凸とつ集しゅう

在ざい点てん集しゅう拓つぶせ扑学与あずか欧おう几里得とく空そら间中なか，凸とつ集しゅう（Convex set）是ぜ一いち个点集合しゅうごう，其中每ごと两点之の间的线段点てん都と落在该点集合しゅうごう中ちゅう。

凸とつ集しゅう实例

区く间是これ实数的てき凸とつ集しゅう。
依よ据すえ定てい义，中空なかぞら的てき圆形称しょう为圆（circle），它不是ぜ凸とつ集しゅう；实心的てき圆形称しょう为圆盘（disk），它是凸とつ集しゅう。
凸とつ多た边形是ぜ欧おう几理得とく平面へいめん上じょう的てき凸とつ集しゅう，它们的てき每まい只ただ角すみ都と小しょう于180度ど。
单纯形がた是ぜ凸とつ集しゅう，对于单纯形がた的てき顶点集合しゅうごう来らい说，单纯形がた是ぜ它们的てき最小さいしょう凸とつ集しゅう，所以ゆえん单纯形がた也是一いち个凸とつ包つつみ。
定てい宽曲线是ぜ凸とつ集しゅう。

凸とつ集しゅう的てき延のべ森もり不等式ふとうしき定てい义

在ざい度量どりょう几何中ちゅう，琴きん生せい不等式ふとうしき（Jensen's inequality）为凸集しゅう给出一个最健全的解释，而不必牵涉わたる到いた二に阶导数すう：

假かり设

S

为在实或复向むかい量りょう空そら间的まと集しゅう。若わか对于所有しょゆう

x,y\in S

和わ所有しょゆう

t\in [0,1]

，有ゆう

(1-t)x+ty\in S

，则称

S

为凸とつ集しゅう。

简单而言，就是 $S$ 中なか的てき任にん何なん两点之の间的直ちょく线段都と属ぞく于 $S$ 。因よし此，凸とつ集しゅう是ぜ一いち个连通空そら间。

特殊とくしゅ凸とつ集しゅう

特殊とくしゅ凸とつ集しゅう是ぜ特とく别给了りょう名称めいしょう的てき凸とつ集しゅう，它们可能かのう是ぜ具有ぐゆう额外性せい质的凸とつ集しゅう，或ある是ぜ在ざい某ぼう种定义下的てき凸とつ集しゅう（非ひ一般定义中的凸集）。

具有ぐゆう额外性せい质的凸とつ集しゅう

绝对凸とつ集しゅう：若わか $S$ 既すんで是ぜ凸とつ集しゅう又また是これ平衡へいこう集しゅう，则称 $S$ 为绝对凸とつ的てき。

在ざい某ぼう种定义下的てき凸とつ集しゅう

星ほし形がた凸とつ集しゅう：若わか集しゅう $S$ 中ちゅう存在そんざい一いち点てん $x_{0}$ ，使つかい得とく由ゆかり $x_{0}$ 到いた $S$ 中ちゅう任にん何なん一点的直线段都属于 $S$ ，则称 $S$ 为星ほし形がた域いき或ある星ほし形がた凸とつ集しゅう。星ほし形がた域いき是ぜ简单连通的てき。

性せい质

若わか $S$ 是ぜ凸とつ集しゅう，对于任意にんい $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}\in S$ ，及所有しょゆう非ひ负数 $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}$ 满足 $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{r}=1$ ，都みやこ有ゆう $\sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}\in S$ 。这个向むこう量りょう称しょう为 $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}$ 的てき凸とつ组合。