特殊とくしゅ酉とり群ぐん

在ざい数学すうがく中なか，$n$ 阶特殊とくしゅ酉とり群ぐん（英語えいご：special unitary group），记作 $\operatorname {SU} (n)$，是ぜ行列ぎょうれつ式しき为 1 的てき $n\times n$ 酉とり矩のり阵组成的てき群ぐん（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的てき复数）。群ぐん运算是ぜ矩のり阵乘法ほう。特殊とくしゅ酉とり群ぐん是ぜ由ゆかり $n\times n$ 酉とり矩のり阵组成なり的てき酉とり群ぐん $\operatorname {U} (n)$ 的てき一いち个子こ群ぐん，酉とり群ぐん又また是これ一般いっぱん线性群ぐん $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C}$) 的てき一いち个子群ぐん。

群ぐん $\operatorname {SU} (n)$ 在ざい粒子りゅうし物理ぶつり中なか标准模型もけい中有ちゅうう广泛的てき应用，特とく别是 $\operatorname {SU} (2)$ 在ざい电弱相互そうご作用さよう与あずか $\operatorname {SU} (3)$ 在ざい量子りょうし色しょく动力学がく中なか。

最さい简单的てき情じょう形がた $\operatorname {SU} (1)$，是ぜ平凡へいぼん群ぐん，只ただ有ゆう一いち个元素げんそ。群ぐん $\operatorname {SU} (2)$ 同どう构于範はん數すう为 $1$ 的てき四よん元げん数すう，从而微分びぶん同どう胚はい于三さん维球面めん。因よし为单位い四元数可表示三维空间中的旋转（差さ一いち个符号ごう），我わが们有一いち个满同どう态从 $\operatorname {SU} (2)$ 到いた旋转群ぐん $\operatorname {SO} (3)$，其核かく为 $\{+I,-I\}$。

性せい质

特殊とくしゅ酉とり群ぐん SU(n) 是ぜ一いち个 n²-1 维实矩のり阵李群ぐん。在ざい拓つぶせ扑上是ぜ紧及单连通どおり的てき。在ざい代数だいすう上じょう，它是一いち个单李群ぐん（意い为它的てき李り代数だいすう是ぜ单的，见下）。SU(n) 的てき中心ちゅうしん同どう构于循环群ぐん Z_n。当とう n ≥ 3，它的外そと自じ同どう构群是これ Z₂，而 SU(2) 的てき外そと自じ同どう构群是ぜ平凡へいぼん群ぐん。

SU(n) 代数だいすう由ゆかり n² 个算子こ生成せいせい，满足交换关系（对 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）：

$\left[{\hat {O}}_{ij},{\hat {O}}_{kl}\right]=\delta _{jk}{\hat {O}}_{il}-\delta _{il}{\hat {O}}_{kj}$

另外，算さん子こ

${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {O}}_{ii}$

满足

$\left[{\hat {N}},{\hat {O}}_{ij}\right]=0$

这意味いみ着ぎ SU(n) 独立どくりつ的てき生成せいせい元もと个数是ぜ n²-1。

生成せいせい元もと

一般いっぱん地ち，SU(n) 的てき无穷小しょう生成せいせい元もと（infinitesimal generator） T，由よし一いち个无迹埃ほこり尔米特とく矩のり阵表示ひょうじ。即そく

• $\operatorname {tr} (T_{a})=0,\,$

以及

• $T_{a}=T_{a}^{\dagger }.\,$

基本きほん表示ひょうじ

在ざい定てい义或基本きほん表示ひょうじ中ちゅう，由ゆかり $n\times n$ 矩のり阵表示ひょうじ的てき生成せいせい元もと是ぜ：

• $T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{(if_{abc}+d_{abc})T_{c}}\,$

这里系けい数すう $f$ 是ぜ结构常数じょうすう，它对所有しょゆう指ゆび标都是ぜ反はん对称的てき，而系数すう $d$ 对所有しょゆう指ゆび标都是ぜ对称的てき。

从而

• $\left[T_{a},T_{b}\right]_{+}={\frac {1}{n}}\delta _{ab}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}T_{c}}\,$
• $\left[T_{a},T_{b}\right]_{-}=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{f_{abc}T_{c}}\,$

我わが们也有ゆう

• $\sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}\,$

作さく为一个正规化约定。

伴ばん随ずい表示ひょうじ

在ざい伴ばん随ずい表示ひょうじ中なか，生成せいせい元もと表示ひょうじ由よし $(n^{2}-1)\times (n^{2}-1)$ 矩のり阵表示ひょうじ，其元素げんそ由よし结构常数じょうすう定てい义：

• $(T_{a})_{jk}=-if_{ajk}\,$

SU(2)

$\operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )$ 一个一般矩阵元素形如

$U={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}$

这里 $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ 使つかい得とく $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$。我わが们考虑如下か映うつ射い $\varphi :\mathbb {C} ^{2}\to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$，（这里 $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ 表示ひょうじ 2×2 复矩阵集合しゅうごう），定てい义为

$\varphi (\alpha ,\beta )={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}.$

考こう虑到 $\mathbb {C} ^{2}$ 微分びぶん同どう胚はい于 $\mathbb {R} ^{4}$ 和わ $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ 同どう胚はい于 $\mathbb {R} ^{8}$，我わが们可看み到いた $\varphi$ 是ぜ一个实线性单射，从而是ぜ一いち个嵌入かんにゅう。现在考こう虑 $\varphi$ 限きり制せい在ざい三さん维球面めん上うえ，记作 $S^{3}$，我わが们可发现这是三さん维球面めん到いた $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ 的てき一个紧子流形的一个嵌入。但ただし显然有ゆう $\varphi (S^{3})=\operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )$，作さく为一个流形微分同胚于 $\operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )$，使つかい $\operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )$ 成なり为一个紧连通李り群ぐん。

现在考こう虑李り代数だいすう ${\mathfrak {su}}_{2}(\mathbb {C} )$，一个一般元素形如

$U'={\begin{pmatrix}ix&-{\overline {\beta }}\\\beta &-ix\end{pmatrix}}$

这里 $x\in \mathbb {R}$ 以及 $\beta \in \mathbb {C}$。易えき验证这样形式けいしき的てき矩のり阵的迹是ぜ零れい并为反はん埃ほこり尔米特とく的てき。从而李り代数だいすう由よし如下矩のり阵生成せいせい

$u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\qquad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}$

易えき见它具有ぐゆう上面うわつら提ひっさげ到いた的てき一般いっぱん元素げんそ的てき形式けいしき。它们满足关系 $u_{3}u_{2}=-u_{2}u_{3}=u_{1}$ 和わ $u_{2}u_{1}=-u_{1}u_{2}=u_{3}$。从而交换子こ括くく号ごう由ゆかり

$[u_{1},u_{3}]=2u_{2},\qquad [u_{2},u_{1}]=2u_{3},\qquad [u_{3},u_{2}]=2u_{1}.$

确定。上述じょうじゅつ生成せいせい元もと与あずか泡あわ利り矩のり阵有ゆう关，$u_{1}=i\sigma _{1}$, $u_{2}=-i\sigma _{2}$ 及 $u_{3}=i\sigma _{3}$。

SU(3)

SU(3) 的てき生成せいせい元もと T，在ざい定てい义表示ひょうじ中ちゅう为

$T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{\sqrt {2}}}.\,$

这里 $\lambda \,$ 为盖尔曼矩阵，是ぜ SU(2) 泡あわ利り矩のり阵在 SU(3) 之の类比：

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

注意ちゅうい它们都と是ぜ无迹埃ほこり尔米特とく矩のり阵。

它们服ふく从关系けい

• $\left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}}\,$

这里 f 是ぜ结构常数じょうすう，如上じょじょう所定しょてい义，它们的てき值为

$f^{123}=1\,$

$f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2}}\,$

$f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,$

d 的てき取と值：

$d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,$

$d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,$

$d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{2}}\,$

李り代数だいすう

$\mathrm {SU} (n)$ 对应的てき李り代数だいすう记作 ${\mathfrak {su}}(n)$。它的标准数学すうがく表示ひょうじ由よし无迹反はん埃ほこり尔米特とく $n\times n$ 复矩阵组成なり，以通常つうじょう交换子こ为李り括くく号ごう。粒子りゅうし物理ぶつり学がく家か通常つうじょう增加ぞうか一いち个因子いんし $i$，从而所有しょゆう矩のり阵成为埃尔米特とく的てき。这只不ふ过是同どう一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意ちゅうい ${\mathfrak {su}}(n)$ 是これ $\mathbb {R}$ 上うえ一いち个李代数だいすう。

例れい如，下しも列れつ量子力学りょうしりきがく中ちゅう使用しよう的てき矩のり阵组成なり ${\mathfrak {su}}(2)$ 在ざい $\mathbb {R}$ 上うえ的てき一いち组基もと：

$i\sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}$

$i\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}$

$i\sigma _{z}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}$

（这里 $i$ 是これ虚数きょすう单位。）

这个表示ひょうじ经常用じょうよう于量子力学りょうしりきがく（参まいり见泡あわ利り矩のり阵以及盖尔曼矩阵）表示ひょうじ基本きほん粒子りゅうし比ひ如电子的てき自じ旋。它们也作为我们三さん维空间量子りょうし相しょう对论描述中ちゅう的てき单位向むこう量りょう。

注意ちゅうい任意にんい两个不同ふどう生成せいせい元もと的てき乘じょう积是另一个生成せいせい元もと，以及生成せいせい元もと反はん交换。与あずか单位矩のり阵（乘の以 $i$）一起かずき

$iI_{2}={\begin{bmatrix}i&0\\0&i\end{bmatrix}}$

它们也是 ${\mathfrak {su}}(2)$ 的てき生成せいせい元もと。

当然とうぜん这里它取决于我わが们最终处理り的てき问题，比ひ如在非ひ相あい对论量子力学りょうしりきがく中ちゅう为 2-旋量；或ある在ざい相しょう对论狄拉克かつ理り论中なか，我わが们需要じゅよう到いた 4-旋量的てき一いち个扩张；或ある在ざい数学すうがく中ちゅう甚至是ぜ克利かつとし福德ふくとく代数だいすう。

注ちゅう：在ざい矩のり阵乘法ほう下か（在ざい此情形がた是ぜ反はん交换的てき），生成せいせい克利かつとし福德ふくとく代数だいすう $\mathrm {Cl} _{3}$，而在交换子こ括くく号ごう下か生成せいせい李り代数だいすう ${\mathfrak {su}}(2)$。

回かい到いた一般いっぱん的てき $\mathrm {SU} (n)$：

如果我わが们选择（任意にんい）一いち个特定とくてい的てき基もと，则纯虚数きょすう无迹对角 $n\times n$ 矩のり阵子こ空そら间组成一いち个 $n-1$ 维嘉よしみ当とう子こ代数だいすう。

将はた这个李り代数だいすう复化，从而现在允まこと许任何なん无迹 $n\times n$ 矩のり阵。权本ほん征せい向こう量りょう是ぜ嘉よしみ当とう子こ代数だいすう自己じこ，只ただ有ゆう一个非零元素的矩阵不是对角的。尽つき管かん嘉よしみ当とう子こ代数だいすう $\mathrm {h}$ 只ただ是これ $n-1$ 维，但ただし为了化か简计算さん，经常引入一いち个辅助じょ元素げんそ，与あずか所有しょゆう元素げんそ交换的てき单位矩のり阵（它不能ふのう视为这个李り代数だいすう的てき一いち个元素げんそ）。故こ我わが们有一いち个基，其中第だい $i$ 个基向むこう量りょう是ぜ在ざい第だい $i$ 个对角かく元素げんそ为 $1$ 而在其它处为零れい的てき矩のり阵。则权由ゆかり $n$ 个坐标给出で，而且在ざい所有しょゆう $n$ 个坐标求和わ为零（因いん为单位い矩のり阵只是ぜ辅助的てき）。

故こ $\mathrm {SU} (n)$ 的てき秩是これ $n-1$，它的邓肯图由ゆかり $A_{n-1}$ 给出，有ゆう $n-1$ 个顶点的てき链。

它的根ね系けい由ゆかり $n(n-1)$ 个根组成，生成せいせい一いち个 $n-1$ 欧おう几里得とく空そら间。这里，我わが们使用しよう $n$ 冗余坐すわ标而不ふ是ぜ $n-1$ 坐すわ标来强きょう调根系けい的てき对称（$n$ 坐すわ标之和わ为零）。换句话说，我わが们是将はた这个 $n-1$ 维向量りょう空そら间嵌入かんにゅう $n$-维中。则根由よし所有しょゆう $n(n-1)$ 置おけ换 $(1,-1,0,\dots ,0)$。两段以前いぜん的てき构造解かい释了为什么。单根的てき一个选取为

$(1,-1,0,\dots ,0)$,

$(0,1,-1,\dots ,0)$,

…,

$(0,0,0,\dots ,1,-1)$.

它的嘉よしみ当とう矩のり阵是これ

${\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}$.

它的外そと尔群或ある考こう克かつ斯特群ぐん是これ对称群ぐん $S_{n}$，$(n-1)$-单形的てき对称群ぐん。

广义特殊とくしゅ酉とり群ぐん

对一个域いき F，F 上うえ广义特殊とくしゅ酉とり群ぐん SU(p,q;F)，F 上うえ一いち个秩为 n=p+q 的てき向むかい量りょう空そら间上使じょうし得とく一いち个符号ふごう为 (p,q) 的てき非ひ退化たいか埃ほこり尔米特とく形式けいしき不ふ变的所有しょゆう行列ぎょうれつ式しき为 1 线性变换组成的てき群ぐん。这个么正群ぐん经常称しょう为 F 上うえ符号ふごう为 (p,q) 的てき特殊とくしゅ酉とり群ぐん。域いき F 可か以换为一个交换环，在ざい这种情じょう形がた向むこう量りょう空そら间换为自由じゆう模も。

特とく别地，固定こてい GL(n,R) 中ちゅう一いち个符号ごう为 (p,q) 的てき埃ほこり尔米特とく矩のり阵，则所有しょゆう

$M\in SU(p,q,R)$

满足

$M^{*}AM=A\,$

$\det M=1.\,$

经常可か以见到记号 $SU_{p,q}$ 略ほぼ去さ环或域いき，在ざい这种形式けいしき环或域いき是ぜ指ゆび C，这给出で一いち个典型がた李り群ぐん。当とう F=C 时，A 的てき标准选取是ぜ

$A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.$

对某些维数すう A 可能かのう有ゆう更さら好このみ的てき选择，当限とうぎり制せい为 C 的てき一个子环时有更好表现。

例れい子こ

这类群ぐん的てき一个重要例子是皮かわ卡模群ぐん SU(2,1;Z[i])，（射影しゃえい地ち）作用さよう在ざい二に度ど复双曲きょく空そら间上うえ，同どう样地 SL(2,Z) （射影しゃえい地ち）作用さよう在ざい二に维实双そう曲きょく空そら间上うえ。2003年ねん，Gábor Francsics 与あずか彼かれ得とく·拉ひしげ克かつ斯算出さんしゅつ了りょう这个群ぐん在ざい $HC^{2}$ 上作じょうさく用よう的てき基本きほん域いき，参まいり见 [1]。

另一个例子こ是ぜ SU(1,1;C)，同どう构于 SL(2,R)。

重要じゅうよう子こ群ぐん

在ざい物理ぶつり学がく中ちゅう，特殊とくしゅ酉とり群ぐん用よう于表示ひょうじ波なみ色しょく对称。在ざい对称性せい破やぶ缺かけ理り论中寻找特殊とくしゅ酉とり群ぐん的てき子こ群ぐん很重要じゅうよう。在ざい大だい一いち统理论中ちゅう SU(n) 重要じゅうよう的てき子こ群ぐん是ぜ，对 p>1，n-p>1：

$SU(n)\supset SU(p)\times SU(n-p)\times U(1).$

为了完かん整せい性せい，还有正せい交与あずか辛からし子こ群ぐん：

$SU(n)\supset O(n)$

$SU(2n)\supset USp(2n).$

因いん为 SU(n) 的てき秩是これ n-1，U(1) 是ぜ 1，一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU(n) 是ぜ多た个其它李群ぐん的てき子こ群ぐん：

$SO(2n)\supset SU(n)$

$USp(2n)\supset SU(n)$

$Spin(4)=SU(2)\times SU(2)$（参まいり见自じ旋群）

$E_{6}\supset SU(6)$

$E_{7}\supset SU(8)$

$G_{2}\supset SU(3)$（关于 E₆, E₇ 与あずか G₂ 参まいり见单李群ぐん）。

有ゆう同どう构 SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。

最さい后きさき值得指出さしで的てき是ぜ SU(2) 是ぜ SO(3) 的てき二に重じゅう覆くつがえ叠群，这个关系在ざい非ひ相しょう对论量子力学りょうしりきがく 2-旋量的てき旋转中起なかおこし着ぎ重要じゅうよう的てき作用さよう。

相あい关条目め

• SU(2)的てき表示ひょうじ论
• 射影しゃえい特殊とくしゅ酉とり群ぐん PSU(n)
• 埃ほこり尔米特とく矩のり阵
• 辛からし矩のり阵
• 酉とり群ぐん
• 酉とり算さん子こ
• 矩のり阵分解ぶんかい

参考さんこう文献ぶんけん

• Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2. 
• Maximal Subgroups of Compact Lie Groups （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）

外部がいぶ链接

• Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003 （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）