电势能のう

本条ほんじょう目め中ちゅう，矢や量りょう与あずか标量分ぶん别用粗そ体からだ与あずか斜体しゃたい显示。例れい如，位置いち矢や量りょう通どおり常用じょうよう $\mathbf {r} \,\!$ 表示ひょうじ；而其大小だいしょう则用 $r\,\!$ 来らい表示ひょうじ。

在ざい静せい电学里さと，电势能のう（electric potential energy）是ぜ处于电场的てき电荷分布ぶんぷ所しょ具有ぐゆう的てき势能，与あずか电荷分布ぶんぷ在ざい系けい统内部ないぶ的てき组态有ゆう关。电势能のう的てき单位是ぜ焦こげ耳みみ。电势能のう与あずか电势不同ふどう。电势定てい义为处于电场的てき电荷所しょ具有ぐゆう的てき电势能のう每ごと单位电荷。电势的てき单位是ぜ伏ふく特とく。

电势能のう的てき数すう值不具有ぐゆう绝对意い义，只ただ具有ぐゆう相しょう对意义。所以ゆえん，必须先さき设定一个电势能为零的参考系统。当とう物理ぶつり系けい统内的てき每ごと一个点电荷相距无穷远且其相对静止不动时，这一物理系统通常可以设定为电势能等于零的参考系统。假かり设一个物理系统里的每一个点电荷，从无穷远处被一外力匀速地迁移到其所在位置，该外力りょく做的总机つくえ械功为 $W$ ，则定义这系けい统的电势能のう $U$ 为

$U:=W$ 。

在ざい这过程ほど里さと，所ところ涉わたる及的机つくえ械功 $W$ ，不ふ论是正ぜせい值或负值，都みやこ由ゆかり这物理系りけい统之外的がいてき机つくえ制せい赋予。并且，被ひ匀速迁移的てき每ごと一个点电荷都不会获得任何动能。

如此计算电势能のう，并没有ゆう考こう虑到移うつり动的路ろ径みち，这是因いん为电场是保守ほしゅ场，电势能のう只ただ跟初始はじめ位置いち与あずか终止位置いち有ゆう关，与路よろ径みち无关。

计算电势能のう

在ざい一个物理系统内，计算一个点电荷所具有的电势能的方法，就是计算将はた这点电荷Q从无穷远位置いち迁移到いた其它固定こてい位置いち电荷附近ふきん所しょ需要じゅよう做的机つくえ械功。而计算ざん只ただ需要じゅよう两个参さん数すう：

1. 其它电荷所しょ产生的てき电势。
2. 点てん电荷Q的てき电荷量りょう。

注意ちゅうい：这里的てき计算不ふ需要じゅよう知道ともみち其它电荷的てき电荷量りょう，也不需要じゅよう知道ともみち这一いち点てん电荷Q所しょ产生的てき电势。

储存于点电荷系けい统内的てき电势能のう

单点电荷系けい统

只ただ拥有单独一个点电荷的物理系统，其电势能为零，因いん为没有ゆう任にん何なん其它可か以产生せい电场的てき源げん电荷，所以ゆえん，将しょう点てん电荷从无穷远移うつり动至其最终位置いち，外そと机つくえ制せい不ふ需要じゅよう对它做任何なん机つくえ械功。特とく别注意ちゅうい，这点电荷有可ゆか能会のうかい与あずか自己じこ生成せいせい的てき电场发生作用さよう。然しか而，由ゆかり于在点てん电荷的てき位置いち，它自己じこ生成せいせい的てき电场为无穷大，所以ゆえん，在ざい计算系けい统的有限ゆうげん总电势能之の时，一般刻意不将这“自身じしん能のう”纳入考量こうりょう范围之これ内ない，以简化か物理ぶつり模型もけい，方便ほうべん计算。

双そう点てん电荷系けい统

一个质子受到的另一个质子的电场力和电势能随 $r$ 变化的てき示しめせ意い图。

思考しこう两个点てん电荷所しょ组成的てき物理ぶつり系けい统。假かり设第一いち个点电荷 $q_{1}$ 的てき位置いち为坐标系的てき原点げんてん $\mathbf {O}$ ，则根据すえ库仑定律ていりつ，点てん电荷 $q_{1}$ 施ほどこせ加か于位置いち为 $\mathbf {r}$ 的てき第だい二に个点电荷 $q_{2}$ 的てき电场力りょく为

$\mathbf {F} _{c}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}$ ；

其中，$\epsilon _{0}$ 是これ电常数すう。

在ざい移うつり动点电荷 $q_{2}$ 时，为保证匀速そく，外そと机つくえ制せい必须施ほどこせ加か作用さよう力りょく $-\mathbf {F} _{c}$ 于点电荷 $q_{2}$ ，从而与电场力りょく达到二に力りょく平衡へいこう。所以ゆえん，机つくえ械功 $W$ 为

$W=-\int _{\mathbb {L} }\mathbf {F} _{c}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-\ {\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {L} }{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ 。

由よし于库仑力为保守ほしゅ力りょく，机つくえ械功与あずか积分路ろ径みち $\mathbb {L}$ 无关，所以ゆえん，可か以选择任意にんい一いち条じょう积分路ろ径みち。在ざい这里，最さい简单的てき路ろ径みち为从无穷远位置いち朝ちょう着ぎ $-{\hat {\mathbf {r} }}$ 方向ほうこう迁移至いたり $\mathbf {r}$ 位置いち的てき直ちょく线路径みち。那な么，机つくえ械功为

$W=-\ {\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\infty }^{r}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$ 。

这机械功是ぜ无穷远位置いち与あずか $\mathbf {r}$ 位置いち之の间的静せい电能差さ别：

$W=U(\mathbf {r} )-U(\infty )$ 。

设定 $U(\infty )=0$ ，则

$U(\mathbf {r} )={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$ 。

现在，假かり设两个点电荷的てき位置いち分ぶん别为 $\mathbf {r} _{1}$ 、$\mathbf {r} _{2}$ ，则电势能为

$U={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q_{1}q_{2}}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q_{1}q_{2}}{r_{12}}}$ ；

其中，$r_{12}=|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|$ 是ぜ两个点てん电荷之の间的距离。

假かり设两个点电荷的てき正せい负性相しょう异，则电势能为负值，两个点てん电荷会かい互相吸引きゅういん；否いや则，电势能のう为正值，两个点てん电荷会かい互相排斥はいせき。

三个以上点电荷的系统

对于三个点电荷的系统，外がい机つくえ制せい将はた其每一个单独点电荷，一个接着一个，从无穷远位置いち迁移至いたり最さい终位置いち，所しょ需要じゅよう做的机つくえ械功，就是整せい个系统的静せい势能。以方程ほど表示ひょうじ，

$U={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q_{1}q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {q_{1}q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {q_{2}q_{3}}{r_{23}}}\right)$ ；

其中，$q_{1},q_{2},q_{3}$ 为点电荷，$r_{ij}$ 为第i个与第だいj个点电荷之の间的距离。

按照这方法ほう演算えんざん，对于多た个点电荷的てき系けい统，按照顺序，从第一个点电荷到最后一个点电荷，各自かくじ移うつり动到最さい后きさき对应位置いち。在ざい第だい $i$ 个点电荷 $q_{i}$ 迁移时，只ただ会かい感かん受到从第 $1$ 个点电荷到いた第だい $i-1$ 个点电荷的てき电场力りょく，而机械功 $W_{i}$ 是ぜ因いん为抗拒こうきょ这些电场力りょく而做出で的てき贡献：

$W_{i}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}$ 。

所有しょゆう点てん电荷做出的てき总机械功（即そく总电势能）为

$U=W=\sum _{i=1}^{n}W_{i}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}$ 。

将はた每まい一个项目重复多计算一次，然しか后きさき将はた总和除じょ以 $2$ ，这公式しき也可以表达为，

$U={\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}$ 。

这样，可か以忽略りゃく点てん电荷的てき迁移顺序。

注意ちゅうい到いた除じょ了りょう点てん电荷 $q_{i}$ 以外いがい，所有しょゆう其它点てん电荷产生的てき电势在ざい位置いち $\mathbf {r} _{i}$ 为

$\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}}$ 。

所以ゆえん，离散点さんてん电荷系けい统的总电势能为

$U={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})$ 。

• 上述じょうじゅつ方かた程ほど假かり设电介かい质是自由じゆう空そら间，其电容率りつ为 $\epsilon _{0}$ ，即そく电常数すう。假かり设电介かい质不是ぜ自由じゆう空そら间，而是电容率りつ为 $\epsilon$ 的てき某ぼう种电介かい质，则必需将方かた程ほど内的ないてき $\epsilon _{0}$ 更さら换为 $\epsilon$ 。

储存于连续电荷に分布ぶんぷ的てき能のう量りょう

对于连续电荷分布ぶんぷ，前面ぜんめん的てき电势能のう方かた程ほど变为

$U={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r$ ；

其中，$\rho (\mathbf {r} )$ 是ぜ在ざい源みなもと位置いち $\mathbf {r}$ 的てき电荷密度みつど，$\mathbb {V}$ 是ぜ积分体たい积。

应用高こう斯定律ていりつ

$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$ ;

其中，$\mathbf {E}$ 是ぜ电场。

电势能のう为

${\begin{aligned}U&={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {V} }[\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )]\phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r\\&={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {\nabla } \cdot [\mathbf {E} (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )]-\mathbf {E} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r\\\end{aligned}}$ 。

应用散ち度たび定理ていり，可か以得到いた

$U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\oint _{\mathbb {S} }[\mathbf {E} (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )]\cdot \mathrm {d} ^{2}r-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}r$ ；

其中，$\mathbb {S}$ 是ぜ包つつみ住じゅう积分体たい积 $\mathbb {V}$ 的てき闭曲面めん。

当とう积分体たい积 $\mathbb {V}$ 趋向于无限げん大だい时，闭曲面めん $\mathbb {S}$ 的まと面めん积趋向こう于以变率 $r^{2}$ 递增，而电场、电势分ぶん别趋向こう于以变率 $1/r^{2}$ 、$1/r$ 递减，所以ゆえん，上述じょうじゅつ方かた程ほど左手ひだりて边第一个面积分项目趋向于零，电势能のう变为

$U=-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }\mathbf {E} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}r$ 。

电场与电势的てき微分びぶん关系为

$\mathbf {E} =-\nabla \phi$ 。

将はた这方程ほど代入だいにゅう，电势能のう变为

$U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }[E(\mathbf {r} )]^{2}\mathrm {d} ^{3}r$ 。

所以ゆえん，电势能のう密度みつど $u$ 为

$u(\mathbf {r} )={\frac {\epsilon _{0}}{2}}[E(\mathbf {r} )]^{2}$ 。

自身じしん能のう与あずか相互そうご作用さよう能のう

前面ぜんめん分ぶん别推导出两个电势能のう方かた程ほど：

$U={\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}$ 。

$U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }[E(\mathbf {r} )]^{2}\mathrm {d} ^{3}r$ 。

注意ちゅうい到いた第だい一个方程计算得到的电势能，可か以是正ぜせい值，也可以是负值；但ただし从第一个方程推导出来的第二个方程，其计算さん得え到いた的てき电势能のう则必定ひつじょう是正ぜせい值。为什么会发生这不一致いっち问题？原因げんいん是ぜ第だい一个方程只囊括了电荷与电荷之间的相互作用能；而第二个方程在推导过程中，无可避免地ち将はた电荷的てき自身じしん能のう也包括ほうかつ在ざい内ない。在ざい推导第だい一个方程时，在ざい位置いち $\mathbf {r} _{i}$ 的てき电势乃是，除じょ了りょう $q_{i}$ 以外いがい，所有しょゆう其它电荷共同きょうどう贡献出で的てき电势；而在推导第だい二个方程时，电势乃是所有しょゆう电荷共同きょうどう贡献出で的てき电势。

举一个双点电荷案例，假かり设电荷に $q_{1}$ 、$q_{2}$ 的てき位置いち分ぶん别为 $\mathbf {r} _{1}$ 、$\mathbf {r} _{2}$ ，则在任意にんい位置いち $\mathbf {r}$ 的てき电场为

$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}={\frac {q_{1}}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|^{3}}}+{\frac {q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|^{3}}}$ ，

其电势能密度みつど为

$u={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}={\frac {\epsilon _{0}}{2}}(E_{1}\,^{2}+E_{2}\,^{2}+2\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2})$ 。

很明显地，这方程ほど右手みぎて边的前ぜん两个项目分ぶん别为电荷 $q_{1}$ 、$q_{2}$ 的てき自身じしん能のう密度みつど $\epsilon _{0}E_{1}\,^{2}/2$ 、$\epsilon _{0}E_{2}\,^{2}/2$ 。最さい后きさき一个项目是否为相互作用能密度？为了回答かいとう这有意思いし的てき问题，继续计算相互そうご作用さよう能のう密度みつど的てき体からだ积积分ぶん：

$U_{int}=\int _{\mathbb {V} }u_{int}\ \mathrm {d} ^{3}r=\epsilon _{0}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\ \mathrm {d} ^{3}r={\frac {q_{1}q_{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|^{3}}}\ \cdot \ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\ \mathrm {d} ^{3}r$ 。

应用一いち条じょう矢や量りょう恒等こうとう式しき，

$\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)=-\ {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}$ ，

可か以得到いた

${\begin{aligned}U_{int}&={\frac {q_{1}q_{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\right)\ \cdot \ \nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\mathrm {d} ^{3}r\\&={\frac {q_{1}q_{2}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\nabla \ \cdot \ \left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\right]-\ \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\right)\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\mathrm {d} ^{3}r\\\end{aligned}}$ 。

应用散ち度たび定理ていり，可か以将这方程ほど右手みぎて边第一いち个项目め，从体积积分ぶん变为面めん积积分ぶん：

$\int _{\mathbb {V} }\nabla \ \cdot \ \left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\right]\mathrm {d} ^{3}r=\oint _{\mathbb {S} }\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)\right]\cdot \mathrm {d} ^{2}r$ ；

其中，$\mathbb {S}$ 是ぜ包つつみ住じゅう积分体たい积 $\mathbb {V}$ 的てき闭曲面めん。

假かり设 $\mathbb {V}$ 趋向于无穷大空おおぞら间，则这面めん积积分ぶん趋向于零。再さい应用一いち则关于狄拉克かつδでるた函数かんすう的てき矢や量りょう恒等こうとう式しき

$\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')$ ，

可か以得到いた

$U_{int}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {ALL\ SPACE} }{\frac {\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}\ \mathrm {d} ^{3}r={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q_{1}q_{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}$ 。

这就是ぜ双そう点てん电荷系けい统的电势能のう。