コンプトゥス

コンプトゥス(羅ら: computus、ラテン語らてんごで計算けいさんの意い）は、キリスト教きりすときょうの教会きょうかい暦れきにおける復活ふっかつ祭さいの日ひを算出さんしゅつすることである。正式せいしきにはコンプトゥス・パスカーリス（羅ら: computus paschalis「復活ふっかつ祭さい計算けいさん」の意い）という。この算出さんしゅつ方法ほうほうは中世ちゅうせいで最もっとも重要じゅうような計算けいさんの1つであったため、中世ちゅうせい初期しょきから現在げんざいに至いたるまで「コンプトゥス」といえば復活ふっかつ祭さいの日付ひづけの計算けいさんを意味いみした。

概要がいよう

毎年まいとし12月25日にちに祝いわうクリスマスなどとは異ことなり、復活ふっかつ祭さいは移動いどう祝日しゅくじつという日付ひづけの固定こていしない祝日しゅくじつである。日本にっぽんの春分しゅんぶんの日ひのように春分しゅんぶん点てんを天文てんもん計算けいさんによって決定けっていする。ちなみにキリスト教きりすときょうの教会きょうかい暦れきにおいて春分しゅんぶんの日ひは3月21日にちに固定こていされており、復活ふっかつ祭日さいじつの計算けいさんに欠かかせない日ひである。

教会きょうかい法ほう、すなわち第だい1ニカイア公こう会議かいぎの決議けつぎでは、「3月がつ21日にち（暦こよみ上じょうの春分しゅんぶんの日ひ）当日とうじつあるいはそれ以降いこうの最初さいしょの暦こよみ上じょうの満月まんげつ（新月しんげつから数かぞえて14日にち目め）を過すぎたあとの最初さいしょの日曜日にちようび」が復活ふっかつ祭さいにあたる。祝祭日しゅくさいじつを決定けっていするのに、ユダヤ教徒きょうとは実際じっさいの月つきの観測かんそくをもとにしたが、キリスト教きょうは「教会きょうかいによる計算けいさん上じょうの」月がつの満みち欠かけを用もちいることに決きめた。

背景はいけい

地球ちきゅうが太陽たいようの周まわりをまわる周期しゅうきを基本きほんにする太陽暦たいようれきも、朔さく望月もちづきという月つきの満みち欠かけを1か月げつとする太陰暦たいいんれき・太陰たいいん太陽暦たいようれきも、天文てんもん現象げんしょうをもとに暦こよみ計算けいさんを行おこなう時ときには無理むり数すうや気きの遠とおくなるような桁けたの有理数ゆうりすうの壁かべにぶつかる。大昔おおむかしの天文学てんもんがく者しゃや数学すうがく者しゃたちは天文てんもん周期しゅうき表ひょうを考かんがえ出だし、測量そくりょう技術ぎじゅつや数学すうがく理論りろんの発展はってんに伴ともない、また文明ぶんめいの発達はったつでより正確せいかくな暦こよみが求もとめられる動うごきに沿そい、補正ほせいや改暦かいれきを行おこなってきた。

1582年ねんにグレゴリオ暦れきを採用さいようしたローマ教皇きょうこうグレゴリウス13世せい

21世紀せいき現在げんざい、世界中せかいじゅうの多おおくの国くにで導入どうにゅうされているグレゴリオ暦れきは、そもそも16世紀せいきにカトリック教会きょうかいが作つくり上あげたものである。当時とうじ使つかわれていたユリウス暦れきは紀元前きげんぜんに導入どうにゅうされ、年間ねんかん誤差ごさが－11分ふん程度ていどであった。しかし月日つきひが経たつうちに誤差ごさは累積るいせきし、16世紀せいきには教会きょうかいのいう「春分しゅんぶんの日ひ」である3月がつ21日にちが実際じっさいの春分しゅんぶんより10日にちも遅おくれていた。これは復活ふっかつ祭さいの日付ひづけの計算けいさんの障害しょうがいとなり、またカトリック教会きょうかいの沽券こけんに関かかわる問題もんだいでもあった。そこで教会きょうかいは当時とうじの科学かがくの粋いきを集あつめて、グレゴリオ暦れきと新あたらしいコンプトゥスを作つくり上あげた。グレゴリオ暦れきには宗教しゅうきょう的てき要素ようそ、特とくに正確せいかくな復活ふっかつ祭日さいじつ計算けいさんという目的もくてきがあったのである。誤差ごさはユリウス暦れきの128年ねんに1日にちから、3000年ねんに1日にちに縮ちぢまり、精度せいどが格段かくだんに上あがった。

一方いっぽう正教会せいきょうかいや非ひカルケドン派はなどの東方とうほう教会きょうかいは、この暦こよみの変更へんこうが普遍ふへん公こう会議かいぎの決定けっていによらず、第だい1ニカイア公こう会議かいぎの決定けっていをくつがえす合法ごうほう的てきな根拠こんきょがないとみなし、現在げんざいも基本きほん的てきにユリウス暦れきを用もちいつづけている(ただし、アッシリア東方とうほう教会きょうかいは1964年ねん以降いこうグレゴリオ暦れきを採用さいようしている)。

キリスト教きりすときょうの復活ふっかつ祭さいはユダヤ教きょうの過か越こし（すぎこし）の祭まつりと密接みっせつな関係かんけいにある。フランス語ふらんすごやイタリア語ご、ロシア語ごなどほとんどの印欧語いんおうごでは、復活ふっかつ祭さいを表あらわす単語たんごは直接ちょくせつに過か越えつ祭さいを意味いみする語かたりに由来ゆらいする。ユダヤ教きょうにおける過か越えつの準備じゅんびは、ニサンの月つき（ユダヤ暦れきの春分しゅんぶんを含ふくむ月つき）10日とおかに生贄いけにえの子羊こひつじを用意よういすることから始はじまった。旧約きゅうやく聖書せいしょには14日にちの夕暮ゆうぐれに生贄いけにえの子羊こひつじを殺ころし、その血ちを戸口とぐちに塗ぬった家いえは神かみの天罰てんばつが「過すぎ越ごし」（出でエジプト記き 12章しょう6-7、12-13節せつ）たという。それを思おもい出だし祝いわうのが過か越えつの祭まつりである。イエス・キリストはその祭まつりの時期じきに十字架じゅうじかにかけられた（ルカによる福音ふくいん書しょ 22章しょう1-7節せつ）。キリスト教徒きりすときょうとにとって過か越えつの祭まつりは、イエス・キリストが生贄いけにえの子羊こひつじとなり（コリント使徒しとへの手紙てがみ1 5章しょう7節せつ）、彼かれの流ながした血ちによって人間にんげんが神かみからの罰ばちを過すぎ越こすことができるということを象徴しょうちょうしているのである。

そのためグレゴリオ暦れきは太陽暦たいようれきでありながら、太陰たいいん太陽暦たいようれきのニサンの月つき（春分しゅんぶん）にこだわり、第だい1ニカイア公こう会議かいぎで決定けっていした「3月がつ21日にち以降いこうの最初さいしょの満月まんげつ」というキーワードを守まもるため、太陰暦たいいんれき（月つきの満みち欠かけ）とも関かかわりあいを持もち続つづけているのである。

世界せかい宗教しゅうきょうになりつつあったカトリックでは、ユニバーサルな計算けいさん方法ほうほうが必要ひつようであった。キリスト教きょうが実際じっさいの天文てんもん観測かんそくでなく「教会きょうかいによる計算けいさん上じょうの」月がつの満みち欠かけを用もちいることに決きめた理由りゆうはここにある。地球ちきゅうから見みた新月しんげつの瞬間しゅんかんは全ぜん世界せかいどこでも同おなじである。しかし同おなじ夜空よぞらを眺ながめていてもヨーロッパは午後ごご9時じ、日本にっぽんは翌朝よくあさ4時じである。つまり時差じさによって、朔さく望月もちづきが1日にちずれるのである。「3月がつ21日にち以降いこうの最初さいしょの満月まんげつ」がヨーロッパで土曜どよう、日本にっぽんで日曜にちようなら、復活ふっかつ祭さいの日付ひづけは1週間しゅうかんずれてしまうことになる。地域ちいき差さを越こえて全ぜん世界せかい共通きょうつうの教会きょうかい暦れきを作つくり上あげるために、教会きょうかいはできるだけ天文てんもん現象げんしょうに忠実ちゅうじつであろうとしながらも、実際じっさいとは異ことなる「教会きょうかいの計算けいさん上じょうの」春分しゅんぶんの日ひ、新月しんげつ、満月まんげつを用もちいることにしたのである。よって本ほん項こうにおける新月しんげつ、満月まんげつというのは、原則げんそくとして「計算けいさん上じょうの」新月しんげつ、満月まんげつであるということに留意りゅういしなくてはならない。

歴史れきし

復活ふっかつ祭さいはキリスト教きりすときょうで最もっとも重要じゅうような祝祭日しゅくさいじつである。それと同時どうじに、復活ふっかつを祝いわうのに適てきした日ひの選択せんたくについても多おおくの論争ろんそうが惹起じゃっきされた。太陽暦たいようれきのユリウス暦れきを使用しようしていたキリスト教徒きりすときょうとにとって、イエス・キリストの受難じゅなんと復活ふっかつが太陰たいいん太陽暦たいようれきのユダヤ暦れきに基もとづいて行おこなわれる過か越こし（すぎこし）の祭まつりの時期じきに起おこったことであった。このため、何なにが正ただしい日付ひづけであるかについて、古代こだいにはいくつかの議論ぎろんがおこった。

現在げんざい記録きろくが残のこる最古さいこの論争ろんそうのひとつは、西暦せいれき154年ねんのローマ主教しゅきょうアニケトゥスとスミュルナ（Smyrna）主教しゅきょうポリュカルポス（Polycarp）の間あいだにおこった。

この日付ひづけの違ちがいは、復活ふっかつ祭さいの神学しんがく的てきな位置付いちづけの違ちがいに起因きいんする。アンティオケイアを中心ちゅうしんとするアシア地区ちくでは、キリストの最後さいごの晩餐ばんさんを記念きねんしてニサン14日にちに復活ふっかつ祭さいが祝いわわれていたが、ローマではニサン14日にちのあとの最初さいしょの主おも日びに復活ふっかつ祭さいが祝いわわれていた。エウセビオスは、2世紀せいきにおける復活ふっかつ祭さいの日付ひづけ論争ろんそうについて記しるし、ローマ主教しゅきょうウィクトルが、ニサン14日にちのあとの最初さいしょの主おも日びを正ただしい日付ひづけとしつつ、アンティオケイアの習慣しゅうかんを尊重そんちょうし、彼かれらが独自どくじの伝承でんしょうを守まもることを承認しょうにんしている。

325年ねんの第だい1ニカイア公こう会議かいぎで、キリスト教徒きりすときょうとは教徒きょうと間あいだに共通きょうつうで、ユダヤ教きょうとは関連かんれんのない手法しゅほうを使つかうことに同意どういした。そして復活ふっかつ祭さいは必かならずイエスが復活ふっかつした曜日ようび、ゆえにキリスト教きりすときょうの聖せいなる主おも日びすなわち日曜日にちようびに祝いわうことを決きめた。十じゅう四よん日にち遵守じゅんしゅ派は（Quatrodicimans）は、ユダヤ教きょうの暦こよみに従したがい、曜日ようびに関かかわらずイエスが磔刑たっけいされたニサンの月つき14日にちに復活ふっかつ祭さいを行おこなうことを希望きぼうした。

フィリップ・シャフ（Philip Schaff）の『キリスト教会きょうかいの歴史れきし』（'History of the Christian Church' ）3巻かん79部ぶ、『復活ふっかつ祭さいの時期じき』には次つぎのように述のべられている。

その時とき以来いらい、復活ふっかつの祝祭しゅくさいは何処どこでも日曜にちように行おこなわれることとなった。決けっしてユダヤ教きょうの過か越えつの祭日さいじつには行おこなわず、ニサンの月つき14日にち目めの後のち、春分しゅんぶんのあとの最初さいしょの満月まんげつ後ごの日曜にちようである。この規則きそくの根底こんていには、主あるじを十字架じゅうじかにかけることで過か越えつの祭まつりを汚よごしたユダヤ教きょうへの反抗はんこうがあった。

しかし実用じつよう的てきな復活ふっかつ祭日さいじつの算出さんしゅつガイドラインが作つくられておらず、キリスト教きょう全体ぜんたいが同意どういできるような計算けいさん手法しゅほうができるまでその後ご数すう世紀せいきを要ようした。

エジプトの都市としアレクサンドリアで生うまれた計算けいさん手法しゅほうが権威けんいある計算けいさん法ほう「コンプトゥス」となった。太陽年たいようねんの19年ねん周期しゅうきであるメトン周期しゅうきにおける計算けいさん上じょうの月つきの満みち欠かけ(実際じっさいの観測かんそくとは異ことなる)を表あらわしたエパクトという数値すうちを使つかうものである。この方法ほうほうは西暦せいれき277年ねんラオディケア（Laodicea 現げんシリア）の司教しきょうアナトリオス（Anatolios）によって初はじめて利用りようされた。アレクサンドリア人じんは、当時とうじ市内しないのユダヤ人じんコミュニティーで用もちいられていた一般いっぱんエジプト人じんの太陽暦たいようれきを基本きほんにした類似るいじの暦こよみから、アレクサンドリア方式ほうしきを導みちびき出だしたのかもしれない。この方式ほうしきは21世紀せいき初頭しょとうもエチオピア式しきコンピュタスで使用しようされている。アレクサンドリア方式ほうしきの復活ふっかつ祭さい表ひょうは、390年ねん頃ごろのアレクサンドリアの司教しきょうテオフィロス （Theophilus）から444年ねん頃ごろの司教しきょうキュリロス（Cyril）の間あいだに作成さくせいされた。コンスタンティノープルでは司教しきょうアナトリオスの後のち、そして 第だい1ニカイア公こう会議かいぎ以降いこう、数かず世紀せいきにわたって数種類すうしゅるいのコンプトゥスが使つかわれていたが、復活ふっかつ祭さいの日ひは偶然ぐうぜんにもアレクサンドリア方式ほうしきと一致いっちしていた。東ひがしロろーマ帝国まていこくの東部とうぶ前線ぜんせんにあった教会きょうかいは6世紀せいきにアレクサンドリア方式ほうしきから逸脱いつだつし、21世紀せいき現在げんざいも532年ねんごとに4回かい、正教会せいきょうかいとは異ことなった日付ひづけで復活ふっかつ祭さいを祝いわっている。

このアレクサンドリア式しき計算けいさん手法しゅほうはディオニュシウス・エクシグウスによってローマでアレクサンドリア暦れきからユリウス暦れきに変換へんかんされたが、たった95年ねんの間あいだだった。ディオニュシウスが525年ねんに新あたらしい復活ふっかつ祭さいの計算けいさん表ひょうを発表はっぴょうし、キリスト教きりすときょう暦れき（キリストの生誕せいたんから数かぞえ始はじめる暦こよみ）を導入どうにゅうしたからだ。ローマの教会きょうかいがいつディオニュシウスの計算けいさん表ひょうを採用さいようしたかはわからないが、早はやければ6世紀せいきだっただろう。この計算けいさん表ひょうは664年ねんにウィットビーの教会きょうかい会議かいぎで英国えいこくに採用さいようされ、725年ねんにはベーダによって完全かんぜんに解説かいせつされた。その後ご、ベーダの従者じゅうしゃであったアルクィンを通とおして早はやければ782年ねんにカール大帝たいていによってフランク王国おうこくの教会きょうかいにも採用さいようされた可能かのう性せいがある。 アロイシウス・リリウスが大だい部分ぶぶんを作つくり上あげたグレゴリオ暦れきに改定かいていされるまで、西にしヨーロッパではディオニュシウス・ベーダ式しきコンプトゥスが使つかわれていた。

ディオニュシウスの計算けいさん表ひょう以前いぜんは、ローマ教会きょうかいが使つかっていた古ふるい方式ほうしきがあった。最もっとも古ふるいと言いわれるローマの計算けいさん表ひょうは222年ねんにヒッポリュトス （Hippolytus）が案出あんしゅつした8年ねん周期しゅうきに基もとづくものである。その後ご、3世紀せいきの終おわり近ちかくに84年ねん周期しゅうき表ひょうがアウグスタリスによってローマに紹介しょうかいされた。これらの古ふるい計算けいさん表ひょうは、イギリス諸島しょとうでは664年ねんまで、遠隔えんかく地ちの修道院しゅうどういんでは遅おそければ931年ねんまで使つかわれていた。4世紀せいき前半ぜんはんに84年ねん周期しゅうきの改訂かいてい版ばんがローマで採用さいようされた。457年ねんアキテーヌのヴィクトリウス（Victorius of Aquitaine）がアレクサンドリア方式ほうしきを532年ねん周期しゅうき表ひょうにしてローマ方式ほうしきに取とり入いれようとしたが、重大じゅうだいな間違まちがいを含ふくんでしまった。ヴィクトリウスの計算けいさん表ひょうはガリア（現げんフランス）とスペインで8世紀せいき末まつにディオニュシウス式しきに変更へんこうするまで使用しようされていた。

ルドルフ星ほし表ひょう

新あたらしい計算けいさん手段しゅだんの導入どうにゅう時期じきが地域ちいきによって異ことなるのは地理ちり的てき要因よういんのほかに、宗教しゅうきょう的てきな理由りゆうがある。グレゴリオ暦れきはカトリック教会きょうかいが作つくり出だしたものである。カトリックに追随ついずいするのを嫌きらったプロテスタントは、独自どくじの方法ほうほうで復活ふっかつ祭さいの日付ひづけを割わり出しゅっそうした。カトリック諸国しょこくよりずっと遅おくれてグレゴリオ暦れきを導入どうにゅうした後のちも、ヨハネス・ケプラーが作つくり出だしたルドルフ星ほし表ひょうをもとにカトリックとは異ことなった手段しゅだんで復活ふっかつ祭日さいじつの計算けいさんを行おこなっていた。しかし、グレゴリオ暦れきが基本きほんのためカトリックの計算けいさん内容ないようと大たいした違ちがいはなかった。

21世紀せいきに入はいってからも東方とうほう教会きょうかいは条件じょうけんこそ「3月がつ21日にち以後いごの満月まんげつを過すぎた最初さいしょの日曜日にちようび」と西方せいほう教会きょうかいと同おなじだが、ユリウス暦れきを用もちいている。ユリウス暦れきの3月がつ21日にちであるためグレゴリオ暦れきの復活ふっかつ祭日さいじつと異ことなることが多おおく、一致いっちするのは3年ねんに1回かい程度ていどである。例たとえば2006年ねんの西方せいほう教会きょうかいの復活ふっかつ祭さいは4月がつ16日にちだが、東方とうほう教会きょうかいは1週間しゅうかんおくれの23日にちに復活ふっかつ祭さいを祝いわう。2007年ねんは両方りょうほうとも4月がつ8日にちに祝いわう。

理論りろん

新月しんげつ(朔ついたち)から満月まんげつ(望もち)を経へて新月しんげつ(朔ついたち)に戻もどる周期しゅうきを1か月げつとする朔さく望月もちづき

太陽年たいようねんは太陽たいようの動うごきを追おった1年ねんである。太陽たいようが春分しゅんぶん点てんから黄道こうどう上うえを移動いどうして再ふたたび春分しゅんぶん点てんに戻もどってくるまでを 1年ねんとし、小ちいさい剰余じょうよはあるが365日にち周期しゅうきである。太陰たいいん年ねんは、月つきの満みち欠かけで暦こよみを数かぞえる。新月しんげつから満月まんげつを経へて次つぎの新月しんげつまでの朔さく望のぞむ周期しゅうきを 月つき（朔さく望月もちづき）と考かんがえ、その12か月げつ分ぶんを1年ねんとする。平均へいきん朔ついたち望月もちづきはこれも小ちいさい余剰よじょうがあるが29と半日はんにちなので、太陰たいいん年ねんは354日にちになる。太陽年たいようねんは太陰たいいん年ねんより11日にち長ながいわけである。例たとえば1月がつ1日にちが朔ついたち望月もちづきの始はじまりである新月しんげつならば太陽年たいようねんと太陰たいいん年ねんは同時どうじに始はじまるわけだが、太陽年たいようねんが終おわる時ときに太陰たいいん年ねんはすでに次つぎの年としの11日にち目めになっている。毎年まいとし太陰たいいん年ねんが11日にち早はやく始はじまるのだから、2年ねん経たてばその差さは22にまで累積るいせきする。このように太陰たいいん年ねんが太陽年たいようねんより進すすみすぎて過剰かじょうになった分ぶんをエパクト（ギリシア語ごでエパクタイ・ヘーメライ余所よそから付つけ足たされた日々ひび）という。太陰たいいん年ねんにおける正確せいかくな日ひを知しるには、太陽年たいようねんの日付ひづけにエパクトの数値すうちを加くわえなければならない。エパクトの数値すうちが30を越こえれば、太陰たいいん年ねんにもう1か月げつ（いわゆる閏月じゅんげつ）を挿入そうにゅうしてエパクト数すうから30を引ひく。

太陽年たいようねんと太陰たいいん年ねんが19年ねんごとに一致いっちするというメトン周期しゅうきは、太陽年たいようねん19年ねん分ぶんが朔さく望のぞむ周期しゅうき235回分かいぶんに等ひとしいと仮定かていしている。19年ねん経たって太陽年たいようねんの始はじまりと朔さく望月もちづきの開始かいしが一致いっちするなら、エパクトは単純たんじゅんに19年ねんごとに繰くり返かえされるはずである。しかし一いち回かいのメトン周期しゅうきで累積るいせきするエパクト総数そうすうは $11\times 19=209$（1年ねんあたり11日にちのずれが19年ねん分ぶん）。$209{\bmod {3}}0=29$ と、$30$では割わり切きれず$29$余あまっている。そこで周期しゅうきの終おわりにエパクトに1を加算かさんし、$(209+1){\bmod {3}}0=0$の状態じょうたいにしてから再ふたたび周期しゅうきを始はじめなければならない。この周期しゅうき最後さいごにエパクトへ$1$を加算かさんすることをサルトゥス・ルーナエと呼よぶ。 太陰たいいん年ねんは11日にち短みじかいために、太陽年たいようねんとの差さは$19$年間ねんかんで$209$日ひまで増ふえるわけだが、これを朔ついたち望月もちづきの閏月じゅんげつを$7$つ（30日にち/月つき×6ヶ月かげつ + 29日にち/月つき×1ヶ月かげつ）作つくって解決かいけつしている。太陽年たいようねん19年ねんと等ひとしい朔ついたち望月もちづきが$235$ヶ月かげつ分ぶんというのは、太陰たいいん年ねん19年ねん分ぶんにこの閏月じゅんげつが加くわえられた数かずである（12ヶ月かげつ/年とし×19年ねん＋閏月じゅんげつ7か月げつ＝235ヶ月かげつ）。

メトン周期しゅうきの19年ねんは1から19までの黄金おうごん数すうという通とおし番号ばんごうがついており、以下いかの公式こうしきで求もとめることができる。

$GN=Y{\bmod {1}}9+1$
（$GN$: 黄金おうごん数すう、$Y$: 西暦せいれき年ねん）

つまり、西暦せいれき年ねんを$19$で割わったときの余あまりに$1$を足たしたものが黄金おうごん数すうである。

表おもて計算けいさん方式ほうしき

グレゴリオ暦れき

1582年ねんに発布はっぷされたグレゴリオ暦れきとともに新あたらしいコンピュタスが導入どうにゅうされた。まずその年としのエパクトを表ひょうから調しらべる。エパクトの値ねは、30と0両方りょうほうの数値すうちを意味いみする「*」（30日にち目めで再ふたたびスタート地点ちてんの0日にち目めに戻もどった状態じょうたい=新月しんげつ）から29日にちまでの範囲はんいにある。朔さく望月もちづきの最初さいしょの日ひは新月しんげつであり、暦こよみの上うえでは14日にち目めが満月まんげつとされている（実際じっさいの満月まんげつは14日にち目めとは限かぎらない）。

以下いかの表ひょうは過去かこの19年ねん周期しゅうきにも未来みらいの19年ねん周期しゅうきにも用もちいることができるが、使つかえる期間きかんは1900年ねんから2199年ねんの間あいだに限定げんていされている。

メトン19年ねん周期しゅうきのエパクト一覧いちらん表ひょう （1900年ねんから2199年ねんに有効ゆうこう）

年とし	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021	2022	2023	2024	2025	2026	2027	2028	2029	2030	2031	2032
黄金おうごん数すう	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
エパクト	29	10	21	2	13	24	5	16	27	8	19	*	11	22	3	14	25	6	17
復活ふっかつ祭さいの満月まんげつ	14A	3A	23M	11A	31M	18A	8A	28M	16A	5A	25M	13A	2A	22M	10A	30M	17A	7A	27M

※満月まんげつの日付ひづけのMは3月がつ、Aは4月がつ。エパクトの*は30または0を示しめす。

次つぎの表ひょうは、1年間ねんかんの日付ひづけに大だいの月つき（1か月げつが30日にち）と小しょうの月つき（1か月げつが29日にち）を交互こうごにしてエパクトを記入きにゅうしたカレンダリウム（羅ら: calendarium、ラテン語らてんごで帳簿ちょうぼの意い）の一部いちぶである。このエパクト表ひょうを使つかって新月しんげつがどの日ひになるか知しることができる。いわば「新月しんげつ早見はやみ表ひょう」である。まず年間ねんかん365日にち（閏うるう日びはのぞく）の日付ひづけを表ひょうに書かく。次つぎに、1月がつ1日にちから順番じゅんばんに全部ぜんぶの日付ひづけにエパクトを示しめすローマ数字すうじを書かいていく。*(30=0)からxxix、xxviii…と減数げんすうしていきiになったら、また*(30=0)から始はじめる。これを12月31日にちまで繰くり返かえす。ただし、大だいの月つきと小しょうの月つき が交互こうごに来くるように、1巡じゅん目めは普通ふつうに書かき込こみ(30日にち分ぶん)二に巡じゅん目めはxxvとxxivの両方りょうほうを同おなじ日びに書かき（29日にち分ぶん）、それを二に月がつごとに繰くり返かえす。最後さいごに残のこった12月末まつの11日にちも13巡じゅん目めとして同おなじように扱あつかい12月がつ26日にち、27日にちにそれぞれxxv、xxivと書かき込こむ。できあがったら、大だいの月つきにはxxv（25）の所ところに「25」と書かき、xxivとxxvが同おなじ日びに書かかれている小しょうの月つきの方ほうにはxxvi（26）の所ところに「25」を書かく。このような月つきの長ながさでエパクトを区切くぎれば、どの月つきも最初さいしょと最後さいごの日ひのエパクト数値すうちが一致いっちするのである。ただし、2月がつのエパクト数値すうちと、7,8月がつの「25」の部分ぶぶんは一致いっちしない。例たとえば、その年としのエパクト数値すうちが27であるなら、カレンダリウムにxxviiと書かかれた日ひはすべて、教会きょうかいの計算けいさん上じょうの新月しんげつ（実際じっさいの観測かんそくとは異ことなる）であることがわかる。

次つぎに、カレンダリウムの日付ひづけに1月がつ1日にちから大晦日おおみそかまでAからGの記号きごうをふりわける。これで「新月しんげつおよび曜日ようび早見はやみ表ひょう」となる。例たとえばその年としの最初さいしょの日曜にちようが1月がつ5日にちでEの記号きごうがついているなら、その年としはEの記号きごうのつく日ひがすべて日曜日にちようびなのである。Eはその年としの日曜にちよう記号きごう（ドミニカル・レター、羅ら: dominical letter、ラテン語らてんごで主おもの曜日ようびの記号きごうの意い）となる。日曜にちよう記号きごうは毎年まいとし1つ繰くり上あがる。ただし、閏年うるうどしでは閏うるう日び以降いこうの日曜にちよう記号きごうは1つ繰くり上あがるため、閏年うるうどしに限かぎっては閏うるう日びの前ぜんと後ごの二ふたつの日曜にちよう記号きごうがある。

復活ふっかつ祭さいの日付ひづけを算出さんしゅつする際さいには、年間ねんかん365日にち全部ぜんぶを書かき出だす必要ひつようはない。カレンダリウムを見みれば、3月は1月がつと同おなじようにエパクトが巡めぐっていることがわかる。1月がつか2月がつどちらかを書かき出だすだけでよい。また1、2月がつの日曜にちよう記号きごうの計算けいさんを飛とばして、3月1日にちにDから書かき込こみを始はじめればよい。3月8日にちから4月がつ5日にちの間あいだのエパクトがわかりさえすれば計算けいさんができるので、以下いかの表ひょうを使つかうと便利べんりである。

カレンダリウム（3月がつ、4月がつ分ぶん）

3月がつ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
エパクト値ち	*	xxix	xxviii	xxvii	xxvi	xxv 25	xxiv	xxiii	xxii	xxi	xx	xix	xviii	xvii	xvi	xv	xiv	xiii	xii	xi	x	ix	viii	vii	vi	v	iv	iii	ii	i	*
日曜にちよう記号きごう	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F
4月がつ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
エパクト値ち	xxix	xxviii	xxvii	xxvi 25	xxv xxiv	xxiii	xxii	xxi	xx	xix	xviii	xvii	xvi	xv	xiv	xiii	xii	xi	x	ix	viii	vii	vi	v	iv	iii	ii	i	*	xxix
日曜にちよう記号きごう	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A

表ひょうの見方みかた：エパクトが27（ローマ数字すうじ xxvii）で日曜にちよう記号きごうがEの年としであったら、xxviiの日ひは教会きょうかいの計算けいさん上じょうの新月しんげつとなり、その13日にち後ごに満月まんげつとなる（暦こよみの上うえであり、実際じっさいとは多少たしょう異ことなる）。つまり3月がつ4日にちと4月がつ3日にちが新月しんげつで、満月まんげつが3月17日にちと4月がつ16日にちになる。復活ふっかつ祭さいの日曜日にちようびは、春分しゅんぶんの（3月がつ21日にち）以降いこうの最初さいしょの満月まんげつを過すぎた最初さいしょの日曜日にちようびである。この例れいでは、4月がつ16日にちの方ほうが復活ふっかつ祭さいの満月まんげつに相当そうとうし、Eのつく4月がつ20日はつかが復活ふっかつ祭さいを祝いわう日曜日にちようびということになる。

この表ひょうの25という数字すうじ(xxvとは別べつ)は、次つぎのように用もちいる。メトン周期しゅうきでは、11年ねん離はなれた2つの年としを比くらべると、エパクトの差さが1日にちある。小しょうの月つきはxxivとxxvが同おなじ日びであるから、もし同一どういつのメトン周期しゅうき内ないでエパクト数値すうちの24と25が両方りょうほうが重かさなることがあれば、この2つの年としは同おなじ日びに新月しんげつ（と満月まんげつ）になるはずである。しかし、実際じっさいの月つきの満みち欠かけではありえない。同おなじ日付ひづけを繰くり返かえすのは、19年ねん周期しゅうきだからである。この問題もんだいを避さけるため、11より大おおきい黄金おうごん数すうの年としは、「xxv」でなく「25」と書かかれた方ほうの日ひを計算けいさん上じょうの新月しんげつとしている。（例れい 2011年ねんの新月しんげつは4月がつ5日にちではなく4日にちになり、そのため満月まんげつは17日にちとなる。）大だいの月つきではxxvも25も同おなじことだが、小しょうの月つきでは「xxvi」と書かかれた日ひになるのである。25とxxviの組くみ合あわせで問題もんだいが起おこることはない。なぜなら22年ねん目めに問題もんだいが起おこるが、周期しゅうき自体じたいが19年ねんで終おわるからである。そして周期しゅうきと周期しゅうきの間あいだにサルタス・ルナが算入さんにゅうされ、新月しんげつは別べつの日ひに移うつるのである。

グレゴリオ暦れきでは平均へいきん太陽年たいようねんを365.2425日にちとした。（21世紀せいき初頭しょとうの計算けいさんでは、平均へいきん回帰かいき年ねん365.24219日にち、春分しゅんぶん回帰かいき年ねんならば365.2424日にちとリリウスの計算けいさんに非常ひじょうに近ちかい値ねが出でている。）設定せっていした365.2425日にちの0.2425日にちという端はし数すうを解消かいしょうするために、0.2425=97÷400、つまり97日にちの閏うるう日びを400年ねんの間あいだに導入どうにゅうすることとなった。単純たんじゅんな4年ねんごとのルールでは閏年うるうどしが400年間ねんかんで100回かい挿入そうにゅうすることになってしまうので、「西暦せいれきが4で割わり切きれるが、100で割わり切きれる年としは閏年うるうどしとしない（例れい 1900年ねん）。ただし、100と400両方りょうほうで割わり切きれる年としは閏年うるうどし（例れい 2000年ねん）とする」という規則きそくにし、できるだけ太陽年たいようねんに合あわせている。97日にちの閏うるう日びは太陽年たいようねんの長ながさに対たいする修正しゅうせいであり、メトン周期しゅうきの年としや朔ついたち望月もちづきには影響えいきょうを及およぼさない。400年間ねんかんで閏うるう日びの入はいらない3つの百ひゃくの年としには、エパクトも数値すうちを1つ減へらして調整ちょうせいする。これを太陽たいよう方程式ほうていしきという。

一方いっぽう、無む調整ちょうせいのままのユリウス暦れきでは、太陽年たいようねん19年ねん分ぶんは235朔ついたち望月もちづきよりも多少たしょう長ながくなってしまった。約やく310年ねんにつき1日にちの割合わりあいで差さが出でる。そのため、グレゴリオ暦れきは2500年ねん周期しゅうきで8回かい、エパクトの数値すうちを1つ増ふやしている。これを太陰たいいん方程式ほうていしきという。第だい一いち回かいは1800年ねんに行おこなわれ、400年ねんごとに算入さんにゅうされる予定よていである。ただし、3900年ねんと新しん周期しゅうきの始はじまりである4300年ねんの間あいだは400年ねんの間隔かんかくをおくことになっている。その影響えいきょうでグレゴリオ暦れきの太陰暦たいいんれき部分ぶぶんは100から300年ねん周期しゅうきのエパクト表ひょうを用もちいている。上記じょうきのエパクト表ひょうは1900年ねんから2199年ねんの間あいだのみ有効ゆうこうである。

詳細しょうさい

この計算けいさん方式ほうしきにはいくつか微妙びみょうな点てんがある。

朔さく望月もちづきは大だいの月つき（30日にち）と小しょうの月つき（29日にち）を繰くり返かえす。そのため小しょうの月つきは、30あるエパクトのうち2つが同おなじ日びに配分はいぶんされる。黄金おうごん数すうが11以上いじょうになれば、エパクト25の年としはxxvでなく「25」を基本きほんにする。他たの数値すうちでなく、xxv/25を動うごかすのには理由りゆうがある。 ディオニュシウス（彼かれのペトロニウスに宛あてた手紙てがみの説明せつめい）によれば、ニカイア会議かいぎではエウセビオスの権威けんいのもと次じのように決定けっていされたらしい。教会きょうかいの計算けいさんにおける太陰たいいん年ねんの第だい一いち月がつは過か越えつ月がつ（Paschal month 春分しゅんぶんと過か越えつの祭まつりがある月つき）であり、3月8日にちから4月がつ5日にちの間あいだに始はじまり（新月しんげつ）、14日にち目め（満月まんげつ）が3月21日にちから4月がつ18日にちの間あいだに来こなければならない。つまり新あたらしい太陰たいいん年ねんが始はじめられる期間きかんはわずか29日間にちかんである。

たとえば、エパクト数値すうち26の年としはxxivと記しるされた3月がつ7日にちが新月しんげつ。14日にち目め（満月まんげつ）は3月がつ20日はつかで春分しゅんぶんと定さだめた日ひ（3月がつ21日にち）より早はやくなってしまう。エパクト数値すうち24の年としは過か越えつ月つきの最初さいしょの新月しんげつが4月がつ6日にちで遅おそすぎる。なぜなら満月まんげつが4月がつ19日にち、復活ふっかつ祭さいが4月がつ26日にちにまでずれこむからである。ユリウス暦れきでは最もっとも遅おそい復活ふっかつ祭日さいじつは4月がつ25日にちであった。グレゴリウス改革かいかくの後のちも4月がつ25日にちまでという期限きげんを守まもっている。つまり、遡さかのぼって計算けいさんすれば満月まんげつは遅おそくとも4月がつ18日にちまで、新月しんげつは遅おそくともエパクトxxivとxxvが記しるされた4月がつ5日にちまでということになる。4月5日にちは小しょうの月つきに当あたり2つのエパクトが記しるされている日ひである。前章ぜんしょうで説明せつめいしたように、エパクトxxvは特殊とくしゅな扱あつかいをしなければならない。

グレゴリオ暦れき570万まん年間ねんかんの復活ふっかつ祭さいの日付ひづけ分布ぶんぷ

このような修正しゅうせいの結果けっか、グレゴリオ暦れきでは年間ねんかん平均へいきんが約やく3.87%と4月がつ19日にちが最もっとも復活ふっかつ祭日さいじつになりやすい日ひとなっている。3月22日にちは0.48%で最もっとも復活ふっかつ祭日さいじつになりにくい日ひである。

太陽年たいようねんの閏うるう日びは、太陰暦たいいんれきと太陽暦たいようれきの日付ひづけの関係かんけいに影響えいきょうを及およぼさない。基本きほん的てきにグレゴリオ暦れきはユリウス暦れきと同おなじく4年ねんに1度ど閏うるう日びを挿入そうにゅうしており、メトン周期しゅうき19年ねん分ぶんは閏うるう日びが5日にちなら計けい6940日にち、4日にちなら計けい6939日にちである。一方いっぽう、太陰たいいん年ねんは354日にち×19年ねん+エパクト11日にち×19年ねん=6935日にちである。閏うるう日びを飛とばしてエパクトを数かぞえ、閏うるう日びがなかったかのように次つぎのサイクルを始はじめれば、閏うるう日びのある朔ついたち望月もちづきは1日にち長ながくなってしまうが、朔さく望月もちづきが235か月げつのままで太陽年たいようねん19年ねんとの等ひとしさは変かわらない。つまり暦れきと月つきの一致いっち（ほどほどの期間きかんの正確せいかくさ）は、太陽暦たいようれきの働はたらきに任まかせることができ、太陽暦たいようれきを修正しゅうせいする方法ほうほうが用もちいられている。すべては19太陽年たいようねん=235朔ついたち望月もちづき（長期ちょうき展望てんぼうにおける正確せいかくさ）という仮定かていの上うえに立たっている。その結果けっか、計算けいさん上じょうの月つきの動うごきは実際じっさいより1日にちずれ、閏うるう日びを含ふくむ朔ついたち望月もちづきが実際じっさいにはありえない31日にちとなることがある（短期たんき展望てんぼうにおける不正確ふせいかくさ）。これは太陽暦たいようれきに規則きそく性せいを組くみ込こむときに起おこってしまう欠点けってんである。

しかし、太陰暦たいいんれきは太陽暦たいようれきの誤差ごさからある程度ていど守まもられている。というのは、閏うるう日びは太陽年たいようねんと暦こよみが最もっともシンクロしやすい時ときに挿入そうにゅうされているのではないからだ。閏うるう日びの挿入そうにゅうは百ひゃくのつく年とし（例れい 1900年ねん）には行おこなわないが、100と400両方りょうほうで割わり切きれる年とし（例れい 2000年ねん）は閏うるう日びを入いれるという追加ついかルールがある。しかし周期しゅうきごとに誤差ごさが累積るいせきし、ずれが2日にち以上いじょうになってしまう。そのためグレゴリオ暦れきでは、実際じっさいの春分しゅんぶんが起おこるのは、3月20日にちを中心ちゅうしんとした53時じ間あいだの間あいだに広ひろがっている。1年ねんの暦こよみから見みればどうと言いうことはないかもしれないが、月つきの暦こよみにおいては幅はばが大おおきすぎる。「太陽たいよう」方程式ほうていしきを「太陰たいいん」方程式ほうていしきと分わけたことで、太陰暦たいいんれきには誤差ごさが及およばずに済すむのである。

太陽暦たいようれきの誤差ごさのほかに、グレゴリオ暦れきの太陰暦たいいんれき部分ぶぶんにもいくつかの欠点けってんがある。ただし、過か越えつ月がつや復活ふっかつ祭日さいじつの決定けっていに影響えいきょうを及およぼすものではない。

• 朔さく望月もちづきが31（時じには28）日にちになってしまうことがある。
• もし黄金おうごん数すう19の年としにエパクトも19であったなら、教会きょうかいの計算けいさん上じょうの最終さいしゅう新月しんげつは12月2日にちで、次つぎの新月しんげつは翌年よくねんの1月がつ1日にちである。しかし、新あたらしい年としの始はじまりにはサルトゥス・ルーナエといってエパクトを1つ増ふやすため、新月しんげつは前日ぜんじつ（12月31日にち）になってしまう。ということは、新月しんげつが新年しんねんの記録きろくから消きえてしまう。ローマ・ミサ典礼てんれい書しょのカレンダリウムは、これを考慮こうりょに入いれており、このような年としには12月31日にちのエパクトを20の代かわりに19と記しるすことにしている。修正しゅうせいが入はいる前まえのグレゴリオ暦れきエパクト表ひょうを使用しようしていた頃ころは19年ねんごとに起おこっていたが、1690年ねんを最後さいごに次回じかい8511年ねんまで同おなじ事態じたいは起おこらなくなった。
• エパクト20の年としは、12月31日にちに計算けいさん上じょうの新月しんげつとなる。もしそれが百ひゃくの前まえの年とし（下した二に桁けたが99の年とし）であったなら、たいてい百ひゃくの年としに合あわせる「太陽たいよう方程式ほうていしき」によってエパクトを1つ減へらすことになる。その結果けっか、エパクトが「*」と記しるされ、1月がつ1日にちも新月しんげつとなる。新月しんげつが連続れんぞくし、朔さく望のぞむ周期しゅうきがたった1日にちで終おわったようになる。これは4200年ねんの始はじまりごろに起おこるであろう。
• その後ごも（ずっと後のちだが）年ねんの境さかいに起おこる問題もんだいが出でてくる。もしグレゴリオ暦れきのルールが厳きびしく守まもられ、何なにも手てを加くわえなかった場合ばあい、計算けいさん上じょうでは新月しんげつと新月しんげつの間あいだが1、28、59（めったにないが58）日にちも離はなれてしまうことがある。

注意深ちゅういぶかく分析ぶんせきしてみれば、グレゴリオ暦れきの利用りようや修正しゅうせいに用もちいられる手段しゅだんにおいて、エパクトは朔さく望のぞむ日び(朔さく望月もちづき30分ぶんの1。インドに於おけるティティと同おなじ）であり、実際じっさいの1日にちとは等ひとしくないことがわかる。（詳くわしくはエパクトを参照さんしょうのこと） 太陽たいよう方程式ほうていしきと太陰たいいん方程式ほうていしきは、400年ねん（太陽たいよう方程式ほうていしき）×2500年ねん（太陰たいいん方程式ほうていしき）=100世紀せいきごとに繰くり返かえす。その期間きかん中ちゅうに補正ほせいされたエパクトは、

$-1\times {\frac {3}{4}}\times 100+1\times {\frac {8}{25}}\times 100=-43=17{\bmod {3}}0$

-1修正しゅうせいを4世紀せいきごとに3回かい繰くり返かえすのを100世紀せいき間あいだ、+1修正しゅうせいを25世紀せいきごとに8回かい繰くり返かえすのを100世紀せいき間あいだで、合計ごうけい数値すうち-43となる。30で割わり切きるには17足たりない。

17は30通とおりの可能かのう性せいがあるエパクトに対たいして素数そすうである。そのためエパクトが繰くり返かえすには100世紀せいき×30通とおり=3000世紀せいきかかり、同おなじ黄金おうごん数すうでエパクトを繰くり返かえすとなると、3000世紀せいき×黄金おうごん数すう19通とおり=57000世紀せいきの月日つきひが要いることになる。その間あいだには、
（5,700,000年ねん/19年ねん） × 235朔ついたち望月もちづき + （−43/30エパクト） × （57,000世紀せいき/100世紀せいき）=70, 499,183 回かいの朔さく望のぞむ周期しゅうきがある。つまり、グレゴリオ暦れきにおいて全まったく同おなじ周期しゅうきで復活ふっかつ祭日さいじつが繰くり返かえされるのは、570万まん年ねん=7049万まん9183回かいの朔ついたち望月もちづき=20億おく8188万まん2250日にちごとである。 しかし実際じっさいには、何なん千せん年ねんか経へた後のちには春分しゅんぶん回帰かいき年ねん、朔さく望月もちづき、1日にちの長ながさが変化へんかし、暦こよみの修正しゅうせいが必要ひつようになるであろう。

ユリウス暦れき

グレゴリオ暦れきへ改暦かいれきする以前いぜんにラテン（カトリック）教会きょうかいが使用しようしていた標準ひょうじゅん的てきな「計算けいさん上じょうの」満月まんげつの算出さんしゅつ手段しゅだんは、ユリウス暦れきと並行へいこうした未み修正しゅうせいのメトン19年ねん周期しゅうきであった。上記じょうきで述のべられたエパクトで、*（数値すうち0）から開始かいししてまったく修正しゅうせいされない単純たんじゅんなエパクト表ひょうを有効ゆうこう的てきに利用りようしていた。エパクトは教会きょうかいが認みとめる最もっとも早はやい復活ふっかつ祭日さいじつ、3月22日にちのものを計算けいさんしていた。単純たんじゅんに19年ねん繰くり返かえすだけなので、3月21日にち以降いこうの満月まんげつの日ひは19通とおりしかなかった。

19年ねん周期しゅうきの年としには黄金おうごん数すうという通とおし番号ばんごうがついている。黄金おうごん数すうという言葉ことばは、1200年ねんアレキサンダー・ヴィラ・デイによる復活ふっかつ祭さい計算けいさんの詩し『マッサ・コンポティ』で最初さいしょに使つかわれた。後ごの著述ちょじゅつ家かが988年ねんにフリュリのアッボが作成さくせいした表ひょうに黄金おうごん数すうという言葉ことばを付つけ加くわえたのが下したのメトン19年ねん周期しゅうき表ひょうである。

ユリウス暦れきでのメトン19年ねん周期しゅうき

黄金おうごん数すう	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
復活ふっかつ祭さいの満月まんげつ	5A	25M	13A	2A	22M	10A	30M	18A	7A	27M	15A	4A	24M	12A	1A	21M	9A	29M	17A

満月まんげつの日付ひづけのMは3月がつ、Aは4月がつ。

それぞれの年としの満月まんげつの日ひの次つぎにくる日曜にちようが復活ふっかつ祭日さいじつとされた。

1つの満月まんげつにつき1週間しゅうかんの曜日ようび、つまり7通とおりの復活ふっかつ祭日さいじつがあったわけだ。しかし日曜にちよう記号きごうは7年ねんごとに繰くり返かえさない。4年ねんに1度どの閏年うるうどしがあるため、曜日ようびがまったく同おなじ順番じゅんばんで繰くり返かえすのは、閏年うるうどしを含ふくむ4年ねん×7曜日ようび=28年ねん、いわゆる太陽暦たいようれき周期しゅうきである。 復活ふっかつ祭日さいじつも、4年ねん×7曜日ようび×メトン周期しゅうき19年ねん=532年ねんごとに繰くり返かえすものだった。これは復活ふっかつ祭さい周期しゅうき、あるいはこの表ひょうを西暦せいれき457年ねんにローマに持もち込こんだアキテーヌのビクトリウス にちなんでビクトリウス周期しゅうきと呼よばれた。5世紀せいき初頭しょとうにアレクサンドリアのアニアヌスが利用りようしたのが最初さいしょだと言いわれている。誤あやまって西暦せいれき532年ねんに復活ふっかつ祭日さいじつ表ひょうを発表はっぴょうしたディオニュシウス・エクシグウスにちなんでディオニュシウス周期しゅうきと呼よばれることがある。しかしディオニュシウスは95年ねん周期しゅうき表ひょうの不正確ふせいかくさを知しっていたが、自分じぶんの編あみ出だしたアレクサンドリア計算けいさん法式ほうしきが532年ねん周期しゅうきだとは気きづいていなかった。 初はじめて太陽暦たいようれき周期しゅうきに気きづき、メトン周期しゅうきと太陽暦たいようれき周期しゅうきの観点かんてんから復活ふっかつ祭さい周期しゅうきを導みちびきだしたのは、7世紀せいきの尊者そんじゃベーダだといわれている。

復活ふっかつ祭さいの日付ひづけチェック

復活ふっかつ祭さいの満月まんげつ (18 - (年とし mod 19 x 11 + N) mod 30) mod 31

年とし mod 19	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15	16	17	18
2200 ~ 2299 (N = 3 or 4)	15A	04A	24M	12A	01A	21M	09A	29M	17A	06A	26M	14A	03A	23M	11A	31M	18A	08A	28M
1900 ~ 2199 (N = 4 or 5)	14A	03A	23M	11A	31M	18A	08A	28M	16A	05A	25M	13A	02A	22M	10A	30M	17A	07A	27M
1700 ~ 1899 (N = 5)	13A	02A	22M	10A	30M	18A	07A	27M	15A	04A	24M	12A	01A	21M	09A	29M	17A	06A	26M
1583 ~ 1699 (N = 6 or 7)	12A	01A	21M	09A	29M	17A	06A	26M	14A	03A	23M	11A	31M	18A	08A	28M	16A	05A	25M
ユリウス暦れき (N = 13)	05A	25M	13A	02A	22M	10A	30M	18A	07A	27M	15A	04A	24M	12A	01A	21M	09A	29M	17A

上記じょうきの表ひょうで復活ふっかつ祭さいの満月まんげつの日付ひづけを調しらべ、復活ふっかつ祭さいの日付ひづけを以下いかの表ひょうで調しらべる。調しらべる手順てじゅんは以下いかの通とおりである。

1. 復活ふっかつ祭さいの満月まんげつの日ひの日付ひづけを调べる。
2. 日曜にちよう記号きごうを調しらべると、年とし行ぎょうと世せい纪列にある文字もじは日曜にちよう記号きごうである。
3. 日曜日にちようびの日付ひづけを調しらべると、赤あか日曜にちよう記号きごうと同おなじ列れつの日ひが日曜日にちようび。
4. 復活ふっかつ祭さいの日ひを决めると、満月まんげつ以降いこうの最初さいしょの日曜日にちようびが復活ふっかつ祭さいである。

復活ふっかつ祭さいの日付ひづけ	22M	23M	24M	25M	26M	27M	28M	年とし mod 100 mod 28
	29M	30M	31M	01A	02A	03A	04A
	05A	06A	07A	08A	09A	10A	11A
	12A	13A	14A	15A	16A	17A	18A
	19A	20A	21A	22A	23A	24A	25A
日曜にちよう記号きごう	G	A	B	C	D	E	F	01	07	12	18
	F	G	A	B	C	D	E	02		13	19	24
	E	F	G	A	B	C	D	03	08	14		25
	D	E	F	G	A	B	C		09	15	20	26
	C	D	E	F	G	A	B	04	10		21	27
	B	C	D	E	F	G	A	05	11	16	22
	A	B	C	D	E	F	G	06		17	23	00
百ひゃく年ねん紀き [年とし/100]	20 16 19 12 05	-- -- 20 13 06	21 17 21 14 07	-- -- 22 15 08	22 18 23 16 09	-- -- 24 17 10	19 15 25 18 11	グレゴリオ暦れき 世紀せいき mod 4 ユリウス暦れき 世紀せいき mod 7 --

• 例れい1: 2018年ねんは、2018 mod 19 = 4、グレゴリオ暦れきの満月まんげつの日ひ = 31M、日曜にちよう記号きごう = G、日曜日にちようびの日付ひづけ = 25M 1A 8A 15A 22A、復活ふっかつ祭さいの日付ひづけが4月がつ1日にちである。ユリウス暦れきの満月まんげつの日ひ = 22M、日曜にちよう記号きごう = A、日曜日にちようびの日付ひづけ = 26M 2A 9A 16A 23A、復活ふっかつ祭さいの日付ひづけが3月26日にち (グレゴリオ暦れきの4月がつ8日にち) である。
• 例れい2: 1582年ねんは、1582 mod 19 = 5、ユリウス暦れきの満月まんげつの日ひ = 10A、82 mod 28 = 26、日曜にちよう記号きごう = G、日曜日にちようびの日付ひづけ = 25M 1A 8A 15A 22A、復活ふっかつ祭さいの日付ひづけが4月がつ15日にちである。

アルゴリズム計算けいさん方式ほうしき

ガウスのアルゴリズム

復活ふっかつ祭さいの日曜日にちようびの日付ひづけを計算けいさんするアルゴリズムを最初さいしょに発表はっぴょうしたのは数学すうがく者しゃガウスである。日付ひづけは次つぎの公式こうしきで求もとめられる。

該当がいとうする年としをyとする。${\bmod {}}$ は整数せいすうで割わったときの余あまりを示しめす。まず以下いかの $a$、$b$、$c$ を計算けいさんする。

$a=Y{\bmod {1}}9$
$b=Y{\bmod {4}}$
$c=Y{\bmod {7}}$

次つぎにdとeを下したの公式こうしきで導みちびき出だす。

$d=(19a+M){\bmod {3}}0$
$e=(2b+4c+6d+N){\bmod {7}}$

ユリウス暦れき（東方とうほう教会きょうかいで用もちいられる）では $M=15$、$N=6$ を挿入そうにゅうする。グレゴリオ暦れき（西方せいほう教会きょうかいで用もちいられる）ではMとNの値ねは次つぎの表ひょうから拾ひろう。

西暦せいれき	$M$	$N$
1583 - 1699年ねん	22	2
1700 - 1799年ねん	23	3
1800 - 1899年ねん	23	4
1900 - 2099年ねん	24	5
2100 - 2199年ねん	24	6
2200 - 2299年ねん	25	0

$d+e<10$（$d$と$e$の和わが$10$より小ちいさかったら）、復活ふっかつ祭さいは3月の$(d+e+22)$日にちとなる。それ以外いがいは、4月がつ$(d+e-9)$日にちとなる。

ただし、次つぎのような例外れいがいがある。

• 公式こうしきによって算出さんしゅつした日ひにちが4月がつ26日にちであれば、復活ふっかつ祭さいは4月がつ19日にちとなる。
• 公式こうしきによって算出さんしゅつした日ひにちが4月がつ25日にちで、なおかつ $d=28$、$e=6$ そして $a>10$であるならば、復活ふっかつ祭さいは4月がつ18日にちとなる。

メーウス・ジョーンズ・ブッチャーのグレゴリオ暦れきアルゴリズム

ジャン・メーウスは、著書ちょしょ『アストロノミカル・アルゴリズムス』において復活ふっかつ祭さいの日曜日にちようびの計算けいさんアルゴリズムを紹介しょうかいした。これはハロルド・スペンサー＝ジョーンズの『ジェネラル・アストロノミー』と、1977年ねんの英国えいこく天文てんもん協会きょうかいの定期ていき刊行かんこう誌しを引用いんようしている。定期ていき刊行かんこう誌しの方ほうは1876年ねん発行はっこうの『ブッチャー教会きょうかい暦れき』からの引用いんようである。

この手法しゅほうでは、グレゴリオ暦れきすべての年としに有効ゆうこうで、なおかつ例外れいがいはなく、表おもて作成さくせいも不要ふようである。

表記ひょうき法ほうは前述ぜんじゅつのガウス・アルゴリズムと同おなじ。すべての数値すうちは、$\left\lfloor {\frac {7}{3}}\right\rfloor =2$（小数しょうすうを切きり捨すて）、$7{\bmod {3}}=1$（割わり算ざんの余あまり）というように整数せいすうである。

$Y$（西暦せいれき年ねん）	1961年ねん	2000年ねん
$a=Y{\bmod {1}}9$	$1961{\bmod {1}}9=4$	$2000{\bmod {1}}9=5$
$b=Y/100$	$\left\lfloor {\frac {1961}{100}}\right\rfloor =19$	$\left\lfloor {\frac {2000}{100}}\right\rfloor =20$
$c=Y{\bmod {1}}00$	$1961{\bmod {1}}00=61$	$2000{\bmod {1}}00=0$
$d=b/4$	$\left\lfloor {\frac {19}{4}}\right\rfloor =4$	$\left\lfloor {\frac {20}{4}}\right\rfloor =5$
$e=b{\bmod {4}}$	$19{\bmod {4}}=3$	$20{\bmod {4}}=0$
$f=\left\lfloor {\frac {b+8}{25}}\right\rfloor$	$\left\lfloor {\frac {19+8}{25}}\right\rfloor =1$	$\left\lfloor {\frac {20+8}{25}}\right\rfloor =1$
$g=\left\lfloor {\frac {b-f+1}{3}}\right\rfloor$	$\left\lfloor {\frac {19-1+1}{3}}\right\rfloor =6$	$\left\lfloor {\frac {20-1+1}{3}}\right\rfloor =6$
$h=(19\times a+b-d-g+15){\bmod {3}}0$	$(19\times 4+19-4-6+15){\bmod {3}}0=10$	$(19\times 5+20-5-6+15){\bmod {3}}0=29$
$i=\left\lfloor {\frac {c}{4}}\right\rfloor$	$\left\lfloor {\frac {61}{4}}\right\rfloor =15$	$\left\lfloor {\frac {0}{4}}\right\rfloor =0$
$k=c{\bmod {4}}$	$61{\bmod {4}}=1$	$0{\bmod {4}}=0$
$L=(32+2\times e+2\times i-h-k){\bmod {7}}$	$(32+2\times 3+2\times 15-10-1){\bmod {7}}=1$	$(32+2\times 0+2\times 0-29-0){\bmod {7}}=3$
$m=\left\lfloor {\frac {a+11\times h+22\times L}{451}}\right\rfloor$	$\left\lfloor {\frac {4+11\times 10+22\times 1}{451}}\right\rfloor =0$	$\left\lfloor {\frac {5+11\times 29+22\times 3}{451}}\right\rfloor =0$
$M=\left\lfloor {\frac {h+L-7\times m+114}{31}}\right\rfloor$	$\left\lfloor {\frac {10+1-7\times 0+114}{31}}\right\rfloor =4$	$\left\lfloor {\frac {29+3-7\times 0+114}{31}}\right\rfloor =4$
$D=((h+L-7\times m+114){\bmod {3}}1)+1$	$(10+1-7\times 0+114){\bmod {3}}1+1=2$	$(29+3-7\times 0+114){\bmod {3}}1+1=23$
$Y$年とし$M$月つき$D$日ひ	1961年ねん4月がつ2日にち	2000年ねん4月がつ23日にち

メーウスのユリウス暦れきアルゴリズム

スウェーデンの計算けいさん表ひょう（1140年ねん-1671年ねん）。かつてはすべての教会きょうかいでユリウス暦れきをもとにした表ひょうで日付ひづけを求もとめていた。

ジャン・メーウスはまた、著書ちょしょ『アストロノミカル・アルゴリズムス』において、ユリウス暦れきにおける復活ふっかつ祭さいの日曜日にちようびを求もとめる公式こうしきも発表はっぴょうした。

この手法しゅほうはすべてのユリウス暦れきに有効ゆうこうで、なおかつ例外れいがいはなく、表おもて作成さくせいも不要ふようである。

表記ひょうき法ほうは前述ぜんじゅつのガウスのアルゴリズムに準じゅんずる。すべての数値すうちは、$\left\lfloor {\frac {7}{3}}\right\rfloor =2$（商しょうの小数しょうすう切きり捨すて）、$7{\bmod {3}}=1$（|割わり算ざんの余あまり）というように整数せいすうである。

$a=Y{\bmod {4}}$
$b=Y{\bmod {7}}$
$c=Y{\bmod {1}}9$
$d=(19*c+15){\bmod {3}}0$
$e=(2*a+4*b-d+34){\bmod {7}}$
$month={\frac {d+e+114}{31}}$
$day=((d+e+114){\bmod {3}}1)+1$

関連かんれん項目こうもく

• 暦法れきほう、太陽暦たいようれき、太陰暦たいいんれき、太陰たいいん太陽暦たいようれき、ユリウス暦れき、グレゴリオ暦れき
• 回帰かいき年ねん、朔さく望月もちづき、月つき、メトン周期しゅうき、エパクト、閏うるう
• 復活ふっかつ祭さい、イエス・キリスト、過か越えつ

外部がいぶリンク

• こよみのページ
• Catholic Encyclopedia:Epact