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整 せい 个正一 いち 千 せん 边形(左 ひだり 上方 かみがた )看 み 起 おこり 来 らい 像 ぞう 圆形 。中央 ちゅうおう 的 てき 斜 はす 线则是 ぜ 将 はた 其放大 だい 200倍 ばい ,可 か 以见到它的角 かく
在 ざい 几何学 がく 中 なか ,一 いち 千 せん 边形是 ぜ 指 ゆび 拥有1000条 じょう 边 的 てき 多 た 边形 。[ 1] [ 2] 一千边形有很多种,其中对称性 せい 最高 さいこう 的 てき 是 ぜ 正 せい 一 いち 千 せん 边形 。正常 せいじょう 情 じょう 况下,正 せい 一千边形不容易将之与圆形 做区别[ 3] :144 [ 4] :199 ,需经过一定程度的放大才能看出其为一个多边形。有 ゆう 时可以用此来说明有明 ありあけ 确定义,但 ただし 很难视觉化 か 的 てき 概念 がいねん ,因 いん 此哲学 がく 家 か 们常用 よう 一千边形来说明思想、意 い 义和心理 しんり 表 ひょう 征 せい 的 てき 本 ほん 质和运作方式 ほうしき 。[ 5] [ 6] :22-25
正 せい 一 いち 千 せん 边形由 よし 1000条 じょう 边 和 わ 1000个顶点 组成,每 まい 个内角 ないかく 的 てき 角度 かくど 都 と 是 ぜ 179.64° (约179度 ど 38分 ぶん 24秒 びょう )[ 7] [ 8] :66 ,十分 じゅうぶん 接近 せっきん 平 ひら 角 かく [ 4] :199 ,内角 ないかく 和 わ 为179640度 ど [ 4] :199 ,其值与1996倍 ばい 的 てき 直角 ちょっかく 相 あい 同 どう [ 9] :60 。若 わか 一个正一千边形过几何中心 ちゅうしん 的 てき 对角线 为单位 い 长(即 そく 直径 ちょっけい 为单位 い 长的圆内接 ないせつ 正 せい 一 いち 千 せん 边形),则其周 しゅう 长接近 せっきん 3.141587…[ 10] :
1000
sin
π ぱい
1000
≈
3.141587
⋯
{\displaystyle 1000\sin {\frac {\pi }{1000}}\approx 3.141587\cdots }
正 せい 一千边形的面积公式如下:
A
=
250
a
2
cot
π ぱい
1000
≈
79577.2
a
2
{\displaystyle A=250a^{2}\cot {\frac {\pi }{1000}}\approx 79577.2\,a^{2}}
它和外接 がいせつ 圆的 まと 面 めん 积相差 さ 小 しょう 于0.0004%。
因 いん 为1000 =
{\displaystyle }
2
3
×
5
3
{\displaystyle 2^{3}\times 5^{3}}
,它不是 ぜ 不同 ふどう 费马素数 そすう 的 てき 乘 じょう 积,也不是 ぜ 2的 てき 幂 ,因 いん 此正一千边形不是一个可 か 作 さく 图多边形 ,这意味 いみ 着 ぎ 一千边形不能仅用圆规和尺完成作图。事 こと 实上,甚至加 か 上 じょう 二 に 刻 こく 尺 じゃく 作 さく 图的 てき 三 さん 等分 とうぶん 角 かく 的 てき 方式 ほうしき 也无法 ほう 构建一 いち 千 せん 边形,因 いん 为其边数既 すんで 不 ふ 是 ぜ 皮 かわ 尔庞特 とく 素数 そすう 的 てき 乘 じょう 积也不 ふ 是 ぜ 二和三的幂的乘积。因 よし 此,一千边形的构造需要其他技术,例 れい 如二次希皮亚斯曲线 、阿 おもね 基 もと 米 まい 德 とく 螺 にし 线或 ある 其他辅助曲 きょく 线。 例 れい 如,一千边形的中心角为0.36度 ど [ 11] ,可 か 以透过构造 づくり 出 で 一千边形的中心角来完成一千边形。首 くび 先 さき 可 か 以用尺 せき 规作图 构造一 いち 个9°角 かく ,然 しか 后 きさき 使用 しよう 辅助曲 きょく 线将其五 ご 等分 とうぶん (分 ぶん 成 なり 五 ご 个相等 とう 的 てき 部分 ぶぶん )两次,以产生 せい 所 しょ 需的0.36°中心 ちゅうしん 角 かく 。
勒内·笛 ふえ 卡尔 在 ざい 他 た 的 てき 《第 だい 一 いち 哲学 てつがく 沉思集 しゅう 》的 てき 第 だい 六 ろく 个沉思 おもえ 中 ちゅう 以一千边形为例来展示纯粹的智力和想像之间的区别。 他 た 说,当人 とうにん 们想到 そうとう 一 いち 千 せん 边形时,他 た 在 ざい 他 た 面前 めんぜん “不 ふ 会 かい 想像 そうぞう 出 で 一千条边或具体想像出一个一千边形的存在”,而想像 ぞう 三角形 さんかっけい 时就能 のう 想像 そうぞう 出 で 三条边或具体想像出一个三角形存在于他面前。 [ 12] :133 想像 そうぞう 力 りょく 构造了 りょう 一 いち 个“混乱 こんらん 的 てき 表象 ひょうしょう ”,这与构造一个具有一万条边的一万边形没有什么不同。但 ただし 想像 そうぞう 者 しゃ 确实清楚 せいそ 地 ち 理解 りかい 什么是 ぜ 一 いち 千 せん 边形,就像他 た 理解 りかい 什么是 ぜ 三角形 さんかっけい 一 いち 样,同 どう 时其也能区分 くぶん 出 で 一 いち 千 せん 边形和 わ 一 いち 万 まん 边形的 まと 差 さ 别。因 よし 此笛卡尔声 ごえ 称 たたえ ,智力 ちりょく 不 ふ 依 よ 赖于想像 そうぞう 力 りょく ,因 いん 为当想像 そうぞう 力 りょく 无法做到时,智力 ちりょく 仍能够产生 せい 清 きよし 晰分明 ふんみょう 的 てき 想 そう 法 ほう 。[ 13] 而与笛 ふえ 卡尔同 どう 时代的 てき 哲学 てつがく 家 か 皮 かわ 埃 ほこり 尔·伽 とぎ 桑 くわ 狄 对这种解释持批评态度。他 た 认为虽然笛 ふえ 卡尔可 か 以去想像 そうぞう 一 いち 个一千 せん 边形,但 ただし 他 た 无法理解 りかい :人 ひと 们可以“理解 りかい “一 いち 千 せん 边形”这个词表示 ひょうじ 一个具有一千个角的图形 [但 ただし 是 ぜ ] 这只是 ぜ 该词汇的含义,并不意味 いみ 着 ぎ 对这个具有 ぐゆう 一千个角之图形的理解比想像的要好。”[ 14]
其他哲学 てつがく 家 か 也引用 いんよう 了 りょう 一 いち 千 せん 边形的 てき 例 れい 子 こ 。例 れい 如大 だい 卫·休 きゅう 谟指出 さしで ,“肉眼 にくがん 不可能 ふかのう 确定一千边形内角和为1996倍 ばい 的 てき 直角 ちょっかく ,或 ある 者 もの 做出任 にん 何 なん 接近 せっきん 其比例 ひれい 的 てき 猜想。”[ 15] :101 。哥特佛 ふつ 莱德·莱布尼 あま 兹 评论了 りょう 约翰·洛 らく 克 かつ 对一千 せん 边形的 てき 使用 しよう ,其指出 で 人 じん 们可以在没 ぼつ 有 ゆう 图像的 てき 情 じょう 况下了解 りょうかい 多 た 边形,并将想 そう 法 ほう 与 あずか 图像区分 くぶん 开来[ 16] :53 。
正 せい 一 いち 千 せん 边形的 てき 对称性 せい 。右 みぎ 侧的蓝线展示 てんじ 索引 さくいん 2的 てき 子 こ 图。4个带框 かまち 的 てき 子 こ 图在位置 いち 上 じょう 与 あずか 索引 さくいん 5子 し 群 ぐん 相 しょう 关
正 せい 一 いち 千 せん 边形具有 ぐゆう Dih1000 的 てき 二 に 面体 めんてい 群 ぐん 对称性 せい ,阶数为2000,可 か 由 よし 1,000条 じょう 镜像线表示 ひょうじ 。二 に 面体 めんてい 群 ぐん Dih100 具有 ぐゆう 15个二 に 面体 めんてい 子 こ 群 ぐん : Dih500 、 Dih250 、 Dih125 、 Dih200 、 Dih100 、 Dih50 、 Dih25 、 Dih40 、 Dih20 、 Dih10 、 Dih5 、 Dih8 、 Dih4 、 Dih2 和 かず Dih1 。它还有 ゆう 16个循环对称 しょう 作 さく 为子群 ぐん :Z1000 、 Z500 、 Z250 、 Z125 、 Z200 、 Z100 、 Z50 、 Z25 、 Z40 、 Z20 、 Z10 、 Z5 、 Z8 、 Z4 、 Z2 和 わ Z1 ,其中Zn 表示 ひょうじ π ぱい /n 弧 こ 度 ど 的 てき 旋转对称性 せい 。
约翰·康 かん 威 たけし 用 もちい 一个字母标记这些较低的对称性,对称的 てき 阶数 すう 位 い 于字母后 ぼこう 方 かた 。[ 17] 其以d (diagonal,对角线)表示 ひょうじ 镜像线通过顶点 てん 、p (perpendicular,垂直 すいちょく )表示 ひょうじ 镜像线通过边、i 表示 ひょうじ 镜像线通过顶点 てん 和 わ 边、g 表示 ひょうじ 旋转对称。而a1 用 よう 于标记无对称性 せい 。
这些较低的 てき 对称性 せい 允 まこと 许在定 てい 义不规则一千边形时具有自由度。 只 ただ 有 ゆう g1000 子 こ 群 ぐん 没 ぼつ 有 ゆう 自由 じゆう 度 ど ,但 ただし 可 か 以看成 なり 有向 ゆうこう 边 。
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