利り方かた程ほど （磁场B）

$\underbrace {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\pm }\rangle =\left({\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}{2m}}+q\phi \right){\hat {1}}|\psi _{\pm }\rangle } _{\mathrm {Schr{\ddot {o}}dinger~equation} }-\underbrace {{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} |\psi _{\pm }\rangle } _{\text{Stern-Gerlach term}}$

同どう上述じょうじゅつ，

$|\psi _{\pm }\rangle$为泡利り旋量，

${\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$为泡あわ利り矩のり阵所ところ构成的てき泡あわ利とぎ向むこう量りょう，

B为外加か磁场，与あずか磁矢势A的てき关系为：$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$，

而

${\hat {1}}$为二に阶单位矩のり阵${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$。

左ひだり半はん部ぶ为薛定てい谔方程ほど（上うえ式しきSchrödinger equation），右みぎ半はん部ぶ施ほどこせ特とく恩おん-格かく拉ひしげ赫项（上うえ式しきStern-Gerlach term）。如此可か解かい释带有ゆう一いち个价电子こ的てき原子げんし何なん以得到いた得え到いた自じ旋取向こう，例れい如流过不均ひとし匀磁场的银原子げんし。相似そうじ地ち，比ひ如在反はん常つね塞ふさが曼效应，这一项造成磁场中的谱线（对应到能のう级）分裂ぶんれつ。

与あずか薛定谔方程ほど、狄拉克かつ方かた程ほど的てき关系

泡あわ利り方かた程ほど为非相しょう对论性せい的てき量子力学りょうしりきがく方かた程ほど，但ただし其能描述自じ旋相关的行ぎょう为，因いん此其具有ぐゆう薛定谔方程ほど与あずか狄拉克かつ方かた程ほど的中てきちゅう介かい角かく色しょく：

• 常つね见的薛定谔方程ほど（作用さよう于复标量波なみ动方程ほど），非ひ相あい对论性せい，也无法ほう描述自じ旋。
• 狄拉克かつ方かた程ほど（作用さよう于复数四よん分量ぶんりょう旋量），完かん整地せいち考こう虑了相あい对论效こう应，可か描述自じ旋。

注意ちゅうい到いた：若わか磁矢势A为零，泡あわ利り方かた程ほど则约化か为一个在纯电势ϕ中ちゅう运动的てき带电粒子りゅうし之の薛定谔方程ほど：

$\left[{\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+q\phi \right]{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}$

但ただし因よし为泡利り矩のり阵的存在そんざい，此方こちら程ほど是ぜ作用さよう在ざい二に分量ぶんりょう旋量上じょう的てき。因よし此仅当とう磁场存在そんざい时，粒子りゅうし自じ旋才会かい对粒子りゅうし的てき运动发挥影かげ响。

由よし狄拉克かつ方かた程ほど推导泡あわ利り方かた程ほど

自じ狄拉克かつ方かた程ほど开始，设定弱じゃく的てき电磁场相互そうご作用さよう：

$i\hbar \partial _{t}\left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)=c\left({\begin{array}{c}{\vec {\hat {\sigma }}}{\vec {\pi }}{\vec {\varphi }}_{2}\\{\vec {\hat {\sigma }}}{\vec {\pi }}{\vec {\varphi }}_{1}\end{array}}\right)+q\phi \left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)+mc^{2}\left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\-{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)$

其中${\vec {\pi }}={\vec {p}}-q{\vec {A}}$

利用りよう到いた如下近似きんじ：

• 透とおる过如下か拟设对方程ほど做简化か

$\left({\begin{array}{c}{\vec {\varphi }}_{1}\\{\vec {\varphi }}_{2}\end{array}}\right)=e^{-i{\frac {mc^{2}t}{\hbar }}}\left({\begin{array}{c}{\vec {{\tilde {\varphi }}_{1}}}\\{\vec {{\tilde {\varphi }}_{2}}}\end{array}}\right)$

• 透とおる过缓慢时间相依よ性的せいてき前提ぜんてい去さ除じょ掉静せい能のう量りょう

$\partial _{t}{\vec {\varphi }}_{i}\ll {\frac {mc^{2}}{\hbar }}{\vec {\varphi }}_{i}$

• 与あずか电场势有ゆう弱じゃく的てき耦合

$q\phi \ll mc^{2}$

外部がいぶ链接

• （英文えいぶん）The Schrödinger-Pauli Hamiltonian （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• （英文えいぶん）The relativistic Pauli equation （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）