秩序ちつじょ変数へんすう

秩序ちつじょ変数へんすう（ちつじょへんすう、英えい: order parameter）または秩序ちつじょパラメータ、オーダーパラメータとは、相そうが持もつ秩序ちつじょを表あらわすマクロな変数へんすうのことである。

例たとえば結晶けっしょうでは、原子げんしの並ならび方かたにある一定いっていの秩序ちつじょがある。結晶けっしょうの向むきが異ことなる平衡へいこう状態じょうたいは、エネルギー $U$ 、体積たいせき $V$ 、物質ぶっしつ量りょう $N$ などの値ねが同おなじでも、圧縮あっしゅく率りつなどの方向ほうこう依存いぞん性せいにより区別くべつでき、マクロに見みて異ことなる状態じょうたいになる。つまり異あや方かた性せいがある物質ぶっしつでは、マクロな平衡へいこう状態じょうたいを指定していするには $U,V,N$ だけでは変数へんすうが足たりない。そこで熱ねつ力学りきがくの変数へんすうの組くみの中なかに、この秩序ちつじょの様子ようすを表あらわすようなマクロ変数へんすうの組くみを加くわえておけば、結晶けっしょうの向むきの異ことなる平衡へいこう状態じょうたいを区別くべつする熱ねつ力学りきがくを構成こうせいすることができる^[1] 。

相あい転移てんい現象げんしょうは、秩序ちつじょ変数へんすうの値ねの変化へんかで特徴付とくちょうづけることができる。秩序ちつじょ変数へんすうは温度おんどや圧力あつりょくなどの外的がいてきな変数へんすうの関数かんすうとして振ふる舞まい、例たとえば、温度おんどによる相あい転移てんいの場合ばあいには、転移てんい温度おんど以下いかの低温ていおん相しょう（対称たいしょう性せいの破やぶれた相そう、あるいは秩序ちつじょ相しょう）において、有限ゆうげんの値ねを持もち、高温こうおん相しょう（対称たいしょう性せいを持もつ相そう、あるいは無秩序むちつじょ相しょう）においてゼロとなる。転移てんい温度おんどにおいて、秩序ちつじょ変数へんすうが不連続ふれんぞくに変化へんかする相あい転移てんいが一いち次じ相しょう転移てんい、連続れんぞく的てきに変化へんかする相あい転移てんいが二に次じ相しょう転移てんいである。

秩序ちつじょ変数へんすうの例れい

気体きたい・液体えきたい・固体こたい相しょう転移てんい

物質ぶっしつの状態じょうたいは温度おんどや圧力あつりょくによって変化へんかし、固体こたい・液体えきたい・気体きたいなどの相そうを持もつ。このような異ことなる相そうの間あいだを温度おんどや圧力あつりょくなどの外的がいてきなパラメータによって移うつる現象げんしょうが相あい転移てんいであり、異ことなる相そうを区別くべつする指標しひょうとなる量りょうが秩序ちつじょ変数へんすうである。

気体きたい・液体えきたい相しょう転移てんい

気体きたい・液体えきたい相しょう転移てんいにおける秩序ちつじょ変数へんすうは密度みつどである。例たとえば、臨界りんかい点てん近傍きんぼうでは、気体きたいと液体えきたいの密度みつど差さ $\rho =\rho _{\mathrm {G} }-\rho _{\mathrm {L} }$ を秩序ちつじょ変数へんすうとして選えらべば、臨界りんかい点てんより高温こうおん高だか圧あつの共存きょうぞん相しょう（超ちょう臨界りんかい流体りゅうたい）では気体きたいと液体えきたいの密度みつどは等ひとしくなり、秩序ちつじょ変数へんすうはゼロとなる。一方いっぽう、臨界りんかい温度おんど・臨界りんかい圧力あつりょくより低温ていおん・低圧ていあつ相しょうにおいては気体きたいと液体えきたいの間あいだに密度みつど差さが生しょうじるので、秩序ちつじょ変数へんすうは有限ゆうげんの値ねを持もつ。

液体えきたい・固体こたい相しょう転移てんい

気体きたいや液体えきたいとは異ことなり、固体こたいは結晶けっしょう構造こうぞうを持もつので、液体えきたい・固体こたい相しょう転移てんい、あるいは気体きたい・固体こたい相しょう転移てんいにおいて用もちいられる秩序ちつじょ変数へんすうとして、結晶けっしょうの構造こうぞうを特徴付とくちょうづけるものを用もちいることができる。例たとえば、系けいの粒子りゅうしの密度みつど分布ぶんぷの波数はすうについてのフーリエ変換へんかん

{\begin{aligned}\rho _{\mathbf {k} }&={\frac {1}{N}}\left\langle \int d\mathbf {r} \exp(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} )\right\rangle \\&={\frac {1}{N}}\left\langle \int d\mathbf {r} \exp(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\sum _{i=1}^{N}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\right\rangle \\&={\frac {1}{N}}\left\langle \sum _{i=1}^{N}\exp(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{i})\right\rangle \end{aligned}}

は秩序ちつじょ変数へんすうである。ここでは、全部ぜんぶでN個この粒子りゅうしがあるとし、 $\rho (\mathbf {r} )$ は位置いち $\mathbf {r}$ における粒子りゅうしの密度みつど分布ぶんぷで、これは位置いち $\mathbf {r} _{i}$ に存在そんざいしているi番ばん目めの粒子りゅうしに対応たいおうするデルタ関数かんすうの総和そうわとして表あらわされ、 $\mathbf {k}$ は波数はすう、 $\langle ~\rangle$ は熱ねつ平均へいきんである。このときの波数はすうは、逆ぎゃく格子こうしベクトルを用もちいて表あらわされ、結晶けっしょう構造こうぞうを持もたない液体えきたい相しょうでは逆ぎゃく格子こうしベクトルが存在そんざいせず、秩序ちつじょ変数へんすうがゼロとなるが、結晶けっしょう構造こうぞうを持もち逆ぎゃく格子こうしベクトルが最低さいていでも一ひとつ以上いじょう存在そんざいすれば、秩序ちつじょ変数へんすうが有限ゆうげんの固体こたい相しょうとなる。

磁気じき相しょう転移てんい

磁性じせい体たいの相あい転移てんい（磁気じき相しょう転移てんい、例たとえば強つよ磁性じせいと常つね磁性じせいの相あい転移てんい）における秩序ちつじょ変数へんすうは、磁化じかである。磁化じかは巨視的きょしてきな物理ぶつり量りょうだが、磁性じせい体たいの内部ないぶに存在そんざいする微視的びしてきな電子でんしのスピンから導みちびかれる。スピンは固有こゆうの磁気じきモーメントを持もち、磁化じかは系けい全体ぜんたいの磁気じきモーメントを足たし合あわせたものとして定義ていぎされ、

{\boldsymbol {m}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\mu _{0}\,{\boldsymbol {\sigma }}_{i}

と表あらわされる。ここで、スピンの数かずは全部ぜんぶで $N$ 個こあるとし、 $\mu _{0}$ はスピンの磁気じきモーメントの大おおきさ、 ${\boldsymbol {\sigma }}_{i}$ は $i$ 番ばん目めのスピンベクトルである。

磁性じせい体たいにおいては、スピン同士どうしの相互そうご作用さようにより近ちかくにあるスピンを同おなじ向むきに揃そろえた方ほうがエネルギーが低ひくくなり安定あんていとなる。これにより、系けいが十分じゅうぶんに低温ていおんであれば、外部がいぶ磁場じばをかけずとも、自発じはつ磁化じかが自然しぜんと発生はっせいする。低温ていおん相しょうにおいては、各かくスピンが一様いちような方向ほうこうに揃そろうことで系けいは秩序ちつじょを保たもち、決きまった方向ほうこうを向むいたスピンベクトルを足たし上あげることで系けい全体ぜんたいの磁化じかは一定いっていの値ねとなる。一方いっぽう、転移てんい温度おんど以上いじょうの高温こうおん相しょうにおいては、スピンの向むきは熱ねつ運動うんどうでバラバラになり秩序ちつじょは失うしなわれ、スピンベクトルは互たがいに相殺そうさいし合あうので、磁化じかの値ねはゼロとなる。

また、秩序ちつじょ変数へんすうの値ねは転移てんい温度おんど近傍きんぼうでゼロに近ちかくなっているため、ヘルムホルツの自由じゆうエネルギーを磁化じかのべきで展開てんかいすることで、自由じゆうエネルギーが極小きょくしょう値ちをとるときの秩序ちつじょ変数へんすうの値ねを決定けっていし、相そうの状態じょうたいを判別はんべつできる。これが1937年ねんにレフ・ランダウによって提唱ていしょうされたランダウ理論りろんである。

超ちょう伝導でんどう相しょう転移てんい

ギンツブルグ＝ランダウ理論りろん

超ちょう伝導でんどう相あい転移てんいを巨視的きょしてきに記述きじゅつするギンツブルグ＝ランダウ理論りろん（GL理論りろん）において、秩序ちつじょ変数へんすうは巨視的きょしてき波動はどう関数かんすうと呼よばれる。これは、超ちょう伝導でんどう体たい全体ぜんたいが巨視的きょしてきな量子りょうし状態じょうたいとして振ふる舞まい、ただ一ひとつの波動はどう関数かんすうで記述きじゅつできることに基もとづいている。巨視的きょしてき波動はどう関数かんすうは低温ていおん相しょうで有限ゆうげんの値ねを持もち、高温こうおん相しょうではゼロとなる。

秩序ちつじょ変数へんすうの値ねは転移てんい温度おんど近傍きんぼうでゼロに近ちかくなっているため、GL理論りろんでは、ヘルムホルツの自由じゆうエネルギーを巨視的きょしてき波動はどう関数かんすうのべきで展開てんかいすることで、自由じゆうエネルギーが極小きょくしょう値ちをとるときの秩序ちつじょ変数へんすうの値ねを決定けっていし、相そうの状態じょうたいを判別はんべつできる。

BCS理論りろん

超ちょう伝導でんどう相しょう転移てんいを微視的びしてきに（量子力学りょうしりきがく的てきな電子でんしから）記述きじゅつする理論りろんはBCS理論りろんである。この理論りろんの秩序ちつじょ変数へんすうはクーパー対たい（全ちょん運動うんどう量りょう・全ちょんスピンがゼロとなる電子でんし対たいによるボース＝アインシュタイン凝縮ぎょうしゅく）の消滅しょうめつ演算えんざん子こをBCS波動はどう関数かんすうで挟はさんだ期待きたい値ちである。さらに、この期待きたい値ちに比例ひれいするエネルギーギャップも秩序ちつじょ変数へんすうとして扱あつかうことができ、

\Delta _{\mathbf {k} }=-\sum _{\mathbf {k} ^{\prime }}V_{\mathbf {k} \mathbf {k} ^{\prime }}\left\langle \phi _{\rm {BCS}}|c_{\mathbf {k} ^{\prime }\uparrow }c_{-\mathbf {k} ^{\prime }\downarrow }|\phi _{\rm {BCS}}\right\rangle

と表あらわされる。ここで、 $V_{\mathbf {k} \mathbf {k} ^{\prime }}$ は運動うんどう量りょう $\mathbf {k}$ と $\mathbf {k} ^{\prime }$ を持もつ電子でんし間あいだに働はたらく相互そうご作用さようを決定けっていする係数けいすう、 $c_{\mathbf {k} ^{\prime }\uparrow },\,c_{-\mathbf {k} ^{\prime }\downarrow }$ は運動うんどう量りょう $\mathbf {k} ^{\prime },\,-\mathbf {k} ^{\prime }$ と上向うわむき・下向したむきスピンを持もつ電子でんしの消滅しょうめつ演算えんざん子こである。BCS波動はどう関数かんすうは

\left|\phi _{\rm {BCS}}\right\rangle =\prod _{\mathbf {k} ^{\prime }}(u_{\mathbf {k} ^{\prime }}+v_{\mathbf {k} ^{\prime }}c_{-\mathbf {k} ^{\prime }\downarrow }^{\dagger }c_{\mathbf {k} ^{\prime }\uparrow }^{\dagger })\left|0\right\rangle

と定義ていぎされる。ここで、括弧かっこの中なかの第だい1項こうはクーパー対たいで占有せんゆうされていない真空しんくう状態じょうたい、第だい2項こうはクーパー対たいで占有せんゆうされた状態じょうたいを表あらわし、 $u_{\mathbf {k} ^{\prime }}$ と $v_{\mathbf {k} ^{\prime }}$ は、規格きかく化か条件じょうけん $u_{\mathbf {k} ^{\prime }}^{2}+v_{\mathbf {k} ^{\prime }}^{2}=1$ を満みたす係数けいすうである。

低温ていおん相しょうでは秩序ちつじょ変数へんすうが有限ゆうげんの値ねを持もち、ギャップが開ひらいて超ちょう伝導でんどう状態じょうたいが実現じつげんする。一方いっぽう、転移てんい温度おんど以上いじょうの高温こうおん相しょうでは秩序ちつじょ変数へんすうがゼロとなり、ギャップは消失しょうしつして超ちょう伝導でんどうは壊こわれる。

超ちょう流動りゅうどう相しょう転移てんい

超ちょう流動りゅうどうが実現じつげんする最もっとも代表だいひょう的てきな系けいはヘリウム4のボース＝アインシュタイン凝縮ぎょうしゅく（BE凝縮ぎょうしゅく）である。このときの秩序ちつじょ変数へんすうは、BE凝縮ぎょうしゅくの存在そんざいを示唆しさするような量りょうでなければならない。例たとえば、最低さいていエネルギー状態じょうたいを占有せんゆうするボース粒子りゅうしの数かず

N_{0}=\langle \psi ^{\dagger }\psi \rangle =\langle N|\psi ^{\dagger }|N-1\rangle \langle N-1|\psi |N\rangle

は秩序ちつじょ変数へんすうである。ここで、 $\psi ^{\dagger }$ はボース粒子りゅうしの生成せいせい演算えんざん子こ、 $\psi$ はボース粒子りゅうしの消滅しょうめつ演算えんざん子こである。さらに、この式しきから、ボース粒子りゅうしの消滅しょうめつ演算えんざん子こを $N$ 粒子りゅうしの基底きてい状態じょうたいと $N-1$ 粒子りゅうしの基底きてい状態じょうたいで挟はさんだ行列ぎょうれつ要素ようそ

\Psi =\langle N-1|\psi |N\rangle

を秩序ちつじょ変数へんすうとして選えらぶこともできる。このような秩序ちつじょ変数へんすうはグロス＝ピタエフスキー方程式ほうていしきに従したがう。

液晶えきしょう相しょう転移てんい

液晶えきしょうの一種いっしゅであるネマティック液晶えきしょうにおいては、温度おんどを変化へんかさせることで、ネマティック相しょうと等ひとし方かた相しょうの相あい転移てんいが起おこる。このときの秩序ちつじょ変数へんすうは、配向はいこう秩序ちつじょ度どと呼よばれ、

S=\langle P_{2}(\cos \theta )\rangle ={\frac {1}{2}}\left(3\langle \cos ^{2}\theta \rangle -1\right)

と表あらわされる。ここで、P₂は2次じのルジャンドル多項式たこうしき、θしーたは配向はいこう主軸しゅじく（系けい内ないの液晶えきしょう分子ぶんしの長ちょう軸じくが向むく平均へいきん的てきな配向はいこう）とのなす角かく、 $\langle ~\rangle$ は個々ここの分子ぶんしの平均へいきん値ちである。系けいが十分じゅうぶん低温ていおんで、分子ぶんしの並ならびが揃そろう完全かんぜん配向はいこうであるとき、 $\langle \cos ^{2}\theta \rangle =1$ となり、秩序ちつじょ変数へんすうは1となる。一方いっぽう、転移てんい温度おんど以上いじょうの等ひとし方かた相しょうにおいては、分子ぶんしの配向はいこうは完全かんぜんにランダムになり、 $\langle \cos ^{2}\theta \rangle =1/3$ により、秩序ちつじょ変数へんすうはゼロとなる。

クォーク・ハドロン相しょう転移てんい

陽子ようしや中性子ちゅうせいしのようなハドロンは、クォークやグルーオンのような素粒子そりゅうしから構成こうせいされるが、低温ていおん・低てい密度みつど相しょうにおいてはクォークの閉とじ込こめの機構きこうによって、クォークやグルーオンを独立どくりつに取とり出だすことができなくなっている。しかし、温度おんどや密度みつど（化学かがくポテンシャル）を上あげていき、転移てんい温度おんど・転移てんい密度みつどを超こえると、クォークグルーオンプラズマのようなクォークとグルーオンが独立どくりつな粒子りゅうしとして振ふる舞まう相そうへと相あい転移てんいする。このような相あい転移てんいは、異ことなる2種類しゅるいの秩序ちつじょ変数へんすうを設定せっていすることにより、カイラル相しょう転移てんいと閉とじ込こめ相しょう転移てんいに大別たいべつされる。

カイラル相しょう転移てんいにおける秩序ちつじょ変数へんすうは、クォークと反はんクォークの演算えんざん子こ積せきの真空しんくう期待きたい値ちであるカイラル凝縮ぎょうしゅくである。低温ていおん・低てい密度みつど相しょうにおいてはクォークと反はんクォークが真空しんくう中ちゅうに凝縮ぎょうしゅくすることで秩序ちつじょ変数へんすうは有限ゆうげんの値ねを持もち、カイラル対称たいしょう性せいが破やぶれている。一方いっぽう、高温こうおん相しょうや高密度こうみつど相しょうにおいては、クォークと反はんクォークの凝縮ぎょうしゅくは起おこらず秩序ちつじょ変数へんすうはゼロとなり、カイラル対称たいしょう性せいは回復かいふくする。

有限ゆうげん温度おんど系けいの閉とじ込こめ相しょう転移てんいにおける秩序ちつじょ変数へんすうは、ポリャコフ・ループの真空しんくう期待きたい値ちである。ポリャコフ・ループを秩序ちつじょ変数へんすうとする場合ばあい、低温ていおん相しょうでは秩序ちつじょ変数へんすうがゼロとなるが、高温こうおん相しょうでは秩序ちつじょ変数へんすうは有限ゆうげんの値ねをとる。

電でん弱じゃく相しょう転移てんい

電磁でんじ相互そうご作用さようを媒介ばいかいするゲージ粒子りゅうしである光子こうしは質量しつりょうを持もたないが、弱よわい相互そうご作用さようを媒介ばいかいするウィークボソンは約やく80-90GeVという非常ひじょうに大おおきな質量しつりょうを持もつ。このように、低温ていおん相しょうにおいては電でん弱じゃく対称たいしょう性せいの自発じはつ的てき破やぶれが起おきている。電磁でんじ相互そうご作用さようと弱よわい相互そうご作用さようを統一とういつするワインバーグ＝サラム理論りろんにおいては、ウィークボソンの質量しつりょう生成せいせいはヒッグス機構きこうによって記述きじゅつされる。しかし、温度おんどを上あげていき、ある転移てんい温度おんどを超こえると、ウィークボソンの質量しつりょうがゼロとなる相そうへと転移てんいする。このときの秩序ちつじょ変数へんすうはヒッグス場じょうの真空しんくう期待きたい値ちである。低温ていおん相しょうにおいては、ヒッグス粒子りゅうしが真空しんくう中ちゅうに凝縮ぎょうしゅくすることで秩序ちつじょ変数へんすうは有限ゆうげんの値ねを持もち、ウィークボソンも質量しつりょうを持もつ。一方いっぽう、高温こうおん相しょうにおいては、ヒッグス粒子りゅうしは凝縮ぎょうしゅくせずに秩序ちつじょ変数へんすうはゼロとなるため、これに伴ともないウィークボソンの質量しつりょうもゼロとなり、電でん弱じゃく対称たいしょう性せいが回復かいふくする。

脚注きゃくちゅう

^ 伏見ふしみ康治こうじ「確かく率りつ論及ろんきゅう統計とうけい論ろん」第だいI章あきら　数学すうがく的てき補助ほじょ手段しゅだん 5節せつ結晶けっしょう内ない原子げんし配列はいれつに関かんする秩序ちつじょ無秩序むちつじょの問題もんだい p.39 ISBN 9784874720127 http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204

参考さんこう文献ぶんけん

清水しみず明あきら『熱ねつ力学りきがくの基礎きそ』東大出版会とうだいしゅっぱんかい、2007年ねん。ISBN 978-4-13-062609-5。
伏見ふしみ康治こうじ『確かく率りつ論及ろんきゅう統計とうけい論ろん』河出かわで書房しょぼう、1942年ねん。ISBN 9784874720127。

表ひょう話はなし編へん歴れき物性ぶっせい物理ぶつり学がく
物質ぶっしつの状態じょうたい	固体こたい液体えきたい気体きたいボース＝アインシュタイン凝縮ぎょうしゅくフェルミ凝縮ぎょうしゅくフェルミ気体きたいフェルミ液体えきたい超ちょう固体こたい超ちょう流動りゅうどう朝永あさなが–ラッティンジャー液体えきたい時間じかん結晶けっしょう
相あい現象げんしょう	秩序ちつじょ変数へんすう相あい転移てんい
電子でんし相しょう	バンド構造こうぞう絶縁ぜつえん体たいモット絶縁ぜつえん体たい半導体はんどうたい半はん金属きんぞく電気でんき伝導でんどう体たい超ちょう伝導でんどう熱ねつ電でん効果こうかゼーベック効果こうかペルティエ効果こうかトムソン効果こうか圧あつ電でん効果こうか強つよ誘電ゆうでん体たいスピンギャップレス半導体はんどうたい
電子でんし現象げんしょう	ホール効果こうか量子りょうしホール効果こうかスピンホール効果こうか Berry位相いそうアハラノフ＝ボーム効果こうかジョセフソン効果こうか近藤こんどう効果こうか
磁気じき相しょう	反はん磁性じせい超ちょう反はん磁性じせい常つね磁性じせい超ちょう常つね磁性じせい強つよ磁性じせい反はん強つよし磁性じせいフェリ磁性じせいメタ磁性じせいスピングラス
準じゅん粒子りゅうし	フォノン励起れいき子こプラズモンポラリトンポーラロンマグノン
ソフトマター	アモルファス粉こな粒つぶ体からだ液晶えきしょう重じゅう合体がったい
科学かがく者しゃ	マクスウェルファン・デル・ワールスデバイブロッホオンサーガーモットパイエルスランダウラッティンジャーアンダーソンバーディーンクーパーシュリーファージョゼフソンコーンカダノフマイケル・フィッシャー
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