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凸集
非凸集(凹集)
在点集拓扑学與欧几里得空间中,凸集(Convex set)是一個點集合,其中每兩點之間的线段點都落在該點集合中。
- 區間是實數的凸集。
- 依據定義,中空的圓形稱為圆(circle),它不是凸集;實心的圓形稱為圆盘(disk),它是凸集。
- 凸多邊形是歐幾理得平面上的凸集,它們的每隻角都小於180度。
- 单纯形是凸集,對於單純形的顶点集合來說,單純形是它們的最小凸集,所以單純形也是一個凸包。
- 定宽曲线是凸集。
凸集的延森不等式定義
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在度量幾何中,琴生不等式(Jensen's inequality)為凸集給出一個最健全的解釋,而不必牽涉到二階導數:
- 假設
為在實或複向量空間的集。若對於所有
和所有
,有
,則稱
為凸集。
簡單而言,就是
中的任何兩點之間的直線段都屬於
。因此,凸集是一個連通空間。
特殊凸集是特別給了名稱的凸集,它們可能是具有額外性質的凸集,或是在某種定義下的凸集(非一般定義中的凸集)。
具有額外性質的凸集
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在某種定義下的凸集
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- 星形凸集:若集
中存在一點
,使得由
到
中任何一點的直線段都屬於
,則稱
為星形域或星形凸集。星形域是簡單連通的。
若
是凸集,對於任意
,及所有非負數
滿足
,都有
。這個向量稱為
的凸組合。
對於非歐平面,可用測地線來取代在歐幾理德凸集的定義內直線段。