平均へいきん

平均へいきん（へいきん、英えい: mean, average, 独どく: Mittelwert, 仏ふつ: moyenne）または平均へいきん値ち（へいきんち、英えい: mean value, average value）とは、数学すうがく・統計とうけい学がくにおいて、数かずの集合しゅうごうやデータの中なか間あいだ的てきな値ねを指さす。欧米おうべい語ごの原意げんいの中間ちゅうかん（値ね）などと和訳わやくすることは少すくない。

狭せまい意味いみでの中なか間あいだ値ちにとどまらず、算術さんじゅつ平均へいきん（相加平均そうかへいきん）・幾何きか平均へいきん（相乗そうじょう平均へいきん）・調和ちょうわ平均へいきん・対数たいすう平均へいきんなど様々さまざまな種類しゅるいで用もちいられる。一般いっぱん的てきには特とくに算術さんじゅつ平均へいきんを指さし、集合しゅうごうの要素ようその総和そうわを要素ようそ数すうで割わったものである。

算術さんじゅつ平均へいきんを用もちいる際さいの注意ちゅうい

科学かがく観測かんそくや社会しゃかい調査ちょうさから得えられるデータでは、算術さんじゅつ平均へいきんを代表だいひょう値ちの一ひとつとして用もちいる。算術さんじゅつ平均へいきんが中央ちゅうおう値ち、最さい頻しき値ね、中点ちゅうてん値ちと比くらべてデータの特徴とくちょうをよく表あらわすものかどうかを検討けんとうする必要ひつようがある。正規せいき分布ぶんぷに近ちかい場合ばあいは算術さんじゅつ平均へいきんと標準ひょうじゅん偏差へんさを用もちいることは適切てきせつだが、そうでない分布ぶんぷの場合ばあいは、算術さんじゅつ平均へいきん値ちが度数どすうの多おおい値ねを示しめすとはいえない。

例たとえば、国民こくみん（例たとえば日本人にっぽんじん）の所得しょとくについて考かんがえる。このデータでは、一部いちぶの高こう所得しょとく者しゃが算術さんじゅつ平均へいきん値ちを引ひき上あげてしまい、算術さんじゅつ平均へいきん値ちをとる世帯せたいは実際じっさいにはほとんどいないということになる。よってこの場合ばあい正規せいき分布ぶんぷには従したがわない。日本にっぽんの国税庁こくぜいちょうの民間みんかん給与きゅうよ実態じったい統計とうけい調査ちょうさによると、平成へいせい29年度ねんどの場合ばあい、給与きゅうよ所得しょとくの算術さんじゅつ平均へいきん値ちは423万まん円えんだが、最さい頻しき値ねは300万まん円えん～400万まん円えんの区分くぶんであり、ずれている。従したがって、一般いっぱん的てきな世帯せたいの所得しょとくをとらえるには中央ちゅうおう値ちや最さい頻しき値ねが有効ゆうこうであるが、所得しょとくは97%～99%は所得しょとくの対数たいすう値ねが正規せいき分布ぶんぷ（対数たいすう正規せいき分布ぶんぷ）に従したがっているため、所得しょとくの対たい数値すうちの算術さんじゅつ平均へいきん、つまり幾何きか平均へいきんを用もちいるのが適切てきせつな所得しょとくの代表だいひょう値ちであるともいえる。

分布ぶんぷが左右さゆう対称たいしょうでない時とき、中央ちゅうおう値ち、最さい頻しき値ねを用もちいると良よい場合ばあいもある。また、飛とび抜ぬけた値ね（外はずれ値ち）がごく少数しょうすうの場合ばあいには、最大さいだいと最小さいしょうを除外じょがいした刈かり込こみ平均へいきん（トリム平均へいきん）を用もちいることもある。平均へいきんが中央ちゅうおう値ち、最さい頻しき値ね、中点ちゅうてん値ちと乖離かいりしている場合ばあいは刈かり込こみ平均へいきんを含ふくめた平均へいきん以外いがいの使用しようを考かんがえるとよい。

統計とうけい学がく

統計とうけい学がくでは、平均へいきん値ちとは普通ふつうは算術さんじゅつ平均へいきん（相加平均そうかへいきん）のことを指さす。これはデータの値ねから算術さんじゅつ的てきに計算けいさんして得えられる統計とうけい指標しひょう値ちの一ひとつである。

母はは平均へいきんと標本ひょうほん平均へいきん

統計とうけい学がくでは平均へいきんには母はは平均へいきんと標本ひょうほん平均へいきんがある。母はは平均へいきんは、母集団ぼしゅうだんの相加平均そうかへいきんのこと。標本ひょうほん平均へいきんは、抽出ちゅうしゅつした標本ひょうほん（母集団ぼしゅうだんの部分ぶぶん集合しゅうごう）の相加平均そうかへいきんのこと。母はは平均へいきんを μみゅー、標本ひょうほん平均へいきんを m と書かいて区別くべつする場合ばあいがある。

相加平均そうかへいきん

詳細しょうさいは「算術さんじゅつ平均へいきん」を参照さんしょう

算術さんじゅつ平均へいきん（さんじゅつへいきん、英えい: arithmetic mean, 独どく: arithmetisches Mittel, 仏ふつ: moyenne arithmétique）とも呼よぶ。

相加平均そうかへいきんは

$\mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\dfrac {x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}{n}}$

で定義ていぎされる。式しき変形へんけいして

$n\mu =\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}$

と表あらわすこともできる。

$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ の相加平均そうかへいきんを ${\bar {x}}$ とも表あらわす。

相加平均そうかへいきんは、加法かほうとスカラー倍ばいが定義ていぎされた数かず（実数じっすう、複素数ふくそすう、ベクトル等とう）に対たいして定義ていぎできる。

一般いっぱん化か平均へいきん

相乗そうじょう平均へいきん

詳細しょうさいは「幾何きか平均へいきん」を参照さんしょう

相乗そうじょう平均へいきん（そうじょうへいきん）または幾何きか平均へいきん（きかへいきん、英えい: geometric mean, 独どく: geometrisches Mittel, 仏ふつ: moyenne géométrique）は

$\mu _{\mathrm {G} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\dotsb x_{n}}}$

で定義ていぎされる。幾何きか平均へいきんは相乗そうじょう平均へいきんと同義どうぎの用語ようごである。

式しき変形へんけいして

${\mu _{\mathrm {G} }}^{n}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}x_{2}\dotsb x_{n}$

とも表あらわせる。

対数たいすうを取とると

$\mu _{\mathrm {G} }=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}\right)$

$n\log \mu _{\mathrm {G} }=\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}$

となり、相乗そうじょう平均へいきんは、対数たいすうの算術さんじゅつ平均へいきんの指数しすう関数かんすうである。あるいは、相乗そうじょう平均へいきんの対数たいすうは対数たいすうの算術さんじゅつ平均へいきんである。

データに1つ以上いじょうの 0 があるときは、相乗そうじょう平均へいきんは 0 となる。値ね全すべてが実数じっすうであっても、積せきが負まけの場合ばあいは、相乗そうじょう平均へいきんは実数じっすうの範囲はんい内ないでは存在そんざいしない。また複素数ふくそすうの範囲はんい内ないでは、値ね全すべてが実数じっすうであって積せきが正負せいふいずれであっても、相乗そうじょう平均へいきんは一意いちいに定さだまらない可能かのう性せいがある。

相乗そうじょう平均へいきんは、積せきと累乗るいじょう根ねが定義ていぎされた数かず（実数じっすう、複素数ふくそすう）について定義ていぎできる。

調和ちょうわ平均へいきん

詳細しょうさいは「調和ちょうわ平均へいきん」を参照さんしょう

調和ちょうわ平均へいきん（ちょうわへいきん、英えい: harmonic mean）は

$\mu _{\mathrm {H} }={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\tfrac {1}{x_{1}}}+{\tfrac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\tfrac {1}{x_{n}}}}}$

で定義ていぎされる。あるいは

${\frac {n}{\mu _{\mathrm {H} }}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}={\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}$

とも表あらわせる。

調和ちょうわ平均へいきんは、逆数ぎゃくすうの算術さんじゅつ平均へいきんの逆数ぎゃくすうである。あるいは、逆数ぎゃくすうの算術さんじゅつ平均へいきんは調和ちょうわ平均へいきんの逆数ぎゃくすうである。

しかし、データに1つ以上いじょうの 0 があるとき、調和ちょうわ平均へいきんはもとの定義ていぎ式しきからは定義ていぎできないが、0 への極限きょくげんを取とると、調和ちょうわ平均へいきんは 0 となる（$x_{i}\to 0$ のとき $\mu _{\mathrm {H} }\to 0$）。データに負数ふすうがあっても調和ちょうわ平均へいきんは計算けいさんすることができる。ただし、正負せいふが混在こんざいしている場合ばあいに逆数ぎゃくすうの和わが 0 になることがあり、その場合ばあいの極限きょくげんは発散はっさんする。

一般いっぱん化か平均へいきん

詳細しょうさいは「ヘルダー平均へいきん」を参照さんしょう

算術さんじゅつ平均へいきん、相乗そうじょう平均へいきん、調和ちょうわ平均へいきんは同おなじ式しき

$\mu _{p}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}\right)^{1/p}$

あるいは

$n{\mu _{p}}^{p}=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}$

で表あらわせる。この実数じっすう p に対たいして定義ていぎした式しきの値ねを p一般いっぱん化か平均へいきんと呼よぶ。

p = 1 で算術さんじゅつ平均へいきん、p = −1 で調和ちょうわ平均へいきんとなり、p → 0 への極限きょくげんが相乗そうじょう平均へいきんである。また、p = 2 の場合ばあいを二乗にじょう平均へいきん平方根へいほうこん (RMS) と呼よび、物理ぶつり学がくや工学こうがくで様々さまざまな応用おうようをもつ。p → ∞ への極限きょくげんは最大さいだい値ち、p → −∞ への極限きょくげんは最小さいしょう値ちである。

一般いっぱん化か平均へいきんは、ベクトル $(x_{1},\dots ,x_{n})$ の pノルムを $n^{1/p}$ で割わった結果けっかに一致いっちする。

データの p乗じょうの平均へいきん、つまり、一般いっぱん化か平均へいきんの p乗の

${\mu _{p}}^{p}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}$

を p乗の平均へいきんと呼よぶ。

p乗の平均へいきん・一般いっぱん化か平均へいきんの応用おうようとして、例たとえば統計とうけい学がくでは分散ぶんさんと標準ひょうじゅん偏差へんさがある。偏差へんさ（値ねから相加平均そうかへいきんを引ひいた値ね）のそれぞれ 2乗の平均へいきん・2一般いっぱん化か平均へいきんとして定義ていぎされている。

一般いっぱん化か平均へいきんはさらに一般いっぱん化かが可能かのうで、全ぜん単たん射しゃな関数かんすう f により

$\mu _{f}=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\right)$

という平均へいきんが定義ていぎできる。恒等こうとう関数かんすう f(x) = x により相加平均そうかへいきんが、逆数ぎゃくすう f(x) = 1/x により調和ちょうわ平均へいきんが、対数たいすう関数かんすう f(x) = log x により相乗そうじょう平均へいきんがそれぞれ表あらわされている。

	相加平均そうかへいきん	相乗そうじょう平均へいきん	調和ちょうわ平均へいきん
$f(x)$	$x$	$\log x$	$x^{-1}$
$f^{-1}(y)$	$y$	$\exp y$	$y^{-1}$
$f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\right)$	${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$	$\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}\right)$	$\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{-1}\right)^{-1}$

定義ていぎ域いき

実数じっすう p に対たいする p一般いっぱん化か平均へいきんは、データの値ねが全すべて非負ひふの実数じっすうであるときに定義ていぎされる。これは、一般いっぱん化か平均へいきんの式しきに現あらわれる p乗の根ね（冪べき函数かんすう）が負数ふすうに対たいし定義ていぎできないためである。例外れいがいは、冪べき関数かんすうを使つかわずに計算けいさんできる算術さんじゅつ平均へいきんと調和ちょうわ平均へいきん (p = ±1) である。それ以外いがいの p ≠ ±1 の場合ばあい、負数ふすうが1つでも含ふくまれるデータに対たいしては、一般いっぱん化か平均へいきんの定義ていぎ式しきは実数じっすうを返かえさないか、実数じっすうを返かえしたとしても結果けっかは解釈かいしゃくが難むずかしい。

p < 0 の場合ばあい、0 を含ふくむデータに対たいしては一般いっぱん化か平均へいきんの定義ていぎ式しきは使つかえないが、調和ちょうわ平均へいきん同様どうよう、0 への極限きょくげんを取とると一般いっぱん化か平均へいきんは 0 となる。幾何きか平均へいきん（0一般いっぱん化か平均へいきん）も 0 となるので、p ≤ 0 の場合ばあいに一般いっぱん化か平均へいきんは 0 と考かんがえることができる。

具体ぐたい例れい

• 相乗そうじょう平均へいきん
  • 78年ねんの経済けいざい成長せいちょう率りつ20%、79年ねんの経済けいざい成長せいちょう率りつ80%の場合ばあい、この2年間ねんかんの平均へいきん成長せいちょう率りつは${\sqrt {1.2\times 1.8}}=1.469693846\cdots$より、約やく47%
• 調和ちょうわ平均へいきん
  • 往は時速じそく60 km、復ふくは時速じそく90 kmの場合ばあいの往復おうふくの平均へいきん速度そくどは ${\frac {2}{1/(60~\mathrm {km~h^{-1}} )+1/(90~\mathrm {km~h^{-1}} )}}=72~\mathrm {km~h^{-1}}$ である。
  • 並列へいれつ接続せつぞくされた電気でんき抵抗ていこうの抵抗ていこう値ちなどを考かんがえる場合ばあいに用もちいる（直列ちょくれつ回路かいろと並列へいれつ回路かいろ）。

関係かんけい式しき

相加平均そうかへいきん≧相乗そうじょう平均へいきん≧調和ちょうわ平均へいきん

n個この実数じっすうが全すべて正せいの時とき、次つぎの大小だいしょう関係かんけいが成なり立たつ。

相加平均そうかへいきん ≥ 相乗そうじょう平均へいきん ≥ 調和ちょうわ平均へいきん

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$

等号とうごう成立せいりつ条件じょうけんは

$x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$

である。

左側ひだりがわの不等式ふとうしきは、両辺りょうへんに対数たいすうをとりlogの凸とつ性せい（イェンセンの不等式ふとうしき）を適用てきようすれば証明しょうめいできる（数学すうがく的てき帰納きのう法ほうを使つかった別べつ証明しょうめいも知しられている）。右側みぎがわの不等式ふとうしきは、調和ちょうわ平均へいきんが逆数ぎゃくすうの相加平均そうかへいきんの逆数ぎゃくすうという事実じじつを左側ひだりがわの不等式ふとうしきに適用てきようすれば証明しょうめいできる。

さらに拡張かくちょうした p一般いっぱん化か平均へいきん $\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}\right)^{1/p}$（p は実数じっすう）について、一般いっぱんには p の広義こうぎ増加ぞうか関数かんすうとなる。p = 1 のとき相加平均そうかへいきん、p = −1 のとき調和ちょうわ平均へいきん、p → 0 のとき極限きょくげんとして幾何きか平均へいきんになる（#一般いっぱん化か平均へいきんを参照さんしょう）。

相加平均そうかへいきんと調和ちょうわ平均へいきんの相乗そうじょう平均へいきん

データの大おおきさ n が 2 のときの相加平均そうかへいきん、相乗そうじょう平均へいきん、調和ちょうわ平均へいきんをそれぞれ A, G, H とすると、

$A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},\quad G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},\quad H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}$

なので、

$G={\sqrt {AH}}$

が成立せいりつする。すなわち、データの相乗そうじょう平均へいきんは相加平均そうかへいきんと調和ちょうわ平均へいきんの相乗そうじょう平均へいきんに等ひとしくなる。

様々さまざまな平均へいきん

加重かじゅう平均へいきん

データの値ねそれぞれに不ふ均等きんとうな重おもみがある場合ばあいは、単たんに相加平均そうかへいきんをとるのでなく重おもみを考慮こうりょした平均へいきんをとるべきである。各かく値ね x_i に、重おもみ w_i がついているときの加重かじゅう平均へいきん（重おもみ付つき平均へいきん）は

${\cfrac {w_{1}x_{1}+\dots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+\dots +w_{n}}}$

と定義ていぎされる。特とくに全すべての重おもみが等ひとしければ、これは通常つうじょうの相加平均そうかへいきんである。

例たとえば、重おもみ付つき最小さいしょう二に乗法じょうほうでは、誤差ごさの小ちいさなデータに大おおきな重おもみを与あたえた残ざん差さの加重かじゅう平均へいきんを最小さいしょう化かすることで、尤ゆう度どの最大さいだい化かを図はかる。重点じゅうてんサンプリングによって期待きたい値ちをモンテカルロ推定すいていするときは、求もとめたい期待きたい値ちに関かんする確かく率りつ密度みつどとサンプルの確かく率りつ密度みつどの比ひを重おもみとした加重かじゅう平均へいきんを推定すいてい量りょうとする。

相乗そうじょう平均へいきんについての重おもみ付つき平均へいきんは

$\left({x_{1}}^{w_{1}}\dotsb {x_{n}}^{w_{n}}\right)^{1/p}$

と定義ていぎされる。ただし $p=\sum _{i=1}^{n}w_{i}$ とする。

連続れんぞく分布ぶんぷの相加平均そうかへいきん

「函数かんすうの平均へいきん」も参照さんしょう

データ x(t) が区間くかん [a, b] で連続れんぞく的てきに分布ぶんぷしているとき、その相加平均そうかへいきんは積分せきぶん

${\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}x(t)\,dt$

と定義ていぎされる。これは離散りさん分布ぶんぷの相加平均そうかへいきんに対たいして、無限むげん個この平均へいきんを算出さんしゅつする操作そうさを極限きょくげんにより表あらわしたものである。

対数たいすう平均へいきん

詳細しょうさいは「対数たいすう平均へいきん」を参照さんしょう

特とくに x(t) が指数しすう関数かんすうである場合ばあい、その相加平均そうかへいきんは端はし点てんでの関数かんすうの値ね x(a), x(b) のみで計算けいさんでき、

${\frac {x(b)-x(a)}{\ln \left(x(b)\right)-\ln \left(x(a)\right)}}$

となる。これは対数たいすう平均へいきんと呼よばれ、対数たいすう平均へいきん温度おんど差さなどの応おう用例ようれいがある。

ベクトルの平均へいきん

相加平均そうかへいきんや加重かじゅう平均へいきんはベクトルの場合ばあいに定義ていぎを拡張かくちょうすることができる。ベクトルの平均へいきんは物理ぶつり学がくにおける質点しつてんの重心じゅうしんと関係かんけいがある。相乗そうじょう平均へいきんや調和ちょうわ平均へいきんは定義ていぎできない。

相加平均そうかへいきん

ベクトル x₁, …, x_n に対たいし、それらの（相あい加か）平均へいきんを

${\frac {{\boldsymbol {x}}_{1}+\dots +{\boldsymbol {x}}_{n}}{n}}$

で定義ていぎする。

n = 3 の場合ばあい、x₁, x₂, x₃ の平均へいきんは各かく点てんが作つくる三角形さんかっけいの重心じゅうしんである。これはベクトルの数かずが n の場合ばあいにも一般いっぱん化かでき、x₁, …, x_n の平均へいきんは各かく点てんが作つくる n単体たんたいの重心じゅうしんである。

加重かじゅう平均へいきん

加重かじゅう平均へいきんも同様どうようにベクトルに拡張かくちょうでき、

${\frac {w_{1}{\boldsymbol {x}}_{1}+\dots +w_{n}{\boldsymbol {x}}_{n}}{w_{1}+\dots +w_{n}}}$

と定義ていぎされる。

m乗の平均へいきん・一般いっぱん化か平均へいきんはスカラー

${\frac {\|{\boldsymbol {x}}_{1}\|^{m}+\dots +\|{\boldsymbol {x}}_{n}\|^{m}}{n}},\quad {\sqrt[{m}]{\frac {\|{\boldsymbol {x}}_{1}\|^{m}+\dots +\|{\boldsymbol {x}}_{n}\|^{m}}{n}}}$

として定義ていぎされる。ただしここで ‖ ・ ‖ は、ベクトルのノルムである。m = 2 の場合ばあい、‖ x ‖² は内積ないせき $\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle$ に一致いっちするので、m = 2 の場合ばあいの m乗の平均へいきんや一般いっぱん化か平均へいきんが特とくに重要じゅうようである。たとえば物理ぶつり学がくでは速はやさの平均へいきん値ち（根ね二に乗じょう平均へいきん速度そくど）として、m = 2 の場合ばあいの一般いっぱん化か平均へいきんを使つかうことがある。

ベクトルの加重かじゅう平均へいきんの概念がいねんには、物理ぶつり的てきな解釈かいしゃくを与あたえることができる。質点しつてん P₁, …, P_n がそれぞれ位置いち x₁, …, x_n にあり、それぞれの質量しつりょうが m₁, …, m_n であるとき、加重かじゅう平均へいきん

${\cfrac {m_{1}{\boldsymbol {x}}_{1}+\dots +m_{n}{\boldsymbol {x}}_{n}}{m_{1}+\dots +m_{n}}}$

は系けいの重心じゅうしんである。

算術さんじゅつ幾何きか平均へいきん

詳細しょうさいは「算術さんじゅつ幾何きか平均へいきん」を参照さんしょう

a₀, b₀ を、a₀ > b₀ を満みたす2つの非負ひふ実数じっすうとする。a₁, a₂, …; b₁, b₂, … を

$a_{i+1}={\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}$

$b_{i+1}={\sqrt {a_{i}b_{i}}}$

により定義ていぎする。このとき、

$\lim _{i\to \infty }a_{i}=\lim _{i\to \infty }b_{i}$

を a₀ と b₀ の算術さんじゅつ幾何きか平均へいきんという。

移動いどう平均へいきん

「移動いどう平均へいきん」を参照さんしょう

系列けいれつデータ を平滑へいかつ化かする手法しゅほうである。画像がぞうや音声おんせい等とう、デジタル信号しんごう処理しょりに留とまらず、テクニカル分析ぶんせきなどの金融きんゆう分野ぶんや、気象きしょう、水みず象ぞうを含ふくむ計測けいそく分野ぶんや等とう、広ひろい技術ぎじゅつ分野ぶんやで使つかわれている。

参考さんこう文献ぶんけん

• 岡田おかだ泰やすし栄さかえ『平均へいきん値ちの統計とうけい』共立きょうりつ出版しゅっぱん<数学すうがくワンポイント双書そうしょ>、1981年ねん。
• 鷲尾わしお泰やすし俊しゅん『推定すいていと検定けんてい』共立きょうりつ出版しゅっぱん<数学すうがくワンポイント双書そうしょ>、1978年ねん。
• 西岡にしおか康夫やすお『数学すうがくチュートリアル やさしく語かたる 確かく率りつ統計とうけい』オおーム社むしゃ、2013年ねん。ISBN 9784274214073。 
• 日本にっぽん数すう学会がっかい『数学すうがく辞典じてん』岩波書店いわなみしょてん、2007年ねん。ISBN 9784000803090。 
• JIS Z 8101-1:1999 統計とうけい − 用語ようごと記号きごう − 第だい1部ぶ:確率かくりつ及および一般いっぱん統計とうけい用語ようご, 日本にっぽん規格きかく協会きょうかい, (1999), http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html 
• 伏見ふしみ康治こうじ『確かく率りつ論及ろんきゅう統計とうけい論ろん』河出かわで書房しょぼう、1942年ねん。ISBN 9784874720127。http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204。 

関連かんれん項目こうもく

• 統計とうけい学がく
  • 要約ようやく統計とうけい量りょう
    • 算術さんじゅつ平均へいきん
    • 中央ちゅうおう値ち (median)
    • 最さい頻しき値ね (mode)
  • 期待きたい値ち
• en:Inequality of arithmetic and geometric means