偏へん度ど

偏へん度ど不為ふため零れい的てき實驗じっけん數すう據よりどころ樣さま本ほん（小麥こむぎ胚芽はいが鞘さや的てき向こう地ち反應はんのう：1,790）

偏へん度ど（英語えいご：skewness），亦また稱たたえ歪いびつ度ど，在ざい機き率りつ論ろん和わ統計とうけい學がく中ちゅう衡量實數じっすう隨ずい機き變數へんすう概がい率りつ分布ぶんぷ的てき不ふ對稱たいしょう性せい。偏へん度ど的てき值可以為正ただし，可か以為負まけ或ある者もの甚至是ぜ無法むほう定義ていぎ。在ざい數量すうりょう上じょう，偏へん度ど為ため負まけ（負ふ偏へん態たい；左ひだり偏へん）就意味いみ着ぎ在ざい概がい率りつ密度みつど函數かんすう左側ひだりがわ的てき尾お部ぶ比ひ右側みぎがわ的てき長ちょう，絕大ぜつだい多數たすう的てき值（不ふ一定包括中位數在內）位い於平均へいきん值的右側みぎがわ。偏へん度ど為ため正ただし（正せい偏へん態たい；右みぎ偏へん）就意味いみ着ぎ在ざい概がい率りつ密度みつど函數かんすう右側みぎがわ的てき尾お部ぶ比ひ左側ひだりがわ的てき長ちょう，絕大ぜつだい多數たすう的てき值（不ふ一定いってい包括ほうかつ中位ちゅうい數すう）位い於平均へいきん值的左側ひだりがわ。偏へん度ど為ため零れい就表示ひょうじ數すう值相對たい均ひとし勻地分布ぶんぷ在ざい平均へいきん值的兩側りょうがわ，但ただし不ふ一定意味着其為對稱分布。

負ふ偏へん態たい（左ひだり）和正かずまさ偏へん態たい（右みぎ）

介かい紹

偏へん度ど分ぶん為ため兩りょう種たね：

• 負ふ偏へん態たい或ある左ひだり偏へん態たい：左側ひだりがわ的てき尾お部ぶ更さら長ちょう，分布ぶんぷ的てき主體しゅたい集中しゅうちゅう在ざい右側みぎがわ。。
• 正せい偏へん態たい或ある右みぎ偏へん態たい：右側みぎがわ的てき尾お部ぶ更さら長ちょう，分布ぶんぷ的てき主體しゅたい集中しゅうちゅう在ざい左側ひだりがわ。。

如果分布ぶんぷ對稱たいしょう，那な麼平均へいきん值=中位ちゅうい數すう，偏へん度ど為ため零れい（此外，如果分布ぶんぷ為ため單たん峰みね分布ぶんぷ，那な麽平均へいきん值=中位ちゅうい數すう=眾數）。

定義ていぎ

隨ずい機き變量へんりょう$X$的てき偏へん度ど$\gamma _{1}$為ため三さん階かい標準ひょうじゅん矩のり，可か被ひ定義ていぎ為ため：

$\gamma _{1}=\operatorname {E} {\Big [}{\big (}{\tfrac {X-\mu }{\sigma }}{\big )}^{\!3}\,{\Big ]}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{3}{\big ]}}{\ \ \ (\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{2}{\big ]})^{3/2}}}={\frac {\kappa _{3}}{\kappa _{2}^{3/2}}}\ ,$

其中$\mu _{3}$是ぜ三さん階かい主動しゅどう差さ，$\sigma$是これ標準ひょうじゅん差さ。$E$是これ期き望もち算さん子こ。等式とうしき的てき最後さいご以三さん階かい累積るいせき量りょう與あずか二に階かい累積るいせき量的りょうてき1.5次じ方かた的てき比率ひりつ來らい表示ひょうじ偏へん度ど。這和用よう四よん階かい累積るいせき量りょう除去じょきょ二階累積量的平方來表示峰度的方法向類似。

偏へん度ど有ゆう時じ用よう$\mathrm {Skew} [X]$來らい表示ひょうじ。老ろう教科書きょうかしょ過去かこ常つね常用じょうよう${\sqrt {\beta _{1}}}$來らい表示ひょうじ偏へん度ど，可か是ぜ由よし於偏度ど可か為ため負まけ，這樣的てき表示法ひょうじほう較為不便ふべん。

對たい上面うわつら的てき等式とうしき進行しんこう擴展可か導出どうしゅつ用よう非ひ中心ちゅうしん矩のりE[X³]來らい表示ひょうじ偏へん度ど的てき公式こうしき：

$\gamma _{1}=\operatorname {E} {\bigg [}{\Big (}{\frac {X-\mu }{\sigma }}{\Big )}^{\!3}\,{\bigg ]}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \operatorname {E} [X^{2}]+2\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\ .$

樣さま本ほん偏へん度ど

具有ぐゆう$n$個こ值的樣よう本ほん的てき樣さま本ほん偏へん度ど為ため：

$g_{1}={\frac {m_{3}}{{m_{2}}^{3/2}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{3}}{\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{3/2}}}\ ,$

其中${\overline {x}}$是これ樣さま本ほん平均へいきん值，$m_{3}$是ぜ三さん階かい樣さま本ほん中心ちゅうしん矩のり，$m_{2}$是ぜ二に階かい樣さま本ほん中心ちゅうしん距，即そく樣よう本ほん方かた差さ。

性質せいしつ

當とう： $\Pr \left[X>x\right]=x^{-3}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0$ 時とき，偏へん度ど可か以是無窮むきゅう大だい的てき。

或ある者もの當とう： $\Pr[X<x]={\frac {(1-x)^{-3}}{2}}$（$x$為ため負まけ）及

$\Pr[X>x]={\frac {(1+x)^{-3}}{2}}$（$x$為ため正せい）時じ，偏へん度ど無法むほう定義ていぎ。

在ざい後こう面めん的てき這個例れい子中こなか，三さん階かい累積るいせき量りょう是ぜ無法むほう定義ていぎ的てき。 其他分布ぶんぷ形式けいしき比ひ如：

$\Pr \left[X>x\right]=x^{-2}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0$

二階和三階累積量是無窮大的，所以ゆえん偏へん度ど也是無法むほう定義ていぎ的てき。

如果假定かてい$Y$為ため$n$個こ獨立どくりつ變量へんりょう之の和わ並なみ且這些變量りょう和わ$X$具有ぐゆう相しょう同どう的てき分布ぶんぷ，那な麽$Y$的てき三さん階かい累積るいせき量りょう是ぜ$X$的てき$n$倍ばい，$Y$的てき二に階かい累積るいせき量りょう也是$X$的てき$n$倍ばい，所以ゆえん： ${\mbox{Skew}}[Y]={\frac {{\mbox{Skew}}[X]}{\sqrt {n}}}$。根據こんきょ中心ちゅうしん极限定理ていり，當とう其接近せっきん高こう斯分布ぶんぷ時どき變量へんりょう之の和わ的てき偏へん度ど減げん小しょう。

參まいり見み

• 峰みね度ど
• 主動しゅどう差さ

參考さんこう資料しりょう

• Groeneveld, RA; Meeden, G. Measuring Skewness and Kurtosis. The Statistician. 1984, 33 (4): 391–399 [2010-10-30]. doi:10.2307/2987742. （原始げんし内容ないよう存そん档于2020-08-20）. 
• Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition Wiley ISBN 0-471-58495-9
• MacGillivray, HL. Shape properties of the g- and h- and Johnson families. Comm. Statistics - Theory and Methods. 1992, 21: 1244–1250.