珠算しゅざん

珠算しゅざん，指ゆび的てき是ぜ用よう算さん盘進行しんこう計算けいさん，一般いっぱん特とく指ゆび用よう中ちゅう式しき算盤そろばん进行計算けいさん。珠算しゅざん领域對たい四則しそく運算うんざん統すべ整せい出で了りょう一いち套系統けいとう的てき計算けいさん規則きそく，統みつる稱しょう珠算しゅざん法則ほうそく。其源於中國こく籌算，在ざい東ひがし漢かん徐じょ岳たけし所ところ著ちょ《數かず術じゅつ記き遺のこ》記載きさい上古じょうこ十じゅう四よん種しゅ算法さんぽう，珠算しゅざん為ため其一。不ふ過か，當時とうじ尚なお無む現在げんざい的てき算盤そろばん，是これ把わ算さん珠たま放ひ於以凹槽為ため檔的板ばん上じょう作為さくい算盤そろばん。

2013年ねん，聯合れんごう國教こっきょう科か文ぶん組織そしき將はた其列入いれ人類じんるい非ひ物質ぶっしつ文化ぶんか遺產いさん代表だいひょう作名さくな錄ろく。

術語じゅつご

珠算しゅざん已やめ發展はってん成なり一いち系統けいとう，亦また衍生出で許多きょた相關そうかん術語じゅつご，為ため便びん於說明せつめい，參考さんこう國こく珠たま聯れん的てき《珠算しゅざん統一とういつ用語ようご表ひょう》略りゃく簡述之の：

• 算盤そろばん術語じゅつご
  • 框かまち
  • 樑
  • 上うえ珠たま
  • 下しも珠たま
• 運うん珠たま相關そうかん
• 算術さんじゅつ術語じゅつご
  • 加算かさん：即そく加法かほう計算けいさん。
    • 被加數ひかすう： a
    • 加數かすう： b
    • 和わ： $a+b=c$ 的てき c
  • 減算げんざん：即そく減法げんぽう計算けいさん
    • 被減數ひげんすう： a
    • 減數げんすう： b
    • 差さ： $a-b=c$ 的てき c
  • 乘算じょうざん：即そく乘法じょうほう計算けいさん
    • 實み、被乘數ひじょうすう： a
    • 法ほう、乘數じょうすう： b
    • 積せき： $a\times b=c$ 的てき c
  • 除算じょざん：即そく除法じょほう計算けいさん
    • 實み、被除數ひじょすう： a
    • 法ほう、除數じょすう： b
    • 商しょう： $a\div b=c$ 的てき c
    • 餘よ： $a\div b=c..d$ 的てき d

運うん珠たま

有ゆう兩りょう種たね方式ほうしき：

1. 雙手そうしゅ撥ばち珠たま，以中國ちゅうごく為ため主ぬし，另有俄にわか羅ら斯、哈薩克かつ、南みなみ非ひ、烏がらす茲別克かつ、土ど耳みみ其、摩ま洛らく哥及中東ちゅうとう的てき伊い朗ろう、沙すな烏がらす地ち阿おもね拉ひしげ伯はく、阿おもね聯れん酋、約やく旦だん、黎はじむ巴ともえ嫩等。
2. 單たん手て運うん珠たま，以台灣たいわん、日本にっぽん、韓國かんこく為ため主ぬし，另有馬ば來らい西にし亞あ、新しん加か坡、泰たい國こく、香港ほんこん、美國びくに、加か拿大、巴ともえ西にし、澳洲等とう。

二に五ご珠算しゅざん盤ばん

一般いっぱん只ただ用よう拇指ぼし、食指しょくし和わ中指なかゆび拨珠（亦また有ゆう极少数すう非常ひじょう熟じゅく练的人じん五指ごし全ぜん用よう），三个手指的基本分工是：

• 拇指ぼし拨下珠たま向上こうじょう靠もたれ梁はり。
• 食指しょくし拨下珠たま向こう下した离梁。
• 中指なかゆび拨上珠たま靠もたれ梁りょう和かず离梁。

一いち四よん珠算しゅざん盤ばん

（或ある一いち五ご珠算しゅざん盤ばん）：兩りょう个手指しゅし的てき基本きほん分ぶん工こう是ぜ：

• 食指しょくし拨上珠たま向こう下した靠もたれ梁はり。
• 食指しょくし拨上珠たま向上こうじょう离梁。
• 拇指ぼし拨下珠たま向上こうじょう靠もたれ梁はり。
• 食指しょくし拨下珠たま向こう下した离梁。

一いち五ご珠算しゅざん盤ばん

兩りょう个手指しゅし的てき基本きほん分ぶん工こう是ぜ：

• 食指しょくし拨上珠たま向こう下した靠もたれ梁はり。
• 食指しょくし拨上珠たま向上こうじょう离梁。應おう該是拇指ぼし
• 拇指ぼし拨下珠たま向上こうじょう靠もたれ梁はり。
• 食指しょくし拨下珠たま向こう下した离梁。

算法さんぽう

布ぬの数すう

布ぬの数すう是ぜ指ゆび表現ひょうげん數字すうじ的てき算さん珠たま擺放方式ほうしき。

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

加算かさん

方法ほうほう為ため同位どうい值相加か，逢十じゅう進しん一いち，計算けいさん時じ由ゆかり又また高位こうい檔向低位ていい檔依次じ相しょう加か。

（例れい）1937+284

置數ちすう		百ひゃく位い檔相加か $+200$		十じゅう位い檔相加か $+80$		個こ位い檔相加か $+4$
	→		→		→
$1937$		$2137$		$2217$		$2221$

口訣くけつ

可か輔助學習がくしゅう，熟練じゅくれん後ご亦また可か不用ふよう。

加数かすう	不ふ进位加か		进位加か
	直ちょく加か	满五加うこぎ	进十加か	破やぶ五ご进十加か
一いち	一いち上じょう一いち	一いち下か五ご去さ四よん	一いち去さ九きゅう进一
二に	二上ふたかみ二に	二に下か五ご去さ三さん	二に去さ八はち进一
三さん	三上みかみ三さん	三下さんした五ご去さ二に	三さん去さ七なな进一
四よん	四よん上じょう四よん	四よん下か五ご去さ一いち	四よん去さ六ろく进一
五ご	五上ごじょう五ご		五ご去さ五ご进一
六ろく	六ろく上じょう六ろく		六ろく去さ四よん进一	六上一去五进一
七なな	七なな上じょう七なな		七なな去さ三さん进一	七上二去五进一
八はち	八はち上じょう八はち		八はち去さ二に进一	八上三去五进一
九きゅう	九きゅう上じょう九きゅう		九きゅう去さ一いち进一	九上四去五进一

以 +3 為ため例れい:

• 「三さん上じょう三さん」是ぜ指ゆび「（若わか下した珠たま夠加）直接ちょくせつ上じょう撥ばち三さん顆」(=+3)。
• 「三下さんした五ご去さ二に」是ぜ指ゆび「（若わか下した珠たま不ふ夠加，且沒有ゆう上じょう珠たま），則のり撥ばち下か一いち顆上珠たま，去さ掉兩夥おびただし下しも珠たま」（=+5-2）。
• 「三さん去さ七なな進しん一いち」是ぜ指ゆび「（若わか下した珠たま不ふ夠加，且有上じょう珠たま），則のり去さ掉七，再さい高こう一いち位い進一しんいち」（=+10-7）。

其中，「三下さんした五ご去さ二に」亦また是ぜ成語せいご中ちゅう「三下さんした五ご除じょ二に」的てき由來ゆらい。

減算げんざん

方法ほうほう為ため同位どうい值相減げん，不ふ夠借位い，計算けいさん時じ由よし高位こうい檔向低位ていい檔依次じ相しょう減げん。

（例れい）2756-957

置數ちすう		百ひゃく位い檔相減げん $-900$		十じゅう位い檔相減げん $-50$		個こ位い檔相減げん $-7$
	→		→		→
$2756$		$1856$		$1806$		$1799$

口くち诀

可か輔助學習がくしゅう，熟練じゅくれん後ご亦また可か不用ふよう。

减数	不ふ退位たいい减		退位たいい减
	直ちょく减	破やぶ五ご减	退位たいい减	退すさ十じゅう补五减
一いち	一いち去さ一いち	一いち上じょう四よん去さ五ご	一いち退すさ一いち还九
二に	二に去さ二に	二上ふたかみ三さん去さ五ご	二に退すさ一いち还八
三さん	三さん去さ三さん	三上みかみ二に去さ五ご	三さん退すさ一いち还七
四よん	四よん去さ四よん	四よん上じょう一いち去さ五ご	四よん退すさ一いち还六
五ご	五ご去さ五ご		五ご退すさ一いち还五
六ろく	六ろく去さ六ろく		六ろく退すさ一いち还四	六退一还五去一
七なな	七なな去さ七なな		七なな退すさ一いち还三	七退一还五去二
八はち	八はち去さ八はち		八はち退すさ一いち还二	八退一还五去三
九きゅう	九きゅう去さ九きゅう		九きゅう退すさ一いち还一	九退一还五去四

以 -3 為ため例れい:

「三さん去さ三さん」是ぜ指ゆび「（若わか下した珠たま夠減）直接ちょくせつ撥ばち去さ三さん顆」(=-3)。 「三さん上じょう二に去さ五ご」是ぜ指ゆび「（若わか下した珠たま不ふ夠減，且有上じょう珠たま），則のり撥ばち去さ上うわ珠たま，並なみ加か上じょう二に顆下珠たま」（=-5＋2）。 「三退一還七」是ぜ指ゆび「（若わか下した珠たま不ふ夠減，且沒有ゆう上じょう珠たま），則のり更さら高だか一いち位い減げん一いち，並なみ加か上じょう七なな」（=-10+7）。

負數ふすう

遇ぐう到いた小數しょうすう減げん大數たいすう時じ，可か以用到いた一いち種しゅ技巧ぎこう叫さけべ作づく懸かか珠たま來らい代表だいひょう負數ふすう。懸かか珠たま是ぜ指ゆび將しょう算さん珠たま移うつり到いた不ふ靠もたれ樑，也不靠もたれ框かまち。其觀念かんねん同どう計算けいさん機き中ちゅう的てき二に補數ほすう。

乘算じょうざん

基本きほん原則げんそく就是，將はた乘數じょうすう分解ぶんかい為ため每ごと分數ぶんすう，分別ふんべつ乘じょう上じょう被乘數ひじょうすう後ご相しょう加か。如：要よう計算けいさん 32×97

$32*97$

$=32*(90+7)$

$=32*90+32*7$

更進こうしん一いち步ほ分解ぶんかい，

$=(30+2)*90+(30+2)*7$

$=30*90+2*90+30*7+2*7$

計算けいさん時じ，不用ふよう考慮こうりょ位い值，則のり只ただ需計算けいさん一いち位い×一いち位い，如：30×90 ，只ただ需計算けいさん 3×9 ，再さい加か至いたり百ひゃく位い即そく可か。如此，可か以先將はた每まい個こ一いち位い×一いち位い的てき結果けっか先さき計算けいさん出來でき，此即為ため乘法じょうほう口こう诀——九きゅう九きゅう歌うた。

而使用しよう珠算しゅざん計算けいさん時じ，因いん為ため數字すうじ都と在ざい盤面ばんめん上じょう，所以ゆえん要よう考慮こうりょ是ぜ否いや要よう將しょう實み（被乘數ひじょうすう）、法ほう（乘數じょうすう）放置ほうち盤面ばんめん上じょう，放ひ的てき位置いち（因いん計算けいさん結果けっか會かい愈いよいよ來き愈いよいよ長なが，可能かのう會かい與原よはら本ほん被乘數ひじょうすう、乘數じょうすう放置ほうち的てき地方ちほう重疊ちょうじょう而影響えいきょう）、計算けいさん順序じゅんじょ、如何いか定位ていい等とう。而根據こんきょ計算けいさん方法ほうほう，主要しゅよう有ゆう兩りょう大類おおるい：

• 看み頭あたま乘法じょうほう，被乘數ひじょうすう、乘數じょうすう放置ほうち盤面ばんめん上じょう。
  • 看み頭あたま乘法じょうほう，又また稱たたえ見み乘法じょうほう，乘法じょうほう速算そくさん法ほう。
• 破やぶ頭あたま乘法じょうほう，被乘數ひじょうすう、乘數じょうすう不ふ放置ほうち盤面ばんめん上じょう。
  • 破やぶ頭あたま乘法じょうほう，又また稱たたえ頭あたま乘法じょうほう
  • 破やぶ頭あたま乘法じょうほう別法べっぽう，又また稱たたえ新しん頭あたま乘法じょうほう，或ある稱しょう隔へだた位くらい乘法じょうほう。

此外，另有一いち種しゅ技巧ぎこう 湊みなと倍ばい乘法じょうほう，古稱こしょう金きん蟬脫殻から，又また稱たたえ迭皮乘じょう、加減かげん乘法じょうほう、變へん積せき乘法じょうほう、倍數ばいすう乘法じょうほう、加か乘法じょうほう。可か將しょう乘法じょうほう轉てん為ため加減算かげんざん，從したがえ而不需要じゅよう九きゅう九きゅう乘法じょうほう。

其基本きほん想そう法ほう為ため：「因よし為ため將はた每まい個こ乘數じょうすう分解ぶんかい成なり多た個こ一いち位い數すう，最多さいた只ただ有ゆう 9 種しゅ可能かのう（0 不用ふよう計算けいさん）」，而這 9 種しゅ可能かのう，都と可か以改為ため「×1、×2、×5的てき某ぼう種しゅ組合くみあい」如：被乘數ひじょうすう×8 相當そうとう於 被乘數ひじょうすうx(10-2)。而「×1、×2、×5」這三さん種しゅ運算うんざん是ぜ容易ようい心算しんさん的てき。

看み頭あたま乘法じょうほう

破やぶ頭あたま乘法じょうほう

新しん頭あたま乘法じょうほう

（例れい）32×97

	→		→		→
32		算さん「2」字じ		2×90		+2×7
	→		→		→
		算さん「3」字じ		+30×90		+30×7	=3104

湊みなと倍ばい乘法じょうほう

除算じょざん

方法ほうほう跟長ちょう除法じょほう類似るいじ，即そく逐位（由ゆかり高位こうい向こう低位ていい）來らい決定けってい適合てきごう的てき商しょう。計算けいさん方式ほうしき主要しゅよう分ぶん兩りょう步ふ驟估商（或ある試ためし商しょう）和わ減げん積せき。

計算けいさん方法ほうほう有ゆう：商しょう除法じょほう、歸かえり除法じょほう、湊みなと倍ばい除法じょほう。

商しょう除法じょほう

以約やく率りつ為ため例れい。為ため簡單かんたん起おこり見み，先さき以兩個りゃんこ算盤そろばん（一いち個こ記錄きろく商しょう，一いち個こ記錄きろく餘あまり）說明せつめい之の。

（例れい）$22\div 7$

• 第だい一いち位い

置數ちすう			估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}3}}$			減げん積せき $-3\times 7=-{\mathbf {\color {Blue}21}}$
		→			→
$000$ ($3.00$)	${\mathbf {\color {Red}22}}00$ ($22.00$)		${\mathbf {\color {Red}3}}00$ ($3.00$)	$2200$ ($22.00$)		$300$ ($3.00$)	${\mathbf {\color {Red}01}}00$ ($1.00$)
${\begin{array}{lr}&\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {){\mathbf {\color {Red}22}}}}\\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}21}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}\\\end{array}}$

• 第だい二に位い

			估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}1}}$			減げん積せき $-1\times 7=-{\mathbf {\color {Blue}7}}$
		→			→
$300$ ($3.00$)	$0100$ ($1.00$)		$3{\mathbf {\color {Red}1}}0$ ($3.10$)	$0100$ ($1.00$)		$310$ ($3.10$)	$0{\mathbf {\color {Red}03}}0$ ($0.30$)
${\begin{array}{lr}&3_{.}\ \ \ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ }}\\&{\underline {-21\ \ \ \ }}\\&10\ \ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}{\mathbf {\color {Red}1}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ }}\\&{\underline {-21\ \ \ }}\\&10\ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}1\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ }}\\&{\underline {-21\ \ \ }}\\&10\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}7}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}3}}\ \\\end{array}}$

• 第だい三さん位い

			估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}4}}$			減げん積せき $-4\times 7={\mathbf {\color {Red}28}}$
		→			→
$310$ ($3.10$)	$0030$ ($0.30$)		$31{\mathbf {\color {Red}4}}$ ($3.14$)	$0030$ ($0.30$)		$314$ ($3.14$)	$00{\mathbf {\color {Red}02}}$ ($0.02$)
${\begin{array}{lr}&3_{.}1\ \ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-217\ \ \ }}\\&30\ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}1{\mathbf {\color {Red}4}}\ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-217\ \ \ }}\\&30\ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}14\ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-217\ \ \ }}\\&30\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}28}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}2}}\ \\\end{array}}$

得え到いた $22\div 7=3.14..0.02$。

而實際ぎわ在ざい計算けいさん時じ，會かい使用しよう一個算盤同時放置商數和餘數，就是分ぶん區く放ひ。要よう如何いか有效ゆうこう利用りよう有限ゆうげん的てき檔位，又また不ふ影響えいきょう計算けいさん，其規律きりつ就是夠除，隔へだた位置いち商しょう；不ふ夠除，挨位置いち商しょう。

以密みつ率りつ為ため例れい，說明せつめい完かん整せい的てき商しょう除法じょほう。

以 $355\div 113$ 為ため例れい

• 第だい一いち位い

置數ちすう		估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}3}}$。夠除，隔へだた位置いち商しょう。		減げん積せき $-3\times 113=-{\mathbf {\color {Blue}339}}$
	→		→
$00$"$355000000$		${\mathbf {\color {Red}3}}0$"$355000000$		$30$"${\mathbf {\color {Red}016}}000000$
${\begin{array}{lr}&\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {){\mathbf {\color {Red}355}}}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}339}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}16}}\\\end{array}}$

• 第だい二に位い

前ぜん次つぎ結果けっか		估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}1}}$。夠除，隔へだた位置いち商しょう。		減げん積せき $-1\times 113=-{\color {Blue}113}$
	→		→
$310$"$16000000$		$3{\mathbf {\color {Red}1}}0$"$16000000$		$310$"${\mathbf {\color {Red}047}}00000$
${\begin{array}{lr}&3\ \ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&16\ \ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.{\mathbf {\color {Red}1}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}113}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}47}}\\\end{array}}$

• 第だい三さん位い

前ぜん次つぎ結果けっか		估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}4}}$。夠除，隔へだた位置いち商しょう。		減げん積せき $-4\times 113=-{\color {Blue}452}$
	→		→
$3100$"$4700000$		$31{\mathbf {\color {Red}4}}0$"$4700000$		$3140$"${\mathbf {\color {Red}018}}0000$
${\begin{array}{lr}&3.1\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1{\mathbf {\color {Red}4}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}452}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}18}}\\\end{array}}$

• 第だい四よん位い

前ぜん次つぎ結果けっか		估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}1}}$。夠除，隔へだた位置いち商しょう。		減げん積せき $-1\times 113=-{\color {Blue}113}$
	→		→
$31400$"$180000$		$314{\mathbf {\color {Red}1}}0$"$180000$		$31410$"${\mathbf {\color {Red}067}}000$
${\begin{array}{lr}&3.14\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.82\ \ }}\\&180\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14{\mathbf {\color {Red}1}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.82\ \ }}\\&180\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.82\ \ }}\\&180\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}113}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}67}}\\\end{array}}$

• 第だい五ご位い

前ぜん次つぎ結果けっか		估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}5}}$。夠除，隔へだた位置いち商しょう。		減げん積せき $-5\times 113=-{\color {Blue}565}$
	→		→
$314100$"$67000$		$3141{\mathbf {\color {Red}5}}0$"$67000$		$314150$"${\mathbf {\color {Red}105}}00$
${\begin{array}{lr}&3.141\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.933\ \ }}\\&67\ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}5}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.933\ \ }}\\&670\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1415\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.933\ \ }}\\&670\\&{\underline {-565}}\\&105\\\end{array}}$

• 第だい六ろく位い。注意ちゅうい，這位是ぜ不ふ夠除，挨位置いち商しょう。

前ぜん次つぎ結果けっか		估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}9}}$。不ふ夠除，挨位置いち商しょう。		減げん積せき $-9\times 113=-{\color {Blue}1017}$
	→		→
$314150$"$10500$		$31415{\mathbf {\color {Red}9}}$"$10500$		$314159$"${\mathbf {\color {Red}0033}}0$
${\begin{array}{lr}&3.1415\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.9895\ \ }}\\&105\ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1415{\mathbf {\color {Red}9}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.9895\ \ }}\\&1050\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.9895\ \ }}\\&105\ \ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}1017}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}33}}\\\end{array}}$

• 第だい七なな位い。

前ぜん次つぎ結果けっか		估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}2}}$。夠除，隔へだた位置いち商しょう。		減げん積せき $-2\times 113=-{\color {Blue}226}$
	→		→
$31415900$"$330$		$314159{\mathbf {\color {Red}2}}0$"$330$		$31415920$"${\mathbf {\color {Red}104}}$
${\begin{array}{lr}&3.14159\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.99967\ \ }}\\&33\ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}2}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.99967\ \ }}\\&330\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141592\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.99967\ \ }}\\&330\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}226}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}104}}\\\end{array}}$

得とく $355\div 113=3.141592..0.000104$

修正しゅうせい商しょう

計算けいさん過程かてい中ちゅう，若わか發現はつげん所しょ估的商しょう過大かだい，則のり要よう退すさ商しょう；若わか估商太たい小しょう，則のり要よう補ほ商しょう。

歸かえり除法じょほう

其基本きほん想そう法ほう是ぜ，將はた一些可能的除算先計算出結果，並なみ將はた商しょう與あずか除數じょすう化か作さく口訣くけつ，來らい加速かそく計算けいさん除法じょほう。

除數じょすう為ため一いち位い的てき稱たたえ為ため單たん歸き法ほう，除數じょすう為ため多た位い的てき，則のり為ため歸かえり除法じょほう。

九きゅう歸き訣

目前もくぜん可知かち最早もはや的てき記載きさい為ため朱しゅ世よ傑すぐる所ところ撰せん《算さん學がく啟蒙けいもう》卷まき上じょう《歸かえり除じょ歌か訣》：「 一いち歸き如一いち進しん、見み一いち進しん成なり十じゅう；
二に一いち添作五ご、逢二に進しん成なり十じゅう、四よん進しん二に十じゅう、六ろく進しん三さん十じゅう、八はち進しん四よん十じゅう；
三さん一いち三さん十じゅう一いち、三さん二に六ろく十じゅう二に、逢三さん進しん成なり十じゅう、六ろく進しん二に十じゅう、九きゅう進しん三さん十じゅう；
四よん一いち二に十じゅう二に、四よん二に添作五ご、四よん三さん七なな十じゅう二に、逢四よん進しん成なり十じゅう、八はち進しん二に十じゅう；
五ご歸き添一いち倍ばい、逢五ご進しん成なり十じゅう；
六ろく一いち下か加か四よん、六ろく二に三さん十じゅう二に、六ろく三さん添作五ご、六ろく四よん六ろく十じゅう四よん、六ろく五ご八はち十じゅう二に、逢六ろく進しん成なり十じゅう；
七なな一いち下か加か三さん、七なな二に下か加か六ろく、七なな三さん四よん十じゅう二に、七なな四よん五ご十じゅう五ご、七なな五ご七なな十じゅう一いち、七なな六ろく八はち十じゅう四よん、逢七なな進しん成なり十じゅう；
八はち一いち下か加か二に、八はち二に下か加か四よん、八はち三下さんした加か六ろく、八はち四よん添作五ご、八はち五ご六ろく十じゅう二に、八はち六ろく七なな十じゅう四よん、八はち七なな八はち十じゅう六ろく、逢八はち進しん成なり十じゅう；
九きゅう歸き隨身ずいじん下か、逢九きゅう進しん成なり十じゅう
」

整せい個こ歌か訣的作用さよう為ため，「羅列られつ所有しょゆう被除數ひじょすう及除數すう的てき首くび數すう的てき可能かのう，得とく出で商しょう數すう和わ餘あまり數すう」。
以三さん一いち三さん十じゅう一いち為ため例れい，第だい一いち個こ數字すうじ為ため三さん，是ぜ除數じょすう的てき首くび數すう為三ためぞう，第だい二に個こ數字すうじ為一ためいち，是ぜ被除數ひじょすう首くび數すう為一ためいち，數字すうじ雖為 1，但ただし計算けいさん的てき是ぜ $1\times 10$ 。 而三さん十じゅう一いち意い指ゆび商しょう為ため 3 ，餘あまり為ため 1。同樣どうよう的てき，三さん二に六ろく十じゅう二に是ぜ指ゆび$20\div 3=6..2$。逢三さん進しん成なり十じゅう是ぜ指ゆび$30\div 3=10..0$。
有ゆう些語句く是ぜ用よう下しも加か幾いく來らい表示ひょうじ，是ぜ指ゆび商しょう數すう不變ふへん（與あずか被ひ除じょ數すう首しゅ數すう相そう同どう），餘よ數すう則そく為ため那な個こ幾いく。以七なな二に下か加か六ろく為ため例れい，$20\div 7=2..6$。 五ご歸き添一いち倍ばい是ぜ指ゆび「用もちい 5 去さ除じょ一いち個こ數すう，相當そうとう於此數すう加か倍ばい」（如：$30\div 5=6$）

其中，部分ぶぶん口訣くけつ，也成了りょう成語せいご。如二に一いち添作五ご意味いみ兩者りょうしゃ平分へいぶん，三さん一いち三さん十じゅう一いち意味いみ三さん者しゃ平分へいぶん。

其他版本はんぽん

也有やゆう幾いく種しゅ不同ふどう的てき版本はんぽん，如簡化か版ばん：「
一いち歸き如一いち進しん，見み一いち進しん成なり十じゅう；
二に一いち添作五ご，逢二に進しん成なり十じゅう；
三さん一いち三さん十じゅう一いち，三さん二に六ろく十じゅう二に，逢三さん進しん成なり十じゅう；
四よん一いち二に十じゅう二に，四よん二に添作五ご，四よん三さん七なな十じゅう二に，逢四よん進しん成なり十じゅう；
五ご歸き添一いち倍ばい，逢五ご進しん成なり十じゅう；
六ろく一いち下か加か四よん，六ろく二に三さん十じゅう二に，六ろく三さん添作五ご，六ろく四よん六ろく十じゅう四よん，六ろく五ご八はち十じゅう二に，逢六ろく進しん成なり十じゅう；
七なな一いち下か加か三さん，七なな二に下か加か六ろく，七なな三さん四よん十じゅう二に，七なな四よん五ご十じゅう五ご，七なな五ご七なな十じゅう一いち，七なな六ろく八はち十じゅう四よん，逢七なな進しん成なり十じゅう；
八はち一いち下か加か二に，八はち二に下か加か四よん，八はち三下さんした加か六ろく，八はち四よん添作五ご，八はち五ご六ろく十じゅう二に，八はち六ろく七なな十じゅう四よん，八はち七なな八はち十じゅう六ろく，逢八はち進しん成なり十じゅう；
九きゅう歸き隨身ずいじん下か，逢九きゅう進しん成なり十じゅう。
」

或ある者もの，改あらため為ため更さら易えき理解りかい的てき語句ごく，如將「三さん一いち三さん十じゅう一いち」改あらため為ため「三さん一いち三さん餘よ一いち」，「逢三さん進しん成なり十じゅう」改あらため為ため「逢三さん進しん一いち」。如：「
一いち歸き：逢一いち進しん一いち，逢二に進しん二に，逢三さん進しん三さん，逢四よん進しん四よん，逢五ご進しん五ご，逢六ろく進しん六ろく，逢七なな進しん七なな，逢八はち進しん八はち，逢九きゅう進しん九きゅう。
二に歸き：逢二に進しん一いち，逢四よん進しん二に，逢六ろく進しん三さん，逢八はち進しん四よん，二に一いち添作五ご。
三さん歸き：逢三さん進しん一いち，逢六ろく進しん二に，逢九きゅう進しん三さん，三さん一いち三さん餘あまり一いち，三さん二に六ろく餘あまり二に。
四よん歸き：逢四よん進しん一いち，逢八はち進しん二に，四よん二に添作五ご，四よん一いち二に餘あまり二に，四よん三さん七なな餘あまり二に。
五ご歸き：逢五ご進しん一いち，五ご一いち倍ばい作さく二に，五ご二に倍ばい作さく四よん，五ご三さん倍ばい作さく六ろく，五ご四よん倍ばい作さく八はち。
六ろく歸き：逢六ろく進しん一いち，逢十じゅう二に進しん二に，六ろく三さん添作五ご，六ろく一いち下か加か四よん，六ろく二に三さん餘あまり二に，六ろく四よん六ろく餘あまり四よん，六ろく五ご八はち餘あまり二に。
七なな歸き：逢七なな進しん一いち，逢十じゅう四よん進しん二に，七なな一いち下か加か三さん，七なな二に下か加か六ろく，七なな三さん四よん餘あまり二に，七なな四よん五ご餘あまり五ご，七なな五ご七なな餘あまり一いち，七なな六ろく八はち餘あまり四よん。
八はち歸き：逢八はち進しん一いち，八はち四よん添作五ご，八はち一いち下か加か二に，八はち二に下か加か四よん，八はち三下さんした加か六ろく，八はち五ご六ろく餘あまり二に，八はち六ろく七なな餘あまり四よん，八はち七なな八はち餘あまり六ろく。
九きゅう歸き：逢九きゅう進しん一いち，九きゅう一いち下か加か一いち，九きゅう二に下か加か二に，九きゅう三下さんした加か三さん，九きゅう四よん下か加か四よん，九きゅう五ご下か加か五ご，九きゅう六ろく下か加か六ろく，九きゅう七なな下か加か七なな，九きゅう八はち下か加か八はち。
」

單たん歸き法ほう（除數じょすう為ため一いち位い）

以約やく率りつ為ため例れい。

（例れい） $22\div 7$

七なな歸き

置數ちすう		七なな二に下か加か六ろく 商しょう設しつらえ為ため $2$ 下した一いち檔 $+6$		逢七なな進しん一いち 商しょう$+1$ 本ほん檔$-1$。		七なな一いち下か加か三さん 商しょう設しつらえ為ため $1$ 下した一いち檔 $+3$		七なな三さん四よん餘あまり二に 商しょう設しつらえ為ため $4$ 下した一いち檔 $+2$
	→		→		→		→
${\displaystyle }$"$2200$		${\mathbf {\color {Red}2}}$"${\mathbf {\color {Red}8}}00$		${\mathbf {\color {Red}31}}$"$00$		$3{\mathbf {\color {Red}1}}$"${\mathbf {\color {Red}3}}0$		$31{\mathbf {\color {Red}4}}$"${\mathbf {\color {Red}2}}$
${\begin{array}{lr}7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}2}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}14}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}8}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\&-14\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}7}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.{\mathbf {\color {Red}1}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ }}\\&{\underline {-21\ \ }}\\&10\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}7}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}3}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1{\mathbf {\color {Red}4}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ }}\\&{\underline {-21.7\ \ }}\\&30\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}28}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}2}}\\\end{array}}$

得とく $22\div 7=3.14..0.02$

歸かえり除法じょほう（除數じょすう為ため多た位い）

跟單歸き法ほう類似るいじ，也是借か助じょ九きゅう歸き歌か。可か以理解りかい成なり使用しよう九きゅう歸き歌か來らい估商。

以 $12345\div 321$ 為ため例れい，可か以先用よう 300 來らい估商，因いん此使用しよう口訣くけつ中ちゅう的てき三さん歸き口訣くけつ。口訣くけつ已やめ完成かんせい了りょう 300 的てき減げん積せき（如「三さん一いち三さん餘あまり一いち」中ちゅう，餘よ一的部分已加入下一檔）。但ただし 21 的てき部分ぶぶん仍未減げん積せき。因よし此歸除法じょほう區分くぶん兩個りゃんこ觀念かんねん：除數じょすう的てき首くび數すう稱しょう為ため歸き，除數じょすう的てき首くび數すう以外いがい的てき數すう稱しょう為ため除じょ。除數じょすう為ため 321 的てき話ばなし，稱しょう作さく3歸き21除じょ，意味いみ著ちょ用よう 3歸き求もとめ商しょう及其減げん積せき，再さい以 21 來らい完成かんせい乘じょう下か的てき減げん積せき。

減げん積せき後ご，有ゆう可能かのう發現はつげん的てき估商需要じゅよう調整ちょうせい。若わか過小かしょう，需要じゅよう增ぞう商しょう，這部分ぶぶん口訣くけつ中ちゅう已やめ包含ほうがん「逢 n 進すすむ為ため十じゅう」；若わか過大かだい，則のり需退すさ商しょう，則のり有ゆう退すさ商しょう口訣くけつ：

• 一いち歸き：無む除じょ起おこり一いち下か還かえ一いち
• 二に歸き：無む除じょ起おこり一いち下か還かえ二に
• 三さん歸き：無む除じょ起おこり一いち下か還かえ三さん
• 四よん歸き：無む除じょ起おこり一いち下か還かえ四よん
• 五ご歸き：無む除じょ起おこり一いち下か還かえ五ご
• 六ろく歸き：無む除じょ起おこり一いち下か還かえ六ろく
• 七なな歸き：無む除じょ起おこり一いち下か還かえ七なな
• 八はち歸き：無む除じょ起おこり一いち下か還かえ八はち
• 九きゅう歸き：無む除じょ起おこり一いち下か還かえ九きゅう

這口訣くけつ有明ありあけ顯あきら規律きりつ：「無む除じょ起おこり（也有やゆう作さく「退すさ」）一いち下か還かえ n」，無む需特別べつ記憶きおく。

另外，也有やゆう可能かのう發現はつげん在ざい某ぼう些情況きょう（即そく除數じょすう、被除數ひじょすう差さ不ふ多大ただい，卻又不ふ夠除時じ）下した，無法むほう估商，則のり使用しよう撞歸口訣くけつ：

• 一いち歸き：見み一いち無む除じょ撞九一いち
• 二に歸き：見み二に無む除じょ撞九二に
• 三さん歸き：見み三さん無む除じょ撞九三さん
• 四よん歸き：見み四よん無む除じょ撞九四よん
• 五ご歸き：見み五ご無む除じょ撞九五ご
• 六ろく歸き：見み六ろく無む除じょ撞九六ろく
• 七なな歸き：見み七なな無む除じょ撞九七なな
• 八はち歸き：見み八はち無む除じょ撞九八はち
• 九きゅう歸き：見み九きゅう無む除じょ撞九九きゅう

這口訣也有明ありあけ顯あきら規律きりつ：「見み n 無む除じょ撞（也有やゆう作さく「作さく」）九きゅう n」，無む需特別べつ記憶きおく。它的意思いし是ぜ，在ざい「除數じょすう、被除數ひじょすう的てき首くび數すう同どう為ため n，卻又不ふ夠除，直接ちょくせつ估商為ため 9，下か一いち檔要 +n」時じ。當とう首くび數すう相そう同どう，卻又無法むほう進しん 1 （代表だいひょう 10），則のり估商就從 9 開始かいし。減げん積せき後ご，需要じゅよう在ざい下した一いち檔 +n 。

以密みつ率りつ為ため例れい，因いん為ため除數じょすう為ため $113$，故こ稱しょう之の為ため「一いち歸き十じゅう三さん除じょ」，相關そうかん口訣くけつ如下：

• 九きゅう歸き口訣くけつ：逢一いち進しん一いち，逢二に進しん二に，逢三さん進しん三さん，逢四よん進しん四よん，逢五ご進しん五ご，逢六ろく進しん六ろく，逢七なな進しん七なな，逢八はち進しん八はち，逢九きゅう進しん九きゅう。
• 退すさ商しょう口訣くけつ：無む除じょ起おこり一いち下か還かえ一いち。
• 撞歸口訣くけつ：見み一いち無む除じょ撞九一いち。

（例れい）$355\div 113$

• 第だい一いち位い

一いち歸き十じゅう三さん除じょ

置數ちすう		逢三さん進しん三さん 商しょう為ため ${\mathbf {\color {Red}3}}$		以十じゅう三さん除じょ減げん積せき $-3\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}39}}$。
	→		→
$0$"$3550000000$		${\mathbf {\color {Red}3}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}550000000$		$3$"$0{\mathbf {\color {Red}16}}0000000$
${\begin{array}{lr}&\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {){\mathbf {\color {Red}355}}}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}300}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}55}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\&-300\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}39}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}16}}\\\end{array}}$

• 第だい二に位い

一いち歸き十じゅう三さん除じょ

前ぜん次つぎ結果けっか		逢一いち進しん一いち 商しょう為ため ${\mathbf {\color {Red}1}}$		以十じゅう三さん除じょ減げん積せき $-1\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}13}}$。
	→		→
$30$"$160000000$		$3{\mathbf {\color {Red}1}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}60000000$		$31$"$0{\mathbf {\color {Red}47}}000000$
${\begin{array}{lr}&3\ \ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&16\ \ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.{\mathbf {\color {Red}1}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}100}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}60\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\ \\&-100\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}13\ }}}}\\&{\mathbf {\color {Red}47\ }}\\\end{array}}$

• 第だい三さん位い

一いち歸き十じゅう三さん除じょ

前ぜん次つぎ結果けっか		逢四よん進しん四よん 商しょう為ため ${\mathbf {\color {Red}4}}$		以十じゅう三さん除じょ減げん積せき $-4\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}52}}$。
	→		→
$310$"$4700000$		$31{\mathbf {\color {Red}4}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}700000$		$314$"$0{\mathbf {\color {Red}18}}0000$
${\begin{array}{lr}&3.1\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-3503}}\\&47\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1{\mathbf {\color {Red}4}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}4}}00\ }}\\&70\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\&-400\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}52}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}18}}\ \\\end{array}}$

• 第だい四よん位い

一いち歸き十じゅう三さん除じょ

前ぜん次つぎ結果けっか		逢一いち進しん一いち 商しょう為ため ${\mathbf {\color {Red}1}}$		以十じゅう三さん除じょ減げん積せき $-1\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}13}}$。
	→		→
$3140$"$180000$		$314{\mathbf {\color {Red}1}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}80000$		$3141$"$0{\mathbf {\color {Red}67}}000$
${\begin{array}{lr}&3.14\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35482\ }}\\&18\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35482\ \ \ }}\\&180\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}100}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}80\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35482\ \ \ }}\\&180\ \\&-100\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}13\ }}}}\\&{\mathbf {\color {Red}67}}\ \\\end{array}}$

• 第だい五ご位い

一いち歸き十じゅう三さん除じょ

前ぜん次つぎ結果けっか		逢六ろく進しん六ろく 商しょう為ため ${\mathbf {\color {Red}6}}$		以十じゅう三さん除じょ減げん積せき ${\begin{array}{ll}-6\times 13&=-6\times (10+3)\\&=-{\mathbf {\color {Blue}60}}-{\mathbf {\color {Purple}18}}\\\end{array}}$		加か回かい減げん積せき		退すさ商しょう 無む除じょ起おこり一いち下か還かえ一いち 商しょう$-1$為ため ${\mathbf {\color {Red}5}}$，下した一いち檔$+1$		以十じゅう三さん除じょ減げん積せき $-5\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}65}}$。
	→		→		→		→		→
$31410$"$67000$		$3141{\mathbf {\color {Red}6}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}7000$		$31416$"$0{\mathbf {\color {Red}1}}000$		$31416$"$0{\mathbf {\color {Red}7}}000$		$3141{\mathbf {\color {Red}5}}$"${\mathbf {\color {Red}1}}7000$		$31415$"$1{\mathbf {\color {Red}05}}00$
${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ }}\\&67\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}6}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-600\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}70\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1416\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-600\ }}\\&70\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}60}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}10}}\ &{\mathbf {\color {Purple}<18}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1416\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-600\ }}\\&70\ \\&-60\ \\&{\underline {+{\mathbf {\color {Blue}60}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}70}}\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}5}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-500\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}70\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}5}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&-500\ \\&{\underline {-65\ }}\\&1{\mathbf {\color {Red}05}}\ \\\end{array}}$

• 第だい六ろく位い

一いち歸き十じゅう三さん除じょ

前ぜん次つぎ結果けっか		見み一いち無む除じょ撞九一いち 商しょう為ため ${\mathbf {\color {Red}9}}$，下した一いち檔 $+1$		以十じゅう三さん除じょ減げん積せき $-9\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}117}}$。
	→		→
$31415$"$10500$		$31415{\mathbf {\color {Red}9}}$"${\mathbf {\color {Red}1}}500$		$314159$"${\mathbf {\color {Red}033}}0$
${\begin{array}{lr}&3.1415\ \ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3549895\ \ \ }}\\&105\ \ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1415{\mathbf {\color {Red}9}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3549895\ \ \ }}\\&1050\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}9}}00\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}50\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3549895\ \ \ }}\\&1050\ \\&-900\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}117}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}33}}\ \\\end{array}}$

• 第だい七なな位い

一いち歸き十じゅう三さん除じょ

前ぜん次つぎ結果けっか		逢三さん進しん三さん 商しょう為ため ${\mathbf {\color {Red}3}}$		以十じゅう三さん除じょ減げん積せき ${\begin{array}{ll}-3\times 13&=-3\times (10+3)\\&=-{\mathbf {\color {Blue}30}}-{\mathbf {\color {Purple}9}}\\\end{array}}$		加か回かい減げん積せき		退すさ商しょう 無む除じょ起おこり一いち下か還かえ一いち 商しょう$-1$為ため ${\mathbf {\color {Red}2}}$，下した一いち檔$+1$		以十じゅう三さん除じょ減げん積せき $-5\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}65}}$。
	→		→		→		→		→
$3141590$"$330$		$314159{\mathbf {\color {Red}3}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}30$		$3141593$"$0{\mathbf {\color {Red}0}}0$		$3141593$"$0{\mathbf {\color {Red}3}}0$		$314159{\mathbf {\color {Red}2}}$"${\mathbf {\color {Red}1}}30$		$3141592$"$1{\mathbf {\color {Red}04}}$
${\begin{array}{lr}&3.14159\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ }}\\&33\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}3}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}3}}00\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}30\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141593\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&-300\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}3}}0\ }}\\&0{\mathbf {\color {Red}0}}0\ &{\mathbf {\color {Purple}<9}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141593\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&-300\ \\&-30\ \\&{\underline {+{\mathbf {\color {Blue}3}}0\ }}\\&0{\mathbf {\color {Red}3}}0\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}2}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}2}}00\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}30\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}2}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&-200\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}26}}\ }}\\&1{\mathbf {\color {Red}04}}\ \\\end{array}}$

得とく $355\div 113=3.141592..0.000104$。

湊みなと倍ばい除法じょほう

或ある稱しょう累減るいげん除法じょほう、大だい扒皮，首しゅ見み於《九章詳註比類算法大全》，是ぜ一種不用九九乘法而用累減的計算方式。

開平かいへい方かた

開平かいへい方かた必須ひっす至いたり少しょう三副都是至少十三檔算盤, 一いち副ふく是ぜ根ね, 一いち副ふく是ぜ廉れん, 一いち副ふく是ぜ隅すみ

驗算けんざん

還かえ原げん驗算けんざん法ほう

一いち、交換こうかん律りつ

   加法かほう算式さんしき:被加數ひかすう+加數かすう=和わ數すう
   驗算けんざん公式こうしき:加數かすう+被加數ひかすう=和わ數すう
   減法げんぽう算式さんしき:被減數ひげんすう-減數げんすう=差さ數すう
   驗算けんざん公式こうしき:被減數ひげんすう-差さ數すう=減數げんすう
   乘法じょうほう算式さんしき：被乘數ひじょうすう*乘數じょうすう=積せき
   驗算けんざん公式こうしき：乘數じょうすう*被乘數ひじょうすう=積せき

二に、逆ぎゃく運算うんざん

   加法かほう算式さんしき:被加數ひかすう+加數かすう=和わ數すう
   驗算けんざん公式こうしき:和わ數すう-加數かすう=被加數ひかすう  或ある  和わ數すう-被加數ひかすう=加數かすう
   減法げんぽう算式さんしき:被減數ひげんすう-減數げんすう=差さ數すう
   驗算けんざん公式こうしき:差さ數すう+減數げんすう=被減數ひげんすう
   乘法じょうほう算式さんしき：被乘數ひじょうすう*乘數じょうすう=積せき
   驗算けんざん公式こうしき：積せき/被乘數ひじょうすう=乘數じょうすう
   除法じょほう算式さんしき：被除數ひじょすう/除數じょすう=商しょう(及餘數すう)
   驗算けんざん公式こうしき：(除數じょすう*商しょう)+餘あまり數すう=被除數ひじょすう

三さん、尾お錯復尾お

   只ただ再さい計算けいさん最後さいご幾いく位い數すう一いち次じ

九きゅう餘あまり數すう法ほう

只ただ能のう驗けん加法かほう,減法げんぽう,乘法じょうほう和わ乘じょう冪べき

範はん例れい一いち、 123+456=599

        123=1+2+3=6(mod 9)
        456=4+5+6=6(mod 9)
        599=5+9+9=5(mod 9)
       因いん6+6=3(mod 9)不等ふとう於5(mod 9), 所以ゆえん計算けいさん錯誤さくご,正確せいかく答案とうあん是ぜ579

範はん例れい二に、 123*456=68934

         123=1+2+3=6(mod 9)
         456=4+5+6=6(mod 9)
         68934=6+8+9+3+4=3(mod 9)
       因いん6*6=0(mod 9)不等ふとう於3(mod 9), 所以ゆえん計算けいさん錯誤さくご, 正確せいかく答案とうあん是ぜ56088

範はん例れい三さん、 22*68*53=369780

         22=4(mod 9)
         68=5(mod 9)
         53=8(mod 9)
         369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9)
        因いん4*5*8=7(mod 9)不等ふとう於6(mod 9), 所以ゆえん計算けいさん錯誤さくご, 正確せいかく答案とうあん是ぜ79288

範はん例れい四よん、 23^4=367981

         23^4=(-4)^4=4(mod 9)
         367981=34=7(mod 9)
       因いん4(mod 9)不等ふとう於7(mod 9), 所以ゆえん計算けいさん錯誤さくご, 正確せいかく答案とうあん是ぜ279841

   九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的てき問題もんだい, 例れい如計算けいさん岀567, 但ただし正確せいかく答案とうあん是ぜ576便びん會かい顯示けんじ正確せいかく。勿過度ど倚賴九きゅう餘あまり數すう法ほう。
         

九きゅう除法じょほう

十じゅう一いち除法じょほう

二に除法じょほう

珠算しゅざん競技きょうぎ

珠算しゅざん競技きょうぎ可分かぶん為ため珠算しゅざん競技きょうぎ和わ心算しんさん競技きょうぎ兩りょう大類おおるい，心算しんさん競技きょうぎ是ぜ運用うんよう珠算しゅざん式しき心算しんさん技巧ぎこう。

外部がいぶ链接

• 珠算しゅざん全ぜん球たま資し訊網 （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• 中華民國ちゅうかみんこく兒童じどう珠算しゅざん協會きょうかい／中華ちゅうか珠算しゅざん心算しんさん教育きょういく協會きょうかい （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• 世界せかい珠たま心算しんさん网 （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）

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