五角形ごかっけい

五角形ごかっけい（ごかくけい、ごかっけい、英えい: pentagon）は、5つの頂点ちょうてんと辺あたりを持もつ多角たかく形がたの総称そうしょう。

正五角形せいごかっけい

正五角形せいごかっけいは、各かく辺あたりの長ながさが等ひとしく、内角ないかくも108°（中心ちゅうしん角かくは72°）と一定いっていな五角形ごかっけいである。辺あたりの長ながさを a とすると

面積めんせき: $A={\frac {5a^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\simeq 1.72048a^{2}$
内接ないせつ円えんの半径はんけい: $r={\frac {a}{2}}\cot {\frac {\pi }{5}}$
外接がいせつ円えんの半径はんけい: $R={\frac {a}{2}}\csc {\frac {\pi }{5}}={\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{10}}a$

正五角形せいごかっけいの作図さくず

正五角形せいごかっけい(regular pentagon)は定規じょうぎとコンパスによる作図さくずが可能かのうである。以下いかに示しめすのは古典こてん的てきな方法ほうほうの一ひとつである。


(1)	(2)	(3)	(4)

直線ちょくせん上じょうの一いち点てんOを中心ちゅうしんにとった円えんを描画びょうがし、直線ちょくせんと交まじわる二に点てんをA, Bとする。ABの垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん、およびOAの垂直すいちょく二に等分とうぶん線せんを作図さくずする。
OAとその垂直すいちょく二に等分とうぶん線せんが交まじわる点てんをC、円えんOとABの垂直すいちょく二に等分とうぶん線せんが交まじわる点てんのうち一ひとつをDとする。CDを半径はんけいにとり、Cを中心ちゅうしんにDからABまで弧こを描画びょうがする。弧ことABが交まじわる点てんをEとする。
DEを半径はんけいにとり、Dを中心ちゅうしんに弧こを描画びょうがする。弧こが円えんOと交まじわる二に点てんをF, Gとする。
同おなじ半径はんけいのままF, Gを中心ちゅうしんとした弧こを描画びょうがする。これらの弧こが円えんOと交まじわる五ご点てんD, F, G, I, Hを結むすぶ図形ずけいが正五角形せいごかっけいである。

正方形せいほうけいのマス目上めうえでの正五角形せいごかっけいの描えがき方かた
正五角形せいごかっけいの領域りょういきをその高たかさと外接がいせつ円心えんしんの高たかさの比ひを利用りようして求もとめ出だす方法ほうほうの一いち例れい

定理ていり

正五角形せいごかっけいの一辺いっぺんと対角線たいかくせんとの比ひは、黄金おうごん比ひに等ひとしい。
正五角形せいごかっけいの交まじわる対角線たいかくせんは、互たがいに他たを黄金おうごん比ひに分わける。
対角線たいかくせんの長ながさが互たがいに全すべて等ひとしい正多角形せいたかっけいは、正五角形せいごかっけいと正せい四角形しかっけい(正方形せいほうけい)のみである。
n 角形かくがたの対角線たいかくせんの本数ほんすうを m 本ほんとしたとき n = m が成なり立たつのは n = 5、すなわち五角形ごかっけいだけである。

種類しゅるい

五ご等辺とうへん五角形ごかっけい

詳細しょうさいは「en:Equilateral pentagon」を参照さんしょう

五ご等辺とうへん五角形ごかっけいは5つ辺あたりが同おなじ長ながさの五角形ごかっけいである。しかし、五角形ごかっけいの5つの内角ないかくは値ねの0~180度どの範囲はんいを取とることができるため、複数ふくすうの五角形ごかっけいの集あつまりを形成けいせいすることが可能かのうである。^{[要よう校閲こうえつ]}また、正五角形せいごかっけいも5つの辺あたり全すべてが等ひとしいため五ご等辺とうへん五角形ごかっけいと言いえる。

五ご等辺とうへん五角形ごかっけいの例れい
正五角形せいごかっけいも五ご等辺とうへん五角形ごかっけいの一ひとつである。
2つの角かくが直角ちょっかくの五ご等辺とうへん五角形ごかっけい

共きょう円えん五角形ごかっけい

共きょう円えん五角形ごかっけいは、外接がいせつ円えんと呼よばれる円えんが、すべての5つの頂点ちょうてんを通過つうかしている五角形ごかっけいである。正五角形せいごかっけいは、共きょう円えん五角形ごかっけいの一ひとつである。共きょう円えん五角形ごかっけいの面積めんせきは、規則きそく的てきであるかどうかに関係かんけいなく、係数けいすうが五角形ごかっけいの辺あたりの関数かんすうである七なな次じ方程式ほうていしきの根ねの1つの平方根へいほうこんの4分ぶんの1として表あらわすことができる^[1]^[2]^[3]。

ロビンスの五角形ごかっけい

有理数ゆうりすうの辺あたりと有理数ゆうりすうの面積めんせきを持もつ循環じゅんかん五角形ごかっけいが存在そんざいする。これは、ロビンスの五角形ごかっけい（英語えいご版ばん）と呼よばれている^[4]。ロビンスの五角形ごかっけいの対角線たいかくせんはすべて有理数ゆうりすうまたはすべて無理むり数すうでなければならないことが証明しょうめいされており、すべての対角線たいかくせんは有理数ゆうりすうでなければならないと推測すいそくされる^[4]。

直角ちょっかく五角形ごかっけい

直角ちょっかく五角形ごかっけいは直角ちょっかくの角かくを持もつ五角形ごかっけいである。五角形ごかっけいは1つ、2つまたは3つの直角ちょっかくを持もつことが可能かのうであり、通常つうじょう五角形ごかっけいは4つや5つの直角ちょっかくはは持もつことができない^[5]。しかし、双そう曲きょく幾何きか学がくにおいてはすべての内角ないかくが直角ちょっかくの五角形ごかっけいを描えがくことができる^[6]。五角形ごかっけいの2つの直角ちょっかくと3つの直角ちょっかくには、2つの種類しゅるいがあり、直角ちょっかくは、連続れんぞくする場合ばあいと連続れんぞくしない場合ばあいがある^[5]。正五角形せいごかっけいには直角ちょっかくは無ないため、直角ちょっかく五角形ごかっけいではない^[5]。

一ひとつの角かくが直角ちょっかくの直角ちょっかく五角形ごかっけい
二ふたつの角かくが直角ちょっかくかつ連続れんぞくしている直角ちょっかく五角形ごかっけい。
二ふたつの角かくが直角ちょっかくかつ連続れんぞくしていない直角ちょっかく五角形ごかっけい。

五ご等角とうかく五角形ごかっけい

5つの角かくの大おおきさが全すべて等ひとしい五角形ごかっけい。等角とうかく五角形ごかっけいの1つの角かくの大おおきさは108°になる^[7]^[8]。

五ご等角とうかく五角形ごかっけいの例れい
五ご等角とうかく五角形ごかっけいの例れい
正五角形せいごかっけいも五ご等角とうかく五角形ごかっけいの一ひとつである。
五ご等角とうかく五角形ごかっけいの例れい

凸とつ五角形ごかっけい

すべての凸とつ五角形ごかっけいにおいて、対角線たいかくせんの平方へいほうの合計ごうけいは、辺あたりの平方へいほうの合計ごうけいの3倍ばい未満みまんである^[9]。

凹五角形ごかっけい

五角形ごかっけいの角度かくどの少すくなくとも1つが180°を超こえる場合ばあい、凹五角形ごかっけいになる^[10]^[11]。

凹五角形ごかっけいの例れい
凹五等辺とうへん五角形ごかっけいの例れい

その他た五角形ごかっけいに関かんする事項じこう


紙片しへんの結むすび目めと正五角形せいごかっけい

正五角形せいごかっけい関連かんれん

五角形ごかっけいの対角線たいかくせんを繋つないだ星ほし形がたを五ご芒すすき星ぼし（ペンタグラム）という。たとえば長崎ながさき市しの市し章あきらなどはペンタグラムとなっている。
細長ほそながい紙かみ片へん、（またはリボンや割わり箸ばし袋ふくろなど）で一いち重じゅう結むすびの結むすび目めを作つくると正五角形せいごかっけいが得えられる。
アメリカ国防総省こくぼうそうしょうを俗ぞくにペンタゴンというが、これはバージニア州しゅうにある本省ほんしょう庁舎ちょうしゃが五角形ごかっけいであることに由来ゆらいする。こちらを指さす時ときには定冠詞ていかんし「The」が冠かんされる。
函館はこだて市しの五稜郭ごりょうかくも外郭がいかくに突つき出だした三角形さんかっけいを組くみ合あわせた五角形ごかっけいの「稜りょう堡式（りょうほしき）」を採用さいようした要塞ようさいである。これは、要塞ようさい設計せっけいと構造こうぞう特性とくせい上じょう、外敵がいてきからの攻撃こうげきに対たいする死角しかくを防ふせぎ、稜りょう堡の一いち辺へんが当時とうじの銃じゅうの射程しゃてい以内いないに収おさまり、どの方向ほうこうから襲撃しゅうげきされても対応たいおうしやすいといった、守備しゅびに適てきした非常ひじょうに合理ごうり的てきな形状けいじょうと考かんがえられたためである。
飯塚いいづか伊賀いが七ななの作つくった茨城いばらき県けんつくば市し谷田部やたべにある五ご角かく堂どうは、五角形ごかっけいをした建築けんちく物ぶつである^[12]。
ヒトデやウニなど、棘皮動物きょくひどうぶつの体制たいせいは五ご放射ほうしゃ相称そうしょうを基本きほんとする。
植物しょくぶつの世界せかいでは、バラ科かやナス科かなどのように五ご枚まいの花はなびらで構成こうせいされた五ご弁べん花はなが多おおく、数列すうれつにおけるフィボナッチ数すうであることが知しられている。
$\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$ で、これに黄金おうごん比ひをかけると $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2$ になる。つまり、 $2sin18°$ は黄金おうごん比ひの逆数ぎゃくすうである。
五ご角かく数すうは多角たかく数すうの一ひとつである。
正五角形せいごかっけいの1つの頂点ちょうてんからの2本ほんの対角線たいかくせんと1辺へんとでできる三角形さんかっけいは黄金おうごん三角形さんかっけいである。
水平すいへいな底辺ていへんを持もつ正五角形せいごかっけいの右みぎ下かの辺あたりの傾かたむきは「高たかさ× $2$ /底辺ていへんの長ながさ」となっている。
正五角形せいごかっけいの内接ないせつ円えんと外接がいせつ円えんの半径はんけいの比ひは $φ ふぁい : 2$ となっている。

水平すいへいな底辺ていへんを持もつ正五角形せいごかっけいの右みぎ下かの辺あたりの傾かたむきは「高たかさ× $2$ /底辺ていへんの長ながさ」となっている。
正五角形せいごかっけいの内接ないせつ円えんと外接がいせつ円えんの半径はんけいの比ひは $φ ふぁい : 2$ となっている。
赤あかの正せい円えんに外接がいせつする正方形せいほうけいを縦横じゅうおうそれぞれに8等分とうぶんしてできるマス目め（青あお）を活用かつようすると、図ずのように赤あかの正せい円えんに内接ないせつする正五角形せいごかっけい（橙だいだい）とその正五角形せいごかっけいに内接ないせつする正せい円えん（黄き）を描えがくことができる。
同一どういつの正せい円えん(青あお)に内接ないせつする正五角形せいごかっけい(黄き)と正六角形せいろっかっけい(緑みどり)を活用かつようして黄金おうごん長方形ちょうほうけい(橙だいだい)を作つくり出だす例れい
正せい円えん（緑みどり）の半径はんけいと同おなじ長ながさの辺あたりを持もつ正方形せいほうけい（青あお）を活用かつようした正五角形せいごかっけい（橙だいだい）や五ご芒すすき星ぼし（黄き）の描えがき方かたの例れい（赤あかの円えんは描えがき上あげ後ごの検証けんしょうのためのもの）
正せい円えん半径はんけいと同おなじ長ながさの辺あたりの正方形せいほうけいを活用かつようした内接ないせつ正五角形せいごかっけい（五ご芒すすき星ぼし）の描えがき方かたの一いち例れい（赤あかの円えんは描えがき上あげ後ごの検証けんしょうのためのもの）

正五角形せいごかっけい以外いがい

野球やきゅうで使用しようされる本塁ほんるいは、五角形ごかっけいの形状けいじょうをしている。本塁ほんるいは正五角形せいごかっけいではなく正方形せいほうけいを元もとにつくられる五角形ごかっけいである。
これも正五角形せいごかっけいではないが、将棋しょうぎの駒こまも先さきの尖とがった独特どくとくの五角形ごかっけいをしている。

脚注きゃくちゅう

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

^ Weisstein, Eric W.. “Cyclic Pentagon” (英語えいご). mathworld.wolfram.com. 2021年ねん12月12日にち閲覧えつらん。
^ Robbins, D. P. (1994-12-01). “Areas of polygons inscribed in a circle” (英語えいご). Discrete & Computational Geometry 12 (2): 223–236. doi:10.1007/BF02574377. ISSN 1432-0444. https://doi.org/10.1007/BF02574377.
^ Robbins, David P. (1995). “Areas of Polygons Inscribed in a Circle”. The American Mathematical Monthly 102 (6): 523–530. doi:10.2307/2974766. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2974766.
^ ^a ^b Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008-01-01). “Cyclic polygons with rational sides and area” (英語えいご). Journal of Number Theory 128 (1): 17–48. doi:10.1016/j.jnt.2007.05.005. ISSN 0022-314X.
^ ^a ^b ^c RobertLovesPi (2013年ねん10月がつ22日にち). “A Survey of Right Angles in Convex Pentagons” (英語えいご). RobertLovesPi.net. 2021年ねん12月12日にち閲覧えつらん。
^ “直角ちょっかく正五角形せいごかっけい”. web1.kcn.jp. 2021年ねん12月12日にち閲覧えつらん。
^ “hw 8 solutions.pdf”. 2021年ねん12月15日にち閲覧えつらん。
^ hmong.wiki. “等角とうかくポリゴン” (英語えいご). www.asianprofile.wiki. 2021年ねん12月15日にち閲覧えつらん。
^ “Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum””. 2021年ねん12月15日にち閲覧えつらん。
^ “Concave Pentagon - Geometry Calculator”. rechneronline.de. 2021年ねん12月15日にち閲覧えつらん。
^ “Pentagon”. www.math.net. 2021年ねん12月15日にち閲覧えつらん。
^ 「日にち研けん」新聞しんぶん編集へんしゅう委員いいん会かい編へん（1991）：184ページ

参考さんこう文献ぶんけん

高木たかぎ貞治さだはる『数学すうがく小しょう景けい』岩波書店いわなみしょてん〈岩波いわなみ現代げんだい文庫ぶんこ〉、2002年ねん。ISBN 4006000812
「日にち研けん」新聞しんぶん編集へんしゅう委員いいん会かい編へん『茨城いばらき108景けいをめぐる』川崎かわさき松濤しょうとう監修かんしゅう、筑波つくば書林しょりん、平成へいせい3年ねん9月がつ20日はつか、219pp.

[1] Weisstein, Eric W.. “Cyclic Pentagon” (英語えいご). mathworld.wolfram.com. 2021年ねん12月12日にち閲覧えつらん。

[2] Robbins, D. P. (1994-12-01). “Areas of polygons inscribed in a circle” (英語えいご). Discrete & Computational Geometry 12 (2): 223–236. doi:10.1007/BF02574377. ISSN 1432-0444. https://doi.org/10.1007/BF02574377.

[3] Robbins, David P. (1995). “Areas of Polygons Inscribed in a Circle”. The American Mathematical Monthly 102 (6): 523–530. doi:10.2307/2974766. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2974766.

[:0-4] Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008-01-01). “Cyclic polygons with rational sides and area” (英語えいご). Journal of Number Theory 128 (1): 17–48. doi:10.1016/j.jnt.2007.05.005. ISSN 0022-314X.

[:1-5] RobertLovesPi (2013年ねん10月がつ22日にち). “A Survey of Right Angles in Convex Pentagons” (英語えいご). RobertLovesPi.net. 2021年ねん12月12日にち閲覧えつらん。

[6] “直角ちょっかく正五角形せいごかっけい”. web1.kcn.jp. 2021年ねん12月12日にち閲覧えつらん。

[7] “hw 8 solutions.pdf”. 2021年ねん12月15日にち閲覧えつらん。

[8] .wiki. “等角とうかくポリゴン” (英語えいご). www.asianprofile.wiki. 2021年ねん12月15日にち閲覧えつらん。

[9] “Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum””. 2021年ねん12月15日にち閲覧えつらん。

[10] “Concave Pentagon - Geometry Calculator”. rechneronline.de. 2021年ねん12月15日にち閲覧えつらん。

[11] “Pentagon”. www.math.net. 2021年ねん12月15日にち閲覧えつらん。

[12] 「日にち研けん」新聞しんぶん編集へんしゅう委員いいん会かい編へん（1991）：184ページ

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