経済けいざい成長せいちょうの黄金おうごん律りつ

黄金おうごん律りつのイメージ

経済けいざい成長せいちょうの黄金おうごん律りつ（けいざいせいちょうのおうごんりつ）は、一定いっていの成長せいちょう率りつで進すすむ経済けいざい成長せいちょうのうちで、消費しょうひが最もっとも多おおい経済けいざい成長せいちょうである。黄金おうごん則のりとも訳やくす。

エドムンド・フェルプスの寓話ぐうわは、むかしむかしソロヴィア王国おうこくの百姓ひゃくしょうオイコ・ノモスが黄金おうごん律りつを思おもいつきました、という筋書すじがきだが、本当ほんとうは1960年代ねんだいの初はじめにフェルプスをふくむ数すう人にんの経済けいざい学者がくしゃがそれぞれ独自どくじに黄金おうごん律りつを発案はつあんした。フェルプスらの定理ていりによると、利子りし率りつが成長せいちょう率りつに等ひとしいのが黄金おうごん律りつである。

黄金おうごん律りつでは資本しほんが稼かせいだ収益しゅうえきを全すべて投資とうしして蓄積ちくせきする。このことを蓄積ちくせきの黄金おうごん律りつとも資本しほん蓄積ちくせきの黄金おうごん律りつともいう。黄金おうごん律りつでは資本しほん収益しゅうえきを全すべて再さい投資とうししないといけないので、資本しほんを所有しょゆうするだけの不労所得ふろうしょとく生活せいかつ者しゃは何なにも消費しょうひできない。黄金おうごん律りつの実現じつげんは経済けいざいの成熟せいじゅくを示しめす。

黄金おうごん律りつは単純たんじゅんなので分わかりやすい。最適さいてき成長せいちょう理論りろんの基本きほん中ちゅうの基本きほんとされる。政策せいさく当局とうきょくは黄金おうごん律りつに魅みせられて、黄金おうごん律りつをめざしたいと思おもうことがあるという。

概要がいよう

均斉きんせい成長せいちょう（黄金おうごん時代じだい）

1961年ねんに黄金おうごん律りつを提唱ていしょうしたフェルプスは、全すべての経済けいざい変数へんすうがそれぞれ一定いっていの成長せいちょう率りつで伸のびてゆく経済けいざい成長せいちょうを黄金おうごん時代じだいとよんだ。

1920年代ねんだいのジョーン。これよりおよそ30年ねん後ごに黄金おうごん時代じだいを定義ていぎする。

この黄金おうごん時代じだいの概念がいねんは1956年ねんにジョーン・ロビンソンが定義ていぎした。現実げんじつには経済けいざいが厳密げんみつに一定いっていの伸のび率りつで成長せいちょうしつづけることはないので、黄金おうごん時代じだいという言葉ことばには「実現じつげんしそうにない神話しんわ的てきな状態じょうたい」という意味いみがこめられていた。もともと黄金おうごん時代じだいはギリシア神話しんわ上うえの時代じだい区分くぶんのひとつであり、最もっとも古ふるく長ながくつづいた時代じだいであったとされる。フェルプスが黄金おうごん律りつを提唱ていしょうしたときの寓話ぐうわは、古代こだいギリシア風ふうの架空かくうの王国おうこくを舞台ぶたいとし、その主人公しゅじんこうは古代こだいギリシア語ごの「経済けいざい」をモジったオイコ・ノモスという名なであった。

黄金おうごん律りつが提唱ていしょうされた当時とうじは経済けいざい学がくで黄金おうごん時代じだいという言葉ことばがつかわれていた。現在げんざいは経済けいざい学がくで黄金おうごん時代じだいという言葉ことばをつかうことはほとんどなく、そのかわりに均斉きんせい成長せいちょうという。これを恒常こうじょう状態じょうたいともいうが、経済けいざい学者がくしゃによっては成長せいちょう率りつがゼロの場合ばあいに限かぎってこれを恒常こうじょう状態じょうたいとよぶことがあるというので気きをつける。

黄金おうごん律りつが提唱ていしょうされる少すこし前まえ、ニコラス・カルドアは経済けいざい統計とうけいを観察かんさつし、現実げんじつの経済けいざい成長せいちょうがおおむね均斉きんせい成長せいちょうであるという事実じじつを発見はっけんした。カルドアはこれを定型ていけい化かされた事実じじつとよび、黄金おうごん律りつが提唱ていしょうされた年としと同おなじ1961年ねんに公表こうひょうした。現代げんだいの経済けいざい成長せいちょう理論りろんでも、均斉きんせい成長せいちょうは現実げんじつを要約ようやくして記述きじゅつする概念がいねんとして有益ゆうえきであると考かんがえられている。

均斉きんせい成長せいちょうにおける技術ぎじゅつ進歩しんぽは資本しほんの生産せいさん効率こうりつを高たかめずに労働ろうどうの生産せいさん効率こうりつを高たかめるかのようなかたちになる。これを労働ろうどう拡張かくちょう型がた技術ぎじゅつ進歩しんぽという。このことは、1961年ねんに宇沢うざわ弘文ひろふみが発表はっぴょうした論文ろんぶんで証明しょうめいされた（宇沢うざわの定理ていり）。これと同おなじ1961年ねんに黄金おうごん律りつを提唱ていしょうしたフェルプスは、初はじめこのことに気きづいていなかったが、1965年ねんの第だい二に論文ろんぶんでこれを取とりいれた。

黄金おうごん律りつ

均斉きんせい成長せいちょう（黄金おうごん時代じだい）は成長せいちょう率りつが一定いっていであるというだけで、それ自体じたいが望のぞましいというわけではない。一方いっぽう、フェルプスは、黄金おうごん時代じだい（ゴールデン・エイジ）で望のぞましいルールを黄金おうごん律りつ（ゴールデン・ルール）とよんだ。黄金おうごん律りつは消費しょうひを最大さいだい化かする黄金おうごん時代じだい（均斉きんせい成長せいちょう）と定義ていぎされる。

黄金おうごん律りつで最大さいだい化かされるのは消費しょうひであって、生産せいさんや所得しょとくが最大さいだい化かされるわけではない。政策せいさく評価ひょうかや経済けいざい分析ぶんせきの実務じつむでは国内こくない総そう生産せいさんや国民こくみん所得しょとくで豊ゆたかさを測はかるが、経済けいざい学がくでは消費しょうひで豊ゆたかさを評価ひょうかする。

1984年ねんのフェルプス。この23年ねん前まえに黄金おうごん律りつを提唱ていしょうした。

黄金おうごん律りつの定理ていりによると、資本しほん収益しゅうえき率りつ（利子りし率りつ）が成長せいちょう率りつに等ひとしくなる均斉きんせい成長せいちょうが存在そんざいする場合ばあい、その均斉きんせい成長せいちょうが消費しょうひを最大さいだい化かする黄金おうごん律りつである。この定理ていりを言葉ことばで説明せつめいすると次つぎのとおりである。資本しほんを増ふやしたうえで成長せいちょう率りつ一定いっていの均斉きんせい成長せいちょうをたもつと、資本しほんが増ふえたことで生産せいさんが増ふえて消費しょうひが増ふえるが、その一方いっぽうで、均斉きんせい成長せいちょうをたもつには資本しほんへの再さい投資とうしを増ふやさないといけないので、その再さい投資とうしの分ぶんだけ消費しょうひが減へってしまう。すると、増産ぞうさんで消費しょうひの増ふえる分ぶんと、再さい投資とうしで消費しょうひの減へる分わかとがバランスするところがあれば、そこで消費しょうひが最大さいだい化かされる。そして、資本しほんの増ふえた分ぶんに資本しほん収益しゅうえき率りつをかけた分ぶんだけ生産せいさんが増ふえ、また、資本しほんの増ふえた分ぶんに成長せいちょう率りつをかけた分ぶんだけ再さい投資とうししないと均斉きんせい成長せいちょうをたもてないことがわかっている。これらを考かんがえあわせると、資本しほん収益しゅうえき率りつと成長せいちょう率りつがバランスするところが、増産ぞうさんで消費しょうひの増ふえる分わかと再さい投資とうしで消費しょうひの減へる分ぶんがバランスするところであり、そこが消費しょうひを最大さいだい化かする黄金おうごん律りつである。つまり資本しほん収益しゅうえき率りつと成長せいちょう率りつが等ひとしくなるところが黄金おうごん律りつである。以上いじょうについて数式すうしきをもちいた説明せつめいは黄金おうごん律りつの定理ていりの節ふしを参照さんしょう。

黄金おうごん律りつのアイデアは1947年ねんにモーリス・アレがフランス語ふらんすごで著あらわした本ほんにさかのぼるといわれるが、黄金おうごん律りつの名なで広ひろく知しられるようになったは、1961年ねんにフェルプスが寓話ぐうわのかたちのペーパーをアメリカン・エコノミック・レビュー誌しで発表はっぴょうしてからである。その後ごフェルプスは1965年ねんに同誌どうしで第だい二に論文ろんぶんを発表はっぴょうし、1966年ねんに著書ちょしょ『経済けいざい成長せいちょうの黄金おうごん律りつ』を刊行かんこうした。この間あいだ、黄金おうごん律りつと同様どうようのアイデアは、モーリス・アレやジョーン・ロビンソン、トレイヴァー・スワン、カール・クリスティアン・フォン・ヴァイツゼッカー、ジャック・デルソーによっても発表はっぴょうされた。

2006年ねんフェルプスがノーベル経済けいざい学がく賞しょうを受賞じゅしょうした際さい、フェルプスの業績ぎょうせきの一ひとつに黄金おうごん律りつに関かんする研究けんきゅうが挙あげられた。

黄金おうごん律りつ貯蓄ちょちく率りつ

フェルプスの寓話ぐうわはソロヴィア王国おうこくを舞台ぶたいとする。ソロヴィア王国おうこくという国名こくめいはフェルプスの同僚どうりょう学者がくしゃロバート・ソローの姓せいをモジったものであり、ソローの成長せいちょうモデルは貯蓄ちょちく率りつ s を一定いっていと仮定かていするモデルであった。フェルプスが初はじめて黄金おうごん律りつを提唱ていしょうしたとき、ソロヴィア王国おうこくの人ひとびとは単純たんじゅんなので生産せいさん物ぶつの一定いってい割合わりあい s を蓄積ちくせきするものと仮定かていして、s の中なかから消費しょうひを最大さいだい化かする黄金おうごん律りつをえらぶという考かんがえ方かたをしていた。この考かんがえ方かたによると、黄金おうごん律りつでは、資本しほん収益しゅうえきの所得しょとくに占しめる割合わりあいと s が等ひとしくなるという関係かんけいが成なりたつ。この関係かんけいをフェルプスは蓄積ちくせきの黄金おうごん律りつとよんだ。資本しほん蓄積ちくせきの黄金おうごん律りつともよばれる。

このように s を一定いっていと仮定かていして導みちびいた黄金おうごん律りつの s を黄金おうごん律りつ貯蓄ちょちく率りつという。フェルプスは1965年ねんの第だい二に論文ろんぶん以降いこう、s を一定いっていを仮定かていすることはなく、均斉きんせい成長せいちょうで結果けっかとして s が一定いっていになることを導みちびいている。

最適さいてき成長せいちょう理論りろん

世界銀行せかいぎんこうレポート『黄金おうごん成長せいちょう』によると、黄金おうごん律りつは最適さいてき成長せいちょう理論りろんで最もっとも基本きほん的てきな命題めいだいであると今いまも多おおくの経済けいざい学者がくしゃが考かんがえているという。また、ある学術がくじゅつ博士はかせはブログで、最適さいてき成長せいちょう理論りろんは無限むげんの未来みらいの消費しょうひを最大さいだい化かする、これが黄金おうごん律りつなのだ、というようなことを書かいている。しかし、以下いかで述のべるように、最適さいてき成長せいちょう理論りろんにおける黄金おうごん律りつの位置いちづけはそれほど簡単かんたんなものではない。

黄金おうごん律りつに向むかう道みちすじ

2008年ねん時点じてんのフェルプスは黄金おうごん律りつを目指めざすのが最適さいてきといえないと認みとめているが、1961年ねんに黄金おうごん律りつを提唱ていしょうした当初とうしょのフェルプスは黄金おうごん律りつを望のぞましいものとして扱あつかっていた。この場合ばあい、すでに黄金おうごん律りつに達たっしているときは黄金おうごん律りつをたもてばいいが、黄金おうごん律りつから外はずれているときはどのような道みちすじで黄金おうごん律りつに向むかえばいいかという問題もんだいがある。この問題もんだいについてフェルプスは、寓話ぐうわの主人公しゅじんこうオイコ・ノモスに次つぎのように主張しゅちょうさせている（意訳いやく）。

何なにとしてでも今後こんごずっと確実かくじつに黄金おうごん律りつの道みちすじを進すすむべきです。黄金おうごん律りつでは資本しほんと生産せいさんの比率ひりつが決きまっています。今いまの資本しほん生産せいさん比率ひりつが黄金おうごん律りつより低ひくければ、その不足ふそく分ぶんがなくなるまで消費しょうひを先送さきおくりすべきです。今いまの資本しほん生産せいさん比率ひりつが黄金おうごん律りつを超こえていれば、その超ちょう過分かぶんがなくなるまで消費しょうひを前倒まえだおしすべきです。ひとたび黄金おうごん律りつに到達とうたつしたら、そのあとは黄金おうごん律りつで投資とうしすることを皆みなで誓ちかわなくてはいけません。黄金おうごん律りつにしたがって投資とうし比率ひりつを収益しゅうえき比率ひりつと一致いっちさせてゆけば、後あとで悔くやむことにならないでしょう。こうして最適さいてきに準じゅんじる社会しゃかい投資とうし政策せいさくの基礎きそができあがるのです。

いそいで黄金おうごん律りつを達成たっせいすべきだというのがオイコ・ノモスの主張しゅちょうだが、最後さいごで「最適さいてきに準じゅんじる」と語かたらせているあたり、この主張しゅちょうの甘あまさをフェルプス自身じしんが認みとめていることを表あらわしている。厳密げんみつな理論りろんを構成こうせいするためには、何なにが最適さいてきであるかを厳密げんみつに定さだめる必要ひつようがある。フェルプスの寓話ぐうわの筋書すじがきは、数学すうがく者しゃたちが最適さいてきをもとめて極きょく値ち問題もんだいや汎ひろし函数かんすうやハミルトニアンに取とりくみました、しかし実現じつげんできる答こたえを出だせませんでした、そこで大おおがかりな最適さいてき化か問題もんだいを忘わすれて単純たんじゅんに考かんがえることになりました、そして賢かしこい百姓ひゃくしょうオイコ・ノモスが黄金おうごん律りつを思おもいつきました、という話はなしであった。経済けいざい成長せいちょうの最適さいてき化か問題もんだいは、フェルプスが寓話ぐうわを発表はっぴょうしたあと、次つぎに述のべる最適さいてき成長せいちょうモデルで解とかれる。

最適さいてき成長せいちょうモデル

最適さいてき成長せいちょうモデルの位相いそう図ず。青あおい線せんが均斉きんせい成長せいちょうに向むかう最適さいてきな道みちすじを示しめす鞍点あんてん経路けいろである。kとcの間あいだには、新しん古典こてん派は成長せいちょうモデルの節ふしで示しめす関係かんけいがあり、時間じかんの経過けいかとともに矢印やじるしの方向ほうこうに変化へんかする。k不変ふへんの曲線きょくせん上じょうのcの最大さいだい点てんが黄金おうごん律りつ。均斉きんせい成長せいちょうのcやkは黄金おうごん律りつより低ひくい。

1960年代ねんだい、フェルプスらの黄金おうごん律りつの研究けんきゅうと並行へいこうして、デイヴィッド・キャスやチャリング・クープマンスが最適さいてき成長せいちょうモデルをつくりあげた。最適さいてき成長せいちょうモデルは経済けいざいの進すすむべき望のぞましい道みちすじを一本いっぽんえらぶ。その結果けっかは、望のぞましい道みちすじの先さきにある均斉きんせい成長せいちょうにおいて、資本しほん収益しゅうえき率りつが成長せいちょう率りつを上うえまわり、消費しょうひが黄金おうごん律りつより少すくなくなる。

最適さいてき成長せいちょうモデルが黄金おうごん律りつに達たっしないわけは、黄金おうごん律りつに達たっすると社会しゃかい厚生こうせいが無限むげんになってしまって都合つごうがわるいからである。このことを説明せつめいすると次つぎのとおりである。最適さいてき成長せいちょうモデルは、人々ひとびとの日々ひびの消費しょうひを数値すうちで評価ひょうかし、その数値すうちを無限むげんの未来みらいまで積つみあげて社会しゃかい厚生こうせいを計算けいさんし、その社会しゃかい厚生こうせいを最大さいだいにするように、経済けいざいの進すすむべき道みちすじを一本いっぽんえらぶ。日々ひびの消費しょうひを評価ひょうかするにあたっては、未来みらいを先さきにゆけばゆくほど日々ひびの消費しょうひを割わり引びいて評価ひょうかする。これは、目先めさきの消費しょうひを優先ゆうせんして、先さきゆきの消費しょうひを犠牲ぎせいにする傾向けいこうがあるということなので、長ながい目めでみると消費しょうひが黄金おうごん律りつより少すくなくなる。先さきゆきの消費しょうひをあまり割わり引びかないようにすれば長ながい目めでみて消費しょうひは増ふえるが、そうして消費しょうひを増ふやして黄金おうごん律りつに近ちかづけてゆくと、社会しゃかい厚生こうせいが無限むげん大だいになってしまう。社会しゃかい厚生こうせいが無限むげん大だいというのは素晴すばらしいことのように思おもえるが、無限むげん大だいのまわりどれも無限むげん大だいなので、一本いっぽんの道みちすじをえらべない。道みちすじを一いち本ほんえらべるようにすると黄金おうごん律りつに達たっしない。いいかえると、道みちすじを一本いっぽんえらぶ最適さいてき成長せいちょうモデルは黄金おうごん律りつをえらばない。

動どう学がく非ひ効率こうりつ性せい

黄金おうごん律りつが最適さいてき成長せいちょうモデルでえらばれないという点てんに関かんして、フェルプスは、その場合ばあいでも黄金おうごん律りつは動どう学がく非ひ効率こうりつ性せいの境界きょうかい線せんとして規範きはん的てきな意義いぎをもつと主張しゅちょうした。動どう学がく非ひ効率こうりつ性せいというのは、消費しょうひを一方いっぽう的てきに増ふやせる機会きかいがあるのに、その機会きかいを活いかしていないという意味いみで無駄むだのある状況じょうきょうをいう。資本しほんが黄金おうごん律りつを超こえるほど余分よぶんに蓄積ちくせきされ、資本しほん収益しゅうえき率りつが成長せいちょう率りつを下したまわるほど低下ていかすると動どう学がく非ひ効率こうりつにおちいる。

現代げんだいの経済けいざい成長せいちょう理論りろんにおいて黄金おうごん律りつ貯蓄ちょちく率りつは、きちんと定義ていぎされた選好せんこうから導みちびかれたものではないので最適さいてき性せいの観点かんてんからみると過去かこの遺物いぶつとみなされるが、そうであっても動どう学がく効率こうりつ性せいの議論ぎろんで役やくに立たつとされる。動どう学がく非ひ効率こうりつ性せいの文脈ぶんみゃくにおいて「蓄積ちくせきの黄金おうごん律りつは今いまも最適さいてき成長せいちょう理論りろんで最もっとも基本きほんの命題めいだいである」といわれる。

たとえばグレゴリー・マンキューはトマ・ピケティ『21世紀せいきの資本しほん』を批判ひはんするペーパーで、動どう学がく非ひ効率こうりつ性せいの境界きょうかい線せんとして黄金おうごん律りつに言及げんきゅうしている。批判ひはんされたピケティも実じつは『21世紀せいきの資本しほん』の目立めだたない場所ばしょで黄金おうごん律りつが動どう学がく非ひ効率こうりつ性せいの境界きょうかい線せんになることを論ろんじていた。ピケティは歴史れきしデータをもとに資本しほん収益しゅうえき率りつ r が経済けいざい成長せいちょう率りつ g を平均へいきん的てきに上うえまわるという不等式ふとうしき r > g を見みいだし、それを根拠こんきょにして、現実げんじつ経済けいざいの動どう学がく非ひ効率こうりつ性せいを否定ひていした。かつてマンキューは、もっと緻密ちみつな実証じっしょう方法ほうほうで先進せんしん国こくの動どう学がく非ひ効率こうりつ性せいを否定ひていする結果けっかをえたことがあった。

市場いちば経済けいざいと黄金おうごん律りつ

修正しゅうせい黄金おうごん律りつ

もともと最適さいてき成長せいちょうモデルは望のぞましい経済けいざい成長せいちょうをえらぶためのものであったが、今いまはこれを市場いちば経済けいざいのカリカチュアに使つかいまわす。これを新しん古典こてん派は成長せいちょうモデルとか標準ひょうじゅん的てき新しん古典こてん派はモデル、あるいはラムゼイ・モデルという。

新しん古典こてん派は成長せいちょうモデルは、均斉きんせい成長せいちょうで利子りし率りつが成長せいちょう率りつを上うえまわり、消費しょうひが黄金おうごん律りつより少すくなくなる。新しん古典こてん派は成長せいちょうモデルが黄金おうごん律りつに達たっしないことを修正しゅうせい黄金おうごん律りつということがある。また、均斉きんせい成長せいちょうの利子りし率りつを決定けっていする数式すうしきを修正しゅうせい黄金おうごん律りつということがある。これを変形へんけい黄金おうごん則そくと訳やくすこともある。

新しん古典こてん派は成長せいちょうモデルが黄金おうごん律りつに達たっしないわけは、黄金おうごん律りつに達たっするようにすると家計かけい効用こうようが無限むげん大だいになってしまって都合つごうがわるいからである。このことを言葉ことばで説明せつめいすると、最適さいてき成長せいちょうモデルのときの説明せつめいをほぼ繰くりかえすことになるが、次つぎのとおりである。新しん古典こてん派は成長せいちょうモデルでは、永久えいきゅうに存続そんぞくする家計かけいが無限むげんの未来みらいを見みとおして、日々ひびの消費しょうひを数値すうちで評価ひょうかして、これを無限むげんの未来みらいまで積つみあげて家計かけい効用こうようを計算けいさんし、その家計かけい効用こうようを最大さいだいにするように消費しょうひ行動こうどうをえらぶ。日々ひびの消費しょうひを評価ひょうかするにあたっては、未来みらいを先さきにゆけばゆくほど日々ひびの消費しょうひを割わり引びいて評価ひょうかする。これは、目先めさきの消費しょうひを優先ゆうせんして、先さきゆきの消費しょうひを犠牲ぎせいにするということなので、長ながい目めでみると消費しょうひが黄金おうごん律りつより少すくなくなる。先さきゆきの消費しょうひをあまり割わり引びかないようにしてゆけば長ながい目めでみて消費しょうひは増ふえるが、そうして消費しょうひを増ふやしていって黄金おうごん律りつに近ちかづけてゆくと、家計かけい効用こうようが無限むげん大だいになってしまう。無限むげん大だいにならない程度ていどにきつく割わり引びくようにする必要ひつようがあるが、そうすると黄金おうごん律りつに達たっしない。以上いじょうについて数式すうしきをもちいた説明せつめいは新しん古典こてん派は成長せいちょうモデルの節ふしを参照さんしょうされたい。

国債こくさい発行はっこう

2010年ねんのダイアモンド。この45年ねん前まえ、国債こくさい発行はっこうで黄金おうごん律りつを達成たっせいする理論りろんを示しめした。

資本しほんが黄金おうごん律りつを超こえて蓄積ちくせきされて消費しょうひが黄金おうごん律りつより少すくなくなる場合ばあい、政府せいふは国債こくさいを十分じゅうぶんに発行はっこうすることで黄金おうごん律りつを達成たっせいできる。そのわけは次つぎのとおりである。現役げんえき世代せだいは老後ろうごにそなえて貯蓄ちょちくし、老後ろうごは貯蓄ちょちくを取とり崩くずして消費しょうひするという世代せだい重複じゅうふくモデルを考かんがえる。現役げんえき世代せだいが老後ろうごの生活せいかつを心配しんぱいするあまり貯蓄ちょちくしすぎると、資本しほんが黄金おうごん律りつを超こえるほど余分よぶんに蓄積ちくせきされる場合ばあいがある。その場合ばあい、政府せいふが国債こくさいを十分じゅうぶんに発行はっこうし、現役げんえき世代せだいが国債こくさいで貯蓄ちょちくすれば、貯蓄ちょちくが余分よぶんな資本しほん蓄積ちくせきにまわらなくなり、その分ぶん消費しょうひが増ふえて黄金おうごん律りつが達成たっせいされる。

この理論りろんは1947年ねんにモーリス・アレがフランス語ふらんすごで著あらわした本ほんにさかのぼるといわれるが、アレとは別べつにピーター・ダイアモンドが1965年ねんにアメリカン・エコノミック・レビュー誌しで発表はっぴょうした。このことはダイアモンドがノーベル経済けいざい学がく賞しょうを受賞じゅしょうした際さい、その業績ぎょうせきの一ひとつに数かぞえられている。

合理ごうり的てきバブル

2007年ねんのティロール。この22年ねん前まえにバブル均衡きんこうで黄金おうごん律りつが成なりたつ理論りろんを示しめした。

資本しほんが黄金おうごん律りつを超こえて蓄積ちくせきされて消費しょうひが黄金おうごん律りつより少すくなくなる場合ばあい、合理ごうり的てきバブルが発生はっせいする可能かのう性せいがあり、合理ごうり的てきバブルが均斉きんせい成長せいちょうで存続そんぞくすると黄金おうごん律りつが達成たっせいされる。そのロジックは、ダイアモンドの世代せだい重複じゅうふくモデルにおける国債こくさいを合理ごうり的てきバブルにおきかえたものであり、次つぎのように考かんがえる。

1. 資本しほんが黄金おうごん律りつを超こえるほど余分よぶんに蓄積ちくせきされ、資本しほん収益しゅうえき率りつが成長せいちょう率りつを下したまわるほど低下ていかすると、低てい収益しゅうえきの資本しほんに投資とうしするぐらいならバブルに賭かけてみるのが合理ごうり的てきになる。そうして発生はっせいする合理ごうり的てきバブルの収益しゅうえき率りつは資本しほん収益しゅうえき率りつと一致いっちする。そのわけは、バブルの収益しゅうえき率りつが資本しほん収益しゅうえき率りつより低ひくければバブルを売うって資本しほんを買かえば儲もうかるし、バブルの収益しゅうえき率りつが資本しほん収益しゅうえき率りつより高たかければ資本しほんを売うってバブルを買かえば儲もうかるが、こうした裁定さいてい取引とりひきが十分じゅうぶんに行おこなわれると収益しゅうえき率りつの違ちがいがなくなるからである。
2. バブルというのは、本来ほんらい無用むようの物ものでありながら、ただ値上ねあがりするから買かわれ、ただ買かわれるから値上ねあがりする。その性質せいしつ上じょう、バブルの膨張ぼうちょう率りつはそのままバブルの収益しゅうえき率りつになる。
3. バブルがうまい具合ぐあいに存続そんぞくするような均斉きんせい成長せいちょうをバブル均衡きんこうという。バブル均衡きんこうでバブルは経済けいざい成長せいちょう率りつと同おなじ伸のび率りつで膨張ぼうちょうする。

まとめると、1.資本しほん収益しゅうえき率りつは裁定さいてい取引とりひきによりバブル収益しゅうえき率りつと一致いっちし、2.バブル収益しゅうえき率りつは性質せいしつ上じょうバブル膨張ぼうちょう率りつに一致いっちし、3.バブル膨張ぼうちょう率りつはバブル均衡きんこうで経済けいざい成長せいちょう率りつと一致いっちする。つまりバブル均衡きんこうで資本しほん収益しゅうえき率りつと成長せいちょう率りつが一致いっちする。このことはバブル均衡きんこうが黄金おうごん律りつであることを示しめす。

この合理ごうり的てきバブルの理論りろんは1985年ねんにジャン・ティロールがエコノメトリカ誌しで発表はっぴょうした。この理論りろんはティロールがノーベル記念きねん経済けいざい学がく賞しょうを受賞じゅしょうした際さい、その業績ぎょうせきの一ひとつに数かぞえられている

近年きんねんの論調ろんちょう

世界銀行せかいぎんこう『黄金おうごん成長せいちょう』

世界銀行せかいぎんこうが2012年ねんに発行はっこうしたレポート『黄金おうごん成長せいちょう：ヨーロッパ経済けいざいモデルの輝かがやきを取とりもどす』は、黄金おうごん律りつにインスピレーションを得えてタイトルをつけ、黄金おうごん律りつにもとづいて政策せいさく提言ていげんをおこなっている。

このレポートによると、黄金おうごん律りつは最適さいてき成長せいちょう理論りろんで最もっとも基本きほん的てきな命題めいだいであると今いまも多おおくの経済けいざい学者がくしゃが考かんがえている。黄金おうごん律りつをたもつことは経済けいざいの成熟せいじゅくをしめす。黄金おうごん律りつは単純たんじゅんなので分わかりやすく、政策せいさく当局とうきょくは黄金おうごん律りつに魅みせられてこれをめざしたいと思おもうことがあるという。

ピケティ『21世紀せいきの資本しほん』

2015年ねんのピケティ。黄金おうごん律りつに否定ひてい的てき。

トマ・ピケティは、2013年ねんにフランス語ふらんすごで著あらわし2014年ねんに日本語にほんごに翻訳ほんやくされた『21世紀せいきの資本しほん』で、黄金おうごん律りつについて次つぎのような自説じせつを展開てんかいしている。およそ黄金おうごん律りつに対たいして否定ひてい的てきである。

• 歴史れきしデータをみると資本しほん収益しゅうえき率りつが成長せいちょう率りつよりずっと高たかいので、現実げんじつの資本しほんは黄金おうごん律りつよりずっと少すくない。現実げんじつ経済けいざいが黄金おうごん律りつほどの資本しほんを蓄積ちくせきするとは考かんがえにくい。黄金おうごん律りつは抽象ちゅうしょう理論りろんにすぎず実際じっさい問題もんだいであまり役やくにたない。
• 黄金おうごん律りつにおいて、資本しほんを所有しょゆうする不労所得ふろうしょとく生活せいかつ者しゃは、資本しほんの収益しゅうえきの全すべてを再さい投資とうししないと自分じぶんの地位ちいを保たもてないので、何なにも消費しょうひできない。したがって黄金おうごん律りつの実現じつげんは不労所得ふろうしょとく生活せいかつ者しゃの支配しはいを終おわらせる。しかし黄金おうごん律りつを無理むりに実現じつげんする必要ひつようはなく、そうするよりも不労所得ふろうしょとく生活せいかつ者しゃに課税かぜいするほうがずっと簡単かんたんで効果こうか的てきだ。
• 黄金おうごん律りつは資本しほんの上限じょうげんを設定せっていするだけのものであって、黄金おうごん律りつに到達とうたつするのが望のぞましいという主張しゅちょうを導みちびき出だすものではない。目先めさきの消費しょうひを犠牲ぎせいにしてまで先さきゆきの黄金おうごん律りつをめざすのが適切てきせつとは限かぎらない。

なお、以上いじょうのような議論ぎろんでピケティは均斉きんせい成長せいちょうを基準きじゅんに考かんがえている。均斉きんせい成長せいちょうでは資本しほんと生産せいさんが同おなじ伸のび率りつで成長せいちょうすることが知しられる（宇沢うざわの定理ていり）。一方いっぽう、ピケティは『21世紀せいきの資本しほん』の「おわりに」で資本しほんが生産せいさんより速はやく急きゅう成長せいちょうすると主張しゅちょうしている。グレゴリー・マンキューはこれを批判ひはんして、ピケティのいうような成長せいちょうは均斉きんせい成長せいちょうから外はずれてゆくが、標準ひょうじゅん的てきな成長せいちょう理論りろんは均斉きんせい成長せいちょうを基準きじゅんにして考かんがえるので、ピケティの考かんがえは標準ひょうじゅん的てき理論りろんから外はずれていると指摘してきした。

語源ごげん説せつ

経済けいざい成長せいちょうの黄金おうごん律りつは聖書せいしょの黄金おうごん律りつに由来ゆらいするという説せつがある。この説せつによると、経済けいざい成長せいちょうの黄金おうごん律りつの語源ごげんは、新約しんやく聖書せいしょマタイ伝でんにある黄金おうごん律りつ「人ひとにしてもらいたいと思おもうことは、あなたがたも人ひとにしなさい」に由来ゆらいし、これを経済けいざい用語ようごにおきかえると「現代げんだいの世代せだいにも未来みらいの世代せだいにも同おなじだけ消費しょうひさせる場合ばあい、あるいは、未来みらいの世代せだいの消費しょうひを自分じぶんたちの消費しょうひより少すくなくしない場合ばあい、一人ひとり当あたり消費しょうひの最大さいだい量りょうは黄金おうごん律りつである」と解釈かいしゃくできるから、黄金おうごん律りつと名なづけられたのだという。また一説いっせつには、新約しんやく聖書せいしょルカ伝でん第だい6章しょう31節せつにある黄金おうごん律りつを世代せだい間あいだの関係かんけいに拡張かくちょうしたものなのだともいう。

もっとも、フェルプスが黄金おうごん律りつを命名めいめいしたとき、黄金おうごん時代じだい（ゴールデン・エイジ）のルールを黄金おうごん律りつ（ゴールデン・ルール）と名なづけたのであって、語源ごげんを聖書せいしょの黄金おうごん律りつに求もとめていない。後のちにフェルプスは次つぎのように語かたっている。

黄金おうごん律りつという言葉ことばはダジャレ（a play on words）であった。ロビンソン夫人ふじんが定常ていじょう成長せいちょうの状態じょうたいを黄金おうごん時代じだいと命名めいめいしたので、黄金おうごん時代じだいの選択せんたくに関かんする命題めいだいを黄金おうごん律りつと呼よぶのは当然とうぜんであった。これにくわえて、この言葉ことばの裏うらに聖書せいしょの黄金おうごん律りつ「あなたが他人たにんにしてほしいことを他人たにんにしなさい」をほのめかした。

そしてフェルプスは、聖書せいしょの黄金おうごん律りつについて、他人たにんに権利けんりを要求ようきゅうする者ものは同おなじ権利けんりを他人たにんに与あたえなければならないという意味いみと解釈かいしゃくする。この意味いみでの黄金おうごん律りつにしたがうと、各かく世代せだいは前まえの世代せだいに要求ようきゅうする貯蓄ちょちく政策せいさくを次世代じせだいのために自みずから実践じっせんしなければならない。世代せだいをまたいだ貯蓄ちょちく政策せいさくを選えらぶにあたっては、生産せいさんや資本しほん収益しゅうえきなどに対たいして一定いっていの線形せんけい関係かんけいのかたちであらわされる貯蓄ちょちく政策せいさくの中なかから選えらぶ必要ひつようがある。さもなければ、各かく世代せだいは前まえの世代せだいに貯蓄ちょちくを要求ようきゅうする一方いっぽうで、自分じぶんは貯蓄ちょちくを減へらしてしまう、という。

数式すうしきをもちいた説明せつめい

宇沢うざわの定理ていり

変数へんすうがそれぞれ一定いっていの伸のび率りつで成長せいちょうする均斉きんせい成長せいちょうにおいて、技術ぎじゅつ進歩しんぽは労働ろうどう拡張かくちょう型がたである。この定理ていりは初はじめジョーン・ロビンソンが図示ずしし、1961年ねんに宇沢うざわ弘文ひろふみが証明しょうめいした。これを宇沢うざわの定理ていりという。

宇沢うざわの定理ていりについて、証明しょうめい方法ほうほうを簡素かんそ化かした Schlicht (2006)にもとづいて数式すうしきをつかって示しめすと以下いかのとおりである。

宇沢うざわの定理ていりでは、次つぎのような経済けいざい構造こうぞうを考かんがえる。

1. $Y_{t}=F(K_{t},L_{t};t)$　…時点じてん $t$ の生産せいさん物ぶつ $Y_{t}$ は生産せいさん関数かんすう $F$ をつうじて資本しほん $K_{t}$ と労働ろうどう投入とうにゅう $L_{t}$ によってつくられる。関数かんすう $F$ は資本しほん $K_{t}$ と有効ゆうこう労働ろうどう $L_{t}$ に関かんして１次じ同どう次つぎ関数かんすうとする（規模きぼに関かんして収穫しゅうかく一定いってい）。関数かんすう中ちゅうの最後さいごの項こう「$;t$」は時点じてん $t$ が進すすむにしたがって生産せいさん関数かんすうが変化へんかすることを示しめす。
2. $Y_{t}=C_{t}+I_{t}$　…生産せいさん物ぶつ $Y_{t}$ は消費しょうひ $C_{t}$ にあてられるか投資とうし $I_{t}$ にあてられる。
3. ${\dot {K_{t}}}=I_{t}-\delta K_{t}$　…資本しほん $K_{t}$ は投資とうし $I_{t}$ によって増ふえるが、一定いっていの減耗げんもう率りつ $\delta$ で減へる。

以上いじょうの経済けいざい構造こうぞうのもとで、$X\in \{Y,K,L,C,I\}$について、各かく変数へんすう$X_{t}>0$ は一定いっていの率りつ $g_{X}$ で成長せいちょうする、すなわち$X_{t}=X_{0}e^{g_{X}t}$とする。これを時間じかん微分びぶんすると${\dot {X_{t}}}=g_{X}X_{t}$である。

均斉きんせい成長せいちょうで生産せいさんと資本しほんの成長せいちょう率りつが一致いっちすることを以下いかのとおり示しめす。

まず、$g_{Y}=g_{I}$を次つぎのように導みちびく。${\dot {X_{t}}}=g_{X}X_{t}$をもちいて、次つぎの式しき1の時間じかん微分びぶんから式しき2を得えて、またその時間じかん微分びぶんから式しき3を得える。

1. $Y_{t}=C_{t}+I_{t}$
2. $g_{Y}Y_{t}=g_{C}C_{t}+g_{I}I_{t}$
3. $g_{Y}^{2}Y_{t}=g_{C}^{2}C_{t}+g_{I}^{2}I_{t}$

これらを適宜てきぎ代入だいにゅうして

1. $(g_{Y}-g_{I})(g_{Y}-g_{C})Y_{t}=0$
2. $(g_{Y}-g_{I})(g_{C}-g_{I})I_{t}=0$

を得える。$Y_{t}>0,I_{t}>0$であるから

1. $g_{Y}=g_{I}$ または $g_{Y}=g_{C}$、かつ
2. $g_{Y}=g_{I}$ または $g_{C}=g_{I}$

である。ここで$g_{Y}\neq g_{I}$を仮定かていすると、上記じょうき1から $g_{Y}=g_{C}$ 、上記じょうき2から $g_{C}=g_{I}$ になるので、$g_{Y}=g_{C}=g_{I}$になるが、これは$g_{Y}\neq g_{I}$の仮定かていと矛盾むじゅんする。背理法はいりほうにより$g_{Y}=g_{I}$であることがわかる。

また、$g_{I}=g_{K}$を次つぎのように導みちびく。${\dot {K_{t}}}=g_{K}K_{t}$を${\dot {K_{t}}}=I_{t}-{\delta }K_{t}$に代入だいにゅうして次つぎの式しき1を得えて、またその時間じかん微分びぶんから次つぎの式しき2を得える。

1. $g_{K}K_{t}=I_{t}-{\delta }K_{t}$
2. $g_{K}^{2}K_{t}=g_{I}I_{t}-g_{K}{\delta }K_{t}$

これらから $K_{t}$ を消去しょうきょして$(g_{I}-g_{K})I_{I}=0$を得える。$I_{t}>0$であるから$g_{I}=g_{K}$である。

以上いじょうにより、$g_{Y}=g_{I}=g_{K}$であり、生産せいさんの成長せいちょう率りつと資本しほんの成長せいちょう率りつが一致いっちすることが示しめされた。一致いっちする成長せいちょう率りつを $g$ と表あらわす。

生産せいさんの成長せいちょう率りつと資本しほんの成長せいちょう率りつが一致いっちすることをふまえ、技術ぎじゅつ進歩しんぽが労働ろうどう拡張かくちょう型がたになることを以下いかのとおり示しめす。

0時じ点てんでは次つぎの式しき1であり、また$Y_{t}=Y_{0}e^{gt}$、$K_{t}=K_{0}e^{gt}$、$L_{t}=L_{0}e^{g_{L}t}$であるから、式しき1は式しき2のように書かける。関数かんすうの1次じ同どう次つぎ性せいから式しき2は式しき3になる。$A_{t}\equiv e^{(g-g_{L})t}$と定義ていぎすると、式しき4を得える。

1. $Y_{0}=F(K_{0},L_{0};0)$
2. $Y_{t}e^{-gt}=F(K_{t}e^{-gt},L_{t}e^{-g_{L}t};0)$
3. $Y_{t}=F(K_{t},L_{t}e^{(g-g_{L})t};0)$
4. $Y_{t}=F(K_{t},A_{t}L_{t};0)$

関数かんすう形がたの変化へんかを示しめす最終さいしゅう項こうがゼロで固定こていされることは関数かんすう形がたが変化へんかしないことを意味いみする。最後さいごの式しき4の関数かんすうのなかで $A_{t}$ は一定いっていの率りつで成長せいちょうし、労働ろうどう $L_{t}$ を拡張かくちょうするかのような形かたちになっているので、これを労働ろうどう拡張かくちょう型がた技術ぎじゅつ進歩しんぽという。また $A_{t}L_{t}$ を有効ゆうこう労働ろうどうという。有効ゆうこう労働ろうどう $A_{t}L_{t}$ は、生産せいさん $Y_{t}$ や資本しほん $K_{t}$ と同おなじ率りつ $g$ で成長せいちょうする。

黄金おうごん律りつの定理ていり

資本しほんの収益しゅうえき率りつ（利子りし率りつ）が成長せいちょう率りつに等ひとしくなる均斉きんせい成長せいちょうが存在そんざいする場合ばあい、その均斉きんせい成長せいちょうが黄金おうごん律りつである。このことをロビンソンは新しん古典こてん派は定理ていりとよんだ。フェルプスは、黄金おうごん時代じだいにおける消費しょうひ最大さいだい化かに関かんする定理ていりとよんだ。後のちにフェルプスはこれを黄金おうごん律りつの定理ていりとよんでいる。

この定理ていりをPhelps（1965）にもとづいて数式すうしきをつかって示しめすと次つぎのとおりである。

経済けいざい構造こうぞうは次つぎの3つの式しきであらわされるものとする。

1. $Y_{t}=F(K_{t},A_{t}L_{t})$　…時点じてん $t$ の生産せいさん物ぶつ $Y_{t}$ は生産せいさん関数かんすう $F$ をつうじて資本しほん $K_{t}$ と有効ゆうこう労働ろうどう $A_{t}L_{t}$ によってつくられる。生産せいさん関数かんすう $F$ は１次じ同どう次つぎ関数かんすうとする（規模きぼに関かんして収穫しゅうかく一定いってい）。有効ゆうこう労働ろうどう $A_{t}L_{t}$ は、技術ぎじゅつ $A_{t}$ と労働ろうどう $L_{t}$ を掛かけ合あわせたものであり、まとめて定率ていりつ ${g}$ で外そと生せい的てきに増加ぞうかするものとする（労働ろうどう拡張かくちょう型がた技術ぎじゅつ進歩しんぽ、前述ぜんじゅつ）。
2. $Y_{t}=C_{t}+I_{t}$　…生産せいさん物ぶつ $Y_{t}$ は消費しょうひ $C_{t}$ にあてられるか投資とうし $I_{t}$ にあてられる。
3. ${\dot {K_{t}}}=I_{t}-\delta K_{t}$　…資本しほん $K_{t}$ は投資とうし $I_{t}$ によって増ふえるが、一定いっていの減耗げんもう率りつ $\delta$ で減へる。

以上いじょう３みっつの経済けいざい構造こうぞう式しきを資本しほんの微分びぶん方程式ほうていしきのかたちにまとめると次つぎ式しきを得える。

• ${\dot {K_{t}}}=F(K_{t},A_{t}L_{t})-{\delta }K_{t}-C_{t}$

外そと生せい変数へんすうである有効ゆうこう労働ろうどう $A_{t}L_{t}$ で資本しほん $K_{t}$ と消費しょうひ $C_{t}$ を割わって基準きじゅん化かし、それぞれを小文字こもじ $k_{t}$ と $c_{t}$ であらわす。規模きぼに関かんする収穫しゅうかく一定いっていの仮定かていの下したで $f(k)\equiv F(k,1)$ と定義ていぎすると、上記じょうきの微分びぶん方程式ほうていしきから $A_{t}L_{t}$ を消去しょうきょできる。

• ${\dot {k_{t}}}+gk_{t}=f(k_{t})-{\delta }k_{t}-c_{t}$

均斉きんせい成長せいちょうで資本しほん $K_{t}$ と消費しょうひ $C_{t}$ は有効ゆうこう労働ろうどう $A_{t}L_{t}$ と同率どうりつで成長せいちょうするので、有効ゆうこう労働ろうどう $A_{t}L_{t}$ で基準きじゅん化かされた資本しほん水準すいじゅん $k_{t}$ と消費しょうひ水準すいじゅん $c_{t}$ は均斉きんせい成長せいちょうで一定いっていになる。一定いっていになる資本しほん水準すいじゅんを ${k}$ 、消費しょうひ水準すいじゅんを ${c}$ と表あらわすと、上記じょうきの式しきで次つぎのようになる。

• $c=f(k)-(\delta +g)k$

そして消費しょうひ水準すいじゅん $c$ を最大さいだい化かする黄金おうごん律りつ資本しほん $k^{*}$ をもとめる。まず、均斉きんせい成長せいちょうで消費しょうひがプラスになるの領域りょういきがないとプラスの黄金おうごん律りつは存在そんざいしないので、消費しょうひがプラスになる領域りょういきがあることにしよう。生産せいさん関数かんすうが2回かい微分びぶん可能かのうであり、その1回かい微分びぶんが正せいで2回かい微分びぶんが負まけである場合ばあい $(f'>0,f''<0)$ 、消費しょうひ水準すいじゅん $c$ を最大さいだい化かする黄金おうごん律りつ資本しほん $k^{*}$ は、上記じょうきの式しきで $c$ を $k$ で微分びぶんしてゼロとなる点てんである。

• $f'(k^{*})-\delta -g=0$

$f'(k)-\delta$ は資本しほんの純じゅん収益しゅうえき率りつであり、これを利子りし率りつ $r$ と表あらわす。黄金おうごん律りつ利子りし率りつ $r^{*}{\equiv }f'(k^{*})-\delta$ を用もちいて次つぎ式しきを得える。

• $r^{*}=g$

これにより利子りし率りつが成長せいちょう率りつに等ひとしい均斉きんせい成長せいちょうが存在そんざいし、それが黄金おうごん律りつになることが示しめされた。

微分びぶん不能ふのうな点てんのあるハロッド・ドーマー型がた生産せいさん関数かんすうの場合ばあいも、黄金おうごん律りつを示しめすことができる。Golden Rule savings rate

新しん古典こてん派は成長せいちょうモデル

もともとデイヴィッド・キャスやチャリング・クープマンスのモデルは社会しゃかい計画けいかくのための最適さいてき成長せいちょうモデルであったが、後のちにこれを市場いちば経済けいざいにおける家計かけいの最適さいてき化か問題もんだいにおきかえて動どう学がく一般いっぱん均衡きんこうモデルとして用もちいるようになった。この種たねの動どう学がく一般いっぱん均衡きんこうモデルを新しん古典こてん派は成長せいちょうモデルなどという。

新しん古典こてん派は成長せいちょうモデルでは、均斉きんせい成長せいちょうで利子りし率りつが成長せいちょう率りつを上うえまわり、消費しょうひが黄金おうごん律りつより少すくなくなる。黄金おうごん律りつに達たっするほど時間じかん選好せんこう率りつを低ひくく設定せっていすると、家計かけい効用こうようが無限むげん大だいに発散はっさんするからである。このことを以下いかに示しめす。

まず企業きぎょうを考かんがえる。企業きぎょうについて次つぎのように想定そうていする。

• 企業きぎょうは多数たすう存在そんざいし、どれも同おなじ構造こうぞうをもつ。
• 企業きぎょうは競争きょうそう市場いちばで労働ろうどう者しゃ $N_{t}$ を雇やとい資本しほん $K_{t}$ を借かり生産せいさん物ぶつ $Y_{t}$ を売うる。
• 生産せいさん技術ぎじゅつ $A_{t}$ は伸のび率りつ $a$ で外そと生せい的てきに上昇じょうしょうする。
• 企業きぎょうは生産せいさん関数かんすう $Y_{t}=F(K_{t},A_{t}N_{t})$ で生産せいさんを行おこなう。
• 企業きぎょうは利潤りじゅんを最大さいだい化かし、生しょうじた利潤りじゅんを全すべて家計かけいに配当はいとうする。

生産せいさん関数かんすうについて次つぎのように仮定かていする。

• $F$ は１次じ同どう次つぎ関数かんすうとする（規模きぼに関かんする収穫しゅうかく一定いってい）。
• $f(k)\equiv F(k,1)$は2回かい微分びぶん可能かのうで$f'(k)>0,f''(k)<0$とする。
• $\lim _{k\to 0}f'(k)=\infty ,\lim _{k\to \infty }f'(k)=0$とする（稲田いなだの条件じょうけん）。

有効ゆうこう労働ろうどう$A_{t}N_{t}$あたりの資本しほんを $k_{t}\equiv K_{t}/A_{t}N_{t}$ と定義ていぎすると、資本しほんの限界げんかい生産せいさん力りょくは$f'(k_{t})$と表あらわされる。競争きょうそう市場いちばであるから資本しほんレンタル料りょうは資本しほんの限界げんかい生産せいさん力りょくと一致いっちし、また、市場いちば利子りし率りつ $r_{t}$ は資本しほんレンタル料りょうから資本しほん減耗げんもう率りつ $\delta$ を控除こうじょした分ぶんに等ひとしくなる。

• $r_{t}=f'(k_{t})-\delta$

有効ゆうこう労働ろうどうの限界げんかい生産せいさん物ぶつは$f(k_{t})-f^{\prime }(k_{t})k_{t}$で表あらわされ、競争きょうそう市場いちばのもとでそれは有効ゆうこう労働ろうどうあたりの実質じっしつ賃金ちんぎん $w_{t}$ と等ひとしくなる。

• $w_{t}=f(k_{t})-f^{\prime }(k_{t})k_{t}$

次つぎに家計かけいを考かんがえる。家計かけいについて次つぎのように想定そうていする。

• 家計かけいは多数たすう存在そんざいし、どれも同おなじ構造こうぞうをもつ。
• 各かく家計かけいの構成こうせい人数にんずうは伸のび率りつ $n$ で増ふえる。
• 各人かくじんは各かく時点じてんで労働ろうどうを１単位たんい供給きょうきゅうする。
• 家計かけいは資本しほんを保有ほゆうし企業きぎょうに貸かす。初期しょき時点じてんでどの家計かけいも同おなじだけ資本しほんを保有ほゆうする。
• 家計かけいは生涯しょうがいの効用こうようを最大さいだい化かするように、所得しょとくを消費しょうひと貯蓄ちょちくに分配ぶんぱいする

家計かけいの生涯しょうがい効用こうようは次つぎのように定義ていぎされる。

• $U=\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}u({\frac {C_{t}}{N_{t}}}){\frac {N_{t}}{H}}dt$

$C_{t}$は消費しょうひの総量そうりょう、$N_{t}$は総そう人口じんこう、$H$は家計かけいの総数そうすうであり、したがって$C_{t}/N_{t}$は一人ひとりあたり消費しょうひ、$N_{t}/H$は各かく家計かけいの構成こうせい人数にんずうである。関数かんすう $u$ は各人かくじんの各かく時点じてんの効用こうようを示しめし、それにその時点じてんの家計かけい構成こうせい人数にんずうを乗じょうじた$u(C_{t}/N_{t})N_{t}/H$は各かく家計かけいの各かく時点じてんの効用こうようを表あらわす。$\rho$ は主観しゅかん的てきな割引わりびき率りつであり、$\rho$ が高たかいほど家計かけいは目先めさきを重視じゅうしし先行さきゆきを軽視けいしする。

関数かんすう $u$ は次つぎのような形かたちを仮定かていする。

• $u(c)={\begin{cases}{\dfrac {c^{1-\theta }}{1-\theta }}&\theta \neq 1,\theta >0\\\log(c)&\theta =1\end{cases}}$

有効ゆうこう労働ろうどうあたりの消費しょうひ$c_{t}\equiv C_{t}/A_{t}N_{t}$と有効ゆうこう労働ろうどうの成長せいちょう率りつ $g\equiv a+n$ を用もちいて家計かけいの生涯しょうがい効用こうようを表あらわすと次つぎのとおりである。

• $U={\frac {A_{0}^{1-\theta }L_{0}}{H}}\int _{0}^{\infty }e^{-(\rho +\theta a-g)t}u(c_{t})dt$

また次つぎのように仮定かていする。

• 技術ぎじゅつ進歩しんぽを伴ともなう割引わりびきの仮定かてい：$\rho >(1-\theta )a+n$

この条件じょうけんを追加ついかすることで家計かけい効用こうようが無限むげん大だいに発散はっさんしないことが保証ほしょうされる。この条件じょうけんが満みたされないと、家計かけい効用こうようが無限むげん大だいになり家計かけいの最大さいだい化か問題もんだいが適切てきせつに設定せっていされない。この仮定かていは本節ほんぶしの目的もくてきのために重要じゅうようであり、後あとで再ふたたび登場とうじょうする。

代表だいひょう的てきな家計かけいは、 $r_{t}$ や $w_{t}$ を所与しょよと考かんがえる。家計かけいの予算よさん制約せいやくは、生涯しょうがいにわたる消費しょうひの現在げんざい価値かちが、生涯しょうがいにわたる労働ろうどう所得しょとくの現在げんざい価値かちと、ゼロ時じ点てんの財産ざいさんの和わを超こえないことである。割引わりびき因子いんしを

• $\delta _{t}\equiv e^{-\int _{0}^{t}r_{s}ds}$

と定義ていぎすると、各かく家計かけいの消費しょうひは $C_{t}/H$ であり、労働ろうどう所得しょとくは$w_{t}A_{t}N_{t}/H$であるので、家計かけいの予算よさん制約せいやくは次つぎ式しきのとおり表あらわされる。

• $\int _{0}^{\infty }\delta _{t}{\frac {C_{t}}{H}}dt\leq {\frac {K_{0}}{H}}+\int _{0}^{\infty }\delta _{t}w_{t}{\frac {A_{t}N_{t}}{H}}dt$

これを有効ゆうこう労働ろうどうあたりで表あらわすと次つぎのとおりである。

• $\int _{0}^{\infty }\delta _{t}e^{gt}c_{t}dt\leq k_{0}+\int _{0}^{\infty }\delta _{t}e^{gt}w_{t}dt$

以上いじょうをまとめて家計かけいの最適さいてき化か問題もんだいを設定せっていするためラグランジュ関数かんすうを次つぎのように定義ていぎする。

• $L=\int _{0}^{\infty }e^{-(\rho +\theta a-g)t}u(c_{t})dt$ $+\lambda {\bigg [}k_{0}+\int _{0}^{\infty }\delta _{t}e^{gt}w_{t}dt-\int _{0}^{\infty }\delta _{t}e^{gt}c_{t}dt{\bigg ]}$

各かく $t$ 時点じてんの $c_{t}$ についての1階かいの条件じょうけんは次つぎのとおり（効用こうよう関数かんすう $u$ の定義ていぎをつかう）。

• $e^{-(\rho +\theta a-g)t}c_{t}^{-\theta }=\lambda \delta _{t}e^{gt}$

この式しきの対数たいすうをとって時間じかん微分びぶんして整理せいりすると次つぎのオイラー方程式ほうていしきを得える（割引わりびき因子いんし $\delta _{t}$ の定義ていぎをつかう）。

• ${\dot {c_{t}}}/{c_{t}}=(r_{t}-\rho -\theta a)\theta ^{-1}$

また、資本しほん蓄積ちくせきは次つぎ式しきで与あたえられる。

• ${\dot {k_{t}}}=f(k_{t})-(g+{\delta })k_{t}-c_{t}$

以上いじょうをまとめると次つぎの3つの式しきによりこの経済けいざいモデルは記述きじゅつされることになる。

1. ${\dot {c_{t}}}=(r_{t}-\rho -\theta a)\theta ^{-1}c_{t}$　　（オイラー方程式ほうていしき）
2. $r_{t}=f'(k_{t})-\delta$　　（均衡きんこう実質じっしつ利子りし率りつ）
3. ${\dot {k_{t}}}=f(k_{t})-(g+{\delta })k_{t}-c_{t}$　　（資本しほん蓄積ちくせき式しき）

均斉きんせい成長せいちょうにおける値ねを添そえ字じなしで表あらわす。均斉きんせい成長せいちょうでは次つぎが成なり立たつ。

1. $r=\rho +\theta a$
2. $k=f'^{-1}(r+\delta )$
3. $c=f(k)-(g+{\delta })k$

また、均斉きんせい成長せいちょうでは成長せいちょう率りつが有効ゆうこう労働ろうどうの成長せいちょう率りつ$g=a+n$で決定けっていされる。そして、先さきに仮定かていした「技術ぎじゅつ進歩しんぽを伴ともなう割引わりびきの仮定かてい」の不等式ふとうしき$\rho >(1-\theta )a+n$に、$g=a+n$と上記じょうきの式しき1$r=\rho +\theta a$を代入だいにゅうすると $r>g$ を得える。すなわち均斉きんせい成長せいちょうで利子りし率りつが成長せいちょう率りつを上うえまわる。このことは、$\rho >(1-\theta )a+n$の仮定かていによって保証ほしょうされる。先さきに述のべたように、この仮定かていが満みたされないと家計かけい効用こうようが無限むげん大だいに発散はっさんし家計かけいの最適さいてき化か問題もんだいを適切てきせつに設定せっていできなくなる。

$r>g$ は新しん古典こてん派は成長せいちょうモデルの均斉きんせい成長せいちょうが黄金おうごん律りつ $r=g$ の水準すいじゅんに達たっしないことを意味いみする。このように新しん古典こてん派は成長せいちょうモデルが黄金おうごん律りつに達たっしないことを修正しゅうせい黄金おうごん律りつという。また上記じょうきの式しき1 $r=\rho +\theta a$ を修正しゅうせい黄金おうごん律りつということがある。これを変形へんけい黄金おうごん則そくと訳やくすこともある。

なお、1989年ねんにオリヴィエ・ブランシャールとスタンレー・フィッシャーによって出版しゅっぱんされた『マクロ経済けいざい学がく講義こうぎ』では修正しゅうせい黄金おうごん律りつの定義ていぎが少すこし異ことなっている。ブランシャールらは最適さいてき化か問題もんだいの目的もくてき関数かんすうの定義ていぎで人口じんこうを乗じょうじず、また技術ぎじゅつ進歩しんぽを考かんがえない。すると、上記じょうきの式しき1は$r=\rho +n$という形かたちになる。ブランシャールらはこの数式すうしき、すなわち均斉きんせい成長せいちょうで利子りし率りつが時間じかん選好せんこう率りつと人口じんこう増加ぞうか率りつの和わで決定けっていされるという数式すうしきを修正しゅうせい黄金おうごん律りつと呼よんでいる。

参考さんこう文献ぶんけん

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関連かんれん項目こうもく

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• 資本しほん蓄積ちくせき
• 黄金おうごん律りつ