電でん容よう

  此条目め页的主題しゅだい是ぜ物理ぶつり量りょう。关于電路でんろ元もと件けん，請見「电容器き」。

感受かんじゅ到いた電でん容器ようき兩りょう端はし的てき電位差でんいさ，正せい電荷でんか與あずか負ふ電荷でんか會かい分別ふんべつ累積るいせき於兩片へん平行へいこう薄板うすいた導體どうたい。

在ざい電路でんろ學がく裡うら，給きゅう定じょう電壓でんあつ，電でん容器ようき儲もうか存そん電荷でんか的てき能力のうりょく，稱たたえ為ため電でん容よう（英語えいご：capacitance），標記ひょうき為ためC。採用さいよう國際こくさい單位たんい制せい，電でん容よう的てき單位たんい是ぜ法ほう拉ひしげ（farad），標記ひょうき為ためF。

平行へいこう板ばん電でん容器ようき是ぜ一いち種しゅ簡單かんたん的てき電でん容器ようき，是ぜ由よし互相平行へいこう、以空間あいだ或ある介かい電でん質しつ隔離かくり的てき兩りょう片かた薄板うすいた導體どうたい構成こうせい。假設かせつ這兩片へん導しるべ板ばん分別ふんべつ載の有ゆう負まけ電荷でんか與あずか正せい電荷でんか，所載しょさい有ゆう的てき電荷でんか量りょう分別ふんべつ為ため$-Q\,\!$、$+Q\,\!$，兩りょう片かた導しるべ板ばん之の間あいだ的てき電位差でんいさ為ため$V$，則のり這電容器ようき的てき電でん容よう$C$為ため

$C={\frac {Q}{V}}$。

由よし上うえ式しき知ち1法ぽう拉ひしげ（Farad）等とう於1庫くら侖（Coulomb）每ごと伏ふく特とく（Voltage）。在ざい正常せいじょう狀況じょうきょう下か1法ぽう拉ひしげ的てき電でん容よう多た加か1伏ふく特とく的てき電位差でんいさ可か以多儲もうか存そん1庫こ侖的電荷でんか。

電でん容器ようき所しょ儲もうか存そん的てき能のう量りょう等とう於充電じゅうでん所しょ做的功こう。思考しこう前述ぜんじゅつ平行へいこう板いた電でん容器ようき，搬移微小びしょう電荷でんか元素げんそ$\mathrm {d} q$從したがえ帶たい負まけ電でん薄板うすいた到いた帶おび正せい電でん薄板うすいた，每まい對抗たいこう1伏ふく特とく的てき電位差でんいさ，需要じゅよう做功$\mathrm {d} W$：

$\mathrm {d} W={\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q$。

將はた這方程式ほうていしき積分せきぶん，可か以得到いた儲もうか存そん於電容器ようき的てき能のう量りょう。從したがえ尚なお未み充電じゅうでん的てき電でん容器ようき（$q=0$）開始かいし，搬移電荷でんか從したがえ帶たい負まけ電でん薄板うすいた到いた帶おび正せい電でん薄板うすいた，直ちょく到いた這兩片かた薄板うすいた分別ふんべつ擁よう有ゆう電荷でんか量りょう$-Q$、$+Q$，所しょ需要じゅよう做的功こう$W$為ため

$W_{\text{charging}}=\int _{0}^{Q}{\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q={\frac {Q^{2}}{2C}}={\frac {1}{2}}CV^{2}=U_{\text{stored}}$；

其中，$U_{\text{stored}}$是ぜ儲もうか存そん的てき能のう量りょう。

单位

主しゅ条目じょうもく：法ほう拉ひしげ

电容的てき单位是ぜ法ほう拉ひしげ，简称“法ほう”，单位符号ふごう为“F”，是ぜ国くに际单位い制せい导出单位。與あずか其他物理ぶつり量的りょうてき關係かんけい：一法いっぽう拉ひしげ等とう於一庫くら侖除じょ以一伏ふく特とく。一般いっぱん來らい說せつ，1法ぽう拉ひしげ算さん是ぜ很大的てき電でん容よう，大だい多數たすう用よう於電子でんし電路でんろ的まと電でん容器ようき，其電容よう會かい小しょう於法拉ひしげ幾いく個こ數量すうりょう級きゅう，常用じょうよう的てき單位たんい有ゆう「微ほろ法ほう拉ひしげ」（microfarad，μみゅーF），等とう於$10^{-6}$法ほう拉ひしげ；以及「纳法拉ひしげ」（nanofarad，nF），等とう於$10^{-9}$法ほう拉ひしげ。在ざい微ほろ波なみ工程こうてい領域りょういき中ちゅう，有ゆう時じ會かい使用しよう到いた較小的てき「皮かわ法ほう拉ひしげ」（picofarad，pF），等とう於$10^{-12}$法ほう拉ひしげ；甚至更さら小しょう的てき「飛ひ法ほう拉ひしげ」（femtofarad，fF），等とう於$10^{-15}$法ほう拉ひしげ。

$1F=10^{6}\mu F=10^{9}nF=10^{12}pF=10^{15}fF.$

電でん容器ようき

主しゅ条目じょうもく：電でん容器ようき

假設かせつ，給きゅう定じょう電でん容器ようき的てき幾何きか形狀けいじょう和わ電でん容器ようき內部的てき介かい質しつ性質せいしつ，則のり可か以計算出さんしゅつ電でん容よう。如前圖ず所しょ示しめせ，假設かせつ平行へいこう板いた電でん容器ようき的てき兩りょう片かた導しるべ板いた的てき面積めんせき都と是ぜ$A$，間隔かんかく距離きょり為ため$d$，則のり兩りょう片かた導しるべ板いた的てき面めん電荷でんか密度みつど分別ふんべつ為ため$-\sigma$、$+\sigma$：

$\sigma =Q/A$。

應用おうよう高こう斯定律ていりつ（詳しょう盡つき細ぼそ節ふし，請參閱條目め電位でんい移うつり），在ざい兩りょう片かた導しるべ板ばん之の間あいだ的てき電場でんじょう$E$為ため

$E=\sigma /\varepsilon =Q/\varepsilon A$；

其中，$\varepsilon$是ぜ介かい質しつ的てき電でん容よう率りつ。

兩りょう片かた導しるべ板いた的てき電位差でんいさ為ため

$V=Ed=\sigma d/\varepsilon =Qd/\varepsilon A$。

所以ゆえん，電でん容よう為ため

$C=Q/V=\varepsilon A/d$。

電でん容よう與あずか導しるべ板ばん面積めんせきA成なり正せい比ひ，與あずか導しるべ板ばん間隔かんかく距離きょりd呈てい反はん比ひ，這是在ざい假設かせつ平板へいばん電でん容器ようき的てき面積めんせきA相當そうとう大だい的てき情況じょうきょう下か，可か以忽略りゃく電でん容器ようき邊べ緣えん的てき效こう應おう。假設かせつ間隔かんかく距離きょり$d$遠とお小しょう於導板いた的てき長ちょう度ど與あずか寬ひろし度ど，則のり上述じょうじゅつ方程式ほうていしき乃優良ゆうりょう近似きんじ；在ざい電でん容器ようき內大部分ぶぶん區域くいき的てき電場でんじょう是ぜ均ひとし勻的；在ざい電でん容器ようき周圍しゅうい的てき邊あたり緣えん電場でんじょう只ただ給きゅう出で很小貢獻こうけん，可か以被忽ゆるがせ略りゃく。

電壓でんあつ依賴いらい性せい電でん容器ようき

鐵てつ電でん性せい物質ぶっしつ的てき電極でんきょく化か強度きょうど$P$對たい電場でんじょう$E$的てき曲線きょくせん顯示けんじ出で遲滯ちたい現象げんしょう。

許多きょた常用じょうよう的てき電でん介かい質しつ，其電でん容よう率りつ會かい隨ずい著ちょ外がい電場でんじょう的てき變化へんか而改變かいへん，是ぜ外がい電場でんじょう的てき函數かんすう。鐵てつ電でん性せい物質ぶっしつ就是這種電でん介かい質しつ。使用しよう這種電でん介かい質的しつてき電でん容器ようき，其電容よう會かい比較ひかく複雜ふくざつ。例れい如，當とう這種電でん容器ようき在ざい充電じゅうでん時じ，電荷でんか與あずか電壓でんあつ（電位差でんいさ）的てき關係かんけい為ため

$\mathrm {d} Q=C(V)\ \mathrm {d} V$。

在ざい上述じょうじゅつ方程式ほうていしき裏うら，電でん容よう對たい於電壓あつ的てき依賴いらい性せい$C(V)$，是ぜ因いん為ため電場でんじょう產さん生せい的てき。一個平行板電容器的電場為

$E=V/d$。

這電場じょう將しょう電でん介かい質しつ電極でんきょく化か，從したがえ而增加ぞうか導しるべ板ばん儲もうか存そん電荷でんか的てき能力のうりょく。如右圖ず所しょ示しめせ，對たい於鐵電でん性せい物質ぶっしつ，電極でんきょく化か強度きょうど對たい電場でんじょう曲線きょくせん顯示けんじ出で遲滯ちたい現象げんしょう。這是一いち個こ非ひ線せん性せい關係かんけい。

假設かせつ電極でんきょく化か強度きょうど$P$與あずか電場でんじょう、電壓でんあつ的てき關係かんけい為ため

$P=f(E)=f(V/d)=g(V)$；

其中，$f(E)$、$g(V)$分別ふんべつ為ため良りょう態たい函數かんすう（well-behaved function）。

根據こんきょ電位でんい移うつり$D$的てき定義ていぎ，

$D=P+\epsilon _{0}E=g(V)+\epsilon _{0}V/d$。

應用おうよう自由じゆう電荷でんか高だか斯定律ていりつ，導しるべ板ばん載の有ゆう的てき電荷でんか量りょう為ため

$Q=DA=(g(V)+\epsilon _{0}V/d)A$。

所以ゆえん，電でん容よう為ため

$C(V)={\frac {Q}{V}}={\frac {g(V)A}{V}}+{\frac {\epsilon _{0}A}{d}}$。

假設かせつ$g(V)$是ぜ線せん性せい函數かんすう，$g(V)=kV$，$k$是ぜ常數じょうすう，則のり電でん容よう與あずか電壓でんあつ無關むせき：

$C={\frac {Q}{V}}=kA+{\frac {\epsilon _{0}A}{d}}$。

否いや則のり，假設かせつ$g(V)$是非ぜひ線せん性せい函數かんすう，則のり電でん容よう與あずか電壓でんあつ成なり非ひ線せん性せい關係かんけい。

繼續けいぞく思考しこう這跟電壓でんあつ有ゆう關せき的てき電でん容よう，假かり若わか將しょう電でん容器ようき充電じゅうでん至いたり電壓でんあつ$V$，則のり電でん容器ようき的てき兩りょう片かた導しるべ板いた會かい分別ふんべつ帶たい有ゆう電でん量りょう$+Q$、$-Q$：

$Q=\int _{0}^{V}C(V')\ \mathrm {d} V'$。

當とう電でん容よう與あずか電壓でんあつ無關むせき時じ，這方程式ほうていしき變へん為ため$Q=CV$。

儲もうか存そん於電でん容器ようき的てき微分びぶん能のう量りょう為ため

$\mathrm {d} U_{\text{stored}}=Q\mathrm {d} V''=\left[\int _{0}^{V''}\ C(V')\ \mathrm {d} V'\right]\mathrm {d} V''$。

應用おうよう分部わけべ積分せきぶん法ほう：

$\int _{a}^{z}f(x)g'(x)\ \mathrm {d} x=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{z}-\int _{a}^{z}f'(x)g(x)\ \mathrm {d} x$，

分別ふんべつ設定せってい$f(x)=\int _{a}^{x}\ h(y)\ \mathrm {d} y$、$g(x)=x$，帶おび入にゅう上述じょうじゅつ方程式ほうていしき，則のり可か得え到いた

$\int _{a}^{z}\int _{a}^{x}\ h(y)\ \mathrm {d} y\ \mathrm {d} x=\left[\int _{a}^{x}\ xh(y)\ \mathrm {d} y\right]_{a}^{z}-\int _{a}^{z}xh(x)\ \mathrm {d} x=\int _{a}^{z}zh(y)\ \mathrm {d} y-\int _{a}^{z}yh(y)\ \mathrm {d} y=\int _{a}^{z}\ \left(z-y\right)h(y)\ \mathrm {d} y$。

設定せってい$x=V''$、$y=V'$、$h(y)=C(V')$、$a=0$、$z=V$，則のり可か計けい算出さんしゅつ儲もうか存そん於電容器ようき的てき能のう量りょう：

$U_{\text{stored}}=\int _{0}^{V}\ \left[\int _{0}^{V''}\ C(V')\ \mathrm {d} V'\right]\mathrm {d} V''=\int _{0}^{V}\ \left(V-V'\right)C(V')\ \mathrm {d} V'$。

掃描非ひ線せん性せい介かい質しつ顯微鏡けんびきょう（scanning nonlinear dielectric microscope）的てき探さがせ針はり掃描於鐵電でん性せい物質ぶっしつ表面ひょうめん所しょ測量そくりょう到いた的てき非ひ線せん性せい電でん容よう，可か以用來らい研究けんきゅう鐵てつ電でん性せい物質ぶっしつ的てき鐵てつ電でん疇（ferroelectric domain）結構けっこう。

有ゆう些半導體はんどうたい元もと件けん的まと電でん容よう可か以用電壓でんあつ控ひかえ制せい。例れい如，當とう變容へんよう二に極きょく體たい的てき逆ぎゃく向こう偏へん壓あつ增加ぞうか時じ，空そら乏とぼし層そう厚あつ度たび也會增加ぞうか，因いん而使得とく電でん容よう降くだ低ひく。

頻しき率りつ依賴いらい性せい電でん容器ようき

假かり若わか電でん容器ようき兩端りょうたん驅動くどう的てき含時電壓でんあつ變化へんか太ふと快かい，則のり電でん介かい質しつ的てき電極でんきょく化か強度きょうど可能かのう會かい無法むほう跟上訊號。從したがえ微ほろ觀かん層そう次じ解釋かいしゃく這機制せい，在ざい電でん介かい質しつ內部，決定けってい電でん容よう率りつ的てき微小びしょう電でん偶極子こ無法むほう瞬時しゅんじ地ち移動いどう，因いん此，當とう施ほどこせ加か的てき交流こうりゅう電壓でんあつ的てき頻しき率りつ增加ぞうか時じ，電でん偶極子こ只ただ能のう給きゅう出で有限ゆうげん的てき響ひびき應おう，從したがえ而造成ぞうせい電でん容よう率りつ降くだ低てい。電でん容よう率りつ與あずか頻しき率りつ的てき關係かんけい稱たたえ為ため介かい電でん色しょく散ち（dielectric dispersion），是ぜ由ゆかり介かい電でん弛たゆ豫よ（dielectric relaxation）過程かてい所しょ主おも控ひかえ，像ぞう德とく拜はい弛たゆ豫よ（Debye relaxation）。從したがえ更さら基本きほん的てき微ほろ觀かん分析ぶんせき來らい計算けいさん，例れい如對於介質しつ內的電でん偶極子こ行為こうい的てき微ほろ觀かん分析ぶんせき，處しょ於暫態たい狀況じょうきょう，電位でんい移うつり場じょう可か以表達たち為ため（更さら詳しょう盡つき細ぼそ節ふし，請參閱電極でんきょく化か率りつ）

${\boldsymbol {D}}(t)={\frac {\varepsilon _{0}}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{t}\mathrm {d} t'\ \varepsilon _{r}(t-t'){\boldsymbol {E}}(t')$；

其中，$\varepsilon _{0}$是これ電でん常數じょうすう，$\varepsilon _{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ \varepsilon /\varepsilon _{0}$是これ相對そうたい電でん容よう率りつ。

相對そうたい電でん容よう率りつ的てき時間じかん依賴いらい可か以用線せん性せい響ひびき應おう函數かんすう（linear response function）來らい描述。上述じょうじゅつ方程式ほうていしき顯示けんじ出で相對そうたい電でん容よう率りつ的てき時間じかん依賴いらい所產しょさん生せい的てき滯とどこお後のち響ひびき應おう。這積分せきぶん式しき的てき積分せきぶん域いき從したがえ整せい個こ過去かこ歷史れきし一いち直ちょく延伸えんしん至いたり現時げんじ。假設かせつ每ごと當とう$\Delta t<0\,\!$時とき，$\varepsilon _{r}(\Delta t)=0\,\!$，則のり這積分ぶん的てき上限じょうげん可か以延伸えんしん至いたり無窮むきゅう大だい：

${\boldsymbol {D}}(t)={\frac {\varepsilon _{0}}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} t'\ \varepsilon _{r}(t-t'){\boldsymbol {E}}(t')$。

對たい於時間あいだ做傅でん立葉たてば變換へんかん，根據こんきょ摺すり積せき定理ていり，可か以得到いた

${\boldsymbol {D}}(\omega )=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}(\omega ){\boldsymbol {E}}(\omega )$；

其中，$\omega$是これ角かく頻しき率りつ。

$\varepsilon _{r}(\omega )$是これ複ふく函數かんすう，其虛值部分與ぶんよ介かい質しつ的てき電場でんじょう能のう量りょう吸收きゅうしゅう有ゆう關せき。更さら詳しょう盡つき細ぼそ節ふし，請參閱條目め電でん容よう率りつ。由よし於電容よう與あずか電でん容よう率りつ成なり正せい比ひ，電でん容よう也具有ぐゆう這頻率りつ行為こうい。對たい於時間あいだ做傅立葉たてば變換へんかん於高斯定律ていりつ：

$Q(\omega )=\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {D} (\mathbf {r} ,\omega )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a}$；

其中，$\mathbb {S}$是ぜ閉曲面めん，$Q$是ぜ在ざい$\mathbb {S}$內的自由じゆう電荷でんか量りょう，$\mathbf {r}$是ぜ場じょう位置いち，$\mathrm {d} \mathbf {a}$是ぜ微小びしょう面めん元素げんそ。

流入りゅうにゅう閉曲面めん$\mathbb {S}$的てき電流でんりゅう$I(t)={\frac {dQ}{dt}}$，變換へんかん至いたり角かく頻しき率りつ空間くうかん為ため

${\begin{aligned}I(\omega )&=j\omega Q(\omega )=j\omega \oint _{\mathbb {S} }\mathbf {D} (\mathbf {r} ,\omega )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} \\&=\left[G(\omega )+j\omega C(\omega )\right]V(\omega )={\frac {V(\omega )}{Z(\omega )}}\\\end{aligned}}$；

其中，$j$是これ虛數きょすう單位たんい，$G(\omega )$、$C(\omega )$、$V(\omega )$、$Z(\omega )$、分別ふんべつ是ぜ角かく頻しき率りつ空間くうかん的てき電導でんどう、電でん容よう、電壓でんあつ、複ふく值阻抗。

假設かせつ平行へいこう板いた電でん容器ようき的てき兩りょう片かた導しるべ板ばん之の間あいだ填はま滿了まんりょう電でん介かい質しつ，按照下か述じゅつ關係かんけい式しき，電でん介かい質しつ的てき性質せいしつ可か以測量そくりょう出來でき：

$\varepsilon _{r}(\omega )=\varepsilon _{r}'(\omega )-j\varepsilon _{r}''(\omega )={\frac {1}{j\omega Z(\omega )C_{0}}}={\frac {C(\omega )}{C_{0}}}$；

其中，$\varepsilon _{r}'(\omega )$是ぜ實じつ值部分ぶぶん，$\varepsilon _{r}''(\omega )$是ぜ虛きょ值部分ぶぶん，$C(\omega )$是ぜ填はま滿まん電でん介かい質しつ時じ的てき複ふく值電容よう，$C_{0}$是ぜ沒ぼつ有ゆう電でん介かい質しつ時じ的てき電でん容よう（即そく平行へいこう板いた電でん容器ようき的てき兩りょう片かた導しるべ板ばん之の間あいだ是ぜ自由じゆう空間くうかん時どき的てき電でん容よう）。

深ふか能のう級きゅう暫態譜ふ學がく（deep-level transient spectroscopy）利用りよう電でん容よう的てき時間じかん響ひびき應おう來らい研究けんきゅう半導體はんどうたい的てき深ふか能のう級きゅう缺陷けっかん。按照能のう級きゅう在ざい半導體はんどうたい能のう隙すき的てき位置いち，缺陷けっかん分類ぶんるい為ため淺あさ能のう級きゅう缺陷けっかん和深わぶか能のう級きゅう缺陷けっかん。淺あさ能のう級きゅう缺陷けっかん的てき能のう級きゅう離はなれ導しるべ帶たい或ある價あたい帶たい的てき能のう帶たい邊あたり緣えん比較ひかく近ちか，在ざい0.1eV以內，處しょ於這能のう級きゅう的てき電子でんし或ある電でん洞ほら很容易ようい因いん熱ねつ運動うんどう而變成へんせい自由じゆう電子でんし或ある自由じゆう電でん洞ほら；一般いっぱん而言，深ふか能のう級きゅう缺陷けっかん離はなれ能のう帶たい邊あたり緣えん比較ひかく遠とお，超過ちょうか0.1eV。但ただし也有やゆう些物質ぶっしつ的てき深ふか能のう級きゅう缺陷けっかん離はなれ能のう帶たい邊あたり緣えん雖然只ただ有ゆう0.001eV，仍舊能のう夠顯示けんじ出で深ふか能のう級きゅう缺陷けっかん的てき通常つうじょう性質せいしつ。

金屬きんぞく氧化物ぶつ半導體はんどうたい電でん容器ようき（MOS capacitor）是ぜ另一個電容與頻率有關的例子。對たい於這案あん例れい，少數しょうすう載の流りゅう子こ的てき緩慢かんまん生成せいせい意味いみ著ちょ在高ありだか頻しき率りつ狀況じょうきょう，只ただ有ゆう多數たすう載の流りゅう子こ的てき響ひびき應おう能のう夠貢獻こうけん出で電でん容よう，而在低てい頻しき率りつ狀況じょうきょう，兩りょう種たね載の流りゅう子こ的てき響ひびき應おう都と能のう夠貢獻こうけん出で電でん容よう。

當とう頻しき率りつ為ため光學こうがく頻しき率りつ時じ，半導體はんどうたい的まと電でん容よう會かい展示てんじ出で類似るいじ固體こたい的てき能のう帶たい結構けっこう。精密せいみつ的てき調しらべ制せい光こう譜ふ學がく（modulation spectroscopy）測量そくりょう方法ほうほう，使用しよう壓力あつりょく或ある其它種しゅ應力おうりょく來らい調しらべ制せい晶あきら體たい結構けっこう，然しか後こう觀測かんそく光波こうは的てき吸收きゅうしゅう或ある反射はんしゃ的てき相關そうかん變化へんか。這方法ほう貢獻こうけん出で很多關せき於這些物質ぶっしつ的てき性質せいしつ的てき結果けっか。

電でん容よう矩のり陣じん

前面ぜんめん論述ろんじゅつ的てき範圍はんい局限きょくげん於兩片へん任意にんい尺寸しゃくすん、形狀けいじょう的てき平行へいこう導しるべ板いた的てき案あん例れい。對たい於單獨たんどく的てき帶電たいでん導しるべ板ばん，電でん容よう的てき定義ていぎ方程式ほうていしき$C\ {\stackrel {def}{=}}\ Q/V$仍舊成立せいりつ；這單獨たんどく的てき帶電たいでん導しるべ板いた案あん例れい，可か以視為ため這帶電導でんどう板ばん處しょ於帶有ゆう異性いせい同どう量りょう電荷でんか圓えん球だま的てき中心ちゅうしん，而這圓えん球だま的てき半徑はんけい趨向すうこう無窮むきゅう大だい的てき案あん例れい。

對たい於多個こ導體どうたい的てき案あん例れい，或ある當とう兩個りゃんこ導體どうたい所帶じょたい淨きよし電荷でんか量りょう不等ふとう於零的てき案あん例れい，方程式ほうていしき$C=Q/V$不成立ふせいりつ。為ため了りょう處理しょり這案例れい，詹姆斯·馬うま克かつ士し威たけし提出ていしゅつ了りょう「電位でんい係數けいすう」和かず「感應かんおう係數けいすう」（coefficients of induction）的てき概念がいねん。假設かせつ三個導體分別帶有電荷量$Q_{1}$、$Q_{2}$、$Q_{3}$，則のり這三さん個こ導體どうたい的てき電位でんい$V_{1}$、$V_{2}$、$V_{3}$分別ふんべつ為ため

$V_{1}=P_{11}Q_{1}+P_{12}Q_{2}+P_{13}Q_{3}$、

$V_{2}=P_{21}Q_{1}+P_{22}Q_{2}+P_{23}Q_{3}$、

$V_{3}=P_{31}Q_{1}+P_{32}Q_{2}+P_{33}Q_{3}$；

其中，$P_{ij}$是ぜ電位でんい係數けいすう，$i,j=1,2,3$。

解析かいせき這線せん性せい方かた程ほど組ぐみ，可か以得到いた電荷でんか量りょう分別ふんべつ為ため

$Q_{1}=C_{11}V_{1}+C_{12}V_{2}+C_{13}V_{3}$、

$Q_{2}=C_{21}V_{1}+C_{22}V_{2}+C_{23}V_{3}$、

$Q_{3}=C_{31}V_{1}+C_{32}V_{2}+C_{33}V_{3}$；

其中，$C_{ii}$是ぜ第だい$i$個こ導體どうたい的てき電でん容よう，$C_{ij}$是ぜ感應かんおう係數けいすう，$i\neq j$。

延伸えんしん至いたり$n$個こ導體どうたい，

$V_{i}=\sum _{j=1}^{n}P_{ij}Q_{j},\qquad \qquad i=1,2,\dots ,n$、

$Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}C_{ij}V_{j},\qquad \qquad i=1,2,\dots ,n$。

設定せってい第だい$i$個こ導體どうたい的てき電位でんい為ため1Volt，其它導體どうたい的てき電位でんい為ため0Volt，則のり對たい於這系統けいとう，第だい$i$個こ導體どうたい的てき載の電でん量りょう等とう於其電でん容よう。

這樣，整せい個こ系統けいとう可か以用一いち組くみ係數けいすう來らい描述，稱しょう為ため「倒たおせ電でん容よう矩のり陣じん」，以方程式ほうていしき定義ていぎ為ため

$P_{ij}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial V_{i}}{\partial Q_{j}}}$。

整せい個こ系統けいとう又また可か以用另一いち組くみ係數けいすう來らい描述，稱しょう為ため「電でん容よう矩のり陣じん」，以方程式ほうていしき定義ていぎ為ため

$C_{ij}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial Q_{i}}{\partial V_{j}}}$。

赫爾曼·馮·亥い姆霍茲和わ威い廉かど·湯ゆ姆森證明しょうめい這些電位でんい係數けいすう與あずか感應かんおう係がかり數すう都と具有ぐゆう對稱たいしょう性せい：

$P_{ij}=P_{ji}$、

$C_{ij}=C_{ji}$。

對たい於這$n$導體どうたい系統けいとう，假設かせつ任意にんい兩個りゃんこ導體どうたい分別ふんべつ載の有ゆう負まけ電荷でんか$-Q\,\!$與あずか正せい電荷でんか$+Q\,\!$，其它導體どうたい皆みな與あずか接地せっち連結れんけつ，則のり這兩個りゃんこ導體どうたい的てき電でん容よう定義ていぎ為ため$Q\,\!$除じょ以其電位差でんいさ：

$C\ {\stackrel {def}{=}}\ Q/\Delta V$。

假設かせつ第だい$i$與あずか第だい$j$個こ導體どうたい分別ふんべつ載の有ゆう負まけ電荷でんか$-Q\,\!$與あずか正せい電荷でんか$+Q\,\!$，則のり第だい$i$與あずか第だい$j$個こ導體どうたい的てき電位でんい與あずか電荷でんか的てき關係かんけい式しき分別ふんべつ為ため

$V_{i}=-P_{ii}Q+P_{ij}Q$、

$V_{j}=-P_{ji}Q+P_{jj}Q$。

這兩個りゃんこ導體どうたい的てき電でん容よう為ため

$C=Q/(V_{j}-V_{i})=1/(P_{ii}+P_{jj}-2P_{ij})$。

自じ電でん容よう

在ざい電路でんろ學がく裏うら，電でん容よう通常つうじょう是ぜ術語じゅつご「互電容よう」（mutual capacitance）的てき簡稱，即そく兩個りゃんこ鄰近導體どうたい（像ぞう平行へいこう板いた電でん容器ようき的てき兩りょう片かた薄板うすいた）之の間あいだ的てき電でん容よう。另外還かえ有ゆう一種いっしゅ電路でんろ學がく性質せいしつ術語じゅつご「自じ電でん容よう」（self-capacitance），即そく單獨たんどく導體どうたい的てき電位でんい每ごと增加ぞうか1V所しょ需的電荷でんか量りょう。設定せってい這電位い等とう於零的てき參考さんこう點てん為ため一いち個こ理論りろん球だま殼から導體どうたい，其半徑はんけい為ため無窮むきゅう遠とお，其球心こころ與あずか單獨たんどく導體どうたい同どう位置いち。假設かせつ這單獨どく導體どうたい是ぜ半徑はんけい為ため$R$的てき球形きゅうけい導體どうたい，則のり其球表面ひょうめん電位でんい為ため

$V=Q/4\pi \varepsilon _{0}R$，

其自電でん容よう是ぜ

$C=Q/V=4\pi \varepsilon _{0}R$。

範はん例れい

范德格かく拉ひしげ夫おっと起電きでん機き頂いただき端はし的てき圓えん球形きゅうけい金屬きんぞく導體どうたい，其半徑はんけい通常つうじょう為ため20 cm，這金屬きんぞく導體どうたい的てき自じ電でん容よう為ため

$C=4\pi \varepsilon _{0}R=4\pi \times 8.85\times 10^{-12}\times 0.2\approx 22[pF]$。

地球ちきゅう的てき半徑はんけい約やく為ため6.378×10⁶m，其自電でん容よう為ため

$C=4\pi \times 8.85\times 10^{-12}\times 6.378\times 10^{6}\approx 700[\mu F]$。

雜ざつ散ち電でん容よう

主しゅ条目じょうもく：寄生きせい電でん容よう

任意にんい兩個りゃんこ相しょう鄰導體たい，除じょ非ひ長久ちょうきゅう保持ほじ很近的てき距離きょり，其電容よう通常つうじょう很微小びしょう，但ただし仍舊可か以被視し為ため電でん容器ようき。這不受歡迎かんげい的てき效こう應おう稱しょう為ため「雜ざつ散ち電でん容よう」。原本げんぽん各自かくじ孤立こりつ的てき電路でんろ，由ゆかり於雜散ち電でん容よう的てき作用さよう，可能かのう會かい讓ゆずる兩個りゃんこ電路でんろ互相干ひ擾對方かた的てき信號しんごう，這效應おう稱たたえ為ため串くし擾。雜ざつ散ち電でん容よう是ぜ電路でんろ在ざい短波たんぱ波は段だん正常せいじょう操作そうさ的てき限きり制せい因子いんし。

為ため了りょう消しょう除じょ跟遠方かた形成けいせい的てき雜ざつ散ち電でん容よう，可か以將電路でんろ裝置そうち於金屬ぞく機き殼から內，再さい將しょう金屬きんぞく機き殼から跟地ち線せん連結れんけつ。

簡單かんたん系統的けいとうてき電でん容よう

欲求よっきゅう得とく一いち個こ系統的けいとうてき電でん容よう，必須ひっす先さき解析かいせき拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯方程式ほうていしき$\nabla ^{2}\phi =0$，並なみ且滿足まんぞく其邊界かい條件じょうけん，即そく在ざい每まい一いち個こ導體どうたい表面ひょうめん的てき電位でんい$\phi$為ため某ぼう不同ふどう的てき已やめ設定せってい常數じょうすう。對たい於具有ぐゆう高だか對稱たいしょう性的せいてき案あん例れい，這方法ほう很簡單かんたん。但ただし是ぜ，對たい於較複雜ふくざつ案あん例れい，可能かのう不ふ存在そんざい以基本きほん函數かんすう表示ひょうじ的てき解答かいとう。

對たい於準二に維問題もんだい，不同ふどう的てき幾何きか構形之の間あいだ可か以用解析かいせき函數かんすう互相映うつ射い。詳しょう盡つき細ぼそ節ふし，請參閱條目め施ほどこせ瓦かわら茨いばら-克かつ里さと斯托費ひ爾しか映うつ射い

簡單かんたん系統的けいとうてき電でん容よう

種類しゅるい	電でん容よう	註釋ちゅうしゃく
平行へいこう板いた電でん容器ようき	$\varepsilon A/d$	$\varepsilon$: 介かい質しつ的てき電でん容よう率りつ
同軸どうじく電纜でんらん	${\frac {2\pi \varepsilon l}{\ln(R_{2}/R_{1})}}$	$\varepsilon$: 介かい質しつ的てき電でん容よう率りつ
一對互相平行的導線	${\frac {2\pi \varepsilon l}{\operatorname {arcosh} \left({\cfrac {d^{2}-2a^{2}}{2a^{2}}}\right)}}={\frac {\pi \varepsilon l}{\ \operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)\ }}$ $={\frac {\pi \varepsilon l}{\ \ln \left({\frac {d}{\ 2a\ }}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{\ 4a^{2}\ }}-1\ }}\right)\ }}\approx {\frac {\pi \varepsilon l}{\ln \left({\cfrac {d}{a}}\right)}}\left(1+{\frac {a^{2}}{\ln \left({\cfrac {d}{a}}\right)d^{2}}}\right)\ ,\qquad d\gg a$
不ふ相あい交的導線どうせん與平よへい面めん導しるべ板ばん	${\frac {2\pi \varepsilon l}{\operatorname {arcosh} \left({\cfrac {d}{a}}\right)}}={\frac {2\pi \varepsilon l}{\ln \left({\cfrac {d}{a}}+{\sqrt {{\cfrac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)}}$	$a$: 電線でんせん半徑はんけい $d$: 距離きょり， $d>a$ $l$: 電線でんせん長ちょう度たび
兩りょう片かた共とも面めん平行へいこう窄長導しるべ板ばん	${\frac {\varepsilon lK\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{K\left(k\right)}}$	$d$: 距離きょり $w_{i}$: 導しるべ板いた板ばん寬ひろし $k_{i}=d/(2w_{i}+d)$ $k^{2}=k_{1}k_{2}$ $K$: 橢圓だえん積分せきぶん $l$: 長なが度たび
兩個りゃんこ同心圓どうしんえん球だま	${\frac {4\pi \varepsilon R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}}$	$\varepsilon$: 介かい質しつ的てき電でん容よう率りつ
兩個りゃんこ同どう半徑はんけい圓えん球だま	$2\pi \varepsilon a\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}$ $=2\pi \varepsilon a\left\{1+{\frac {1}{2D}}+{\frac {1}{4D^{2}}}+{\frac {1}{8D^{3}}}+{\frac {1}{8D^{4}}}+{\frac {3}{32D^{5}}}+O\left({\frac {1}{D^{6}}}\right)\right\}$ $=2\pi \varepsilon a\left\{\ln 2+\gamma -{\frac {1}{2}}\ln \left(2D-2\right)+O\left(2D-2\right)\right\}$	$a$: 半徑はんけい $d$: 距離きょり，$d>2a$ $D=d/2a>1$ $\gamma$：歐おう拉ひしげ-馬うま歇羅尼あま常數じょうすう
圓えん球だま與平よへい面めん導しるべ板ばん	$4\pi \varepsilon a\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}$	$a$: 半徑はんけい $d$: 距離きょり，$d>a$ $D=d/a$
圓えん球だま	$4\pi \varepsilon a$	$a$: 半徑はんけい
圓盤えんばん	$8\varepsilon a$	$a$: 半徑はんけい
有限ゆうげん長ちょう度ど的てき細長ほそなが直ちょく電線でんせん	${\frac {2\pi \varepsilon l}{\Lambda }}\left\{1+{\frac {1}{\Lambda }}\left(1-\ln 2\right)+{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}\left[1+\left(1-\ln 2\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right]+O\left({\frac {1}{\Lambda ^{3}}}\right)\right\}$	$a$: 電線でんせん半徑はんけい $l$: 電線でんせん長ちょう度たび $\Lambda =\ln(l/a)$

英文えいぶん名稱めいしょう

電でん容よう的てき英文えいぶん也稱為ためCapacity。但ただし現在げんざいCapacity又また另有電でん量りょう的てき意思いし。

參まいり閱

• 電でん容よう位い移うつり傳でん感かん器き
• 水力すいりょく學がく類比るいひ
• 量子りょうし電でん容よう
• 國際こくさい單位たんい制せい導出どうしゅつ單位たんい