算術さんじゅつ

算術さんじゅつ（英語えいご：arithmetic）是これ數學すうがく最古さいこ老ろう且最簡單かんたん的てき一いち個こ分ぶん支ささえ，幾いく乎被每ごと個人こじん使用しよう著ちょ，從したがえ日常にちじょう生活せいかつ上じょう簡單かんたん的てき算數さんすう到いた高こう深ふか的てき科學かがく及工こう商業しょうぎょう計算けいさん都會とかい用よう到いた。一般いっぱん而言，算術さんじゅつ這一詞し指ゆび的てき是ぜ記錄きろく數字すうじ某ぼう些運算うんざん基本きほん性質せいしつ的てき數學すうがく分ぶん支ささえ。常用じょうよう的てき運算うんざん有ゆう加法かほう、減法げんぽう、乘法じょうほう、除法じょほう，有ゆう時候じこう，更さら複雜ふくざつ的てき運算うんざん如平方へいほう和わ平方根へいほうこん，也包括ほうかつ在ざい算術さんじゅつ運算うんざん的てき範疇はんちゅう內。算術さんじゅつ運算うんざん要よう按照特定とくてい規則きそく來らい進行しんこう。

自然しぜん數すう、整數せいすう、有理數ゆうりすう（以分數ぶんすう的てき形式けいしき）和わ實數じっすう（以十じゅう進しん制せい指數しすう的てき形式けいしき）的てき運算うんざん主要しゅよう是ぜ在ざい小學しょうがく和わ中學ちゅうがく的てき時候じこう學習がくしゅう。用よう百分比ひゃくぶんひ形式けいしき進行しんこう運算うんざん也主要よう是ぜ在ざい這個時候じこう學習がくしゅう。然しか而，在ざい成人せいじん中ちゅう，很多人じん使用しよう計算けいさん器き，計算けいさん機き或ある者もの算盤そろばん來らい進行しんこう數學すうがく計算けいさん。

專業せんぎょう數學すうがく家か有ゆう時じ會かい使用しよう高等こうとう算術さんじゅつ來らい指ゆび數かず論ろん，但ただし這不應おう該和初等しょとう算術さんじゅつ相しょう搞混。另外，算術さんじゅつ也是初等しょとう代數だいすう的てき重要じゅうよう部ぶ份之一いち。

十じゅう進しん制せい計數けいすう法ほう

在ざい基數きすう（前ぜん十じゅう個こ非負ひふ整數せいすう0，1，2，……，9）的てき基礎きそ上じょう構建所有しょゆう實數じっすう。一個十進制數由一個基數序列組成，每ごと一位數字的命名取決於其相對於小數點的位置。例れい如：517.36表示ひょうじ5個こ100（10²），加か1個いっこ10（10¹），加か7個こ最小さいしょう整數せいすう單位たんい1（10⁰），加か3個こ0.1（10^-1），加か6個こ0.01（10^-2）。該計數すう法的ほうてき一いち個こ要點ようてん（也是其實現じつげん的てき難點なんてん）是ぜ對たい0與あずか其它基數きすう一視同仁いっしどうじん。

算術さんじゅつ運算うんざん

算術さんじゅつ運算うんざん指ゆび加法かほう、減法げんぽう、乘法じょうほう和わ除法じょほう，但ただし有ゆう時じ也包括ほうかつ較高級こうきゅう的てき運算うんざん（例れい如百分比ひゃくぶんひ、平方根へいほうこん、取と冪べき和わ對數たいすう)。算術さんじゅつ按運算うんざん次序じじょ進行しんこう，只ただ要よう集合しゅうごう可か以進行しんこう加減乘除かげんじょうじょ四則しそく運算うんざん（除じょ以零除外じょがい），而四則運算合乎基本公理こうり，都と可か稱しょう之の為ため一いち個こ域いき（Field）^[1]。

加法かほう (+)

加法かほう是ぜ基本きほん算術さんじゅつ運算うんざん。簡單かんたん來き說せつ，加法かほう將はた兩個りゃんこ數字すうじ結合けつごう，成なり為ため一いち個こ數字すうじ，稱しょう之の為ため「和わ」。把わ多た於兩個數こすう相しょう加か，可か以視為ため重複じゅうふく的てき加法かほう；這個過程かてい稱たたえ為ため求もとめ和わ，包括ほうかつ在ざい級數きゅうすう中なか把わ無窮むきゅう多た個數こすう相しょう加か。1的てき重複じゅうふく加法かほう是ぜ計數けいすう的てき最さい基本きほん的てき形式けいしき。

加法かほう滿足まんぞく交換こうかん律りつ和わ結合けつごう律りつ^[2]。加法かほう的てき單位たんい元もと是ぜ0，也就是ぜ說せつ，把わ任にん何なん數すう加か上じょう0都と得え到いた相あい同どう的まと數すう。另外，加法かほう的てき逆ぎゃく元素げんそ就是相反あいはん數すう，也就是ぜ說せつ，把わ任にん何なん數すう加か上じょう它的相反あいはん數すう都と得とく出で單位たんい元もと0。例れい如，7的てき相反あいはん數すう是ぜ(-7)，所以ゆえん7 + (-7) = 0。

減法げんぽう (−)

減法げんぽう是ぜ加法かほう的てき逆ぎゃく運算うんざん。減法げんぽう是ぜ求もとめ出で兩個りゃんこ數すう（被減數ひげんすう和わ減數げんすう）的てき差さ。如果被減數ひげんすう大だい於減數すう，那な麼差為ため正數せいすう；如果被減數ひげんすう小しょう於減數すう，那な麼差為ため負數ふすう；如果它們相等そうとう，那な麼差為ため0。

減法げんぽう既すんで不滿足ふまんぞく交換こうかん律りつ又また不ふ滿足まんぞく結合けつごう律りつ^[2]。由よし於這個こ原因げんいん，把わ減法げんぽう視し為ため被減數ひげんすう和わ減數げんすう的てき相反あいはん數すう的てき加法かほう通常つうじょう是ぜ很有幫助的てき，也就是ぜ說せつ，a − b = a + (−b)。當とう寫うつし成なり加法かほう時じ，所有しょゆう加法かほう的てき性質せいしつ都と成立せいりつ。

乘法じょうほう (× 或ある ·)

乘法じょうほう本質ほんしつ上じょう是ぜ一組相同數字的重複累加或總和。乘法じょうほう運算うんざん可か得とく出で乘數じょうすう與あずか被乘數ひじょうすう（有ゆう時じ被ひ通稱つうしょう為ため因數いんすう）的てき乘の積せき。

乘法じょうほう運算うんざん（由ゆかり於其本質ほんしつ是ぜ重複じゅうふく累加るいか）具有ぐゆう交換こうかん性せい和わ結合けつごう性せい^[2]；進しん而，它對加法かほう和わ減法げんぽう運算うんざん具有ぐゆう分配ぶんぱい性せい。乘法じょうほう單位たんい元もと為ため1，即そく，用もちい1乘じょう以任意にんい數すう的てき結果けっか仍為該數。並なみ且，任意にんい數字すうじ的てき乘法じょうほう逆ぎゃく元素げんそ是ぜ其倒たおせ數すう，即そく，用もちい一個數的倒數乘以該數，其結果けっか為ため乘法じょうほう單位たんい：1。

除法じょほう (÷ 或ある /)

除法じょほう是ぜ乘法じょうほう的てき逆ぎゃく運算うんざん。除法じょほう運算うんざん得え到いた兩りょう個數こすう的てき商しょう＝被除數ひじょすう除じょ以除數じょすう。任にん何なん被除數ひじょすう被ひ零れい除じょ是ぜ沒ぼつ有ゆう定義ていぎ的てき。對たい於正數すう，如果被除數ひじょすう大だい於除數すう，其商大だい於1，否ひ則そく商しょう小しょう於1（對たい於負數すう和わ-1有ゆう類似るいじ的てき規則きそく）。商しょう乘じょう以除數すう其結果けっか總そう是ぜ被除數ひじょすう。

除法じょほう運算うんざん不ふ具有ぐゆう交換こうかん性せい和わ結合けつごう性せい^[2]。正せい如可以將減法げんぽう視し為ため加法かほう，除法じょほう亦また可か被ひ視み作さく被除數ひじょすう和わ除數じょすう的てき倒たおせ數すう之これ間あいだ的てき乘法じょうほう運算うんざん，即そく，a ÷ b = a × ¹⁄_b 。當とう被ひ寫うつし為ため乘じょう積せき形式けいしき，運算うんざん遵循乘法じょうほう的てき所有しょゆう特性とくせい。

例れい子こ

加法かほう表ひょう

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

乘法じょうほう表ひょう

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

數かず論ろん

在ざい十じゅう九きゅう世紀せいき以前いぜん，數かず論ろん（number theory）是ぜ算術さんじゅつ的てき同義どうぎ詞し。數かず論ろん後ご來演らいえん變成へんせい研究けんきゅう整數せいすう的てき性質せいしつ，以及一いち些有關せき質しつ數すう、因數いんすう以及變數へんすう為ため整數せいすう的てき方かた程ほど，例れい如費ひ馬ば最後さいご定理ていり。其中一些問題很容易陳述，但ただし問題もんだい的てき本質ほんしつ相當そうとう困難こんなん，需要じゅよう用よう到いた許多きょた其他數學すうがく分ぶん支ささえ的てき定理ていり才能さいのう證明しょうめい。

數かず論ろん中ちゅう的てき問題もんだい也帶來らい一些新的數學分支，例れい如解析かいせき數すう論ろん、代數だいすう數すう論ろん、丟番圖ず幾何きか（英語えいご：Diophantine geometry）及算術さんじゅつ幾何きか。像ぞう費ひ馬ば最後さいご定理ていり就是這類的てき複雜ふくざつ問題もんだい，問題もんだい可か以用基本きほん的てき算術さんじゅつ來らい描述，可か是ぜ其證明しょうめい遠とお超過ちょうか傳統でんとう算術さんじゅつ的てき方法ほうほう。從したがえ原始げんし猜想提出ていしゅつ到いた安德あんとく魯·懷ふところ爾なんじ斯證明しょうめい經過けいか了りょう三さん百ひゃく多年たねん的てき時間じかん，證明しょうめい中ちゅう用もちい到いた代數だいすう幾何きか中なか的てき橢圓だえん曲線きょくせん和わ模かたぎ形式けいしき，以及伽羅きゃら瓦かわら理論りろん和わ黑くろ克代かつよ數すう等ひとし。

歷史れきし

史ふみ前ぜん時代じだい的てき算術さんじゅつ只ただ能のう用よう少しょう部ぶ份人造づくり物品ぶっぴん來らい確認かくにん當時とうじ有ゆう加法かほう與あずか減法げんぽう等とう明確めいかく概念がいねん，最さい著名ちょめい的てき一いち件けん是ぜ在ざい非ひ洲しゅう發現はつげん的てき伊い尚なお戈ほこ骨こつ頭あたま（英語えいご：Ishango bone），距今約やく有ゆう兩りょう萬まん年ねん的てき時間じかん^[3]。

最早もはや的てき歷史れきし記載きさい埃及えじぷと人じん及巴ともえ比倫ひりん人じん在ざい西元にしもと前ぜん二に千年就已使用到所有的四則しそく運算うんざん。留とめ下か來らい的てき人造じんぞう物品ぶっぴん不ふ一定能看出求解某一特定問題的方式，但ただし可か以看出で其使用しよう的てき記數きすう系統けいとう的てき特徵とくちょう。像ぞう古こ埃及えじぷと數字すうじ的てき象形しょうけい系統けいとう，像ぞう羅ら馬うま數字すうじ一様いちよう，是ぜ由ゆかり計數けいすう符號ふごう演えんじ變へん而來。二に種しゅ系統けいとう都と是ぜ用よう十じゅう進しん制せい的てき數字すうじ，但ただし不ふ是ぜ採用さいよう進すすむ位い制せい。複雜ふくざつ的てき羅ら馬うま數字すうじ計算けいさん需要じゅよう計數けいすう板ばん（英語えいご：counting board）或ある羅ら馬うま算盤そろばん（英語えいご：Roman abacus）的てき輔助才能さいのう計算けいさん結果けっか。

比較ひかく清楚せいそ的てき是ぜ，巴ともえ比倫ひりん尼あま亞あ在ざい西元にしもと前ぜん1850年ねん已やめ有ゆう關せき於各方面ほうめん初等しょとう算術さんじゅつ的てき堅實けんじつ知識ちしき，但ただし歷史れきし學がく家か也只能のう依よ其算術じゅつ成果せいか來らい推斷すいだん其使用しよう的てき方式ほうしき（例れい如巴ともえ比倫ひりん楔くさび形がた泥どろ版ばん322）。同樣どうよう地ち，乘法じょうほう和わ單位たんい分數ぶんすう的てき運用うんよう的てき可か靠もたれ演算えんざん法ほう也在古こ埃及えじぷと的てき萊因德とく數學すうがく紙し草書そうしょ中ちゅう被ひ發現はつげん，其約在ざい西元にしもと前ぜん1650年ねん的てき時期じき。

早期そうき的てき記數きすう系統けいとう也包括ほうかつ一些非十進制的進位制，例れい如巴ともえ比倫ひりん數字すうじ的てき六ろく十じゅう進しん制せい及瑪雅數字すうじ的てき二に十じゅう進しん制せい。因よし為ため使用しよう進しん位い制せい，可か以將同どう一個數字放在不同位置表示不同數值，可か以簡化か計算けいさん，也可以較有效ゆうこう率りつ的てき進行しんこう計算けいさん。

西元にしもと前ぜん六ろく世紀せいき中葉ちゅうよう，畢達哥拉斯學しがく派は的てき時代じだい，算術さんじゅつ已やめ被ひ視し為ため學問がくもん的てき四よん種しゅ分類ぶんるい（算術さんじゅつ、音樂おんがく、幾何きか、天文てんもん）中ちゅう的てき一類いちるい了りょう^[4]。但ただし古希こき臘數しわす學がく也和許多きょた哲學てつがく及神秘ひ的てき信仰しんこう重疊ちょうじょう，尼あま各かく馬うま可か就在《算術さんじゅつ簡介（英語えいご：Introduction to Arithmetic）》中ちゅう整理せいり了りょう畢達哥拉斯學しがく派は對たい數字すうじ的てき研究けんきゅう，和かず其他學科がっか的てき關係かんけい。

阿おもね基もと米まい德とく及丟番圖ず使用しよう的てき希まれ臘數しわす字じ是ぜ採用さいよう進しん位い制せい，已やめ經けい和わ現代げんだい的てき十進制有些接近。古希こき臘沒有ゆう代表だいひょう零れい的てき符號ふごう（一いち直ちょく到いた希まれ臘化時代じだい才ざい加入かにゅう），當時とうじ有ゆう三さん組くみ不同ふどう的てき數字すうじ符號ふごう，分別ふんべつ表示ひょうじ個こ位い數すう、十じゅう位い數すう及百ひゃく位い數すう。萬位數則會重覆使用個位數那一組的符號，以此類推るいすい。希まれ臘數しわす字じ的てき加法かほう算法さんぽう和わ現在げんざい的てき相しょう同どう，乘法じょうほう算法さんぽう只ただ和わ現在げんざい的てき有ゆう一いち點てん不同ふどう，當時とうじ開ひらけ平方根へいほうこん的てき方法ほうほう只ただ在ざい學校がっこう教授きょうじゅ，可能かのう是ぜ由よし阿おもね基もと米まい德とく發明はつめい的てき，他た沒ぼつ有ゆう使用しよう希まれ羅ら提出ていしゅつ的てき佚迭代だい法ほう，阿おもね基もと米まい德とく作法さほう的てき好こう處しょ是ぜ在ざい計算けいさん後ご，高位こうい數すう的てき數字すうじ不ふ會かい再さい變化へんか，而且完全かんぜん平方へいほう數すう（例れい如7485696）的てき平方根へいほうこん，可か以直接ちょくせつ算出さんしゅつ是ぜ2736。針はり對たい有ゆう小數しょうすう的てき數字すうじ，其小數すう部ぶ份會用よう1/60的てき各かく次つぎ方かた和わ表示ひょうじ0.934，而不是ぜ用よう1/10的てき各かく次つぎ方かた和わ^[5]。

古代こだい中國ちゅうごく也用類似るいじ的てき進しん位い制せい，當時とうじ也沒有ゆう代表だいひょう零れい的てき數字すうじ，因いん此有一組表示個位數的數字，一いち組くみ表示ひょうじ十じゅう位い數すう的てき數字すうじ，百位數則再重複使用表示個位數的那一組數字，以此類推るいすい，其符號ごう來らい自じ古代こだい的てき算さん籌。有ゆう關せき中國ちゅうごく開始かいし使用しよう進しん位い制せい計算けいさん的てき問題もんだい相當そうとう複雜ふくざつ，但ただし確定かくてい是ぜ在ざい西元にしもと前ぜん四よん百ひゃく年ねん^[6]。

敘利亞あ的てき主教しゅきょうSeverus Sebokht（650 AD）說せつ「印度いんど人じん有ゆう一個計算方式是沒有言語足以稱讚的，他た的てき的てき數學すうがく系統けいとう或ある是ぜ計算けいさん方式ほうしき中ちゅう只ただ用もちい到いた九きゅう個こ符號ふごう。」^[7]而十じゅう二に世紀せいき的てき斐波那な契ちぎり在ざい《計算けいさん書しょ（英語えいご：Liber Abaci）》中ちゅう提ひっさげ到いた：「印度いんど人的じんてき計算けいさん方式ほうしき比ひ任にん何なに已やめ知的ちてき方式ほうしき都と好このみ，他た們的系統けいとう用よう九きゅう個こ符號ふごう以及符號ふごう0。」^[8]

逐漸發展はってん的てき印度いんど-阿おもね拉ひしげ伯はく數字すうじ系統けいとう是ぜ由よし位い值（place-value）及進位い制せい的てき概念がいねん而來，再さい加か上じょう十進制下比較簡單的計算方式，以及表示ひょうじ0的てき數字すうじ。因よし此可以用此系統けいとう以較一致的方式表示很大的數字及很小的數字，這種數字すうじ系統けいとう最後さいご取と代だい了りょう其他數字すうじ系統けいとう，在ざい第だい六ろく世紀せいき早期そうき，印度いんど數學すうがく家か阿おもね耶波多おお在ざい著作ちょさく中ちゅう使用しよう這樣的てき數字すうじ系統けいとう，並なみ且嘗試ためし許多きょた不同ふどう的てき標示ひょうじ方式ほうしき。第だい七なな世紀せいき的てき婆ばば羅ら摩ま笈きゅう多おお將はた0用よう來らい表示ひょうじ一いち個こ數字すうじ，並なみ且定義ていぎ此數字すうじ和わ其他數字すうじ加減乘除かげんじょうじょ的てき結果けっか（但ただし不ふ包括ほうかつ除じょ以零）。當時とうじ敘利亞あ主教しゅきょうSeverus Sebokht描述此系統けいとう是ぜ「一種超越任何說明的寶貴方式」。阿おもね拉ひしげ伯はく人じん也學了りょう這種新しん的てき方式ほうしき，稱しょう為ためhesab。

算術さんじゅつ教育きょういく

小學しょうがく時どき的てき數學すうがく通常つうじょう專せん注ちゅう在ざい自然しぜん數すう、整數せいすう、有理數ゆうりすう、分數ぶんすう和わ實數じっすう（使用しよう十じゅう進しん位い法ほう）等とう算術さんじゅつ的てき演算えんざん法ほう。此一學習有時被稱為 algorism。

這種演算えんざん法ほう的てき困難こんなん性せい及無目的もくてき性的せいてき樣さま貌已讓ゆずる教育きょういく學がく家か們很長時間ちょうじかん地ち去さ思考しこう其課程ほど內容，主張しゅちょう早期そうき應おう該教導きょうどう較中心ちゅうしん且直覺ちょっかく的てき數學すうがく概念がいねん。在ざい此一方いっぽう向上こうじょう的てき著名ちょめい進展しんてん為ため1960年代ねんだい至いたり1970年代ねんだい的てき「新しん數學すうがく運動うんどう」，它試圖ず以集合しゅうごう論ろん中ちゅう公理こうり化か（高等こうとう數學すうがく的てき主流しゅりゅう）的てき精神せいしん來らい教導きょうどう算術さんじゅつ^[9]。

烏がらす理り瑪（伊い斯蘭教學きょうがく者しゃ）也用算術さんじゅつ來らい教導きょうどう有ゆう關せき天てん課か有ゆう關せき的てき規則きそく。在ざいAbd-al-Fattah-al-Dumyati所しょ著ちょ的てきThe Best of Arithmetic中有ちゅうう相關そうかん的てき介かい紹，從したがえ基礎きそ的てき算術さんじゅつ開始かいし，到いた後ご面めん的てき應用おうよう^[10]。

當とう能のう比ひ人じん腦のう更さら有效ゆうこう地ち執行しっこう運算うんざん的てき電子でんし計算けいさん機き被ひ發明はつめい後ご，有ゆう影響えいきょう力りょく的てき學校がっこう的てき教育きょういく家か們開始かいし聲ごえ稱しょう標準ひょうじゅん算術さんじゅつ演えんじ化か法的ほうてき機械きかい化か熟練じゅくれん已やめ不ふ再さい是ぜ必須ひっす的てき了りょう。在ざい他た們的觀點かんてん，一年級的數學可以花更多在了解更高等的概念上，如數字すうじ被ひ使用しよう來らい哪裡和わ數字すうじ、數量すうりょう和わ度量どりょう之の間あいだ的てき關係かんけい等とう。但ただし無論むろん如何いか，許多きょた的てき數學すうがく家か依然いぜん認みとめ為ため手しゅ算さん的てき熟練じゅくれん會かい是ぜ學習がくしゅう代數だいすう和わ電腦でんのう科學かがく的てき必要ひつよう基礎きそ。這一爭論主要集中在加州1990年代ねんだい國こく小しょう課程かてい上じょう頭あたま），稱たたえ為ため數學すうがく戰爭せんそう（英語えいご：Math wars）^[11]，並なみ且延續ぞく至いたり今日きょう。

台灣たいわん的てき教育きょういく改革かいかく在ざい1999年ねん起おこり一度採用引起自北美，強調きょうちょう手しゅ算さん的てき建けん構式數學すうがく，當時とうじ對たい於算術じゅつ教育きょういく要よう採と「建けん構式數學すうがく」，亦また或ある採と中國ちゅうごく傳統でんとう的てき「九きゅう九きゅう乘法じょうほう表ひょう」也有やゆう一段いちだん的てき爭議そうぎ^[12]。

參考さんこう文獻ぶんけん

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^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 葛かずら倫りん. Live 國こく中ちゅう數學すうがく i講義こうぎ 1. 徠富數すう位い學習がくしゅう科技かぎ有限ゆうげん公司こうし. 16 July 2012: 142–. ISBN 978-986-88371-0-2.
^ Rudman, Peter Strom. How Mathematics Happened: The First 50,000 Years. Prometheus Books. 2007: 64. ISBN 978-1-59102-477-4.
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參まいり見み

[Oxford-1] Tapson, Frank. The Oxford Mathematics Study Dictionary. Oxford University Press. 1996. ISBN 0 19 914551 2.

[葛倫2012-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 葛かずら倫りん. Live 國こく中ちゅう數學すうがく i講義こうぎ 1. 徠富數すう位い學習がくしゅう科技かぎ有限ゆうげん公司こうし. 16 July 2012: 142–. ISBN 978-986-88371-0-2.

[3] Rudman, Peter Strom. How Mathematics Happened: The First 50,000 Years. Prometheus Books. 2007: 64. ISBN 978-1-59102-477-4.

[4] 毕达哥拉斯及其学派は的てき故事こじ. 中國ちゅうごく數字すうじ科技かぎ館かん. [2014-09-21]. （原始げんし內容存そん檔於2020-02-10）（中ちゅう文ぶん）.

[5] The Works of Archimedes, Chapter IV, Arithmetic in Archimedes, edited by T.L. Heath, Dover Publications Inc, New York, 2002.

[6] Joseph Needham, Science and Civilization in China, Vol. 3, page 9, Cambridge University Press, 1959.

[7] Reference: Revue de l'Orient Chretien by François Nau pp.327-338. (1929)

[8] Reference: Sigler, L., "Fibonacci's Liber Abaci", Springer, 2003.

[9] Mathematically Correct: Glossary of Terms 網あみ際ぎわ網もう路ろ檔案館かん的てき存そん檔，存そん檔日期き2006-06-18.

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[11] 劉りゅう柏かしわ宏ひろし. 從したがえ美國びくに「數學すうがく戰爭せんそう」看み台灣たいわん的てき數學すうがく教育きょういく (PDF). 數學すうがく傳播でんぱ. 2004年ねん12月, 28 (4) [2013-12-29]. （原始げんし內容存そん檔 (PDF)於2021-01-16）.

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