杨辉三角形さんかっけい

《永えい乐大典たいてん》一いち页：杨辉引用いんよう贾宪《释锁算さん书》中ちゅう的てき贾宪三角形さんかっけい

杨辉三角形さんかっけい，又また称たたえ帕斯卡三角形さんかっけい、賈憲三角形さんかっけい、海うみ亚姆三角形さんかっけい、巴ともえ斯卡三角形さんかっけい，是ぜ二に项式系けい數すう的てき一いち种写法ほう，形かたち似に三角形さんかっけい，在ざい中国ちゅうごく首くび现于南みなみ宋そう杨辉的てき《詳解しょうかい九きゅう章しょう算法さんぽう》得とく名めい，其在书中说明是ぜ引自贾宪的てき《释锁算さん书》，故こ又また名めい贾宪三角形さんかっけい。前ぜん 9 行ぎょう写うつし出来でき如下：

${\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\1\quad 8\quad 28\quad 56\quad 70\quad 56\quad 28\quad 8\quad 1\\1\quad 9\quad 36\quad 84\quad 126\quad 126\quad 84\quad 36\quad 9\quad 1\\1\quad 10\quad 45\quad 120\quad 210\quad 252\quad 210\quad 120\quad 45\quad 10\quad 1\\\end{array}}$

杨辉三角形さんかっけい第だい $n$ 层（顶层称しょう第だい 0 层，第だい 1 行ぎょう，第だい $n$ 层即第だい $n+1$ 行くだり，此处 $n$ 为包含ほうがん 0 在ざい内的ないてき自然しぜん数すう）正せい好こう对应于二に项式 $\left(a+b\right)^{n}$ 展てん开的系けい数すう。例れい如第二に层 1 2 1 是ぜ幂指数すう为 2 的てき二に项式 $\left(a+b\right)^{2}$ 展てん开形式しき $a^{2}+2ab+b^{2}$ 的まと系けい数すう。

性質せいしつ

每まい個數こすう是ぜ它左上方かみがた和かず右みぎ上方かみがた的てき數すう的てき和わ

各かく條じょう線せん穿ほじ過か的まと數すう之の和かず均ひとし為ため斐波那な契ちぎり數すう

用よう楊輝三角形さんかっけい做成的てき謝しゃ爾しか賓まろうど斯基三角形さんかっけい

1. 楊輝三角形さんかっけい以正整數せいすう構成こうせい，數字すうじ左右さゆう对称，每まい行くだり由よし1开始逐渐变大，然しか后きさき变小，回かい到いた1。
2. 楊輝三角形每一行的平方和在楊輝三角出現奇數次。
3. 楊輝三角形さんかっけい第だい2的てき冪べき行くだり所有しょゆう數すう都と是ぜ奇數きすう，此為盧の卡斯定理ていり的てき特殊とくしゅ情況じょうきょう。
4. 第だい $n$ 行くだり的てき数字すうじ个数为 $n$ 个。
5. 第だい $n$ 行くだり的てき第だい $k$ 個こ數字すうじ為ため組合くみあい數すう $C_{k-1}^{n-1}$。
6. 第だい $n$ 行くだり数字すうじ和わ为 $2^{n-1}$，因いん為ため第だい $n$ 行くだり是ぜ $\left(1+1\right)^{n-1}$ 的てき二に項こう展開てんかい。
7. 第だい $n$ 行くだり的てき数字すうじ按順序じょ寫うつし下か所しょ形成けいせい的てき數字すうじ为 $11^{n-1}$，因いん為ため該數字すうじ是ぜ $\left(10+1\right)^{n-1}$ 的てき二に項こう展開てんかい。例れい如第二に行ぎょう $11=11^{1}$ ，第だい三さん行ぎょう $121=11^{2}$，第だい四よん行ぎょう $1331=11^{3}$，第だい五ご行ぎょう $14641=11^{4}$，第だい六ろく行ぎょう $161051=11^{5}$（第だい六ろく行ぎょう之の後こう需進位い）。該規律きりつ可か推廣至いたり任にん何なに進すすむ位い制せい，例れい如在九きゅう進しん制せい下した：$121_{9}=100_{10}$，$1331_{9}=1000_{10}$。
8. 除じょ每ごと行ぎょう最さい左側ひだりがわ與あずか最さい右側みぎがわ的てき數字すうじ以外いがい，每まい个数字すうじ等とう于它的てき左ひだり上方かみがた與あずか右みぎ上方かみがた两个数字すうじ之の和かず（也就是ぜ說せつ，第だい $n$ 行くだり第だい $k$ 個こ數字すうじ等とう於第 $n-1$ 行くだり的てき第だい $k-1$ 個こ數字すうじ與あずか第だい $k$ 個こ數字すうじ的てき和わ）。這是因いん为有組合くみあい恒等こうとう式しき：$C_{n+1}^{k+1}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}$。可用かよう此性质写出で整せい个楊輝てる三角形さんかっけい。
9. 如果 $n$ 為ため質しつ數すう，則のり第だい $\left(n+1\right)$ 行くだり的てき數すう中ちゅう除じょ了りょう兩りょう端はし的てき1以外いがい均ひとし為ため $n$ 的てき整數せいすう倍數ばいすう。若わか $n$ 為ため合ごう數すう則のり不ふ然しか。
10. 按照該三角形さんかっけい的てき斜邊しゃへん以及與之の平行へいこう的てき斜線しゃせん上じょう的てき數すう所しょ形成けいせい的てき數列すうれつ為ため第だい $\left(n-1\right)$ 維度的てき單純たんじゅん形がた數かず。即そく第だい一いち列れつ全ぜん為ため1（0維），第だい二に列れつ為ため自然しぜん數すう形成けいせい的てき數列すうれつ，第だい三さん列れつ為ため三角形さんかっけい數すう形成けいせい的てき數列すうれつ，第だい四よん列れつ為ため四よん面體めんてい數すう形成けいせい的てき數列すうれつ，第だい五ご列れつ為ため五ご胞體數すう形成けいせい的てき數列すうれつ，以此類推るいすい。
11. 第だい $p$ 行くだり（第だい $n$ 層そう）的てき所有しょゆう的てき數すう的てき平方和へいほうわ為ため第だい $\left(2p-1\right)$ 行くだり（第だい $2n$ 層そう）正せい中央ちゅうおう的てき數字すうじ。可用かよう該式得とく出で $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}$。例れい如第五ご行ぎょう（第だい四よん層そう）所有しょゆう的てき數すう的てき平方和へいほうわ $1^{2}+4^{2}+6^{2}+4^{2}+1^{2}=70$ 是ぜ第だい九きゅう行ぎょう（第だい八はち層そう）正せい中央ちゅうおう的てき數字すうじ。
12. 將はた三角形左端對齊之後，沿右斜はす45度ど的てき對角線たいかくせん方向ほうこう（不ふ改變かいへん三角形形狀的話則需要按照中國ちゅうごく象棋しょうぎ的てき馬うま的てき走はし法ほう）取得しゅとく的てき數すう之の和わ為ため斐波那な契ちぎり數すう。
13. 將はた第だい奇數きすう行正ゆきまさ中央ちゅうおう的てき數すう減げん去さ其左側がわ（或ある右側みぎがわ）第だい二に個こ數すう，得とく到いた的てき差さ為ため卡塔蘭らん數すう。
14. 將はた楊輝三角形中所有的奇數與所有的偶數以不同顏色塗色的話，可か以形成けいせい一いち個こ類似るいじ謝しゃ爾しか賓まろうど斯基三角形さんかっけい的てき圖形ずけい。

歷史れきし

印度いんど手しゅ稿こう中ちゅう使用しよう的てき Meru Prastaara (मेरु प्रस्तार)，源みなもと自じ賓まろうど伽羅きゃら 的てき公式こうしき。拉ひしげ古こ纳特图书馆J&K手て稿こう；公こう元もと755年ねん

朱しゅ世よ杰《四元よつもと玉たま鉴》中ちゅう的てき「古いにしえ法ほう七なな乘じょう方圖ほうず」

波なみ斯數學すうがく家かAl-Karaji和かず天文學てんもんがく家か兼けん詩人しじん欧おう玛尔·海うみ亚姆（عمر خیام,Omar Khayyám）在ざい10世紀せいき都と發現はつげん了りょう這個三角形さんかっけい，而且還知道ともみち可か以借助じょ這個三角形さんかっけい找$n$次じ根ね，和かず它跟二に项式的てき關係かんけい。但ただし他た们的著作ちょさく已やめ不ふ存そん。

11世せい纪北宋そう数学すうがく家か贾宪发明了りょう贾宪三さん角かく，并发明あかり了りょう增ぞう乘じょう方かた造づくり表ひょう法ほう，可か以求任意にんい高次こうじ方かた的てき展てん开式系けい数すう。贾宪还对贾宪三角さんかく表ひょう（古代こだい称しょう数字すうじ表ひょう为“立たて成なり”）的てき构造进行描述。贾宪的てき三角表图和文字描写，仍保存在そんざい大だい英えい博物はくぶつ馆所藏しょぞう《永えい乐大典たいてん》卷まき一いち万まん六ろく千せん三さん百ひゃく四よん十じゅう四よん。

13世せい纪中国ちゅうごく南みなみ宋そう数学すうがく家か杨辉在ざい《详解九きゅう章しょう算さん术》里さと解かい释这种形式しき的てき数すう表ひょう，并说明あかり此表引自11世せい纪前半ぜんはん贾宪的てき《释锁算さん术》。

1303年ねん元もと代数だいすう学がく家か朱しゅ世よ杰在ざい《四元よつもと玉たま鉴》卷首かんしゅ绘制《古いにしえ法ほう七なな乘じょう方かた图》。

意い大利おおとし人稱にんしょう之の為ため「塔とう塔とう利とぎ亞あ三角形さんかっけい」（Triangolo di Tartaglia）以紀念ねん在ざい16世紀せいき發現はつげん一いち元げん三さん次じ方かた程ほど解かい的てき塔とう塔とう利とぎ亞あ。

布ぬの萊士·帕斯卡的てき著作ちょさくTraité du triangle arithmétique（1655年ねん）介かい紹了這個三角形さんかっけい。帕斯卡搜集しゅう了りょう幾いく個こ關せき於它的てき結果けっか，並なみ以此解決かいけつ一いち些概がい率りつ論ろん上うえ的てき問題もんだい，影かげ响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年ねん）和わ亞あ伯はく拉ひしげ罕·棣莫弗どる（1730年ねん）都と用よう帕斯卡來稱呼しょうこ這個三角形さんかっけい。

历史上しじょう曾经独立どくりつ绘制过这种图表ひょう的てき数学すうがく家か：

• Karaji 和わ Omar Khayyám 波は斯 10世紀せいき（图文无存）
• 賈憲 中國ちゅうごく北きた宋そう 11世せい纪 《释锁算さん术》 （图文现存大だい英えい博物はくぶつ馆所藏しょぞう《永えい乐大典たいてん》）
• 杨辉 中國ちゅうごく南みなみ宋そう 1261《详解九きゅう章しょう算法さんぽう》记载之の功こう（图文现存大だい英えい博物はくぶつ馆所藏しょぞう《永えい乐大典たいてん》）
• 朱しゅ世よ杰 中國ちゅうごく元もと代だい 1299《四元よつもと玉たま鉴》级数求もとめ和わ公式こうしき
• 阿おもね尔·卡西 阿おもね拉ひしげ伯はく 1427《算さん术的钥匙》（现存图文）
• 阿おもね皮かわ亚纳斯 德とく国こく 1527
• 施ほどこせ蒂费尔 德とく国こく 1544《综合算がっさん术》二项式展开式系数
• 薛贝尔 法ほう国こく 1545
• B·帕斯卡 法ほう国こく 1654《论算术三角形さんかっけい》

中国ちゅうごく数学すうがく家か的てき研究けんきゅう

中国ちゅうごく贾宪是ぜ贾宪三さん角かく的てき发明人じん，贾宪/杨辉称しょう之の为“释锁求もとめ廉かど本源ほんげん”，朱しゅ世よ杰称しょう之の为“古いにしえ法ほう七なな乘じょう方かた图”（1303年ねん），明代あきよ数学すうがく家か吴敬《九章详注比类算法大全》称しょう之の为“开方作法さほう本源ほんげん”（1450年ねん）；明あきら王おう文ぶん素もと《算さん学がく宝たから鉴》称しょう之の为“开方本源ほんげん图”（1524年ねん）；明代あきよ程ほど大だい位い《算法さんぽう统宗》称しょう之の为“开方求もとめ廉かど率りつ作法さほう本源ほんげん图”（1592年ねん）。 清しん代だい梅うめ文ぶん鼎かなえ《少しょう广拾遗》称しょう之の为“七なな乘じょう府ふ算法さんぽう”（1692年ねん）；清しん代だい孔あな广森《少しょう广正负术》称しょう之の为“诸乘方かた乘じょう率りつ表ひょう”；焦こげ循《加か减乘除じょうじょ释》称しょう之の为“古こ开方本原もとはら图”；刘衡《筹表开诸乘じょう方ほう捷とし法ほう》称しょう之の为“开方求もとめ廉かど率りつ图”；项名达《象ぞう数すう一いち原はら》称しょう之の为“递加图”。伟烈亚力《数学すうがく启蒙》称しょう之の为“倍ばい廉かど法ほう表ひょう”；李り善よし兰《垛积比ひ类》称しょう之の为“三角さんかく垛表”。近代きんだい中ちゅう算さん史し家か李り俨称しょう之の为“巴ともえ斯噶三角形さんかっけい”，但ただし根ね据すえ《永えい乐大典たいてん》指出さしで“巴ともえ斯噶三角形さんかっけい”最早もはや由ゆかり贾宪使用しよう。。著名ちょめい数学すうがく家か华罗庚かのえ，在ざい1956年ねん写うつし的てき一本いっぽん通俗つうぞく读物《从杨辉三さん角かく谈起》，将はた贾宪的てき《开方作法さほう本源ほんげん》称しょう为“杨辉三さん角かく”，首しゅ次じ将はた“巴ともえ斯噶三角形さんかっけい”回かい归宋代数だいすう学がく家名かめい下か；此后的てき中学ちゅうがく数学すうがく教科きょうか书和许多数すう学科がっか普ひろし读物都と跟随之の。另一方面ほうめん，专业的てき中国ちゅうごく数学すうがく史し著作ちょさく，都と用よう“贾宪三さん角かく”这个称呼しょうこ。。

一個數在杨辉三角出現的次數

由よし1開始かいし，正せい整數せいすう在ざい楊輝三角形さんかっけい出現しゅつげん的てき次數じすう為ため：∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。最小さいしょう而又大だい於1的てき數すう在ざい賈憲三角形さんかっけい至いたり少しょう出現しゅつげんn次つぎ的てき數すう為ため2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）

• 除じょ了りょう1之これ外がい，所有しょゆう正せい整數せいすう都と出現しゅつげん有限ゆうげん次じ。
• 只ただ有ゆう2出現しゅつげん剛つよし好こう一いち次じ。
• 6,20,70等とう出現しゅつげん三さん次じ。
• 出現しゅつげん兩次りょうじ和わ四よん次じ的てき數すう很多。
• 還かえ未み能のう找到出現しゅつげん剛つよし好こう五ご次じ或ある七なな次じ的てき數すう。
• 120,210,1540等とう出現しゅつげん剛つよし好こう六ろく次じ。（OEIS:A098565）
  • 因よし為ため丟番圖ず方かた程ほど
    ${n+1 \choose k+1}={n \choose k+2},$
    有無うむ窮きゅう個こ解かい，所以ゆえん出現しゅつげん至いたり少しょう六次的數有無窮多個。
  • 其解答かいとう，是ぜ

$n=F_{2i+2}F_{2i+3}-1,\,$
$k=F_{2i}F_{2i+3}-1,\,$

• • 其中$F_{n}$表示ひょうじ第だい$n$個こ斐波那な契ちぎり數すう（$F_{1}=F_{2}=1$）。
• 3003是ぜ第だい一いち個こ出現しゅつげん八はち次じ的てき數すう。

外部がいぶ連結れんけつ

• 巴ともえ斯卡三角形さんかっけい

参まいり见

• 贾宪、杨辉
• 莱布尼あま茨いばら三角形さんかっけい