Batalin-Vilkovisky代数 だいすう （Batalin–Vilkovisky formalism，简称BV代数 だいすう ）是 ぜ 和 わ 在 ざい 研究 けんきゅう 规范场 的 てき 量子 りょうし 化 か 中 ちゅう 的 てき 一 いち 数 すう [ 1] [ 2] 他 た 提出 ていしゅつ 的 てき 量子 りょうし 化 か 方法 ほうほう 称 しょう 或 ある 者 もの 是 ぜ 正 せい 越来 ごえく 越 えつ 多 た 的 てき 量子 りょうし 学 がく 家 か 和 わ 弦 つる 理 り 家 いえ 的 てき 重 じゅう 代 だい 数也 かずや 越来 ごえく 越 えつ 数学 すうがく 家 か 重 じゅう
设
V
{\displaystyle \;V\;}
是 これ 数 かず 域 いき
k
{\displaystyle \;k\;}
上 うえ 的 てき 一 いち 次 じ 线性空 そら 。
V
{\displaystyle \;V\;}
上 うえ 的 てき 一 いち 代数 だいすう 是 ぜ 三 さん 元 げん
(
V
,
∙
,
Δ でるた )
{\displaystyle \;(V,\bullet ,\Delta )\;}
以下 いか
(
V
,
∙
)
{\displaystyle \;(V,\bullet )\;}
是 これ
k
{\displaystyle \;k\;}
上 うえ 的 てき 分 ぶん 次 じ 的 てき 代数 だいすう
Δ でるた
{\displaystyle \;\Delta \;}
是 ぜ
∙
{\displaystyle \;\bullet \;}
的 てき 二 に 分 ぶん 算 さん 子 こ 即 そく
Δ でるた
{\displaystyle \;\Delta \;}
的 てき 度数 どすう
Δ でるた
2
=
0
{\displaystyle \;\Delta ^{2}=0\;}
a
,
b
,
c
∈
V
{\displaystyle \;a,b,c\in V\;}
Δ でるた (
a
∙
b
∙
c
)
=
Δ でるた (
a
∙
b
)
∙
c
+
(
−
1
)
|
a
|
a
∙
Δ でるた (
b
∙
c
)
+
(
−
1
)
(
|
a
|
+
1
)
|
b
|
b
∙
Δ でるた (
a
∙
c
)
−
(
Δ でるた a
)
∙
b
∙
c
−
(
−
1
)
|
a
|
a
∙
(
Δ でるた b
)
∙
c
−
(
−
1
)
|
a
|
+
|
b
|
a
∙
b
∙
(
Δ でるた c
)
.
{\displaystyle \;{\begin{matrix}\Delta (a\bullet b\bullet c)&=&\Delta (a\bullet b)\bullet c+(-1)^{|a|}a\bullet \Delta (b\bullet c)+(-1)^{(|a|+1)|b|}b\bullet \Delta (a\bullet c)\\&&-(\Delta a)\bullet b\bullet c-(-1)^{|a|}a\bullet (\Delta b)\bullet c-(-1)^{|a|+|b|}a\bullet b\bullet (\Delta c).\;\end{matrix}}}
在 ざい 上面 うわつら 的 てき 定 てい 令 れい
[
a
,
b
]
=
(
−
1
)
|
a
|
Δ でるた (
a
∙
b
)
−
(
−
1
)
|
a
|
(
Δ でるた a
)
∙
b
−
a
∙
(
Δ でるた b
)
,
{\displaystyle \;[a,b]=(-1)^{|a|}\Delta (a\bullet b)-(-1)^{|a|}(\Delta a)\bullet b-a\bullet (\Delta b),\;}
则可以验证，
(
V
,
∙
,
[
,
]
)
{\displaystyle \;(V,\bullet ,[\;,\;])\;}
形成 けいせい 一 いち Gerstenhaber代数 だいすう 。因 よし 代数 だいすう 是 ぜ 一 いち 殊 こと 的 てき 代数 だいすう 不 ふ
Δ でるた
{\displaystyle \;\Delta \;}
[
,
]
{\displaystyle \;[\;,\;]\;}
的 てき 导子 (derivation)，即 そく
Δ でるた [
a
,
b
]
=
[
Δ でるた a
,
b
]
+
(
−
1
)
|
a
|
+
1
[
a
,
Δ でるた b
]
,
{\displaystyle \;\Delta [a,b]=[\Delta a,b]+(-1)^{|a|+1}[a,\Delta b],\;}
使 つかい 得 とく
(
V
,
[
,
]
,
Δ でるた )
{\displaystyle \;(V,[\;,\;],\Delta )}
形成 けいせい 一 いち 微分 びぶん 分 ぶん 次 じ 李 り 代数 だいすう
迄 まで 今 こん 所 しょ 的 てき 代数 だいすう 的 てき 例 れい 子 こ 都 と 与 あずか 数学 すうがく 物理 ぶつり 有 ゆう
设
M
{\displaystyle \;M\;}
是 ぜ 一 いち 的 てき 辛 からし 流 りゅう 形 がた
C
∞
(
M
)
{\displaystyle \;C^{\infty }(M)\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
上光 かみみつ 滑 すべり 函数 かんすう 的 てき 集合 しゅうごう 我 わが
C
∞
(
M
)
{\displaystyle \;C^{\infty }(M)\;}
形成 けいせい 乘法 じょうほう
∙
{\displaystyle \;\bullet \;}
(
x
1
,
⋯
,
x
n
;
η いーた
1
,
⋯
,
η いーた
n
)
{\displaystyle \;(x^{1},\cdots ,x^{n};\eta ^{1},\cdots ,\eta ^{n})\;}
M
{\displaystyle \;M\;}
上 うえ 的 てき 一 いち Darboux坐 すわ ，令 れい
Δ でるた =
∑
i
=
1
n
∂
∂
x
i
∂
∂
η いーた
i
,
{\displaystyle \;\Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial \eta ^{i}}},\;}
(
C
∞
(
M
)
,
∙
,
Δ でるた )
{\displaystyle \;(C^{\infty }(M),\bullet ,\Delta )\;}
形成 けいせい 一 いち 代数 だいすう 参 まいり [ 3] [ 4]
田 た 在 ざい 卡拉比 ひ 丘 おか 流 りゅう 形 がた (Calabi-Yau manifold )的 てき 复结构 的 てき 形 かたち 空 そら 光 こう 滑 すべり 的 てき 中 ちゅう 上 じょう 了 りょう 控 ひかえ 制 せい 微分 びぶん 分 ぶん 次 じ 李 り 代数 だいすう 是 ぜ 一 いち 代数 だいすう [ 5] B. Lian和 わ 了 りょう 量子 りょうし 的 てき 数学 すうがく 背景 はいけい 指 ゆび 量子 りょうし 中 ちゅう 抽象 ちゅうしょう 出来 でき 的 てき 代数 だいすう 有 ゆう 一 いち 代数 だいすう [ 6]
E. Getzler用 よう 不同 ふどう 和 わ 的 てき 方法 ほうほう 一 いち 二 に 拓 つぶせ 形 がた 采 さい 用 よう 的 てき 定 てい 的 てき 同 どう 有 ゆう 一 いち 自然 しぜん 的 てき 代数 だいすう [ 7]
M. Chas和 わ 一 いち 形 がた 的 てき 自由 じゆう 空 そら 的 てき 同 どう 上 じょう 有 ゆう 一 いち 代数 だいすう [ 8]
正 せい 如上 じょじょう 面 めん 所 しょ 述 じゅつ 代数 だいすう 量子 りょうし 有 ゆう 密 みつ 切 きり 的 てき 事 こと 代数 だいすう 一 いち 元素 げんそ
S
{\displaystyle \;S\;}
元素 げんそ 以下 いか 方 かた 程 ほど
Δ でるた
e
S
=
0
(
{\displaystyle \;\Delta e^{S}=0\quad {\Big (}\;}
等 とう 价于
Δ でるた S
+
1
2
[
S
,
S
]
=
0
)
,
{\displaystyle \;\Delta S+{\frac {1}{2}}[S,S]=0{\Big )},\;}
称 しょう Master方 かた 程 ほど ，有 ゆう
S
{\displaystyle \;S\;}
所 しょ 量子 りょうし 方 かた 程 ほど 即 そく
Δ でるた
e
S
ℏ
=
0.
{\displaystyle \;\Delta e^{\frac {S}{\hbar }}=0.\;}
另外，BV代数 だいすう 理 り 面 めん 的 てき 镜像对称 (Mirror Symmetry )也有 やゆう 密 みつ 切 きり 的 てき 事 こと 的 てき A模型 もけい 和 わ B模型 もけい 都 みやこ 有一 ゆういち 代数 だいすう 方 かた 程 ほど 的 てき 解 かい 空 そら 都 と 有 ゆう 一 いち 弗 どる 尼 あま 流 りゅう 形 がた 的 てき 的 てき 流 りゅう 形 がた 是 ぜ 同 どう
BV代数 だいすう 的 てき 研究 けんきゅう 是 ぜ 目前 もくぜん 数学 すうがく 特 とく 数学 すうがく 物理 ぶつり 中 ちゅう 研究 けんきゅう 之 の 中 なか
^ I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Gauge algebra and quantization. Phys. Lett. B 102 (1981), no. 1, 27-31.
^ I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Quantization of gauge theories with linearly dependent generators. Phys. Rev. D (3) 28 (1983), no. 10, 2567-2582.
^ A. Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization, arxiv: hep-th/9205088
^ D. Fiorenza, An introduction to the Batalin-Vilkovisky formalism, arxiv: math.QA/0402057
^ G. Tian, Smoothness of the universal deformation space of compact Calabi-Yau manifolds and its Petersson-Weil metric. Mathematical aspects of string theory (San Diego, Calif., 1986), 629-646, Adv. Ser. Math. Phys., 1, World Sci. Publishing, Singapore, 1987.
^ B. Lian and G. Zuckerman, New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.
^ E. Getzler, Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories. Comm. Math. Phys. 159 (1994), no. 2, 265-285.
^ M. Chas and D. Sullivan, String topology, arxiv: math-GT/9911159.
基本 きほん 背景 はいけい 理論 りろん 微 ほろ 理 り 非 ひ 微 ほろ 果 はて 现象学 がく 数学 すうがく 方法 ほうほう 几何 规范场论 超 ちょう 理 り
![{\displaystyle \;[a,b]=(-1)^{|a|}\Delta (a\bullet b)-(-1)^{|a|}(\Delta a)\bullet b-a\bullet (\Delta b),\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a008ac9e63646663359ede0c49aec29511f5f3)
![{\displaystyle \;(V,\bullet ,[\;,\;])\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a023e66b59cb483053852610470a73b1abe40f2)
![{\displaystyle \;[\;,\;]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea36d9f95bbf948101a8e3d1dae0123ebaf325a)
![{\displaystyle \;\Delta [a,b]=[\Delta a,b]+(-1)^{|a|+1}[a,\Delta b],\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781d60e67d8a462ce5dd29cfbbd97a5063f3c1b3)
![{\displaystyle \;(V,[\;,\;],\Delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672018829b98d169baa5d166efb534b1afb38733)
![{\displaystyle \;\Delta S+{\frac {1}{2}}[S,S]=0{\Big )},\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa223776499844e100f697abf0917218f4bc7b90)
