Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές.Βοηθήστε συνδέοντας το κείμενο με τις πηγές χρησιμοποιώντας παραπομπές, ώστε να είναι επαληθεύσιμο. Το πρότυπο τοποθετήθηκε χωρίς ημερομηνία. Γιατη σημερινή ημερομηνία χρησιμοποιήστε: {{χωρίς παραπομπές|9|09|2024}}
Σταμαθηματικά, οιτριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι συναρτήσειςγωνιών[1], δηλαδή συναρτήσεις των οποίων τοόρισμα είναι γωνία. Πολλές φορές το όρισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δεν είναι άμεσα αντιληπτό ως γωνία, οπότε ονομάζεται (φάση). Είναι σημαντικές στη μελέτη τριγώνωνκαιτην μοντελοποίηση περιοδικών φαινομένων, μεταξύ άλλων. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται συνήθως ως λόγοςτωνδυο πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου που περιέχει τη δεδομένη γωνία, και μπορούν ισοδύναμα να οριστούν ως το μήκος διαφόρων ευθύγραμμων τμημάτων σε ένα μοναδιαίο κύκλο. Νεότεροι ορισμοί εκφράζουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ως εκθετικές συναρτήσεις μιγαδικών αριθμών. Επιπλέον, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να εκφρασθούν και ως αθροίσματα απειροσειρώνπου επιτρέπουν τον αριθμητικό υπολογισμό της τιμής τους.
Στη σύγχρονη τριγωνομετρία, υπάρχουν έξι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, που παρουσιάζονται εδώ μαζί με τις εξισώσεις που τις συσχετίζουν μεταξύ τους. Ειδικά στην περίπτωση των τελευταίων τεσσάρων, αυτές οι σχέσεις συχνά δίνονται ως ορισμοίτων συναρτήσεων αυτών, αλλά μπορούν να οριστούν εξίσου καλά γεωμετρικά ή με άλλα μέσα, καιστη συνέχεια να αποδειχθούν οι σχέσεις αυτές.
Σε ορισμένα βιβλία μαθηματικών στην Ελλάδα καιστην Κύπρο (όπως στα σχολικά βιβλία μαθηματικών Γυμνασίου-Λυκείου) χρησιμοποιούνται οι συμβολισμοί:
Χρησιμοποιώντας τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορούν να οριστούν οι τρεις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ηεφαπτομένη, τοημίτονοκαιτοσυνημίτονο. Επιπλέον μπορεί να οριστεί καιησυνεφαπτομένη. Αυτές οι συναρτήσεις ορίζονται ως προς μια οξεία γωνία του τριγώνου. Η συνήθως μετριέται σεακτίνια ή μοίρες. Ανη γωνία δε μετριέται σε ακτίνια, τότε η γωνία γράφεται μαζί με τις μονάδες μέτρησης.
Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει δύο κάθετες μεταξύ τους πλευρές καιμια υποτείνουσα. Οι κάθετες είναι αυτές που σχηματίζουν μεταξύ τους ορθή γωνία, ενώ η υποτείνουσα είναι η τρίτη πλευρά που σχηματίζει οξείες γωνίες με τις υπόλοιπες δύο πλευρές. Στο σχήμα αριστερά, οι κάθετες είναι οι πλευρές με μήκος 3 και 4, ενώ η υποτείνουσα έχει μήκος 5.
Με βάση μια οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ορίζουμε ως προσκείμενη (κάθετη) πλευρά την πλευρά του τριγώνου που είναι ταυτόχρονα και πλευρά της γωνίας. Επιπλέον, ως απέναντι (κάθετη) πλευρά της γωνίας ορίζουμε την άλλη κάθετη πλευρά του τριγώνου. Στο συγκεκριμένο σχήμα προσκείμενη πλευρά είναι η 4, και απέναντι πλευρά η 3.
Οι τρεις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται ως συναρτήσεις μόνο της γωνίας , γιατί αποδεικνύεται ότι η τιμή τους δεν εξαρτάται από το μήκος των πλευρών, αλλά μόνο από τη γωνία . Το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων όπως ορίζονται με βάση ορθογώνιο τρίγωνο είναι από μηδέν μέχρι ακτίνια, δηλαδή η γωνία πρέπει να είναι οξεία.
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως εφαπτομένη της γωνίας του τριγώνου το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς διά την προσκείμενη κάθετη πλευρά. Συμβολίζεται με, στα ελληνικά ή διεθνώς:
.
Η εφαπτομένη, όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως ημίτονο της γωνίας του τριγώνου το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς διά την υποτείνουσα. Συμβολίζεται με, στα ελληνικά ή διεθνώς:
.
Το ημίτονο, όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός και μικρότερη του ενός. Η απέναντι πλευρά είναι πάντα μικρότερη της υποτείνουσας, άρα το κλάσμα πάντα μικρότερο του ενός. Το όνομα της συνάρτησης οφείλεται σε ένα πολύ σημαντικό ορθογώνιο τρίγωνο, το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες , και μοιρών στις γωνίες. Το ημίτονο των μοιρών είναι , δηλαδή η απέναντι πλευρά είναι τομισό του τόνου, όπου μετον όρο τόνος εννοείται το μήκος της υποτείνουσας.
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως συνημίτονο της γωνίας του τριγώνου, το πηλίκο της προσκείμενης κάθετης πλευράς διά την υποτείνουσα. Συμβολίζεται με, στα ελληνικά ή διεθνώς:
.
Το συνημίτονο, όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός και μικρότερη του ενός. Η προσκείμενη πλευρά είναι πάντα μικρότερη της υποτείνουσας, άρα το κλάσμα πάντα μικρότερο του ενός. Το όνομά του οφείλεται στο όνομα του ημιτόνου, συνημίτονο είναι ο τριγωνομετρικός αριθμός που συνοδεύει το ημίτονο. Γενικά κάθε τριγωνομετρικός αριθμός συνοδεύεται από κάποιον άλλον, καιτο όνομά του προκύπτει από την προσθήκη του προθέματος συνπριν από το όνομά του.
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως συνεφαπτομένη της γωνίας του τριγώνου το πηλίκο της προσκείμενης πλευράς διατην απέναντι πλευρά. Συμβολίζεται με, στα ελληνικά ή διεθνώς. Η συνεφαπτομένη, όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός.
Παρατηρούμε ότι δεδομένου των συναρτήσεων ημίτονο και συνημίτονο. Αν ορίσουμε έναν άλλο τριγωνομετρικό αριθμό με μία σχέση που περιλαμβάνει ημίτονα και συνημίτονα, ο αντίστοιχος συν- τριγωνομετρικός αριθμός προκύπτει, ανστη σχέση αντιμεταθέσουμε τα ημίτονα καιτα συνημίτονα.
Από τοπυθαγόρειο θεώρημαστο ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει ηβασική τριγωνομετρική ταυτότητα ότι
.
Γενίκευση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (στους πραγματικούς αριθμούς)
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να γενικευθούν μέσω τουκαρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Έστω ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και πάνω σε αυτό μοναδιαίος κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων. Θεωρούμε τη γωνία ως τη γωνία του θετικού ημιάξονα και της θέσης πουθα λάβει ο θετικός ημιάξονας , αν περιστραφεί κατά τη θετική φορά, γιανα διαγράψει γωνία . Ως θετική φορά θεωρείται η φορά κατά την οποία η μεταβλητή πλευρά αρχίζει την πορεία της στο πρώτο τεταρτημόριο, δηλαδή κατά την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού. Τότε η μεταβλητή πλευρά της γωνίας τέμνει το μοναδιαίο κύκλο σε ένα σημείο. Έστω οι συντεταγμένες τουκαι. Το τόξο που αντιστοιχεί στη γωνία προφανώς είναι του ίδιου μεγέθους μετη γωνία. Επειδή ο κύκλος είναι μοναδιαίος, δηλαδή έχει ακτίνα ίση μετη μονάδα, το μήκος του τόξου ισούται μετο μέτρο της γωνίας (σε ακτίνια).
Τότε μπορούμε να ορίσουμε εκ νέου τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, ώστε σαν πεδίο ορισμού να δέχονται οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό, δηλαδή η γωνία δεν είναι ανάγκη πλέον να είναι οξεία, μπορεί να είναι οποιαδήποτε. Ανη γωνία είναι μεγαλύτερη από μία πλήρη γωνία, τότε η μεταβλητή πλευρά εκτελεί μια πλήρη περιστροφή και συνεχίζει. Ανη γωνία είναι αρνητική, τότε η περιστροφή θεωρείται κατά την αρνητική φορά. Με αυτήν τη γενίκευση οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν ως ανεξάρτητη μεταβλητή οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό και όχι υποχρεωτικά γωνία. Γι' αυτό η ανεξάρτητη μεταβλητή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ονομάζεται φάση.
Ορίζουμε ως ημίτονο την τεταγμένη του σημείου και ως συνημίτονο την τετμημένη . Έτσι, οι συναρτήσεις αυτές πλέον μπορούν να λάβουν οποιαδήποτε τιμή μεταξύ του ένα καιτουπλην ένα.
Για τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς χρησιμοποιούμε τη σχέση τους μετο ημίτονο καιτο συνημίτονο. Έτσι:
Γεωμετρικά στο καρτεσιανό επίπεδο αυτοί οι αριθμοί αντιστοιχούν σεευθύγραμμα τμήματα, ενώ η τιμή τους είναι ίση μετο μήκος τους (κατά απόλυτη τιμή). Πιο συγκεκριμένα:
Το ημίτονο ισούται μετην απόσταση στον άξονα .
Το συνημίτονο ισούται μετην απόσταση στον άξονα .
Η εφαπτομένη ισούται μετην τεταγμένη της τομής της μεταβλητής πλευράς μετον άξονα των εφαπτόμενων. Ο άξονας αυτός προκύπτει από τη μετατόπιση του άξονα κατά μία μονάδα στον άξονα . Εφάπτεται στο μοναδιαίο κύκλο στο σημείο .
Η συνεφαπτομένη ισούται μετην τετμημένη της τομής της μεταβλητής πλευράς μετον άξονα των συνεφαπτόμενων. Ο άξονας αυτός προκύπτει από τη μετατόπιση του άξονα κατά μία μονάδα στον άξονα . Εφάπτεται στο μοναδιαίο κύκλο στο σημείο .
Θεωρούμε την εφαπτομένη ευθεία στο μοναδιαίο κύκλο στο σημείο τομής του κύκλου μετη μεταβλητή πλευρά. Τότε αυτή έχει σημείο τομής μετον άξονα (άξονας των συνημιτόνων) καιτον άξονα (άξονας των ημιτόνων).
Η τέμνουσα ισούται μετην τετμημένη του σημείου τομής μετον άξονα των συνημιτόνων.
Η συντέμνουσα ισούται μετην τεταγμένη του σημείου τομής μετον άξονα των ημιτόνων.
Θεωρήσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο, που προκύπτει από τη γωνία , καιτο κάθετο στον άξονα ευθύγραμμο τμήμα από το σημείο τομής της μεταβλητής πλευράς μετον τριγωνομετρικό κύκλο. Τότε ανη γωνία είναι οξεία, με βάση του ορισμούς του ημιτόνου καιτου συνημιτόνου στο ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει ότι και. Έτσι, αποδείχθηκε ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί που ορίστηκαν με βάση τον τριγωνομετρικό κύκλο είναι γενίκευση των τριγωνομετρικών αριθμών που ορίστηκαν με βάση το ορθογώνιο τρίγωνο.
Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι πραγματικέςσυναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής. Η φάση είναι πραγματικός αριθμός, αντιστοιχίζεται πρώτα στην αντίστοιχη γωνία με μέτρο την ανεξάρτητη μεταβλητή σε ακτίνια και έπειτα στον αντίστοιχο τριγωνομετρικό αριθμό. Για παράδειγμα, . Από τημελέτη τους ως συναρτήσεις προκύπτουν τα παρακάτω:
Η δημιουργία της γραφικής παράστασης του συνημιτόνου. Χρησιμοποιείται ο ακόμη πιο γενικευμένος ορισμός μετο μιγαδικό εψιλοτικό μετασχηματισμό.Η γραφική παράσταση του ημιτόνου.
Πεδίο ορισμού της συνάρτησης ημίτονο είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο , ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο . Είναι παραγωγίσιμη με. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση ημίτονο είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη στο, γνησίως φθίνουσα και κοίλη στο, γνησίως φθίνουσα και κυρτή στο, γνησίως αύξουσα και κυρτή στο. Παρουσιάζει μέγιστο την τιμή στο, ελάχιστο την τιμή στοκαι δύο σημεία καμπής, ένα στοκαι ένα στο.
Πεδίο ορισμού της συνάρτησης συνημίτονο είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο , ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο . Είναι παραγωγίσιμη με. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση συνημίτονο είναι γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο, γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο, γνήσια αύξουσα και κυρτή στο, γνήσια αύξουσα και κοίλη στο. Παρουσιάζει μέγιστο την τιμή στο, ελάχιστο την τιμή στοκαι δύο σημεία καμπής, ένα στοκαι ένα στο.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης της εφαπτομένης φαίνεται παρακάτω. (προσοχή η γωνία μετριέται σε μοίρες!)
Πεδίο ορισμού της συνάρτησης εφαπτομένη είναι οι πραγματικοί αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών που μηδενίζουν τη συνάρτηση συνημίτονο, δηλαδή των αριθμών της μορφής , όπου ακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο . Είναι παραγωγίσιμη με. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση εφαπτομένη είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη στο, γνήσια αύξουσα και κυρτή στο. Παρουσιάζει σημείο καμπής στο μηδέν και κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες, .
Γεωμετρικά, όταν η φάση είναι μηδέν, η γωνία είναι μηδενική, τότε προφανώς καιη εφαπτομένη της \θα είναι μηδενική, αφού η υποτείνουσα του τριγώνου θα είναι παράλληλη στον άξονα , δηλαδή θα έχει μηδενική κλίση καιη απέναντι κάθετη πλευρά θα είναι κι αυτή μηδενική, δηλαδή . Η εφαπτομένη της γωνίας απειρίζεται όταν , αφού σ'αυτήν την περίπτωση, η απόσταση είναι άπειρη καιη κλίση της υποτείνουσας είναι κάθετη προς τον άξονα .
Πεδίο ορισμού της συνάρτησης συνεφαπτομένη είναι οι πραγματικοί αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών που μηδενίζουν τη συνάρτηση ημίτονο, δηλαδή των αριθμών της μορφής , όπου ακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο . Είναι παραγωγίσιμη με. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση συνεφαπτομένη είναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο, γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο. Παρουσιάζει σημείο καμπής στοκαι κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες, .
Πεδίο ορισμού της συνάρτησης τέμνουσα είναι οι πραγματικοί αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών που μηδενίζουν τη συνάρτηση συνημίτονο, δηλαδή των αριθμών της μορφής , όπου ακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών εξαιρουμένου του τμήματος , ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα καθότι περιοδική, με περίοδο . Είναι παραγωγίσιμη με. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση τέμνουσα είναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο, γνήσια αύξουσα και κυρτή στο, γνήσια αύξουσα και κοίλη στο, γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο. Παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο με τιμή στο, τοπικό μέγιστο με τιμή στοκαι κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες, .
Πεδίο ορισμού της συνάρτησης συντέμνουσα είναι οι πραγματικοί αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών που μηδενίζουν τη συνάρτηση ημίτονο, δηλαδή των αριθμών της μορφής , όπου ακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών εξαιρουμένου του τμήματος , ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο . Είναι παραγωγίσιμη με. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση συντέμνουσα είναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο, γνήσια αύξουσα και κυρτή στο, γνήσια αύξουσα και κοίλη στο, γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο. Παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο με τιμή στο, τοπικό μέγιστο με τιμή στοκαι κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες, .
Οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο είναι οι ίδιες συναρτήσεις, η μία είναι αποτέλεσμα της μετατόπισης της άλλης.
Παρατηρήθηκε ότι ισχύει . Επιπλέον, στη μοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινομένων, όπως ηαπλή αρμονική ταλάντωση εμφανίζονται συναρτήσεις της μορφής , όπου μπορεί να είναι οποιαδήποτε γωνία (σε ακτίνια). Έτσι, μπορεί να οριστεί μια τριγωνομετρική συνάρτηση, ηαρμονική συνάρτηση, η οποία είναι της παραμετρικής μορφής . Ουσιαστικά ηαρμονική συνάρτηση είναι η συνάρτηση ημίτονο μετατοπισμένη στον άξονα κατά μονάδες.
Πεδίο ορισμού της αρμονικής συνάρτησης είναι οιπραγματικοί αριθμοί. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο , ενώ η συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, με περίοδο . Είναι παραγωγίσιμη με, δηλαδή η παράγωγός της αρμονικής συνάρτησης είναι αρμονική συνάρτηση. Σε διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται το διάστημα ως αντιπροσωπευτικό) η συνάρτηση ημίτονο είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη στο, γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο, γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο, γνήσια αύξουσα και κυρτή στο. Παρουσιάζει μέγιστο την τιμή στο, ελάχιστο την τιμή στοκαι δύο σημεία καμπής, ένα στοκαι ένα στο.
Η αρμονική συνάρτηση έχει άπειρα σημεία συμμετρίας, όλες τις ρίζες της. Επιπλέον έχει άπειρους κατακόρυφους άξονες συμμετρίας, όλες τις κατακόρυφες ευθείες που διέρχονται από τα μέγιστα καιτα ελάχιστά της.
Με βάση τον ορισμό της αρμονικής συνάρτησης προκύπτει ότι οι συναρτήσεις , , , , είναι περιπτώσεις της αρμονικής συνάρτησης. Επιπλέον, η αρμονική συνάρτηση μπορεί να οριστεί ως . Ανεξάρτητα ποια τριγωνομετρική συνάρτηση θα χρησιμοποιηθεί ως βάση γιατον ορισμό της το νόημα είναι ότι οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο, όπως και άλλες παρόμοιες συναρτήσεις, είναι παραμετρικές μορφές της ίδιας συνάρτησης.
Για κάθε τριγωνομετρική συνάρτηση ορίζεται αντίστοιχη αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση. Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ορίζονται με βάση τμήμα του πεδίου ορισμού των τριγωνομετρικών, στο οποίο αυτές είναι ένα προς ένα. Προφανώς αυτό το τμήμα είναι τμήμα περιόδου. Για παράδειγμα η συνάρτηση ημίτονο είναι ένα προς ένα στο, καιμε βάση αυτό ορίζεται η αντίστροφη της. Ονομάζονται καιτόξο της τριγωνομετρικής συνάρτησης που αντιστοιχούν, γιατί αντιστοιχούν το δοσμένο τριγωνομετρικό αριθμό σε αντίστοιχη γωνία, άρα καιστο μήκος του αντίστοιχου τόξου του μοναδιαίου κύκλου. Η γωνία στην οποία αντιστοιχούν οι αντίστροφες πάντα εντός μιας πλήρης περιστροφής. Συνήθως οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις αντιστοιχούν σε θετικές γωνίες, εκτός αν προκύπτει ασυνεχής ηαντίστροφη συνάρτηση, ή δεν είναι δυνατό να οριστεί πλήρως η αντίστροφη, οπότε αντιστοιχούν καισε αρνητικές γωνίες.
Θεωρούμε τη συνάρτηση ημίτονο στο, όπου είναι ένα προς ένα. Η αντίστροφη συνάρτηση ονομάζεται τόξο ημιτόνουκαι συμβολίζεται με.
Πεδίο ορισμού του τόξου ημιτόνου είναι το. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο , ενώ η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, ως αντίστροφη. Είναι παραγωγίσιμη με. Η συνάρτηση τόξο ημιτόνου είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη στο, γνήσια αύξουσα και κυρτή στο. Παρουσιάζει μέγιστο την τιμή στο, ελάχιστο την τιμή στοκαι σημείο καμπής στο.
Θεωρούμε τη συνάρτηση συνημίτονο στο, όπου είναι ένα προς ένα. Η αντίστροφη συνάρτηση ονομάζεται τόξο συνημιτόνουκαι συμβολίζεται με.
Πεδίο ορισμού του τόξου συνημιτόνου είναι το. Σύνολο τιμών είναι το σύνολο , ενώ η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, ως αντίστροφη. Είναι παραγωγίσιμη με. Η συνάρτηση τόξο συνημιτόνου είναι γνήσια φθίνουσα και κυρτή στο, γνήσια φθίνουσα και κοίλη στο. Παρουσιάζει μέγιστο την τιμή στο, ελάχιστο την τιμή στοκαι σημείο καμπής στο.
Σύγκριση κυκλικών και υπερβολικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Προσέξτε ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου.
Παρατηρούμε ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν άμεση σχέση με τις κωνικές τομές. Πιο συγκεκριμένα οι απλές ή κυκλικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις αντιστοιχούν σεκύκλο (καικατ' επέκταση σεέλλειψη), ενώ οι υπερβολικές συναρτήσεις στην ισοσκελή υπερβολή (καικατ' επέκταση στις υπερβολές). Αυτό γίνεται αντιληπτό από τις βασικές σχέσεις που συνδέουν τα ημίτονα καιτα συνημίτονα:
cos2x+sin2x=1 Συνδέουν τα ημίτονα καιτα συνημίτονα στις απλές τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Το σημείο (cos2x,sin2x) ανήκει σε κύκλο ακτίνας 1. Είναι ο μοναδιαίος κύκλος.
cosh2x-sinh2x=1 Συνδέουν τα ημίτονα και συνημίτονα στις υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Το σημείο (cosh2x,sinh2x) ανήκει στο δεξιό κλάδο ισοσκελούς υπερβολής.
Στοκαρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε ένα μοναδιαίο κύκλο καιμια ισοσκελής υπερβολή με εξισώσεις x2+y2=1 και x2-y2=1 αντίστοιχα. Θεωρούμε και έναν μεταβλητό ημιάξονα Οz. Έστω το εμβαδόν που περικλείεται από τον ημιάξονα, τον άξονα x'x καιτο μοναδιαίο κύκλο Εc, καιτο σημείο τομής του ημιάξονα μετον κύκλο Μc. Έστω, επίσης, το εμβαδόν που περικλείεται από τον ημιάξονα, τον άξονα x'x καιτην υπερβολή Ehκαιτο σημείο Μh. Αποδεικνύεται ότι όταν το εμβαδόν Ε είναι θ/2, τότε το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (συνημίτονο,ημίτονο). Δηλαδή η ανεξάρτητη μεταβλητή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι το εμβαδόν (γιατην ακρίβεια είναι ολοκλήρωμα).
Όμως στις κυκλικες τριγωνομετρικές συναρτήσεις οι ορισμοί βασίζονται στη γωνία και όχι το εμβαδόν. Το φαινομενικό παράδοξο λύνεται από τον τύπο Ε=θ/2, που δίνει το εμβαδόν κυκλικού τομέα συναρτήσει της γωνίας θ (μετρημένη σεακτίνια.
Γενίκευση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (στους μιγαδικούς αριθμούς)
Η γενίκευση αυτή δε μπορεί να γίνει άμεσα, επειδή δεν υπάρχουν (αντιληπτές) μιγαδικές γωνίες ή εμβαδά. Αρχικά, αποδείχθηκαν ποιες σειρές Taylor αντιστοιχούν στο ημίτονο, το συνημίτονο, το υπερβολικό ημίτονο καιτο υπερβολικό συνημίτονο. Επαναθεωρώντας τους ορισμούς του ημιτόνου καιτου συνημιτόνου, μπορούμε νατα ορίσουμε ως σειρές Taylor, δηλαδή ως πολυώνυμα άπειρων όρων. Έτσι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ως ανεξάρτητη μεταβλητή οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό. Επίσης, αποδείχθηκαν με βάση αυτές τις σειρές καιοι εξής σχέσεις:
Η δημιουργία της γραφικής παράστασης του ημιτόνου. Χρησιμοποιείται ο ακόμη πιο γενικευμένος ορισμός μετο μιγαδικό εψιλοτικό μετασχηματισμό.
Στην περίπτωση της πρώτης εξίσωσης, αν θεωρήσουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή στον πραγματικό άξονα καιτην εξαρτημένη στο μιγαδικό επίπεδο, τότε η τρισδιάστατη γραφική παράσταση είναι έλικας.
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν οριστεί τουλάχιστον τρεις φορές, ενώ υπάρχουν τουλάχιστον είκοσι τέσσερις διαφορετικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις (υπάρχουν και μερικές που συναντώνται σπάνια καιδεν αναφέρονται στο άρθρο). Ο λόγος της μεγάλης ανάπτυξης της μελέτης τους είναι η χρησιμότητά τους στημηχανική, τηφυσικήκαι άλλες επιστήμες. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:
Συνδέουν τα μήκη των πλευρών των τριγώνων με τις γωνίες τους.