射影しゃえい作用素さようそ

変換へんかん P は直線ちょくせん m の上うえへの直交ちょっこう射影しゃえい

線型せんけい代数だいすう学がくおよび函数かんすう解析かいせき学がくにおける射影しゃえい作用素さようそあるいは単たんに射影しゃえい（しゃえい、英えい: projection）とは、いわゆる射影しゃえい（投影とうえい）を一般いっぱん化かした概念がいねんである。有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかん V の場合ばあいは、V 上うえの線型せんけい変換へんかん P: V → V であって、冪べき等とう律りつ P² = P を満みたすものを言いう。ベクトル v の像ぞう Pv を v の射影しゃえいという。射影しゃえい作用素さようそはベクトル空間くうかん V を U⊕W と直和なおかず分解ぶんかいしたときに、V の元もと v = u + w (u ∈ U, w ∈ W) を u に写うつすような変換へんかんである。ベクトル空間くうかんの次元じげんが無限むげん次元じげんの場合ばあいには、連続れんぞく性せいを考慮こうりょしなければならない。例たとえばヒルベルト空間くうかん ${\mathcal {H}}$ における射影しゃえい作用素さようそとは、${\mathcal {H}}$ 上うえの有界ゆうかい線型せんけい作用素さようそ $P\in {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})$ であって、冪べき等とう律りつ P² = P を満みたすものを言いう。このときさらに自己じこ共役きょうやく性せい P^∗ = P を持もつときには直交ちょっこう射影しゃえい（ちょっこうしゃえい、英えい: orthogonal projection）という。直交ちょっこう射影しゃえいのことを単たんに射影しゃえいと呼よぶこともある。

この定義ていぎは抽象ちゅうしょう的てきではあるが、投影とうえい図法ずほうの考かんがえ方かたを一般いっぱん化かし、定式ていしき化かしたものになっている。 幾何きか学がく的てき対象たいしょう上うえの射影しゃえいの影響えいきょうは、その対象たいしょうの各かく点てんにおける射影しゃえいの影響えいきょうを調しらべることでわかる。

平易へいいな例れい

直交ちょっこう射影しゃえい

例たとえば、三さん次元じげん空間くうかん R³ の点てん (x, y, z) を点てん (x, y, 0) へ写うつす写像しゃぞうは xy-平面へいめんの上うえへの射影しゃえいである。この写像しゃぞうは行列ぎょうれつ

$P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

によって表現ひょうげんされる。実際じっさい、この行列ぎょうれつ P の任意にんいのベクトルへの作用さようは

$P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}$

となり、これが射影しゃえいを定さだめること（つまり P = P² を満みたすこと）は

$P^{2}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}$

なる計算けいさんによって確たしかめられる。

斜はす交射影しゃえい

（定義ていぎは後述こうじゅつするが）直交ちょっこうでない（斜はす交）射影しゃえいの簡単かんたんな例れいとして

$P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}$

を挙あげることができる。行列ぎょうれつの積せきの定義ていぎに従したがって計算けいさんすれば

$P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P$

故ゆえに P が実際じっさいに射影しゃえいとなることが分わかる。

この射影しゃえい P が直交ちょっこう射影しゃえいとなるのは αあるふぁ = 0 のときであり、かつそのときに限かぎる。

分類ぶんるい

以下いか、本節ほんぶしにおいて考かんがえるベクトル空間くうかんはすべて有限ゆうげん次元じげんであるものと仮定かていする（この場合ばあい、射影しゃえいの連続れんぞく性せいなどを気きにしなくともすむ）。

変換へんかん T は k に沿そった m の上うえへの射影しゃえいである。T の値域ちいきは m であり、T の零れい空間くうかんは k に等ひとしい。

本ほん項こう冒頭ぼうとうの導入どうにゅう文ぶんで述のべたとおり、射影しゃえい P は冪べき等とう律りつすなわち P² = P を満みたすような線型せんけい変換へんかんである。

もととなるベクトル空間くうかんを W とする。W の部分ぶぶん線型せんけい空間くうかん U および V が、それぞれ P の値域ちいきおよび零れい空間くうかん（核かく）であるものと仮定かていすると、基本きほん的てきな性質せいしつとして

• P は U 上うえに恒等こうとう作用素さようそ I として作用さようする。つまり、
  $\forall x\in U,\quad Px=x.$
• 直和なおかず分解ぶんかい W = U ⊕ V が成立せいりつする。すなわち、W の各かくベクトル x は U の元もと u と V の元もと v を用もちいて x = u + v なる形かたちに一意的いちいてきに表あらわされる。これには
  $u=Px,\quad v=x-Px=(I-P)x$
  とすればよい。

などが成なり立たつことがわかる。射影しゃえいの値域ちいきと核かくは互たがいに「相補そうほ的てき」なもので、P と Q = I − P も同おなじく「相補そうほ的てき」である。すなわち、作用素さようそ Q もやはり射影しゃえいを定さだめ、Q の値域ちいきは P の核かく、Q の核かくは P の値域ちいきとなる。逆ぎゃくもまた然しかり。

このとき P を（核かく）V に沿そった（値域ちいき）U の上うえへの射影しゃえいと言いい、また Q を U に沿そった V の上うえへの射影しゃえいと呼よぶ。

ベクトル空間くうかんの、部分ぶぶん空間くうかんの直ちょく和わへの分解ぶんかいは一般いっぱんには一意的いちいてきでない。従したがって、部分ぶぶん空間くうかん V が与あたえられたとき、その値域ちいき（もしくは核かく）が V となるような射影しゃえいは一般いっぱんに複数ふくすう存在そんざいしうる。

射影しゃえいのスペクトルが {0, 1} に含ふくまれることは

$(\lambda I-P)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}I+{\frac {1}{\lambda (\lambda -1)}}P$

から分わかる。射影しゃえいの固有値こゆうちとなれるのは 0 および 1 に限かぎられるが、それらに対応たいおうする固有こゆう空間くうかんは射影しゃえいの核かくおよび値域ちいきに他たならない。

自明じめいでない射影しゃえいは最小さいしょう多項式たこうしきが $X^{2}-X=X(X-I)$ となり、これは相あい異ことなる一いち次じ因子いんしの積せきとなっているから、P は対たい角かく化か可能かのうである。

直交ちょっこう射影しゃえい

考かんがえているベクトル空間くうかんに内積ないせきが定義ていぎされていれば、直交ちょっこう性せいや（線型せんけい作用素さようその自己じこ共軛きょうやく性せい）といったような内積ないせきに付随ふずいするさまざまな概念がいねんを用もちいることができるようになる。直交ちょっこう射影しゃえいは、値域ちいき U と核かく V とが互たがいに直交ちょっこうする部分ぶぶん空間くうかんになっているような射影しゃえいをいう。射影しゃえいが直交ちょっこう射影しゃえいであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、それが自己じこ共軛きょうやくであること、即すなわち実じつベクトル空間くうかんの場合ばあいには、ある直交ちょっこう基底きていに関かんする表現ひょうげん行列ぎょうれつ P が対称たいしょう行列ぎょうれつ（P = P^T）であり、複素ふくそベクトル空間くうかんの場合ばあいには、表現ひょうげん行列ぎょうれつ P がエルミート行列ぎょうれつ（P = (P^*)^T)）となることである。実際じっさいに、x, y が射影しゃえいの定義ていぎ域いきに属ぞくするベクトルのとき、 Px ∈ U, y − Py ∈ V であり、かつ $\langle \bullet ,\bullet \rangle$ を正せい定値ていち内積ないせきとして

$\langle Px,y-Py\rangle =(Px)^{\top }(y-Py)=x^{\top }(P^{\top }-P^{\top }P)y=x^{\top }(P-P^{\top }P)^{\top }y$

が成なり立たつから、Px と y − Py とが任意にんいの x, y に関かんして互たがいに直交ちょっこうするのは、P = P^TP（これは P = P^T かつ P = P² に同値どうち）のときであり、かつそのときに限かぎる。

直線ちょくせんの上うえへの直交ちょっこう射影しゃえいの場合ばあいが最もっとも簡単かんたんであろう。直線ちょくせん上じょうの単位たんいベクトル u をとれば、当該とうがいの射影しゃえいは

$P_{u}=uu^{\top }$

で与あたえられる。この作用素さようそは u を変かえないし、また u に直交ちょっこうする全すべてのベクトルを零れい化かする。このことは、u を含ふくむどんな直線ちょくせんの上うえへの射影しゃえいについても正ただしい。これを見みるのに簡単かんたんな方法ほうほうは、勝手かってなベクトル x を直線ちょくせん上じょうの成分せいぶん（つまり射影しゃえいされたベクトルを考かんがえる）とそれに垂直すいちょくな成分せいぶんとの和わ

$x:=x_{\parallel }+x_{\perp }$

と考かんがえることである。これに射影しゃえいを施ほどこせば、平行へいこうなベクトル同士どうしの内積ないせきと垂直すいちょくなベクトル同士どうしの内積ないせきの性質せいしつから

$P_{u}x=uu^{\top }x_{\parallel }+uu^{\top }x_{\perp }=u|x_{\parallel }|+u0=x_{\parallel }$

を得える。

この等式とうしきは任意にんい次元じげんの部分ぶぶん空間くうかんの上うえへの直交ちょっこう射影しゃえいにも拡張かくちょうすることができる。u₁, ..., u_k を部分ぶぶん空間くうかん U の正規せいき直交ちょっこう基底きていとし、各かく列れつベクトルが u₁, ..., u_k になっている k-次じ正方せいほう行列ぎょうれつを A と書かけば、所期しょきの射影しゃえいが

$P_{A}=AA^{\top }$

で表あらわされる。これは内積ないせきを使つかえば

$P_{A}=\sum _{i}\langle u_{i},\bullet \rangle u_{i}$

と書かくこともできる。行列ぎょうれつ A^T は U の直交ちょっこう成分せいぶんが消きえる部分ぶぶん等とう距変換へんかんであり、A は U を考かんがえている全体ぜんたい空間くうかんへ埋うめ込こむ等ひとし長ちょう変換へんかんになっている。従したがって P_A の値域ちいきは A の終おわり空間くうかん (final space) であり、また A^TA が U 上うえの恒等こうとう変換へんかんであることは明あきらかである。

上記じょうきの議論ぎろんで正規せいき直交ちょっこう条件じょうけんは落おとすこともできる。即すなわち、u₁, …, u_k を（必かならずしも正規せいき直交ちょっこうでない）基底きていとし、それらを列れつベクトルに持もつ行列ぎょうれつを A と書かけば、求もとめる射影しゃえいは

$P_{A}=A(A^{\top }A)^{-1}A^{\top }$

と書かける。この場合ばあいも行列ぎょうれつ A は U の全体ぜんたい空間くうかんへの埋うめ込こみになっているが、しかし一般いっぱんにはもはや等とう距変換へんかんではない。ここで行列ぎょうれつ (A^TA)⁻¹ はノルムを回復かいふくする「正規せいき化か因子いんし」である。実際じっさい、階数かいすう 1 の作用素さようそ uu^T は ‖u‖ ≠ 1 のとき射影しゃえいにならないが、これをu^Tu = ‖u‖² で割わって得えられる u(u^Tu)⁻¹u^T は u で張はられる部分ぶぶん空間くうかんの上うえへの射影しゃえいになる。

この射影しゃえいの値域ちいきとなるベクトル空間くうかんが（基底きていではなくて）枠わく (frame) で張はられているとき（つまり生成せいせい元もとの数かずが次元じげんの値ねよりも大おおきいとき）には、上記じょうきの公式こうしきは

$P_{A}=A(A^{\top }A)^{+}A^{\top }$

という形かたちになる。ここで $A^{+}$ はムーア・ペンローズ擬似ぎじ逆ぎゃく行列ぎょうれつを表あらわす。このような場合ばあいには、射影しゃえい作用素さようそを構成こうせいする方法ほうほうは無数むすうにあり、これはその無数むすうの可能かのう性せいのうちの一ひとつに過すぎないことに注意ちゅういすべきである。

あるいは、行列ぎょうれつ $[A\ B]$ が正則せいそくで A^TB = 0（つまり、B は A の零れい空間くうかん行列ぎょうれつ）のときには

$I=A(A^{\top }A)^{-1}A^{\top }+B(B^{\top }B)^{-1}B^{\top }$

が成なり立たつ。直交ちょっこう条件じょうけんを強つよめて、正則せいそく行列ぎょうれつ W に対たいして A^TWB = A^TW^TB = 0 が成なり立たつものとすれば、

$I={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}(A^{\top }WA)^{-1}A^{\top }\\(B^{\top }WB)^{-1}B^{\top }\end{bmatrix}}W$

が成立せいりつする。

これらの公式こうしきは（転置てんち行列ぎょうれつを随伴ずいはん行列ぎょうれつに取とり替かえれば）複素ふくそ内積ないせき空間くうかんでも成立せいりつする。

斜はす交射影しゃえい

直交ちょっこう射影しゃえいでないような射影しゃえいのことを、斜はす交射影しゃえいと呼よぶこともある。直交ちょっこう射影しゃえいほど頻繁ひんぱんではないが、この種たねの射影しゃえいは二に次元じげんに描画びょうがされた空間くうかん図形ずけいを表あらわすのにも用もちいられる。

斜はす交射影しゃえいはその値域ちいきと核かくによって定さだまり、与あたえられた値域ちいきと核かくを持もつ射影しゃえいの行列ぎょうれつ表現ひょうげんの式しきは次つぎのように求もとめられる。まず射影しゃえいの値域ちいきの基底きていを成なすベクトルを u₁, …, u_k とし、それらを列れつベクトルとして並ならべた n × k 行列ぎょうれつを A と書かく。射影しゃえいの値域ちいきと核かくとは互たがいに補ほ空間くうかんになっているから、核かくの次元じげんは n − k である。従したがって、射影しゃえいの核かくの直交ちょっこう補ほ空間くうかんの次元じげんは k であり、v₁, …, v_k がその基底きていを成なすものとして、それらを並ならべた行列ぎょうれつを B と書かく。このとき、当該とうがいの射影しゃえいは

$P=A(B^{\top }A)^{-1}B^{\top }$

によって定さだまる。この公式こうしきを、上うえで直交ちょっこう射影しゃえいに対たいしてやったように拡張かくちょうすることもできる。

標準ひょうじゅん形がた

体からだ上じょうの d-次元じげんベクトル空間くうかん上じょうの射影しゃえい P = P² は、その最小さいしょう多項式たこうしきが x² − x で相あい異ことなる一いち次じ因子いんしの積せきに分解ぶんかいされるから、対たい角かく化か可能かのうである。従したがって、適当てきとうな基底きていを選えらべば P は、r を P の階数かいすうとして

$P=I_{r}\oplus 0_{d-r}$

なる形かたちに表あらわすことができる。ここで、I_r は r-次じ単位たんい行列ぎょうれつ、0_d−r は次数じすう d − r の零れい行列ぎょうれつである。複素ふくそベクトル空間くうかんで内積ないせきを持もつ場合ばあいには、適当てきとうな正規せいき直交ちょっこう基底きていを選えらんで、P の表現ひょうげん行列ぎょうれつを

$P={\begin{bmatrix}1&\sigma _{1}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus \cdots \oplus {\begin{bmatrix}1&\sigma _{k}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus I_{m}\oplus 0_{s}$

なる形かたちにすることができる。ただし、σしぐま₁ ≥ σしぐま₂ ≥ … ≥ σしぐま_k > 0 とする。また、k, s, m は整数せいすうで、実数じっすう σしぐま_i は一意いちいに定さだまる。2k + s + m = d であることに注意ちゅういせよ。このときの、I_m ⊕ 0_s なる因子いんしは、その上うえに P が直交ちょっこう射影しゃえいとして作用さようする最大さいだいの不変ふへん空間くうかんに対応たいおうしており（故ゆえに P 自体じたいが直交ちょっこう射影しゃえいとなるのは k = 0 のとき、かつそのときに限かぎる）、かつ σしぐま_i-ブロックが P の斜はす交成分せいぶんに対応たいおうしている。

ノルム空間くうかん上じょうの射影しゃえい作用素さようそ

考かんがえるベクトル空間くうかん X が（有限ゆうげん次元じげんとは限かぎらない）ノルム空間くうかんのとき、（有限ゆうげん次元じげんの場合ばあいには関係かんけいないが）解析かいせき学がく的てきなことも考かんがえないといけないので、ここでは X はバナッハ空間くうかんであることを仮定かていする。

先さきに述のべた代数だいすう的てきな概念がいねんの多おおくはこの文脈ぶんみゃくにおいても有効ゆうこうである。例たとえば、互たがいに補ほ空間くうかんとなるような部分ぶぶん空間くうかんへの X の直和なおかず分解ぶんかいが与あたえられればやはり射影しゃえいが定さだまるし、逆ぎゃくに射影しゃえいからそのような直和なおかず分解ぶんかいが得えられる。実際じっさい、X が直和なおかず分解ぶんかい X = U ⊕ V を持もつとき、P(u + v) = u で定義ていぎされる作用素さようそはやはり値域ちいき U および核かく V の射影しゃえいである（P² = P は明あきらかである）。一方いっぽう P が X 上うえの射影しゃえい、即すなわち P² = P を満みたすならば (I − P)² = (I − P) は容易よういに確たしかめられ、即すなわち (I − P) もまた射影しゃえいとなる。関係かんけい式しき I = P + (I − P) から X が Ran(P) ⊕ Ran(I − P) なる直和なおかずに分解ぶんかいされることが従したがう。

しかし、有限ゆうげん次元じげんの場合ばあいとは対照たいしょう的てきに、射影しゃえいは一般いっぱんに連続れんぞくとは限かぎらない。実際じっさい、X の部分ぶぶん空間くうかん U がノルムの定さだめる位相いそうに関かんして閉でないときは U の上うえへの射影しゃえいは連続れんぞくでない。同おなじことだが、連続れんぞくな射影しゃえい P の値域ちいきは必かならず閉部分ぶぶん空間くうかんでなければならない。更さらには、連続れんぞく射影しゃえいの（実じつは一般いっぱんの連続れんぞく線型せんけい作用素さようその）核かくは閉部分ぶぶん空間くうかんである。従したがって、連続れんぞく射影しゃえい P は X の互たがいに補おぎなえ空間くうかんとなる閉部分ぶぶん空間くうかんの直ちょく和わへの分解ぶんかい X = Ran(P) ⊕ Ker(P) = Ran(P) ⊕ Ran(I − P) を与あたえる。

逆ぎゃくは、適当てきとうな仮定かていを追加ついかすれば成なり立たつ。U を X の閉部分ぶぶん空間くうかんとすると、X = U ⊕ V となる閉部分ぶぶん空間くうかん V が存在そんざいする場合ばあいに限かぎり、値域ちいきが U, 核かくが V となる射影しゃえい P は連続れんぞくである。これは閉グラフ定理ていりから従したがう。即すなわち、x_n → x かつ Px_n → y とするとき、Px = y が示しめされればよい。U が閉で、{Px_n} ⊂ U だから y は U に属ぞくし、Py = y が成なり立たつ。また、x_n − Px_n = (I − P)x_n → x − y である。このとき、V は閉で {(I − P)x_n} ⊂ V だったから、x − y ∈ V 即すなわち P(x − y) = Px − Py = Px − y = 0 を得えて、主張しゅちょうが示しめされる。

今いまの議論ぎろんでは U, V がともに閉であるという仮定かていが効きいているが、閉部分ぶぶん空間くうかん U が与あたえられたときにその閉補空間くうかん V の存在そんざいは一般いっぱんには保証ほしょうされない。ただし、ヒルベルト空間くうかんでは直交ちょっこう補ほ空間くうかんをとることで常つねにそれができる。バナッハ空間くうかんの場合ばあいには、一いち次元じげん部分ぶぶん空間くうかんが常つねに閉補空間くうかんを持もつことが、ハーン・バナッハの定理ていりから直ただちに従したがう。実際じっさい、U を u が張はる一いち次元じげん部分ぶぶん空間くうかんとすると、ハーン・バナッハから、有界ゆうかい線型せんけい汎ひろし函数かんすう φふぁい で φふぁい(u) = 1 なるものがとれる。このとき、作用素さようそ P(x) := φふぁい(x)u は P² = P を満足まんぞくし、射影しゃえいとなる。φふぁい の有界ゆうかい性せいから P の連続れんぞく性せいが出でるから、従したがって Ker(P) = Ran(I − P) が U の閉補空間くうかんとなる。

そうは言いうものの、開ひらけ写像しゃぞう定理ていりにより、バナッハ空間くうかん上じょうの任意にんいの連続れんぞく射影しゃえいは開ひらけ写像しゃぞうであることが言いえる。

応用おうようおよびさらに進すすんだ議論ぎろん

射影しゃえい（直交ちょっこう射影しゃえいとその他た）は、線形せんけい代数だいすうの問題もんだいでのいくつかの計算けいさんアルゴリズムにおいて、重要じゅうような役割やくわりを果はたす。

• QR分解ぶんかい (ハウスホルダー変換へんかんとグラム・シュミットの正規せいき直交ちょっこう化か法ほうを参照さんしょう)
• 特異とくい値ち分解ぶんかい
• ヘッセンベルク形式けいしき への変換へんかん (多おおくの固有値こゆうち計算けいさんアルゴリズムでの最初さいしょの処理しょり)
• 線形せんけい回帰かいき

上うえで述のべたように、射影しゃえいというのは冪べき等とう作用素さようその特別とくべつなものであり、解析かいせき学的がくてきには直交ちょっこう射影しゃえいは特性とくせい函数かんすうの非ひ可か換かわな一般いっぱん化かになっている。可か測はか集合しゅうごうの特性とくせい函数かんすうを考かんがえることから測度そくど論ろんが始はじまったように、冪べき等とう作用素さようそは（例たとえば半はん単純たんじゅん多元たげん環たまきなどの）分類ぶんるいにも用もちいられ、それゆえ想像そうぞうのつくとおり、射影しゃえい作用素さようそも作用素さようそ環たまき論ろんの文脈ぶんみゃくで極きわめて頻繁ひんぱんに用もちいられる。特とくに、フォン・ノイマン環たまきはその射影しゃえいの成なす完備かんび束たばによって生成せいせいされる。

物理ぶつりへの応用おうよう

量子りょうし論ろんでは，ある条件じょうけんを満みたす状態じょうたいの全体ぜんたいは状態じょうたい空間くうかんの部分ぶぶん空間くうかんと考かんがえることができるので，量子力学りょうしりきがく的てきな命題めいだいと部分ぶぶん空間くうかん，すなわち射影しゃえい演算えんざん子ことを対応たいおうさせることができる(量子りょうし論理ろんり)．

統計とうけい力学りきがくでは、運動うんどうの粗あら視し化かを射影しゃえい演算えんざん子こを使つかって定式ていしき化かする方法ほうほう(射影しゃえい演算えんざん子この方法ほうほう)がある．

分子ぶんし対称たいしょう性せい、分子ぶんし振動しんどう、格子こうし振動しんどう、結晶けっしょうの波動はどう関数かんすうでは、任意にんいの関数かんすうからある対称たいしょう性せいに従したがう関数かんすうのみを作つくりたい時ときに、射影しゃえい演算えんざん子こが用もちいられる。たとえば射影しゃえい演算えんざん子こを用もちいれば、既すんで約やく表現ひょうげんの表現ひょうげん行列ぎょうれつからその基底きてい関数かんすう（基準きじゅん振動しんどう、基準きじゅんモードなど）を求もとめることができる。

一般いっぱん化か

より一般いっぱんに、ノルム空間くうかんの間あいだの写像しゃぞう T: V → W が与あたえられたとき、同おなじようにこれが核かくの直交ちょっこう補ほ空間くうかん上じょうの等とう距写像ぞうとなることを要求ようきゅうすることができる。その $(\ker T)^{\perp }\to W$ は等とう距であり、特とくに全ぜん射しゃでなければならない。直交ちょっこう射影しゃえいの場合ばあいというのは W が V の部分ぶぶん空間くうかんであるときである。リーマン幾何きか学がくにおいてこのことはリーマン沈しずめ込こみの定義ていぎに使つかわれている。

参考さんこう文献ぶんけん

• Dunford, N.; Schwartz, J. T. (1958). Linear Operators, Part I: General Theory. Interscience. Zbl 0084.10402 
• Meyer, Carl D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-89871-454-8. Zbl 0962.15001. http://www.matrixanalysis.com/ 
• Reed, Michael; Simon, Barry (1980). Methods of modern mathematical physics I: Functional analysis (Rev. and enl. ed.). Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. MR0751959. Zbl 0459.46001. https://books.google.co.jp/books?id=fXX0j4qa8G8C 
• 齋藤さいとう, 正彦まさひこ『線型せんけい代数だいすう入門にゅうもん』（初版しょはん）東京大学とうきょうだいがく出版しゅっぱん会かい〈基礎きそ数学すうがく1〉、1966年ねん。ISBN 978-4-13-062001-7。http://www.utp.or.jp/bd/4-13-062001-0.html。 
• 黒田くろだ, 成俊なりとし『関数かんすう解析かいせき』共立きょうりつ出版しゅっぱん株式会社かぶしきがいしゃ〈共立きょうりつ数学すうがく講座こうざ 15〉、1980年ねん。ISBN 978-4-320-01106-9。 

関連かんれん項目こうもく

• Centering matrix, which is an example of a projection matrix.
• 直交ちょっこう化か
• 不変ふへん部分ぶぶん空間くうかん
• 跡あと
• ダイクストラの射影しゃえいアルゴリズム (Dykstra's projection algorithm): to compute the projection onto an intersection of sets

外部がいぶリンク

• MIT Linear Algebra Lecture on Projection Matrices at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• Planar Geometric Projections Tutorial - a simple-to-follow tutorial explaining the different types of planar geometric projections.