巴ともえ塔とう林りん-维尔可か维斯基もと代数だいすう

Batalin-Vilkovisky代数だいすう（Batalin–Vilkovisky formalism，简称BV代数だいすう）是ぜBatalin和わVilkovisky在ざい研究けんきゅう规范场的てき量子りょうし化か过程中ちゅう发现的てき一いち种代数すう结构。他た们所提出ていしゅつ的てき量子りょうし化か方法ほうほう（称しょう为BV formailism或ある者ものBV quantization），是ぜ一种十分普遍而且有效的量子化方法，正せい受到越来ごえく越えつ多た的てき量子りょうし场论学がく家か和わ弦つる理り论家いえ的てき重じゅう视和应用，而BV代だい数也かずや越来ごえく越えつ受到数学すうがく家か们的重じゅう视。

定てい义

设$\;V\;$是これ数かず域いき$\;k\;$上うえ的てき一いち个分次じ(graded)线性空そら间。$\;V\;$上うえ的てき一いち个BV代数だいすう结构是ぜ三さん元げん组$\;(V,\bullet ,\Delta )\;$，满足以下いか两个关系：

1. $\;(V,\bullet )\;$是これ$\;k\;$上うえ的てき分ぶん次じ、交换、结合的てき代数だいすう(algebra)；
2. $\;\Delta \;$是ぜ关于$\;\bullet \;$的てき二に阶微分ぶん算さん子こ，即そく$\;\Delta \;$的てき度数どすう为1，$\;\Delta ^{2}=0\;$，并且对任给的$\;a,b,c\in V\;$,

$\;{\begin{matrix}\Delta (a\bullet b\bullet c)&=&\Delta (a\bullet b)\bullet c+(-1)^{|a|}a\bullet \Delta (b\bullet c)+(-1)^{(|a|+1)|b|}b\bullet \Delta (a\bullet c)\\&&-(\Delta a)\bullet b\bullet c-(-1)^{|a|}a\bullet (\Delta b)\bullet c-(-1)^{|a|+|b|}a\bullet b\bullet (\Delta c).\;\end{matrix}}$

在ざい上面うわつら的てき定てい义中，如果令れい

$\;[a,b]=(-1)^{|a|}\Delta (a\bullet b)-(-1)^{|a|}(\Delta a)\bullet b-a\bullet (\Delta b),\;$

则可以验证，$\;(V,\bullet ,[\;,\;])\;$形成けいせい一いち个Gerstenhaber代数だいすう。因よし此可以说，BV代数だいすう是ぜ一いち类特殊こと的てきGerstenhaber代数だいすう。不ふ仅如此，$\;\Delta \;$还是关于$\;[\;,\;]\;$的てき导子(derivation)，即そく

$\;\Delta [a,b]=[\Delta a,b]+(-1)^{|a|+1}[a,\Delta b],\;$

使つかい得とく$\;(V,[\;,\;],\Delta )$形成けいせい一いち个微分びぶん分ぶん次じ李り代数だいすう(differential graded Lie algebra, DGLA)。

例れい子こ

迄まで今こん为止所しょ发现的てきBV代数だいすう的てき例れい子こ几乎都と与あずか数学すうがく物理ぶつり有ゆう关。

1. 设$\;M\;$是ぜ一いち个奇的てき辛からし流りゅう形がた(odd symplectic manifold)，记$\;C^{\infty }(M)\;$为$\;M\;$上光かみみつ滑すべり函数かんすう组成的てき集合しゅうごう。我わが们有$\;C^{\infty }(M)\;$形成けいせい一个分次交换结合的代数，记其乘法じょうほう为$\;\bullet \;$。设$\;(x^{1},\cdots ,x^{n};\eta ^{1},\cdots ,\eta ^{n})\;$为$\;M\;$上うえ的てき一いち组Darboux坐すわ标，令れい
   $\;\Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial \eta ^{i}}},\;$
   则可以验证，$\;(C^{\infty }(M),\bullet ,\Delta )\;$形成けいせい一いち个BV代数だいすう，参まいり见；
2. 田た刚(G. Tian)在ざい关于卡拉比ひ-丘おか流りゅう形がた(Calabi-Yau manifold)的てき复结构的てき形かたち变空そら间是光こう滑すべり的てき证明中ちゅう，实际上じょう证明了りょう控ひかえ制せい复结构形变的微分びぶん分ぶん次じ李り代数だいすう是ぜ一いち个BV代数だいすう；
3. B. Lian和わG. Zuckerman证明了りょう量子りょうし场论的てき数学すうがく背景はいけい(background，指ゆび从量子りょうし场论中ちゅう抽象ちゅうしょう出来でき的てき代数だいすう结构)有ゆう一いち个BV代数だいすう结构；
4. E. Getzler用よう不同ふどう于Lian和わZuckerman的てき方法ほうほう证明，一いち个二に维拓つぶせ扑共形がた场论(TCFT，此处采さい用ようSegal的てき定てい义)的てき同どう调群有ゆう一いち个自然しぜん的てきBV代数だいすう结构；
5. M. Chas和わD. Sullivan证明，一いち个流形がた的てき自由じゆう环路空そら间(free loop space)的てき同どう调群上じょう有ゆう一いち个BV代数だいすう结构。

背景はいけい

正せい如上じょじょう面めん所しょ述じゅつ，BV代数だいすう跟量子りょうし场论有ゆう密みつ切きり的てき联系。事こと实上，对一些数学物理学家来说，一个量子场论就指一个BV代数だいすう以及其中一いち个元素げんそ$\;S\;$，该元素げんそ满足以下いか方かた程ほど：

$\;\Delta e^{S}=0\quad {\Big (}\;$等とう价于$\;\Delta S+{\frac {1}{2}}[S,S]=0{\Big )},\;$

称しょう为Master方かた程ほど，有ゆう时候$\;S\;$必须满足所しょ谓的量子りょうしMaster方かた程ほど，即そく

$\;\Delta e^{\frac {S}{\hbar }}=0.\;$

另外，BV代数だいすう跟弦理り论里面めん的てき镜像对称(Mirror Symmetry)也有やゆう密みつ切きり的てき关系。事こと实上，镜像对称的てきA模型もけい和わB模型もけい都みやこ有一ゆういち个BV代数だいすう，而它们相应的Master方かた程ほど的てき解かい空そら间上都と有ゆう一いち个所谓弗どる罗贝尼あま乌斯流りゅう形がた的てき结构。镜像对称的てき一种表述就是，这两个Frobenius流りゅう形がた是ぜ同どう构的。

BV代数だいすう的てき研究けんきゅう是ぜ目前もくぜん数学すうがく特とく别是数学すうがく物理ぶつり中ちゅう一个比较活跃的领域，关于它的研究けんきゅう仍在进行之の中なか。