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重力 じゅうりょく による時間 じかん の遅 おく れ」は
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(2023年 ねん 10月 がつ )
重力 じゅうりょく による時間 じかん の遅 おく れ (じゅうりょくによるじかんのおくれ、英語 えいご :Gravitational time dilation)とは時間 じかん の遅 おく れ の一種 いっしゅ で、重力 じゅうりょく 質量 しつりょう からそれぞれ異 こと なる距離 きょり にある観測 かんそく 者 しゃ (英語 えいご 版 ばん ) らにより観測 かんそく された二 ふた つの事象 じしょう (英語 えいご 版 ばん ) 間 あいだ での、実際 じっさい の経過 けいか 時間 じかん の違 ちが いである。重力 じゅうりょく ポテンシャル が低 ひく ければ低 ひく いほど(時計 とけい が重力 じゅうりょく 源 げん に近 ちか ければ近 ちか いほど)時間 じかん の経過 けいか は遅 おそ くなり、重力 じゅうりょく ポテンシャルが高 たか くなればなるほど(時計 とけい が重力 じゅうりょく 源 げん から遠 とお ざかれば遠 とお ざかるほど)時間 じかん 経過 けいか は速 はや くなる。アルベルト・アインシュタイン が最初 さいしょ にこの効果 こうか を相対性理論 そうたいせいりろん に基 もとづ いて予言 よげん し、その後 ご 一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん の検証 けんしょう (英語 えいご 版 ばん ) において確 たし かめられた[1] 。
これはそれぞれ異 こと なる高度 こうど (すなわち異 こと なる重力 じゅうりょく ポテンシャル)にある原子 げんし 時計 とけい が、しばらくするとそれぞれ異 こと なる時間 じかん を指 さ すことによって立証 りっしょう されている。このような実験 じっけん を地球 ちきゅう 上 じょう で行 おこな う限 かぎ りにおいてはその効果 こうか は僅 わず かなもので、ナノ秒 びょう 単位 たんい での差 さ にとどまる。しかし数 すう 十 じゅう 億 おく 年 ねん という地球 ちきゅう の年齢 ねんれい を引 ひ き合 あ いにするなら、地球 ちきゅう の核 かく は地表 ちひょう より2.5年 ねん 若 わか い、ということができる[2] 。より大 おお きな効果 こうか を示 しめ すには、地球 ちきゅう から大 おお きく離 はな れるか、より強 つよ い重力 じゅうりょく 源 げん を必要 ひつよう とする。
重力 じゅうりょく による時間 じかん の遅 おく れは対象 たいしょう 物 ぶつ の加速 かそく する環境 かんきょう で特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん の結果 けっか として1907年 ねん にアルベルト・アインシュタインにより初 はじ めて記述 きじゅつ された[3] 。一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん では時空 じくう の計量 けいりょう テンソル(英語 えいご 版 ばん ) により表 あらわ されるように異 こと なる位置 いち の固有 こゆう 時 じ の経過 けいか の中 なか での違 ちが いであると考 かんが えられている。重力 じゅうりょく による時間 じかん の遅 おく れが存在 そんざい することは1959年 ねん にポンド・レブカ実験 じっけん (英語 えいご 版 ばん ) により初 はじ めて直接 ちょくせつ 確認 かくにん され、後 のち に重力 じゅうりょく プローブA(英語 えいご 版 ばん ) などの実験 じっけん で正確 せいかく なものとなった。
重力 じゅうりょく による時間 じかん の遅 おく れは重力 じゅうりょく 赤 あか 方偏 かたへん 移 うつり (英語 えいご 版 ばん ) に密接 みっせつ に関 かか わっている[4] 。(一定 いってい の周波数 しゅうはすう の光 ひかり を放 はな つ)近 ちか い方 ほう の物体 ぶったい は引 ひ きつけられる物体 ぶったい に向 む かい、多 おお くは時間 じかん は重力 じゅうりょく による時間 じかん の遅 おく れにより遅 おそ くなり、(更 さら に「赤 あか 方偏 かたへん 移 うつ した」)低 ひく い周波数 しゅうはすう は定 てい 位置 いち の観測 かんそく 者 しゃ から観測 かんそく されるように放 はな たれる光 ひかり の周波数 しゅうはすう のように見 み える。
巨大 きょだい な物体 ぶったい から遠 とお く離 はな れた(または高 たか い重力 じゅうりょく ポテンシャルにある)時計 とけい は早 はや く進 すす み、巨大 きょだい な物体 ぶったい に近 ちか い(または低 ひく い重力 じゅうりょく ポテンシャルにある)時計 とけい は遅 おそ く進 すす む。例 たと えば地球 ちきゅう の全 ぜん 期間 きかん (46億 おく 年 ねん )を考慮 こうりょ に入 い れると、恐 おそ らくエベレスト 山頂 さんちょう (プロミネンス 8848m)のように海抜 かいばつ 9000メートルの高 たか さで地球 ちきゅう 静止 せいし 軌道 きどう 上 じょう にある位置 いち に置 お かれた時計 とけい は海面 かいめん 上 じょう の時計 とけい より約 やく 39時間 じかん 進 すす む[5] [6] 。このことはgravitational time dilationが巨大 きょだい な重力 じゅうりょく 場 じょう で加速 かそく する基準 きじゅん 系 けい により(または等価 とうか 原理 げんり により)証明 しょうめい される理由 りゆう である[7] 。
一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん によると慣性 かんせい 質量 しつりょう と引力 いんりょく 質量 しつりょう は同 おな じで、(特有 とくゆう の時間 じかん の遅 おく れがある定 じょう 速 そく で回転 かいてん する基準 きじゅん 系 けい (英語 えいご 版 ばん ) のような)加速 かそく を受 う ける基準 きじゅん 系 けい 全 すべ てが物理 ぶつり 法則 ほうそく においては、同 おな じ強度 きょうど の重力 じゅうりょく 場 じょう と等価 とうか である[8] 。
真 ま っ直 す ぐな「垂直 すいちょく 」線 せん に沿 そ った観測 かんそく 者 しゃ の一群 いちぐん を考 かんが えてみよう。それぞれがこの線 せん に沿 そ って(例 たと えば長 なが く加速 かそく する宇宙船 うちゅうせん や[9] [10] 摩天楼 まてんろう 、惑星 わくせい 上 じょう の縦坑 たてこう )向 む けられる明確 めいかく な一定 いってい のg力 ちから を経験 けいけん する。
g
(
h
)
{\displaystyle g(h)}
に前述 ぜんじゅつ の線 せん に沿 そ った同位 どうい 物 ぶつ である「高 たか さ」に対 たい するg力 ちから を依存 いぞん させてみよう。
h
=
0
{\displaystyle h=0}
の基礎 きそ となる観測 かんそく 者 しゃ に関 かん する方程式 ほうていしき は
T
d
(
h
)
{\displaystyle T_{d}(h)}
が離 はな れた位置 いち
h
{\displaystyle h}
の全体 ぜんたい 的 てき な時間 じかん の遅 おく れであり
g
(
h
)
{\displaystyle g(h)}
が「高 たか さ」
h
{\displaystyle h}
に対 たい するg力 りょく の依存 いぞん であり
c
{\displaystyle c}
は光速 こうそく であり
exp
{\displaystyle \exp }
がe による冪 べき 乗 じょう を示 しめ す
T
d
(
h
)
=
exp
[
1
c
2
∫
0
h
g
(
h
′
)
d
h
′
]
{\displaystyle T_{d}(h)=\exp \left[{\frac {1}{c^{2}}}\int _{0}^{h}g(h')dh'\right]}
である。
分 わ かり易 やす くするために平坦 へいたん な時 とき 空間 くうかん のリンドラーの観測 かんそく 者 しゃ の一群 いちぐん では依存 いぞん 関係 かんけい は不変 ふへん の
H
{\displaystyle H}
のある
g
(
h
)
=
c
2
/
(
H
+
h
)
{\displaystyle g(h)=c^{2}/(H+h)}
であり、
T
d
(
h
)
=
e
ln
(
H
+
h
)
−
ln
H
=
H
+
h
H
{\displaystyle T_{d}(h)=e^{\ln(H+h)-\ln H}={\tfrac {H+h}{H}}}
を与 あた える。
一方 いっぽう で
g
{\displaystyle g}
がほぼ一定 いってい で
g
h
{\displaystyle gh}
が
c
2
{\displaystyle c^{2}}
より小 ちい さい場合 ばあい 一 いち 次元 じげん の「弱 よわ い場 ば 」の近似 きんじ 式 しき は
T
d
=
1
+
g
h
/
c
2
{\displaystyle T_{d}=1+gh/c^{2}}
が使 つか える。
平坦 へいたん な時 とき 空間 くうかん における回転 かいてん する参照 さんしょう 枠 わく に対 たい する同 おな じ公式 こうしき の適用 てきよう はエーレンフェストパラドックス (英語 えいご 版 ばん ) を参照 さんしょう してください。
重力 じゅうりょく 作用 さよう の時間 じかん の遅 おく れを測定 そくてい するのに使 つか われる共通 きょうつう の方程式 ほうていしき はシュワルツシルト解 かい から引 ひ き出 だ され、回転 かいてん しない巨大 きょだい な円 えん 対称 たいしょう (英語 えいご 版 ばん ) の軌道 きどう を表 あらわ している。方程式 ほうていしき は
t
0
{\displaystyle t_{0}}
が巨大 きょだい な領域 りょういき (例 たと えば重力 じゅうりょく 場 じょう 内 ない の深 ふか み)に接近 せっきん する観測 かんそく 者 しゃ にとっての二 ふた つの事象 じしょう の間 あいだ の特有 とくゆう の時間 じかん である。
t
f
{\displaystyle t_{f}}
は巨大 きょだい な軌道 きどう からの任意 にんい の長距離 ちょうきょり の観測 かんそく 者 しゃ にとっての事象 じしょう の間 あいだ の同等 どうとう の時間 じかん である(これは遙 はる かに離 はな れた観測 かんそく 者 しゃ が近接 きんせつ した時計 とけい がこの速度 そくど で時 とき を刻 きざ む一方 いっぽう で巨大 きょだい な領域 りょういき からの無限 むげん の距離 きょり の時計 とけい が秒 びょう ごとに時 とき を刻 きざ む同等 どうとう の体制 たいせい であるシュワルツシルト時空 じくう (英語 えいご 版 ばん ) を使 つか っていることを仮定 かてい している)。
G
{\displaystyle G}
は万有引力 ばんゆういんりょく 定数 ていすう である。
M
{\displaystyle M}
は重力 じゅうりょく 場 じょう を作 つく る軌道 きどう の質量 しつりょう である。
r
{\displaystyle r}
は重力 じゅうりょく 場 じょう 内 ない の観測 かんそく 者 しゃ の半径 はんけい 座標 ざひょう である(この座標 ざひょう は軌道 きどう の中心 ちゅうしん からの古典 こてん 的 てき な距離 きょり に類似 るいじ しているが、実際 じっさい はシュワルツシルト座標 ざひょう であり、この形式 けいしき の方程式 ほうていしき は
r
>
r
s
{\displaystyle r>r_{s}}
にとっての本当 ほんとう の解決 かいけつ 策 さく がある。)。
c
{\displaystyle c}
は光速 こうそく である。
r
s
=
2
G
M
/
c
2
{\displaystyle r_{s}=2GM/c^{2}}
は
M
{\displaystyle M}
のシュワルツシルト半径 はんけい である。
v
e
=
2
G
M
r
{\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}
は脱出 だっしゅつ 速度 そくど である。
β べーた
e
=
v
e
/
c
{\displaystyle \beta _{e}=v_{e}/c}
は光速 こうそく の比 ひ として説明 せつめい される脱出 だっしゅつ 速度 そくど である。
t
0
=
t
f
1
−
2
G
M
r
c
2
=
t
f
1
−
r
s
r
=
t
f
1
−
v
e
2
c
2
=
t
f
1
−
β べーた
e
2
<
t
f
{\displaystyle t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{r}}}}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {v_{e}^{2}}{c^{2}}}}}=t_{f}{\sqrt {1-\beta _{e}^{2}}}<t_{f}}
である。
ここで回転 かいてん の効果 こうか の原因 げんいん を説明 せつめい することなく例証 れいしょう するには、地球 ちきゅう の重力 じゅうりょく 井 い に近接 きんせつ することは距離 きょり のある観測 かんそく 者 しゃ の時計 とけい より1年 ねん を超 こ えて0.0219秒 びょう ほど惑星 わくせい 表面 ひょうめん の時計 とけい が進 すす む原因 げんいん となる。対 たい して太陽 たいよう 表面 ひょうめん の時計 とけい は1年 ねん で約 やく 66.4秒 びょう 進 すす む。
シュワルツシルト解 かい では軌道 きどう 半径 はんけい が
3
2
r
s
{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}r_{s}}
(光子 こうし 球 だま の半径 はんけい )より大 おお きければ自由 じゆう 落下 らっか する軌道 きどう は回転 かいてん 軌道 きどう にあるかも知 し れない。静止 せいし する時計 とけい の公式 こうしき は上記 じょうき の通 とお りであり、下記 かき の公式 こうしき は回転 かいてん 軌道 きどう の時計 とけい のための一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん の時間 じかん の遅 おく れを示 しめ している[11] [12] 。
t
0
=
t
f
1
−
3
2
⋅
r
s
r
.
{\displaystyle t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {3}{2}}\!\cdot \!{\frac {r_{s}}{r}}}}\,.}
両方 りょうほう の遅 おく れは下記 かき の図表 ずひょう に示 しめ している。
重力 じゅうりょく による時間 じかん の遅 おく れの重要 じゅうよう な特徴 とくちょう [ 編集 へんしゅう ]
一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん によると重力 じゅうりょく による時間 じかん の遅 おく れは加速度 かそくど 系 けい (英語 えいご 版 ばん ) の存在 そんざい を伴 ともな う共存 きょうぞん である。加 くわ えて同様 どうよう の環境 かんきょう における物理 ぶつり 事象 じしょう は全 すべ て一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん で使 つか われる等価 とうか 原理 げんり によると等 ひと しく時間 じかん の遅 おく れを経験 けいけん する。
ある場面 ばめん の光速 こうそく はそこにいる観測 かんそく 者 しゃ によると常 つね にc に等 ひと しい。それは全 すべ ての時空 じくう の微少 びしょう な区域 くいき が自身 じしん の適切 てきせつ な時間 じかん を割 わ り当 あ てられる可能 かのう 性 せい がありその区域 くいき の適切 てきせつ な時間 じかん によると光速 こうそく は常 つね にc であるということである。これは与 あた えられた区域 くいき が観測 かんそく 者 しゃ に占有 せんゆう されているかいないかの事例 じれい である。遅延 ちえん は地球 ちきゅう から放 はな たれる光子 こうし や太陽 たいよう 近傍 きんぼう の湾曲 わんきょく 、金星 きんぼし への旅行 りょこう 、同様 どうよう の航路 こうろ に沿 そ った地球 ちきゅう への帰還 きかん として計測 けいそく される可能 かのう 性 せい がある。太陽 たいよう 周辺 しゅうへん の有限 ゆうげん の距離 きょり を移動 いどう する光 ひかり を観測 かんそく する速度 そくど がc とは違 ちが うことになる一方 いっぽう で、その区域 くいき の光子 こうし の速度 そくど を観測 かんそく する観測 かんそく 者 しゃ がc であるこの光子 こうし の速度 そくど を見出 みいだ すことになるので、ここでは光速 こうそく の安定 あんてい が侵害 しんがい されることはない。
観測 かんそく 者 しゃ が遠隔 えんかく 操作 そうさ (遠隔 えんかく 操作 そうさ を区切 くぎ る離 はな れた場面 ばめん )で光 ひかり を探知 たんち できれば、最初 さいしょ の観測 かんそく 者 しゃ が遠方 えんぽう の光 ひかり と遠方 えんぽう の拡張 かくちょう する観測 かんそく 者 しゃ の両方 りょうほう が最初 さいしょ の観測 かんそく 者 しゃ が本当 ほんとう に (自身 じしん の場所 ばしょ で)観測 かんそく できる他 ほか のあらゆる光 ひかり のようにc の最初 さいしょ の観測 かんそく 者 しゃ に来 く る他 ほか の光 ひかり より遅 おそ い時計 とけい を持 も っている時間 じかん は巨大 きょだい な物体 ぶったい に近 ちか い方 ほう の観測 かんそく 者 しゃ を大 おお きくする。他 た の遠方 えんぽう の光 ひかり が結局 けっきょく 最初 さいしょ の観測 かんそく 者 しゃ を拡張 かくちょう するなら、それも最初 さいしょ の観測 かんそく 者 しゃ によりc として計測 けいそく されることになる。
重力 じゅうりょく による井戸 いど における重力 じゅうりょく による時間 じかん の遅 おく れ
T
{\displaystyle T}
はこの重力 じゅうりょく による井戸 いど を抜 ぬ け出 だ すのに必要 ひつよう な速度 そくど のための時間 じかん の遅 おく れ に等 ひと しい(測定 そくてい 法 ほう は
g
=
(
d
t
/
T
(
x
)
)
2
−
g
s
p
a
c
e
{\displaystyle g=(dt/T(x))^{2}-g_{space}}
の形式 けいしき のものを与 あた えられる。例 たと えば一定 いってい の時間 じかん であり、
d
x
d
t
{\displaystyle dxdt}
の期間 きかん に「動 うご き」はない。)。これを示 しめ すために無限 むげん 大 だい の井戸 いど に自由 じゆう 落下 らっか する物体 ぶったい にネーターの定理 ていり を応用 おうよう できる。その際 さい 測定 そくてい 法 ほう 上 じょう の時空 じくう の一致 いっち は量 りょう
g
(
v
,
d
t
)
=
v
0
/
T
2
{\displaystyle g(v,dt)=v^{0}/T^{2}}
の保存 ほぞん を暗示 あんじ していて、そこでは
v
0
{\displaystyle v^{0}}
は物体 ぶったい の4元 げん 速度 そくど (英語 えいご 版 ばん ) の構成 こうせい 要素 ようそ をなす時空 じくう である。無限 むげん 大 だい
g
(
v
,
d
t
)
=
1
{\displaystyle g(v,dt)=1}
において、つまり
v
0
=
T
2
{\displaystyle v^{0}=T^{2}}
またはそこでの時間 じかん の遅 おく れに適合 てきごう する座標 ざひょう
v
l
o
c
0
=
T
{\displaystyle v_{loc}^{0}=T}
においてそれは獲得 かくとく した速度 そくど による時間 じかん の遅 おく れが(落下 らっか する物体 ぶったい の位置 いち で計測 けいそく されるように)物体 ぶったい が落下 らっか する井戸 いど の重力 じゅうりょく による時間 じかん の遅 おく れに等 ひと しい。この議論 ぎろん を更 さら に一般 いっぱん 化 か しながら、(計測 けいそく 法 ほう における同 おな じ仮定 かてい に基 もと づいて)二 に 地点 ちてん 間 あいだ の関連 かんれん する重力 じゅうりょく による時間 じかん の遅 おく れが低 ひく いところから高 たか いところに上 のぼ るのに必要 ひつよう な時間 じかん の遅 おく れに等 ひと しい。
人工 じんこう 衛星 えいせい の時計 とけい は軌道 きどう 上 じょう の速度 そくど により遅 おく れるが、地球 ちきゅう の重力 じゅうりょく 井 い からの距離 きょり により加速 かそく する。
重力 じゅうりょく による時間 じかん の遅 おく れはハフェル・キーティング実験 じっけん (英語 えいご 版 ばん ) のように実験 じっけん に基 もと づいて飛行機 ひこうき 内 ない の原子 げんし 時計 とけい で計測 けいそく してきた。機内 きない の時計 とけい は地上 ちじょう の時計 とけい より僅 わず かに早 はや かった。グローバル・ポジショニング・システムの 人工 じんこう 衛星 えいせい が正確 せいかく な時計 とけい を必要 ひつよう とする結果 けっか は十分 じゅうぶん 重要 じゅうよう である[13] 。
加 くわ えて1メートルより小 ちい さい高 たか さの違 ちが いによる時間 じかん の遅 おく れは実験 じっけん に基 もと づき実験 じっけん 室 しつ で証明 しょうめい されている[14] 。
重力 じゅうりょく 赤 あか 方偏 かたへん 移 うつり における重力 じゅうりょく による時間 じかん の遅 おく れもパウンド・レブカ実験 じっけん (英語 えいご 版 ばん ) や白色 はくしょく 矮星シリウスB の観測 かんそく により確認 かくにん されている。
重力 じゅうりょく による時間 じかん の遅 おく れは火星 かせい 探査 たんさ 機 き バイキング1号 ごう とやりとりした時間 じかん 信号 しんごう による実験 じっけん で証明 しょうめい されている[15] [16] 。
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主要 しゅよう 概念 がいねん 単位 たんい と規格 きかく
時計 とけい 編 へん 年 ねん ・ 歴史 れきし 宗教 しゅうきょう ・ 神話 しんわ 哲学 てつがく 人間 にんげん の経験 けいけん と時間 じかん の利用 りよう 分野 ぶんや 別 べつ の時間 じかん
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