面めん积

面積めんせき（英語えいご：Area）是ぜ用作ようさく表示ひょうじ一いち個こ曲面きょくめん或ある平面へいめん圖形ずけい所ところ佔範圍はんい的てき量りょう，可か看み成なり是ぜ長なが度たび（一いち維度量りょう）及體積たいせき（三さん維度量りょう）的てき二に維類比ひ。對たい三維立體圖形而言，圖形ずけい的てき邊あたり界かい的てき面積めんせき稱たたえ為ため表面積ひょうめんせき。

計算けいさん各かく基本きほん平面へいめん圖形ずけい面積めんせき及基本きほん立體りったい圖形ずけい的てき表面積ひょうめんせき公式こうしき早はや已やめ為ため古希こき臘及古中國ちゅうごく人ひと所ところ熟知じゅくち。

面積めんせき在ざい近代きんだい數學すうがく中ちゅう佔相當とう重要じゅうよう的てき角かく色しょく。面積めんせき除じょ與あずか幾何きか學がく及微積分びせきぶん有ゆう關せき外がい，亦また與あずか線せん性せい代數だいすう中なか的てき行列ぎょうれつ式しき有ゆう關せき。在ざい分析ぶんせき學がく中なか，平面へいめん的てき面積めんせき通常つうじょう以勒貝格かく測度そくど（英語えいご：Lebesgue measure）定義ていぎ。

面積めんせき公式こうしき

其他面積めんせき公式こうしき

形狀けいじょう	面積めんせき	變數へんすう
三角形さんかっけい	${\tfrac {1}{2}}bh\,\!$	$b$是ぜ底そこ，$h$是ぜ高だか。
三角形さんかっけい	${\tfrac {1}{2}}ab\sin {\theta }\,\!$	$a$和わ$b$是ぜ任意にんい兩りょう條じょう邊あたり，而$\theta$是ぜ兩りょう條じょう邊べ的てき夾角。
三角形さんかっけい	${\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!$	$s$是これ周しゅう長ちょう的てき一半いっぱん，$a$﹑$b$和わ$c$是ぜ三條さんじょう邊べ的てき長ちょう度ど。
等邊とうへん三角形さんかっけい	${\frac {\sqrt {3}}{4}}s^{2}\,\!$	$s$是ぜ等邊とうへん三角形さんかっけい的てき邊あたり長ちょう。
等とう腰こし三角形さんかっけい	${\frac {b}{4}}{\sqrt {(2a+b)(2a-b)}}$	$a$是ぜ腰こし邊あたり，$b$是ぜ底邊ていへん。
正方形せいほうけい	$s^{2}\,\!$	$s$是正ぜせい方形ほうけい的てき邊あたり長ちょう。
長方形ちょうほうけい	$lw\,\!$	$l$和わ$w$分別ふんべつ是ぜ長方形ちょうほうけい的てき長ちょう和寬かずひろ。
菱形ひしがた、鷂はいたか形がた	${\tfrac {1}{2}}ab$	$a$和わ$b$分別ふんべつ是ぜ 菱形ひしがた/鷂はいたか形がた 的てき兩りょう條じょう對角線たいかくせん。
菱形ひしがた	$a^{2}\sin {\theta }\,\!$	$a$是ぜ邊べ長ちょう，$\theta$是ぜ鄰邊的てき夾角。
平行四邊形へいこうしへんけい	$bh\,\!$	$b$是ぜ底そこ，$h$是ぜ高だか。
平行四邊形へいこうしへんけい	$ab\sin {\theta }\,\!$	$a$和わ$b$是ぜ一いち對たい鄰邊，而$\theta$是ぜ這對鄰邊的てき夾角。
梯形ていけい	${\frac {(a+b)h}{2}}\,\!$	$a$和わ$b$是ぜ平行へいこう的てき邊あたり，$h$是ぜ平行へいこう的てき邊あたり之の間あいだ的てき高だか。
凸とつ四よん邊へん形がた	${\tfrac {1}{2}}xy\sin {\theta }\,\!$	$x$和わ$y$是ぜ凸とつ四よん邊へん形がた兩りょう條じょう對角線たいかくせん的てき長なが度たび，$\theta$是ぜ對角線たいかくせん的てき夾角。
正せい五ご邊へん形がた	${\frac {5}{4}}s^{2}\tan 54^{\circ }\,\!$	$s$是正ぜせい五ご邊へん形がた的てき邊あたり長ちょう。
正せい六ろく邊へん形がた	${\frac {3}{2}}s^{2}\tan 60^{\circ }={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}s^{2}$	$s$是正ぜせい六ろく邊へん形がた的てき邊あたり長ちょう。
正せい六ろく邊へん形がた	${\frac {3hs}{2}}$	$s$是正ぜせい六ろく邊へん形がた的てき邊あたり長ちょう，$h$是ぜ邊あたり與あずか對邊たいへん之の間あいだ的てき距離きょり。
正せい七なな邊へん形がた	${\frac {7}{4}}s^{2}\tan(64{\tfrac {2}{7}}^{\circ })\,\!$	$s$是正ぜせい七なな邊へん形がた的てき邊あたり長ちょう。
正せい八はち邊へん形がた	$2s^{2}\tan(67{\tfrac {1}{2}}^{\circ })=2(1+{\sqrt {2}})s^{2}\,$	$s$是正ぜせい八はち邊へん形がた的てき邊あたり長ちょう。
正せい九きゅう邊へん形がた	${\frac {9}{4}}s^{2}\tan 70^{\circ }\,\!$	$s$是正ぜせい九きゅう邊へん形がた的てき邊あたり長ちょう。
正せい十じゅう邊へん形がた	${\frac {5}{2}}s^{2}\tan 72^{\circ }\,\!$	$s$是正ぜせい十じゅう邊へん形がた的てき邊あたり長ちょう。
正せい多邊形たへんけい	${\frac {1}{4}}nl^{2}\cdot \cot {\frac {\pi }{n}}\,\!$	$l$是ぜ邊べ長ちょう而$n$是ぜ邊べ數量すうりょう。
正せい多邊形たへんけい	${\frac {1}{4n}}p^{2}\cdot \cot {\frac {\pi }{n}}\,\!$	$p$是ぜ周しゅう長ちょう$n$是ぜ邊べ數量すうりょう。
正せい多邊形たへんけい	${\frac {1}{2}}nR^{2}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=nr^{2}\tan {\frac {\pi }{n}}\,\!$	$R$是これ外切がいせつ圓えん的てき半徑はんけい，$r$內切圓えん的てき半徑はんけい，而$n$是ぜ邊べ數量すうりょう。
正せい多邊形たへんけい	${\tfrac {1}{2}}ap\,\!$	$a$是これ邊あたり心こころ距，或ある稱しょう作さく內切圓えん的てき半徑はんけい，而$p$是ぜ多邊形たへんけい的てき周しゅう長ちょう。
圓形えんけい	$\pi r^{2}\ {\text{or}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!$	$r$是ぜ半徑はんけい，$d$是ぜ直徑ちょっけい。
扇形せんけい	$\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{360^{\circ }}}\,\!$	$r$和わ$\theta$分別ふんべつ是ぜ半徑はんけい和わ角度かくど。
橢圓だえん形がた	$\pi ab\,\!$	$a$和わ$b$分別ふんべつ是ぜ半はん長ちょう軸じく和わ半はん短たん軸じく。
圓柱えんちゅう體たい表面ひょうめん面積めんせき	$2\pi r(r+h)\,\!$	$r$和わ$h$分別ふんべつ是ぜ半徑はんけい和わ高だか。
圓柱えんちゅう體たい側がわ表面ひょうめん面積めんせき	$2\pi rh\,\!$	$r$和わ$h$分別ふんべつ是ぜ半徑はんけい和わ直徑ちょっけい。
球體きゅうたい表面ひょうめん面積めんせき	$4\pi r^{2}\ {\text{or}}\ \pi d^{2}\,\!$	$r$和わ$d$分別ふんべつ是ぜ半徑はんけい和わ直徑ちょっけい。
錐きり體たい表面ひょうめん面積めんせき	$B+{\frac {PL}{2}}\,\!$	$B$是ぜ底そこ面積めんせき，$P$是ぜ底そこ周しゅう長ちょう而，$L$是ぜ斜はす高だか。
錐きり體たい平ひら截頭體たい的てき表面ひょうめん面積めんせき	$B+{\frac {PL}{2}}\,\!$	$B$是ぜ底そこ面積めんせき，$P$是ぜ底そこ周しゅう長ちょう，$L$是ぜ斜はす高だか。
正方形せいほうけい轉換てんかん成なり圓形えんけい段だん面積めんせき	${\frac {4}{\pi }}A\,\!$	$A$是正ぜせい方形ほうけい面積めんせき。
圓形えんけい轉換てんかん成なり正方形せいほうけい後こう面めん積せき	${\frac {1}{4}}C\pi \,\!$	$C$是ぜ圓形えんけい面積めんせき。
勒洛三角形さんかっけい	${1 \over 2}(\pi -{\sqrt {3}})x^{2}$	$x$是ぜ勒洛三角形さんかっけい內三角形さんかっけい的てき邊あたり。

長方形ちょうほうけい的てき面積めんせき

這個長方形ちょうほうけい的てき面積めんせき是ぜ lw.

最さい基本きほん的てき面積めんせき公式こうしき是ぜ長方形ちょうほうけい的てき公式こうしき。當とうl是長これなが，w是ぜ寬ひろし時じ，其公式しき為ため：

$A=lw$

當とう其圖形がた是ぜ一いち個こ正方形せいほうけい時とき，$l=w$，因いん此正方形せいほうけい的てき公式こうしき為ため：

$A=s^{2}$

長方形ちょうほうけい的てき面積めんせき計算けいさん方法ほうほう需要じゅよう證明しょうめい。

證明しょうめい

證明しょうめい

引理：兩個りゃんこ長方形ちょうほうけい面積めんせき之の比ひ等とう於其長ちょう寬之ひろゆき積せき之これ比ひ

如圖，根據こんきょ《幾何きか原本げんぽん》第だい六ろく卷かん命題めいだい一いち ——等とう高だか之の平行へいこう四邊形的面積比與其底之比等同，我わが們得到いた

${\displaystyle {\begin{aligned}B:Y&=a:c\\&=ad:cd{\text{（$第だい 五ご 卷かん 命いのち 題だい 十じゅう 五ご ）}},\end{aligned}}}

又また

${\displaystyle {\begin{aligned}Y:G&=b:d\\&=ab:ad{\text{（$第だい 五ご 卷かん 命いのち 題だい 十じゅう 五ご ）}},\end{aligned}}}

所以ゆえん

${\displaystyle B:G=ab:cd{\text{（$第だい 五ご 卷かん 命いのち 題だい 二に 十じゅう 三さん ）}},}

引理證しょう畢。

定理ていり：長方形ちょうほうけい的てき面積めんせき等とう於其長ちょう寬之ひろゆき積せき

根據こんきょ引理， A:R=lw:(1x1)

定義ていぎ單位たんい正方形せいほうけい的てき面積めんせき為ため一いち平方へいほう單位たんい。由よし於R是ぜ單位たんい正方形せいほうけい，因いん此面積めんせき是ぜ一いち平方へいほう單位たんい。將しょう一いち平方へいほう單位たんい代入だいにゅうR，得え到いた：A:1=lw:1

$A=lw$ （第だい五ご卷かん命題めいだい九きゅう）

（定理ていり證しょう畢）

面積めんせき相しょう同どう

切きり割わり圖形ずけい

有ゆう些簡單かんたん的てき公式こうしき可か以切割わり的てき方式ほうしき得とく出で。

例れい如平行四邊形へいこうしへんけい，可か以切割わり成なり一いち個こ梯形ていけい和わ一いち個こ直角ちょっかく三角形さんかっけい，如同右みぎ圖ず。如果三角形移到平行四邊形的另一邊，就可以變成へんせい一いち個こ長方形ちょうほうけい。因よし此，平行へいこう四邊形的面積公式有點像長方形的：

$A=bh$

兩個りゃんこ全ぜん等とう三角形さんかっけい

至いたり於同樣どうよう的てき平行へいこう四邊形可以分割為兩個全等三角形。因よし此三角形さんかっけい的てき公式こうしき為ため：

$A={\frac {1}{2}}bh$

圓形えんけい面積めんせき

主しゅ条目じょうもく：圓えん的てき面積めんせき

圓形えんけい可か以分割ぶんかつ為ため很多扇形せんけい

圓形えんけい面積めんせき公式こうしき是ぜ基もと於基本きほん的てき面積めんせき公式こうしき，假設かせつ有ゆう一いち個こ半徑はんけい為ためr的てき圓形えんけい，分ふん成なり很多扇形せんけい，那な一個扇形的面積就會很接近三角形，就像上うえ圖ず一いち樣よう。如果分ぶん得とく夠細小しょう，就可以看到いた半徑はんけい為ためr的てき圓形えんけい面積めんせき相等そうとう於一いち個こ高だか為ためr，底そこ為ためπぱいr的てき平行四邊形へいこうしへんけい。

我わが們也可か以用積分せきぶん得え到いた更さら肯定こうてい的てき答案とうあん。

$A=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx=\pi r^{2}.$

計算けいさん不規則ふきそく之の圖形ずけい面積めんせき，可用かよう填補てんぽ法ほう或ある切きり割わり法ほう來らい計算けいさん之の。

表面積ひょうめんせき

主しゅ条目じょうもく：表面積ひょうめんせき

一いち些基本きほん的てき立體りったい表面積ひょうめんせき公式こうしき：

• 立方體りっぽうたい：$6x^{2}$（x是ぜ立方體りっぽうたい的てき邊あたり長ちょう）
• 長方おさかた體たい：$2(lw+wh+hl)$（l、w、h分別ふんべつ是長これなが方體ほうたい的てき長ちょう、寬和ひろかず高だか）
• 球體きゅうたい：$4\pi r^{2}$（r是ぜ球體きゅうたい的てき半徑はんけい）
• 球たま冠かんむり：$2\pi rh$（球たま冠かんむり是ただし指ゆび被ひ平面へいめん截下的てき部分ぶぶん球面きゅうめん；r是ぜ球體きゅうたい的てき半徑はんけい；h是ぜ球だま冠かんむり高だか）
• 直立ちょくりつ圓錐えんすい體たい：$\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$（r是ぜ圓錐えんすい體たい底部ていぶ的てき半徑はんけい，h是ぜ它的高だか）
• 直立ちょくりつ圓柱えんちゅう體たい：$2\pi r(h+r)$（r是ぜ圓柱えんちゅう體たい圓形えんけい底部ていぶ的てき半徑はんけい，h是ぜ它的高だか）

單位たんい列れつ表ひょう

主要しゅよう單位たんい

面積めんせき的てき測量そくりょう單位たんい主要しゅよう包括ほうかつ：

• 平方ひらかた公里くり——1,000,000平方へいほう米まい
• 平方ひらかた公こう引（ha）——10,000平方へいほう米まい
• 平方ひらかた公こう丈たけ（a）——100平方へいほう米まい
• 平方ひらかた公こう尺じゃく——1平方へいほう米まい，國際こくさい標準ひょうじゅん單位たんい
• 平方ひらかた公こう寸すん——0.01平方へいほう米まい
• 平方ひらかた公こう分ぶん——0.0001平方へいほう分ぶん米まい
• 平方ひらかた公こう釐——0.000001平方へいほう厘りん米まい

市制しせい：

• 畝うね——10丈たけ × 6丈たけ ——33.33米めーとる × 20米まい ——666.67平方へいほう米まい
• 平方ひらかた市し里さと——0.25平方ひらかた公里くり
• 平方ひらかた市し尺じゃく——1/9平方へいほう米まい

臺たい制せい：

• 甲きのえ——9,699.173平方へいほう公こう尺じゃく（平方へいほう米まい）
• 坪つぼ——3.3058平方へいほう公こう尺じゃく（平方へいほう米まい）

香港ほんこん：

• 平方へいほう呎（平方ひらかた英えい尺じゃく）——929平方へいほう厘りん米まい

換算かんさん

名稱めいしょう	符號ふごう	定義ていぎ	與あずか平方ひらかた公こう尺じゃく的てき換算かんさん
平方ひらかた昆こん米よね	Qm²	邊あたり長ちょう為ため1昆こん米よね的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	1060
平方ひらかた容ひろし米まい	Rm²	邊あたり長ちょう為ため1容よう米まい的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	1054
平方ひらかた佑たすく公おおやけ尺じゃく、平方へいほう堯米	Ym²	邊あたり長ちょう為ため1佑たすく公おおやけ尺じゃく（堯米）的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	1048
平方へいほう皆みな公おおやけ尺じゃく、平方ひらかた澤さわ米よね	Zm²	邊あたり長ちょう為ため1皆みな公おおやけ尺じゃく（澤さわ米べい）的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	1042
平方ひらかた艾あい公こう尺じゃく	Em²	邊あたり長ちょう為ため1艾あい公こう尺じゃく的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	1036
平方へいほう拍はく公おおやけ尺じゃく	Pm²	邊あたり長ちょう為ため1拍はく公おおやけ尺じゃく的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	1030
平方へいほう兆ちょう公おおやけ尺じゃく、平方ひらかた太ふとし米まい	Tm²	邊あたり長ちょう為ため1兆ちょう公おおやけ尺じゃく（太ふとし米まい）的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	1024
平方ひらかた吉よし公こう尺じゃく	Gm²	邊あたり長ちょう為ため1吉よし公こう尺じゃく的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	1018
平方へいほう百ひゃく萬まん公おおやけ尺じゃく、平方へいほう兆ちょう米めーとる	Mm²	邊あたり長ちょう為ため1百ひゃく萬まん公おおやけ尺じゃく（兆ちょう米まい）的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	1012
平方ひらかた公里くり、平方へいほう千せん米めーとる	km²	邊あたり長ちょう為ため1公里くり（千せん米まい）的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	106
平方ひらかた公こう引、平方へいほう百ひゃく米めーとる、公おおやけ顷	hm²	邊あたり長ちょう為ため1公おおやけ引（百ひゃく米まい）的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	104
平方ひらかた公こう丈たけ、平方へいほう十じゅう米めーとる	dam²	邊あたり長ちょう為ため1公おおやけ丈たけ（十じゅう米まい）的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	102
平方ひらかた公こう尺じゃく、平方へいほう米まい	m²	邊あたり長ちょう為ため1公おおやけ尺じゃく（米べい）的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	1
平方ひらかた公こう寸すん、平方へいほう分ぶん米まい	dm²	邊あたり長ちょう為ため1公おおやけ寸すん（分ぶん米まい）的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	10-2
平方ひらかた公こう分ぶん、平方へいほう厘りん米まい	cm²	邊あたり長ちょう為ため1公おおやけ分ぶん（厘りん米まい）的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	10-4
平方ひらかた公こう厘りん、平方へいほう毫米	mm²	邊あたり長ちょう為ため1公おおやけ厘りん（毫米）的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	10-6
平方ひらかた微ほろ米べい	cm²	邊あたり長ちょう為ため1微ほろ米べい的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	10-12
平方へいほう奈米、平方ひらかた納おさむ米まい	nm²	邊あたり長ちょう為ため1奈米（納米のうまい）的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	10-18
平方へいほう皮がわ米まい	pm²	邊あたり長ちょう為ため1皮かわ米まい的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	10-24
平方へいほう飛ひ米まい	fm²	邊あたり長ちょう為ため1飛ひ米まい的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	10-30
平方へいほう阿おもね米べい	am²	邊あたり長ちょう為ため1阿おもね米べい的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	10-36
平方へいほう介かい米まい、平方へいほう仄米	zm²	邊あたり長ちょう為ため1介かい米まい（仄米）的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	10-42
平方へいほう攸米、平方へいほう幺米	ym²	邊あたり長ちょう為ため1攸米（幺米）的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	10-48
平方へいほう柔やわら米まい	rm²	邊あたり長ちょう為ため1柔やわら米まい的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	10-54
平方へいほう虧米	qm²	邊あたり長ちょう為ため1虧米的てき正方形せいほうけい的てき面積めんせき	10-60

嚴格げんかく定義ていぎ

主しゅ条目じょうもく：若わか爾しか當とう測度そくど

其中一いち個こ定義ていぎ面積めんせき的てき方法ほうほう是ぜ利用りよう公理こうり定義ていぎ。面積めんせき可か以定義ていぎ為ため一いち個こ由よし所有しょゆう（可か測はか）平面へいめん圖形ずけい組成そせい的てき集合しゅうごうM映うつ射い至いたり實數じっすう的てき函數かんすうa，並なみ滿足まんぞく以下いか條件じょうけん：

• 對たい於所有しょゆう$S\in M$，有ゆう$a(S)\geq 0$。
• 若わか$S,T\in M$，則のり$S\cup T\in M$及$S\cap T\in M$，且$a(S\cup T)=a(S)+a(T)-a(S\cap T)$。
• 若わか$S,T\in M$且$S\subseteq T$，則のり$T-S\in M$，且$a(T-S)=a(T)-a(S)$。
• 若わか$S\in M$且$S$全ぜん等とう於$T$，則のり$T\in M$，且$a(S)=a(I)$。
• 任にん一いち矩形くけい$R$均ひとし屬ぞく於$M$。若わか矩形くけい的てき長ちょう為ため$\ell$而寬為ため$w$，則のり$a(R)=\ell w$。
• 設しつらえ$Q$為ため一いち平面へいめん圖形ずけい。若わか存在そんざい唯一ゆいいつ的てき實數じっすう$c$，使つかい得とく所有しょゆう滿足まんぞく$S\subseteq Q\subseteq T$的てき有限ゆうげん個こ矩形くけい的てき聯れん集しゅう（finite union of rectangles）$S$及$T$均ひとし有ゆう$a(S)\leq c\leq a(T)$，則のり$Q\in M$，且$a(Q)=c$。

可か以證明しょうめい，滿足まんぞく上述じょうじゅつ條件じょうけん的てき函數かんすう存在そんざい。

外部がいぶ連結れんけつ

• 面積めんせき單位たんい換算かんさん （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）