三角さんかく関数かんすうの公式こうしきの一覧いちらん

単位たんい円えんとサイン・コサインの値ね(x軸じく:cos,y軸じく:sin)

三角さんかく関数かんすうの公式こうしき（さんかくかんすうのこうしき）は、角度かくどに関かかわらず成なり立たつ三角さんかく関数かんすうの恒等こうとう式しきである。

定義ていぎ

角かく

この記事きじ内ないで、角かくは原則げんそくとして αあるふぁ, βべーた, γがんま, θしーた といったギリシア文字もじか、x を使用しようする。

角度かくどの単位たんいとしては原則げんそくとしてラジアン (rad, 通常つうじょう単位たんいは省略しょうりゃく) を用もちいるが、度ど (°) を用もちいる場合ばあいもある。

1周しゅう = 360度ど = 2πぱいラジアン

主おもな角度かくどの度たびとラジアンの値ねは以下いかのようになる：

度数どすう法ほう（°）	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
弧こ度ど法ほう（ラジアン）	${\frac {\pi }{6}}\!$	${\frac {\pi }{3}}\!$	${\frac {2\pi }{3}}\!$	${\frac {5\pi }{6}}\!$	${\frac {7\pi }{6}}\!$	${\frac {4\pi }{3}}\!$	${\frac {5\pi }{3}}\!$	${\frac {11\pi }{6}}\!$
度数どすう法ほう（°）	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
弧こ度ど法ほう（ラジアン）	${\frac {\pi }{4}}\!$	${\frac {\pi }{2}}\!$	${\frac {3\pi }{4}}\!$	$\pi \!$	${\frac {5\pi }{4}}\!$	${\frac {3\pi }{2}}\!$	${\frac {7\pi }{4}}\!$	$2\pi \!$

記事きじ内ないでは主おもにラジアンを使用しようし、度どの場合ばあいには別記べっきするか度どを示しめす記号きごう（°）を付記ふきする。

三角さんかく関数かんすう

最もっとも基本きほん的てきな関数かんすうは正弦せいげん関数かんすう（サイン、sine）と余弦よげん関数かんすう（コサイン、cosine）である。これらは sin(θしーた), cos(θしーた) または括弧かっこを略りゃくして sin θしーた, cos θしーた と記述きじゅつされる（θしーた は対象たいしょうとなる角かくの大おおきさ）。

正弦せいげん関数かんすうと余弦よげん関数かんすうの比ひを正接せいせつ関数かんすう（タンジェント、tangent）と言いい、具体ぐたい的てきには以下いかの式しきで表あらわされる：

$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$

上記じょうき3関数かんすうの逆数ぎゃくすう関数かんすうを余よ割わり関数かんすう（コセカント、cosecant）・正せい割わり関数かんすう（セカント、secant）・余あまり接せっ関数かんすう（コタンジェント、cotangent）と言いう。余よ割わり関数かんすうの略称りゃくしょうには cosec と csc の2種類しゅるいがあり、この記事きじでは csc を使用しようする。

$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.$

逆ぎゃく関数かんすう

三角さんかく関数かんすうの逆ぎゃく関数かんすうを逆ぎゃく三角さんかく関数かんすうと言いう。日本語にほんごにおいては逆ぎゃく正弦せいげん関数かんすうのように頭あたまに「逆ぎゃく」を付つけて呼よぶ。式しき中ちゅうでは sin⁻¹ のように右肩みぎかたに "−1" を付つけるか asin, arcsin のように "a" または "arc" を付つける。このarcは弧こという意味いみがある。

この記事きじでは逆ぎゃく関数かんすうとして以下いかの表記ひょうきを採用さいようする：

関数かんすう	sin	cos	tan	sec	csc	cot
逆ぎゃく関数かんすう	arcsin	arccos	arctan	arcsec	arccsc	arccot

三角さんかく関数かんすうは周期しゅうき関数かんすうなので、逆ぎゃく関数かんすうは多た価あたい関数かんすうである。

逆ぎゃく関数かんすうの性質せいしつから以下いかが成なり立たつ：

$\sin(\arcsin x)=x,\!$

$\arcsin(\sin \theta )=\theta \quad {\text{for }}-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2.$

その他た、総和そうわ記号きごう・総そう乗じょう記号きごうなど

いくつかの数学すうがく記号きごうは中等ちゅうとう教育きょういくの課程かてい（中学校ちゅうがっこうの課程かてい・高等こうとう学校がっこうの課程かてい・中等ちゅうとう教育きょういく学校がっこうの課程かていなど）で紹介しょうかいされていないため、詳くわしくは数学すうがく記号きごうの表ひょう#代数だいすう学がくの記号きごうなど参照さんしょうのこと。

• 総和そうわ記号きごう:$\textstyle \sum$
• 総そう乗じょう記号きごう:$\textstyle \prod$

ピタゴラスの定理ていり

ピタゴラスの定理ていりやオイラーの公式こうしきなどから以下いかの基本きほん的てきな関係かんけいが導みちびける。

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\!$

ここで sin² θしーた は (sin(θしーた))² を意味いみする。

この式しきを変形へんけいして、以下いかの式しきが導みちびかれる：

$\sin \theta =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$

$\cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$

関数かんすう同士どうしの変換へんかん

上うえの関係かんけい式しきを cos² θしーた と sin² θしーた で割わると、以下いかの関係かんけい式しきができる：

$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \!$

$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \!$

これらの式しきから以下いかの関係かんけいを得える：

他たの5種類しゅるいの関数かんすうによる表現ひょうげん

	$\sin \theta \!$	$\cos \theta \!$	$\tan \theta \!$	$\csc \theta \!$	$\sec \theta \!$	$\cot \theta \!$
$\sin \theta =\!$	$\sin \theta \$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\!$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!$	${\frac {1}{\csc \theta }}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!$
$\cos \theta =\!$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\!$	$\cos \theta \!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}\!$	${\frac {1}{\sec \theta }}\!$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!$
$\tan \theta =\!$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}\!$	$\tan \theta \!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}\!$	${\frac {1}{\cot \theta }}\!$
$\csc \theta =\!$	${\frac {1}{\sin \theta }}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}\!$	$\csc \theta \!$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}\!$
$\sec \theta =\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!$	${\frac {1}{\cos \theta }}\!$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}\!$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!$	$\sec \theta \!$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}\!$
$\cot \theta =\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}\!$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!$	${\frac {1}{\tan \theta }}\!$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!$	$\cot \theta \!$

古ふるい関数かんすう

単位たんい円えんと角かく θしーた に対たいする三角さんかく関数かんすうの関係かんけい。

三角さんかく関数かんすうから求もとめられる versine, coversine, haversine, exsecant などの各かく関数かんすうは、かつて測量そくりょうなどに用もちいられた。例たとえば haversine は球面きゅうめん上じょうの2点てんの距離きょりを求もとめるのに使用しようされた。haversineを使用しようすると関数かんすう表ひょうの表ひょうをひく回数かいすうを減へらすことができるからである。 (参考さんこう：球面きゅうめん三角さんかく法ほう) 今日きょうではコンピュータの発達はったつにより、これらの関数かんすうはほとんど使用しようされない。

versine と coversine は日本語にほんごでは「正せい矢や」「余よ矢や」と呼よばれ、三角さんかく関数かんすうとともに八はち線表せんぴょうとして1つの数かず表ひょうにまとめられていた。

名前なまえ	表記ひょうき	値ね
versed sine, versine 正せい矢や	$\operatorname {versin} \theta$ $\operatorname {vers} \theta$ $\operatorname {ver} \theta$	$1-\cos \theta \!$
versed cosine, vercosine	$\operatorname {vercosin} \theta$	$1+\cos \theta \!$
coversed sine, coversine 余よ矢や	$\operatorname {coversin} \theta$ $\operatorname {cvs} \theta$	$1-\sin \theta \!$
coversed cosine, covercosine	$\operatorname {covercosin} \theta$	$1+\sin \theta \!$
half versed sine, haversine	$\operatorname {haversin} \theta$	${\frac {1-\cos \theta }{2}}$
half versed cosine, havercosine	$\operatorname {havercosin} \theta$	${\frac {1+\cos \theta }{2}}$
half coversed sine, hacoversine cohaversine	$\operatorname {hacoversin} \theta$	${\frac {1-\sin \theta }{2}}$
half coversed cosine, hacovercosine cohavercosine	$\operatorname {hacovercosin} \theta$	${\frac {1+\sin \theta }{2}}$
exterior secant, exsecant	$\operatorname {exsec} \theta$	$\sec \theta -1\!$
exterior cosecant, excosecant	$\operatorname {excsc} \theta$	$\csc \theta -1\!$
chord （弦つるの長ながさ）	$\operatorname {crd} \theta$	$2\sin {\frac {\theta }{2}}$

対称たいしょう性せい・周期しゅうき性せい

単位たんい円えんと三角さんかく関数かんすうの関係かんけいを検討けんとうすることにより、以下いかの性質せいしつが導みちびかれる。

対称たいしょう性せい

いくつかの線せんに対たいし対称たいしょうな図形ずけいを考かんがえることにより、以下いかの関係かんけい式しきを得えることができる。

$\theta =0$（x軸じく）に対たいして対称たいしょう	$\theta =\pi /4$（直線ちょくせん y=x）に対たいして対称たいしょう （co- が付つく関数かんすうとの関係かんけい）	$\theta =\pi /2$（y軸じく）に対たいして対称たいしょう
${\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}$

移動いどうと周期しゅうき性せい

単位たんい円えんの図ずを回転かいてんさせることにより、別べつの関係かんけいが得えられる。πぱい/2 の回転かいてんだとすべての関数かんすうが別べつの関数かんすうとの関係かんけいを得えられる。πぱい または 2πぱい の回転かいてんだと、同おなじ関数かんすう内ないでの関係かんけいとなる。

πぱい/2 の移動いどう	πぱい の移動いどう tan と cot の周期しゅうき	2πぱい の移動いどう sin, cos, csc, sec の周期しゅうき
${\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}$

加法かほう定理ていり

以下いかの式しきは「加法かほう定理ていり」として知しられる。これらの式しきは、10世紀せいきのペルシャの数学すうがく者しゃアブル・ワファーによって最初さいしょに示しめされた。これらの式しきはオイラーの公式こうしきを用もちいて示しめすことが可能かのうである。

Sine	$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!$
Cosine	$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,$
Tangent	$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
Arcsine	$\arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}})$
Arccosine	$\arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}})$
Arctangent	$\arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)$

上記じょうきの表ひょうにおいて複ふく号ごうは同どう順じゅんとする。

回転かいてん行列ぎょうれつの積せき

加法かほう定理ていりによって、回転かいてん行列ぎょうれつ同士どうしの積せきをまとめることができる。

${\begin{aligned}&{}\quad \left({\begin{array}{rr}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{array}}\right)\left({\begin{array}{rr}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos \phi \cos \theta -\sin \phi \sin \theta &-\cos \phi \sin \theta -\sin \phi \cos \theta \\\sin \phi \cos \theta +\cos \phi \sin \theta &-\sin \phi \sin \theta +\cos \phi \cos \theta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos(\theta +\phi )&-\sin(\theta +\phi )\\\sin(\theta +\phi )&\cos(\theta +\phi )\end{array}}\right)\end{aligned}}$

任意にんいの個数こすうの和わ

正弦せいげん関数かんすうと余弦よげん関数かんすう

正弦せいげん関数かんすうと余弦よげん関数かんすうにおいて、以下いかの式しきが成なり立たつ。

$\sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{(k-1)/2}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)$

$\cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{k/2}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)$

いずれの場合ばあいにも、「有限ゆうげん個この角かくの正弦せいげん関数かんすうと残のこりの角かくの余弦よげん関数かんすうの積せき」の和わとなる。無限むげんの和わに見みえるが、j 以上いじょうのすべての i で θしーた_i=0 が成なり立たつ場合ばあい、j 以上いじょうの k は計算けいさんする必要ひつようがなく有限ゆうげん項こうの計算けいさんとなる。

正接せいせつ関数かんすう

e_k (k ∈ {0, ..., n}) を k次つぎの基本きほん対称たいしょう式しきとする。

$x_{i}=\tan \theta _{i}\,$

のとき i ∈ {0, ..., n} に対たいして以下いかのようになる。

${\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{1\leq i\leq n}x_{i}&&=\sum _{1\leq i\leq n}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}&&=\sum _{1\leq i<j\leq n}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \end{aligned}}$

このとき正接せいせつ関数かんすうの和わは以下いかの式しきで表あらわされる。

$\tan(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }},\!$

この e は、e_n まで使用しようする。

例れい

${\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\\\&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}$

数学すうがく的てき帰納きのう法ほうを用もちいて証明しょうめいが可能かのうである。

正せい割わり関数かんすうと余よ割わり関数かんすう

e_k は前節ぜんせつ同様どうよう正接せいせつ関数かんすうの基本きほん対称たいしょう式しきとする。

${\begin{aligned}\sec(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})&={\frac {\sec \theta _{1}\cdots \sec \theta _{n}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]\csc(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})&={\frac {\sec \theta _{1}\cdots \sec \theta _{n}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$

例れい

${\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}\end{aligned}}$

倍角ばいかく公式こうしき

Tn は n 次つぎのチェビシェフ多項式たこうしき	$\cos n\theta =T_{n}(\cos \theta )\,$
Sn は n 次つぎの spread 多項式たこうしき	$\sin ^{2}n\theta =S_{n}(\sin ^{2}\theta )\,$
ド・モアブルの定理ていりによる（i は虚数きょすう単位たんい）	$\cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))^{n}\,$
ディリクレ核かく	$1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}$

倍角ばいかく・三さん倍角ばいかく・半角はんかくの公式こうしき

以下いかの式しきは加法かほう定理ていりなどから容易よういに導みちびくことができる。

倍角ばいかく
${\begin{aligned}\sin 2\theta &=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	$\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\!$	$\cot 2\theta ={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\!$
三さん倍角ばいかく
${\begin{aligned}\sin 3\theta &=3\cos ^{2}\theta \sin \theta -\sin ^{3}\theta \\&=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos 3\theta &=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}$	$\tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}\!$	$\cot 3\theta ={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}\!$
半角はんかく
$\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$	$\cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$	${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\\[8pt]\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$

正弦せいげん関数かんすうと余弦よげん関数かんすうの三さん倍角ばいかくの公式こうしきは、元もとの関数かんすうの三さん次じ方程式ほうていしきで表あらわすことができる。従したがって、三さん次じ方程式ほうていしきの解かいを求もとめることでそれらの三角さんかく関数かんすうの値ねを得えることができる。

幾何きか学的がくてきには、三さん倍角ばいかくの公式こうしきを経由けいゆし三さん角かく関数かんすうの値ねを求もとめることは角かくの三さん等分とうぶん問題もんだいに相当そうとうする。この問題もんだいは、定規じょうぎとコンパスを用もちいた解法かいほうが特別とくべつな角かくを除のぞいて存在そんざいしないことが知しられている。

方程式ほうていしき x³ − 3x + d/4 = 0（正弦せいげん関数かんすうならば x = sinθしーた, d = sin(3θしーた) とする）の判別はんべつ式しきは正せいなのでこの方程式ほうていしきは3つの実数じっすう解かいを持もつ。

倍角ばいかくの公式こうしき

加法かほう定理ていりから、正弦せいげん関数かんすうおよび余弦よげん関数かんすうの以下いかの倍角ばいかく公式こうしきが得えられる。これらの式しきは16世紀せいきのフランスの数学すうがく者しゃフランソワ・ビエトによって示しめされた。

${\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\sin \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right),\\\cos(n\theta )&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)\end{aligned}}$

ここで (n
k) は二に項こう係数けいすうである。上記じょうきの和わの最初さいしょの数すう項こうを明示めいじすれば、以下いかの通とおりである。

${\begin{aligned}\sin(n\theta )&={\binom {n}{1}}\cos ^{n-1}\theta \sin \theta -{\binom {n}{3}}\cos ^{n-3}\theta \sin ^{3}\theta +\cdots ,\\\cos(n\theta )&={\binom {n}{0}}\cos ^{n}\theta -{\binom {n}{2}}\cos ^{n-2}\theta \sin ^{2}\theta +\cdots .\end{aligned}}$

ビエトの公式こうしきを利用りようし、正接せいせつ関数かんすうと余よ接せっ関数かんすうの倍角ばいかく公式こうしきを漸やや化か式しきとして与あたえることができる。

${\begin{aligned}\tan {((n+1)\theta )}&={\frac {\tan(n\theta )+\tan \theta }{1-\tan(n\theta )\tan \theta }},\\\cot {((n+1)\theta )}&={\frac {\cot(n\theta )\cot \theta -1}{\cot {(n\theta )}+\cot \theta }}.\end{aligned}}$

またド・モアブルの定理ていり、あるいはオイラーの公式こうしきを利用りようし、以下いかのように表あらわすことができる。

${\begin{aligned}\cos(n\theta )&={\frac {1}{2}}\left\{(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}+(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}\right\},\\\sin(n\theta )&=-{\frac {i}{2}}\left\{(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}-(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}\right\},\\\tan(n\theta )&=-i{\frac {(1+i\tan \theta )^{n}-(1-i\tan \theta )^{n}}{(1+i\tan \theta )^{n}+(1-i\tan \theta )^{n}}}\end{aligned}}$

チェビシェフの方法ほうほう

パフヌティ・チェビシェフは、n 倍角ばいかくの正弦せいげん関数かんすうと余弦よげん関数かんすうの値ねを、(n − 1) 倍角ばいかくと (n − 2) 倍角ばいかくの値ねを用もちいて表あらわす方法ほうほうを発見はっけんしている。

cos(nx) は、以下いかのように表あらわされる。

$\cos(nx)=2\cdot \cos x\cdot \cos((n-1)x)-\cos((n-2)x)\,$

同様どうように sin(nx) は以下いかのように表あらわされる。

$\sin(nx)=2\cdot \cos x\cdot \sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)\,$

tan(nx) は以下いかのようになる。

$\tan(nx)={\frac {H+K\tan x}{K-H\tan x}}\,$

ここで、H/K = tan((n − 1)x) である。

算術さんじゅつ平均へいきんの正接せいせつ関数かんすう

αあるふぁ, βべーた の算術さんじゅつ平均へいきんの正接せいせつについて以下いかが成なり立たつ。

$\tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}$

αあるふぁ, βべーた のいずれかが 0 である場合ばあい、これは正接せいせつ関数かんすうの半角はんかく公式こうしきに一致いっちする。

ビエトの無限むげん積せき

以下いかの式しきが成なり立たつ。

$\cos \left({\theta \over 2}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 4}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\theta \over 2^{n}}\right)={\sin(\theta ) \over \theta }=\operatorname {sinc} \,\theta .$

最後さいごのsincは、正弦せいげん関数かんすうを角かくの大おおきさで割わったものである。

$\operatorname {sinc} x:={\frac {\sin x}{x}}.$

べき乗じょう

余弦よげん関数かんすうの倍角ばいかく公式こうしきを変形へんけいすることにより、以下いかの式しきが得えられる。式しきの次数じすうを下さげるためによく用もちいられる。

正弦せいげん関数かんすう	余弦よげん関数かんすう	その他た
$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\!$	$\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\!$	$\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}\!$
$\sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}}\!$	$\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}\!$	$\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin 2\theta -\sin 6\theta }{32}}\!$
$\sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}\!$	$\cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}\!$	$\sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}}\!$
$\sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin 3\theta +\sin 5\theta }{16}}\!$	$\cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}\!$	$\sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin 2\theta -5\sin 6\theta +\sin 10\theta }{512}}\!$

ド・モアブルの定理ていり・オイラーの公式こうしき・二に項こう定理ていりを用もちいると、以下いかのように一般いっぱん化かできる。

	余弦よげん関数かんすう	正弦せいげん関数かんすう
n が奇数きすう	$\cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {\left((n-2k)\theta \right)}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {\left((n-2k)\theta \right)}$
n が偶数ぐうすう	$\cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {\left((n-2k)\theta \right)}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {\left((n-2k)\theta \right)}$

和かず積つもる公式こうしきと積せき和わ公式こうしき

加法かほう定理ていりに（θしーた±φふぁい）を代入だいにゅうすることにより、積せき和わ公式こうしきを導みちびくことができる。これを変形へんけいすると和かず積つもる公式こうしきになる。

積せき和わ公式こうしき $\cos \theta \cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$ $\sin \theta \sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$ $\sin \theta \cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$ $\cos \theta \sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$

和かず積つもる公式こうしき $\sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)$ $\cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$ $\cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\theta +\varphi \over 2}\right)\sin \left({\theta -\varphi \over 2}\right)$

エルミートの無限むげん積せき

シャルル・エルミートは、複素ふくそ関数かんすうに関かんする以下いかの式しきを示しめした。

複素数ふくそすう a₁, ..., a_n は、どの2つをとってもその差さがπぱいの整数せいすう倍ばいにならないものとする。

$A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})$

と置おく（A_1,1 のときこの値ねは1とする）と、以下いかの式しきが成なり立たつ。

$\cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).$

自明じめいでない単純たんじゅんな例れいとして、n = 2 のときの例れいをあげる。

$\cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2})$

合成ごうせい公式こうしき

正弦せいげん関数かんすうと余弦よげん関数かんすうの和わは、正弦せいげん関数かんすうで表あらわすことができる。

$a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )\,$

ここで、φふぁいの値ねは以下いかの式しきで与あたえられる。

$\varphi ={\begin{cases}\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi -\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a<0,\end{cases}}$

または

$\varphi =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi &{\text{if }}a<0,\end{cases}}$

位相いそうの違ちがう正弦せいげん関数かんすうを以下いかのように合成ごうせいすることができる。

$a\sin x+b\sin(x+\alpha )=c\sin(x+\beta )\,$

ここで c と βべーた の値ねは以下いかの式しきで与あたえられる。

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }},\,$

$\beta =\arctan \left({\frac {b\sin \alpha }{a+b\cos \alpha }}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a+b\cos \alpha \geq 0,\\\pi &{\text{if }}a+b\cos \alpha <0.\end{cases}}$

その他たの和わに関かんする公式こうしき

正弦せいげん関数かんすうと余弦よげん関数かんすうの和わに関かんする以下いかのような公式こうしきがある。

${\begin{aligned}&\sin {\varphi }+\sin {(\varphi +\alpha )}+\sin {(\varphi +2\alpha )}+\cdots {}\\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\sin {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \sin {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.\\[10pt]&\cos {\varphi }+\cos {(\varphi +\alpha )}+\cos {(\varphi +2\alpha )}+\cdots {}\\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\cos {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \cos {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.\end{aligned}}$

正接せいせつ関数かんすうと正せい割わり関数かんすうに関かんして以下いかの式しきが成なり立たつ。

$\tan x+\sec x=\tan \left({x \over 2}+{\pi \over 4}\right)=\exp \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)$

ただし、$\operatorname {gd} ^{-1}x$ はグーデルマン関数かんすうの逆ぎゃく関数かんすうである。

メビウス変換へんかん

ƒ(x) と g(x) を以下いかのようなメビウス変換へんかん関数かんすうとして定義ていぎする。

$f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},$

$g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},$

このとき以下いかが成なり立たつ。

$f(g(x))=g(f(x))={\frac {(\cos(\alpha +\beta ))x-\sin(\alpha +\beta )}{(\sin(\alpha +\beta ))x+\cos(\alpha +\beta )}}.$

以下いかのように書かくこともできる。

$f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.\,$

逆ぎゃく三角さんかく関数かんすうに関かんする公式こうしき

$\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}$

$\arctan x+\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}.$

$\arctan x+\arctan {\frac {1}{x}}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}},&{\mbox{if }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}},&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.$

逆ぎゃく三角さんかく関数かんすう同士どうしの関係かんけい

	arccos	arcsin	arctan	arccot
arccos		$\arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}}$	$\arccos x=\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$	$\arccos x=\operatorname {arccot} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
arcsin	$\arcsin x=\arccos {\sqrt {1-x^{2}}}$		$\arcsin x=\arctan {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$\arcsin x=\operatorname {arccot} {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$
arctan	$\arctan x=\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$		$\arctan x=\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}$
arccot	$\operatorname {arccot} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\operatorname {arccot} x=\arcsin {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$	$\operatorname {arccot} x=\arctan {\frac {1}{x}}$

逆ぎゃく三角さんかく関数かんすうの和わに関かんする公式こうしき

式しき	和わ	条件じょうけん
$\arcsin x+\arcsin y=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$xy\leq 0$ または $x^{2}+y^{2}\leq 1$
	$\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x>0$ かつ $y>0$ かつ $x^{2}+y^{2}>1$
	$-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x<0$ かつ $y<0$ かつ $x^{2}+y^{2}>1$
$\arcsin x-\arcsin y=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$xy\geq 0$ または $x^{2}+y^{2}\leq 1$
	$\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x>0$ かつ $y<0$ かつ $x^{2}+y^{2}>1$
	$-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x<0$ かつ $y>0$ かつ $x^{2}+y^{2}>1$
$\arccos x+\arccos y=$	$\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y\geq 0$
	$2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y<0$
$\arccos x-\arccos y=$	$-\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y\geq 0$
	$\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y<0$
$\arctan x+\arctan y=$	$\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$	$xy<1$
	$\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$	$x>0$ かつ $xy>1$
	$-\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$	$x<0$ かつ $xy>1$
$\arctan x-\arctan y=$	$\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$	$xy>-1$
	$\pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$	$x>0$ かつ $xy<-1$
	$-\pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$	$x<0$ かつ $xy<-1$

逆ぎゃく三角さんかく関数かんすうと三角さんかく関数かんすう

$\sin[\arccos(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,$	$\tan[\arcsin(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan[\arccos(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\cos[\arctan(x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cot[\arcsin(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\cos[\arcsin(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,$	$\cot[\arccos(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

複素ふくそ関数かんすう

以下いかにおいて、$i$ は虚数きょすう単位たんいとする。

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$ （オイラーの公式こうしき）

$e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos(x)-i\sin(x)$

$e^{i\pi }=-1$ （オイラーの等式とうしき）

$\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\;$

$\sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\;$

$\tan(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i({e^{ix}+e^{-ix}})}}\;={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$

無限むげん乗じょう積せきによる表現ひょうげん

「数学すうがく記号きごうの表ひょう#代数だいすう学がくの記号きごう」も参照さんしょう

いくつかの関数かんすうは、無限むげん乗じょう積せきの形かたちで表あらわすことができる。$\prod _{n=1}^{\infty }$は総そう乗じょうを示しめす。

$\sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$

${\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)$

$\cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)$

$|\sin x|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}}]{\left|\tan \left(2^{n}x\right)\right|}}$

三角形さんかっけい

αあるふぁ, βべーた, γがんま が三角形さんかっけいの3つの角かくの大おおきさのとき、即すなわち αあるふぁ + βべーた + γがんま = πぱい を満みたす場合ばあい、以下いかの式しきが成なり立たつ。

$\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan \gamma \,$

$\cot \beta \cdot \cot \gamma +\cot \gamma \cdot \cot \alpha +\cot \alpha \cdot \cot \beta =1$

$\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cot {\frac {\beta }{2}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}$

$\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}=1$

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}$

$-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}$

$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1$

$-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1$

$\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \,$

$-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \,$

$\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\,$

$-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,$

$\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\,$

$-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \,$

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\,$

$-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,$

$\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )=-2\cos(2\alpha )\,\cos(2\beta )\,\cos(2\gamma )+2$

$\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )=2\cos(2\alpha )\,\cos(2\beta )\,\cos(2\gamma )+1$

特定とくていの角度かくどに関かんする式しき

以下いかの式しきが成なり立たつ。

$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}$ （モリーの法則ほうそく）

この式しきは以下いかの式しきの特殊とくしゅな場合ばあいである。

$\prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin(x)}}.$

以下いかの式しきも同おなじ値ちを持もつ。

$\cos {\frac {\pi }{7}}\cos {\frac {2\pi }{7}}\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{8}},$

正弦せいげん関数かんすうでは以下いかの式しきが成なり立たつ。

$\sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.$

$\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.$

$\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.$

余弦よげん関数かんすうでは以下いかの式しきが成なり立たつ。

$\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.$

$\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.$

上うえの式しきを利用りようして以下いかの式しきが得えられる。

$\tan 50^{\circ }+\tan 60^{\circ }+\tan 70^{\circ }=\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }=\tan 80^{\circ }.$

以下いかの式しきは単純たんじゅんである。

$\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.$

上うえの式しきを一般いっぱん化かする場合ばあい分母ぶんぼに21が出でてくるため、単位たんいとして度たびよりもラジアンを使用しようした方ほうがよい。

${\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}$

係数けいすうに登場とうじょうする 1, 2, 4, 5, 8, 10 は 21/2 より小ちいさく 21 と互たがいに素もとな全すべての自然しぜん数すうである。この式しきは円えん分ぶん多項式たこうしきに関係かんけいしている。

以下いかの関係かんけいから導みちびかれる式しきもある。

$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}$

$\prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin \left(\pi n/2\right)}{2^{n-1}}}$

これらを組くみ合あわせると、以下いかの式しきになる。

$\prod _{k=1}^{n-1}\tan \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{\sin \left(\pi n/2\right)}}$

n を奇数きすうに限定げんていすると、以下いかの式しきが得えられる。

$\prod _{k=1}^{m}\tan \left({\frac {k\pi }{2m+1}}\right)={\sqrt {2m+1}}$

πぱいの計算けいさん

円周えんしゅう率りつの計算けいさんにおいて、以下いかのマチンの公式こうしきはよく使用しようされる。

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

レオンハルト・オイラーは、以下いかの式しきを示しめしている。

${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}.$

よく使用しようされる値ね

正弦せいげん関数かんすうと余弦よげん関数かんすうにおいて、値ねが $\scriptstyle {\sqrt {n}}/2$ （ただし 0 ≤ n ≤ 4）の形かたちになるものは、覚おぼえやすい値ねである。

${\begin{matrix}\sin 0&=&\sin 0^{\circ }&=&{\sqrt {0}}/2&=&\cos 90^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&=&\sin 30^{\circ }&=&{\sqrt {1}}/2&=&\cos 60^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)&=&\sin 45^{\circ }&=&{\sqrt {2}}/2&=&\cos 45^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)&=&\sin 60^{\circ }&=&{\sqrt {3}}/2&=&\cos 30^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)&=&\sin 90^{\circ }&=&{\sqrt {4}}/2&=&\cos 0^{\circ }&=&\cos 0\end{matrix}}$

黄金おうごん比ひ

一部いちぶの角かくに対たいする値ねは、黄金おうごん比ひ φふぁい を用もちいて表あらわすことができる。

$\cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)=\cos 36^{\circ }={{\sqrt {5}}+1 \over 4}={\frac {\varphi }{2}}$

$\sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)=\sin 18^{\circ }={{\sqrt {5}}-1 \over 4}={\varphi -1 \over 2}={1 \over 2\varphi }$

ユークリッドによる式しき

ユークリッドは原論げんろん13巻かんで、正五角形せいごかっけいと同おなじ長ながさの辺あたりを持もつ正方形せいほうけいの面積めんせきは、同おなじ円えんに内接ないせつする正六角形せいろっかっけいと正せい十じゅう角形かくがたの辺あたりの長ながさを持もつ2つの正方形せいほうけいの和わに等ひとしいことを示しめした。これを三角さんかく関数かんすうを用もちいて書かくと以下いかのようになる。

$\sin ^{2}{18^{\circ }}+\sin ^{2}{30^{\circ }}=\sin ^{2}{36^{\circ }}.\,$

微積分びせきぶん

微分びぶん積分せきぶん学がくの分野ぶんやにおいては、角度かくどはラジアンを使用しようする。

微積分びせきぶんにおいて、極限きょくげんに関かんする2つの重要じゅうような式しきがある。1つは

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,$

である。この式しきははさみうちの原理げんりから導みちびくことができる。もう1つは以下いかの式しきである。

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0,$

これらの式しきと加法かほう定理ていりなどを利用りようして、以下いかの式しきを導みちびくことができる。

${d \over dx}\sin x=\cos x$

以下いかに三角さんかく関数かんすうと逆ぎゃく三角さんかく関数かんすうの微分びぶんを示しめす。

${\begin{aligned}{d \over dx}\sin x&=\cos x,&{d \over dx}\arcsin x&={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\cos x&=-\sin x,&{d \over dx}\arccos x&={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\tan x&=\sec ^{2}x,&{d \over dx}\arctan x&={1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{d \over dx}\operatorname {arccot} x&={-1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\sec x&=\tan x\sec x,&{d \over dx}\operatorname {arcsec} x&={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\\{d \over dx}\csc x&=-\csc x\cot x,&{d \over dx}\operatorname {arccsc} x&={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\end{aligned}}$

積分せきぶんに関かんしては三角さんかく関数かんすうの原始げんし関数かんすうの一覧いちらんを参照さんしょう。

三角さんかく関数かんすう（特とくに正弦せいげん関数かんすうと余弦よげん関数かんすう）の導しるべ関数かんすうと原始げんし関数かんすうが三角さんかく関数かんすうであらわされることは、微分びぶん方程式ほうていしきやフーリエ解析かいせきを含ふくむ数学すうがくの多おおくの分野ぶんやで有用ゆうようである。

指数しすう関数かんすうによる定義ていぎ

関数かんすう	逆ぎゃく関数かんすう
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,$	$\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,$	$\arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,$
$\tan \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,$	$\arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {i}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\cot \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,$
$\operatorname {cis} \,\theta =e^{i\theta }\,$	$\operatorname {arccis} \,x={\frac {\ln x}{i}}=-i\ln x=\operatorname {arg} \,x\,$

その他た

ワイエルシュトラスの置換ちかん

(Weierstrass substitution) 以下いかの変換へんかんは、カール・ワイエルシュトラスの名ながつけられている。

$t=\tan {\frac {x}{2}}$

とおくと、

$\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}},\mathrm {d} x={\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}$

となる。

積分せきぶんの計算けいさんにおいて、被ひ積分せきぶん関数かんすうがｘの三角さんかく関数かんすうの有理ゆうり関数かんすう R (sin x, cos x) である場合ばあいにこの変換へんかんを用もちいると、t についての有理ゆうり関数かんすうの積分せきぶんの計算けいさんに帰着きちゃくすることができる。

応おう用例ようれい

sinの3倍角ばいかくの公式こうしきを加法かほう定理ていりで変形へんけいすると、

$\sin {3x}=3\sin {x}-4\sin ^{3}{x}$　から、

${\frac {\sin {3x}}{4}}=\sin {x}\cdot \left({\frac {3}{4}}-\sin ^{2}{x}\right)$$=\sin {x}\cdot \left(\sin ^{2}{60^{\circ }}-(\sin ^{2}{60^{\circ }}+\cos ^{2}{60^{\circ }})\cdot \sin ^{2}{x}\right)$$=\sin {x}\cdot \left(\sin ^{2}{60^{\circ }}\cdot (1-\sin ^{2}{x})-\cos ^{2}{60^{\circ }}\cdot \sin ^{2}{x}\right)$

$=\sin {x}\cdot \left(\sin ^{2}{60^{\circ }}\cdot \cos ^{2}{x}-\cos ^{2}{60^{\circ }}\cdot \sin ^{2}{x}\right)$$=\sin {x}\cdot \left(\sin {60^{\circ }}\cdot \cos {x}+\cos {60^{\circ }}\cdot \sin {x}\right)\left(\sin {60^{\circ }}\cdot \cos {x}-\cos {60^{\circ }}\cdot \sin {x}\right)$

$=\sin {x}\cdot \sin {(60^{\circ }+x)}\cdot \sin {(60^{\circ }-x)}$

が成なり立たつ。

$x=10^{\circ }$を入力にゅうりょくすると、$\sin {10^{\circ }}\cdot \sin {50^{\circ }}\cdot \sin {70^{\circ }}={\frac {\sin {30^{\circ }}}{4}}={\frac {1}{8}}$　となる。

$x=15^{\circ }$を入力にゅうりょくすると、$\sin {15^{\circ }}\cdot \sin {45^{\circ }}\cdot \sin {75^{\circ }}={\frac {\sin {45^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {2}}{8}}$　から、$\sin {15^{\circ }}\cdot \sin {75^{\circ }}={\frac {1}{4}}$　となる。

$x=20^{\circ }$を入力にゅうりょくすると、$\sin {20^{\circ }}\cdot \sin {40^{\circ }}\cdot \sin {80^{\circ }}={\frac {\sin {60^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {3}}{8}}$　となる。

一般いっぱんに、$\sin(n\theta )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}{\sin {\Bigl (}{\frac {k\pi }{n}}+\theta {\Bigr )}}$ が成なり立たつ。

同様どうように、cosの3倍角ばいかくの公式こうしきを加法かほう定理ていりで変形へんけいすると、${\frac {\cos {3x}}{4}}=\cos {x}\cdot \left(\cos ^{2}{x}-{\frac {3}{4}}\right)$$=\cos {x}\cdot \cos {(60^{\circ }+x)}\cdot \cos {(60^{\circ }-x)}$が成なり立たつ。

$x=10^{\circ }$を入力にゅうりょくすると、$\cos {10^{\circ }}\cdot \cos {50^{\circ }}\cdot \cos {70^{\circ }}={\frac {\cos {30^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {3}}{8}}$　となる。

$x=15^{\circ }$を入力にゅうりょくすると、$\cos {15^{\circ }}\cdot \cos {45^{\circ }}\cdot \cos {75^{\circ }}={\frac {\cos {45^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {2}}{8}}$　から、$\cos {15^{\circ }}\cdot \cos {75^{\circ }}={\frac {1}{4}}$　となる。

$x=20^{\circ }$を入力にゅうりょくすると、$\cos {20^{\circ }}\cdot \cos {40^{\circ }}\cdot \cos {80^{\circ }}={\frac {\cos {60^{\circ }}}{4}}={\frac {1}{8}}$　となる。

一般いっぱんに、

$\cos 2n\theta =(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}{\cos {\Bigl (}{\frac {2k+1}{4n}}\pi +\theta {\Bigr )}}$

$\cos(2n+1)\theta =(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}{\cos {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}}$

が成なり立たつ。

tanでは、

$\tan {3x}={\frac {\sin {3x}}{\cos {3x}}}={\frac {\sin {x}\cdot \sin {(60^{\circ }+x)}\cdot \sin {(60^{\circ }-x)}}{\cos {x}\cdot \cos {(60^{\circ }+x)}\cdot \cos {(60^{\circ }-x)}}}=\tan {x}\cdot \tan(60^{\circ }+x)\cdot \tan(60^{\circ }-x)$

が成なり立たつ。

$x=10^{\circ }$を入力にゅうりょくすると、$\tan 30^{\circ }=\tan 10^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }\cdot \tan 50^{\circ }$　から、$\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }=\tan 80^{\circ }$　が成なり立たつのが分わかる。

同様どうように、tanの5倍角ばいかく・7倍角ばいかくの公式こうしきから、

$\tan {5x}=\tan {x}\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{5}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{5}}-x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{5}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{5}}-x\right)$

$\tan {7x}=\tan {x}\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{7}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{7}}-x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{7}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{7}}-x\right)\cdot \tan \left({\frac {3\cdot 180^{\circ }}{7}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {3\cdot 180^{\circ }}{7}}-x\right)$

が成なり立たつ。

一般いっぱんには、２項こう係数けいすうを使用しようしたtanのｎ倍角ばいかくの公式こうしきで

$\tan ^{2}{\theta }=x$とおくと、

$\tan(2n+1)\theta ={\frac {\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}{(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k+1}}\tan ^{2k+1}\theta }{\biggr )}}{\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}{(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k}}\tan ^{2k}\theta }{\biggr )}}}=\tan \theta \cdot {\frac {\sum _{k=0}^{n}{{\biggl (}(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k+1}}x^{k}{\biggr )}}}{\sum _{k=0}^{n}{{\biggl (}(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k}}x^{k}{\biggr )}}}}$

となる。ここで

$\tan(2n+1)\theta =0$

が成なり立たつのは、

$\theta =0,\pm {\frac {\pi }{2n+1}},\pm {\frac {2\pi }{2n+1}},\cdot \cdot \cdot ,\pm {\frac {n\pi }{2n+1}}$

の場合ばあいなので、

$x=\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {\pi }{2n+1}}{\Bigr )},\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {2\pi }{2n+1}}{\Bigr )},\cdot \cdot \cdot ,\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {n\pi }{2n+1}}{\Bigr )}$

のとき、

${\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}{(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k+1}}x^{k}}}{\biggr )}=0$

が成なり立たつ。また分子ぶんしと分母ぶんぼで２項こう係数けいすうが逆順ぎゃくじゅんになるため、

$\tan(2n+1)\theta =\tan \theta \cdot {\frac {\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k+1}}x^{k}{\biggr )}}{\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k}}x^{k}{\biggr )}}}=\tan \theta \cdot {\frac {\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}-x{\Bigr )}}{\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}1-\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}x{\Bigr )}}}$$=\tan \theta \cdot {\frac {\prod _{k=1}^{n}{{\Bigl (}\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}-\tan ^{2}\theta {\Bigr )}}}{\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}1-\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}\tan ^{2}\theta {\Bigr )}}}$

$=\tan \theta \cdot {\frac {\prod _{k=1}^{n}{{\Bigl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}+\tan \theta {\Bigr )}}\cdot \prod _{k=1}^{n}{{\Bigl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}-\tan \theta {\Bigr )}}}{\prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}1-\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}\tan \theta {\Bigr )}\cdot \prod _{k=1}^{n}{\Bigl (}1+\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}{\Bigr )}\tan \theta {\Bigr )}}}$$=\tan \theta \cdot {\prod _{k=1}^{n}{{\Biggl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}\cdot \prod _{k=1}^{n}{{\Biggl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}-\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}}$

$=\tan \theta \cdot {\prod _{k=1}^{n}{{\Biggl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}\cdot \prod _{k=n+1}^{2n}{{\Biggl (}-\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}}$

と変形へんけいでき、下記かきの式しきが成なり立たつ。

$\tan(2n+1)\theta =(-1)^{n}\prod _{k=0}^{2n}{\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}}$　

関連かんれん項目こうもく

• 三角さんかく関数かんすう
• ピタゴラスの定理ていり
• 正弦せいげん定理ていり
• 余弦よげん定理ていり
• 正接せいせつ定理ていり