向こう量りょう分析ぶんせき

向こう量りょう分析ぶんせき，或ある称しょう为向むかい量りょう微積分びせきぶん（英語えいご：Vector calculus）是これ數學すうがく的てき一いち个分支ささえ，主要しゅよう研究けんきゅう在ざい3维欧おう几里得とく空そら间 $\mathbb {R} ^{3}$ 中なか向こう量りょう場じょう的てき微分びぶん和わ积分。「向むこう量りょう分析ぶんせき」有ゆう时也用作ようさく多元たげん微ほろ积分的まと代だい名めい词，其中包括ほうかつ向こう量りょう分析ぶんせき，以及偏へん微分びぶん和わ多重たじゅう积分等ひとし更さら广泛的てき问题。

向こう量りょう分析ぶんせき在ざい微分びぶん几何与あずか偏へん微分びぶん方かた程ほど的てき研究けんきゅう中起なかおこし着ぎ重要じゅうよう作用さよう。它被广泛应用于物理ぶつり和わ工程こうてい中なか，特とく别是电磁场、引力いんりょく场和かず流体りゅうたい流りゅう动的描述中ちゅう。

向こう量りょう分析ぶんせき由よし约西亚·吉きち布ぬの斯和わ奧おく利とし弗どる·黑くろ維塞於19世せい纪末从四よん元げん數すう分析ぶんせき发展而来，大だい多数たすう符号ふごう和わ术语由吉よしきち布ぬの斯和愛あい德とく華はな·比ひ德とく韋爾·威い爾しか遜へりくだ（英えい语：Edwin Bidwell Wilson）在ざい《向むこう量りょう分析ぶんせき》（1901）中ちゅう提出ていしゅつ。向むこう量りょう演算えんざん的てき常つね规形式しき中ちゅう使用しよう外そと积，不能ふのう推广到更さら高だか维度，而另一いち种几何代数だいすう的てき方法ほうほう运用了りょう可か推广的てき外そと积，下しも文ぶん将しょう会かい讨论。

基本きほん对象[编辑]

标量场[编辑]

标量场将はた空そら间中的てき每ごと点てん与あずか标量值相关联。标量是ぜ代表だいひょう物理ぶつり量りょう的てき数字すうじ。标量场的应用如空间中的てき温度おんど分布ぶんぷ、流体りゅうたい中ちゅう的てき压强分布ぶんぷ、零れい旋量子りょうし场（称しょう为标量玻色子こ）如希まれ格かく斯场。这些场是标量场论的てき研究けんきゅう对象。

向むかい量りょう场[编辑]

向むかい量りょう场将はた向むかい量りょう分配ぶんぱい给空そら间中なか的てき每ごと一いち点てん。^[1]例れい如，平面へいめん中ちゅう的てき向むこう量りょう场可形象けいしょう地ち理解りかい为一组箭头的集合しゅうごう，每まい个都有ゆう给定的てき大小だいしょう与あずか方向ほうこう，并与平面へいめん上じょう的てき点てん相しょう关联。向むこう量りょう场常用じょうよう于模拟运动流体りゅうたい在ざい整せい个空间中的てき速度そくど和わ方向ほうこう，或ある某ぼう种力ちから（如磁力じりょく或ある引力いんりょく）在ざい点てん之の间变化か时的强度きょうど和わ方向ほうこう。例れい如，这可用よう于计算さん在ざい一条线上所做的功こう。

向むかい量りょう和わ伪向量りょう[编辑]

在ざい更さら高だか级的处理中ちゅう，进一いち步ほ区分くぶん了りょう伪向量りょう场和赝标量りょう场，它们只ただ在ざい反はん向こう映うつ射い下か符号ふごう会かい变化：例れい如，向むこう量りょう场的旋度是ぜ伪向量りょう场，若わか反射はんしゃ一个向量场，旋度会かい指向しこう相反あいはん的てき方向ほうこう。这种区く别在几何代数だいすう中有ちゅうう阐述，下しも详。

向むかい量りょう运算[编辑]

代数だいすう运算[编辑]

向こう量りょう分析ぶんせき中ちゅう的てき基本きほん代数だいすう（非ひ微分びぶん）的てき运算称しょう为向むかい量りょう代数だいすう，定てい义在一向量空间，然しか后きさき应用到いた整せい个向量りょう场，基本きほん代数だいすう运算有ゆう：

向こう量りょう分析ぶんせき基本きほん代数だいすう运算
运算	记作	描述
向むかい量りょう加法かほう	$\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$	两个向むこう量りょう相しょう加か，产生向むこう量りょう。
标量乘法じょうほう	$a\mathbf {v}$	标量和わ向むこう量りょう相乘そうじょう，产生向むこう量りょう。
內積 / 点てん积	$\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$	两个向むこう量りょう相乘そうじょう，产生标量。
外積がいせき / 叉また积	$\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$	$\mathbb {R} ^{3}$ 中ちゅう两向量りょう相乘そうじょう，产生（伪）向むかい量りょう。

两种三重みえ积也比较常见：

向こう量りょう分析ぶんせき中ちゅう的てき三さん重じゅう积
运算	记作	描述
标量三さん重じゅう积	$\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	向むかい量りょう与あずか两向量りょう叉また积的点てん积。
向むかい量三りょうぞう重じゅう积	$\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	向むかい量りょう与あずか两向量りょう叉また积的叉また积。

三重積不常作为基本运算，不ふ過か仍可以用內積及外積がいせき表示ひょうじ。

微分びぶん运算[编辑]

向こう量りょう分析ぶんせき研究けんきゅう定てい义在标量场或向むこう量りょう场定义的不同ふどう微分びぶん算さん子こ，通常つうじょう用よう的てき向こう量りょう算さん子こ（∇）来らい表示ひょうじ，也被称しょう为“Nabla算さん子こ”。向むこう量りょう分析ぶんせき的てき五个最重要的微分运算：

算さん子こ	表示ひょうじ	敘述	界さかい域いき
梯はしご度ど	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	純量じゅんりょう場じょう $f$ 於場中ちゅう某ぼう點てん增加ぞうか率りつ最大さいだい的まと速そく率りつ與あずか方向ほうこう	純量じゅんりょう場じょう的てき梯はしご度ど是ぜ向こう量りょう場じょう
散ち度たび	$\operatorname {div} ({\vec {F}})=\nabla \cdot {\vec {F}}$	向こう量りょう場じょう ${\vec {F}}$ 於場中ちゅう某ぼう點てん附近ふきん發散はっさん或ある匯聚的まと程度ていど	向こう量りょう場じょう的てき散ち度たび是ぜ純量じゅんりょう場じょう
旋度	$\operatorname {curl} ({\vec {F}})=\nabla \times {\vec {F}}$	向こう量りょう場じょう ${\vec {F}}$ 於場中ちゅう某ぼう點てん附近ふきん旋轉せんてん的まと程度ていど	向こう量りょう場じょう的てき旋度是ぜ向こう量りょう場じょう
向むかい量りょう拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯算子こ（英えい语：Vector Laplacian）	$\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	均ひとし值在无穷小しょう的てき球たま内向ないこう量りょう场的值不同ふどう的てき程度ていど	向こう量りょう場じょう的まと向むこう量りょう拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯是向こう量りょう場じょう
拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯算子こ	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	對たい純量じゅんりょう場じょう $f$ 作さく梯はしご度ど運算うんざん後ご，再さい作さく散ち度たび運算うんざん	純量じゅんりょう場じょう的てき拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯是純量じゅんりょう場じょう

定理ていり[编辑]

同どう样，也有やゆう几个与这几个相关的重要じゅうよう定理ていり，将はた微ほろ积分基本きほん定理ていり拓つぶせ展てん到いた了りょう更さら高だか维度：

定理ていり	表示ひょうじ	註解ちゅうかい
梯はしご度ど定理ていり	$\int _{L[\mathbf {p} \to \mathbf {q} ]\subset \mathbb {R} ^{n}}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)$	梯はしご度ど（向むこう量りょう）场中的てき曲きょく线积分ぶん与あずか它的标量场中两个端点たんてん的てき差さ。
格かく林りん定理ていり	$\int \!\!\!\!\int _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,d\mathbf {A} =\oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	平面へいめん内向ないこう量りょう场中区域くいき的てき标量旋度，等とう於向量りょう场沿逆ぎゃく时针方向ほうこう的てき封ふう閉曲線へいきょくせん的てき線せん積分せきぶん。
斯托克かつ斯定理ていり	$\int \!\!\!\!\int _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	$\mathbb {R} ^{3}$ 内向ないこう量りょう场的旋度的てき曲面きょくめん积分，等とう于向量りょう场在曲面きょくめん边界上じょう的てき线积分ぶん。
高こう斯散度ど定理ていり	$\int \!\!\!\!\int \!\!\!\!\int _{V\,\subset \mathbb {R} ^{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)d\mathbf {V} =$ $\oiint$ $\oiint$ $\scriptstyle \partial V$ $\mathbf {F} \;\cdot {d}\mathbf {S}$	向むかい量りょう场的散ち度たび对体积的积分，等とう于穿过包围体积的闭曲面めん通つう量りょう的てき积分。

应用[编辑]

线性近似きんじ[编辑]

线性近似きんじ用よう几乎相しょう同どう的てき线性函数かんすう代替だいたい复杂函数かんすう。给定实值可か微ほろ函数かんすう $f(x,\ y)$ ，对接近せっきん $(a,\ b)$ 的てき $(x,\ y)$ ，可か以用下か式しき近似きんじ $f(x,\ y)$

f(x,y)\ \approx \ f(a,b)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,(x-a)+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,(y-b).

右みぎ式しき是ぜ $z=f(x,\ y)$ 图形在ざい $(a,\ b)$ 处切线的平面へいめん方かた程ほど。

最さい优化[编辑]

对连续可微ほろ多た变量函数かんすう，若わか其所有しょゆう偏へん导数在ざいP点てん都と为零（梯はしご度ど为零），则P点てん是ぜ一いち个临界点てん。临界值是函数かんすう在ざい临界点てん上じょう的てき值。

若わか函数かんすう光ひかり滑すべり，或ある至いたり少しょう2次じ连续可か微ほろ，则临界かい点てん可能かのう是ぜ局部きょくぶ极值或ある鞍点あんてん。考こう虑二に阶导的てき黑くろ塞ふさが矩のり阵的てき特とく征せい值，可か以区分くぶん不ふ同情どうじょう形がた。

由ゆかり费马引理，可か微ほろ函数かんすう的てき局部きょくぶ极值都みやこ出いずる现在临界点てん上じょう。因よし此，要よう找到局部きょくぶ极值，只ただ需计算さん梯はしご度ど的てき零れい点てん及当处的黑くろ塞ふさが矩のり阵特征せい值。

物理ぶつり学がく与あずか工程こうてい学がく[编辑]

向こう量りょう分析ぶんせき尤ゆう其适于研究けんきゅう

推广[编辑]

向こう量りょう分析ぶんせき还可推广到其他3-流ながれ形がた及高维空间。

不同ふどう3-流ながれ形がた[编辑]

向こう量りょう分析ぶんせき起おこり初はつ是ぜ在ざい欧おう氏し空そら间 $\mathbb {R} ^{3}$ 中なか，不ふ仅是3维实向むこう量りょう空そら间，还具有ぐゆう额外结构，即そく：由ゆかり内うち积定てい义范数（给出长度概念がいねん），又また引出角度かくど与あずか方向ほうこう，方向ほうこう又また分ぶん左右さゆう手しゅ。这些结构产生了りょう体からだ积形式しき，以及在ざい向むこう量りょう分析ぶんせき中ちゅう常用じょうよう的てき叉また积。

梯はしご度ど与あずか散ち度たび只ただ需要じゅよう内ない积，旋度和わ叉また积还需要じゅよう考こう虑坐すわ标轴的てき手性てしょう。

若わか其他3维实向むこう量りょう空そら间有内ない积（或ある更さら一般いっぱん的てき对称非ひ退化たいか形式けいしき）核かく方向ほうこう，向むこう量りょう分析ぶんせき就可在ざい这些空そら间上定てい义；这比欧おう氏し空そら间的同どう构数据すえ要よう少しょう，因いん为不需要じゅよう坐すわ标轴集しゅう（参照さんしょう系けい），这反映はんえい了りょう向むこう量りょう分析ぶんせき在ざい旋转（特殊とくしゅ正せい交群SO(3)）下しも不ふ变的事ごと实。

更さら一般いっぱん地ち说，向むこう量りょう分析ぶんせき可か定てい义在任意にんい3维有向ゆうこう黎はじむ曼流形がた，或ある更さら一般いっぱん的てき伪黎曼流形がた上うえ。这种结构就是每ごと点てん的てき切きり空そら间都みやこ有ゆう内ない积与方向ほうこう，更さら一般地说是有对称非退化度量どりょう张量与あずか方向ほうこう。向むこう量りょう分析ぶんせき根ね据すえ每ごと点てん的てき切きり向こう量定りょうてい义，所以ゆえん有效ゆうこう。

其他维度[编辑]

大だい多数たすう分析ぶんせき结果都と可か以通过微分びぶん几何机つくえ制せい轻松理解りかい，向むこう量りょう分析ぶんせき是ぜ其子集しゅう。梯はしご度ど、散ち度たび、梯はしご度ど定理ていり、散ち度たび定理ていり、拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯算子こ（产生调和分析ぶんせき）可か轻易推广到其他维度，而旋度ど和わ叉また积则不能ふのう直接ちょくせつ推广。

从一般观点てん来らい看み，（3维）向むかい量りょう分析ぶんせき中ちゅう的てき各かく种场被ひ统一视作k向むかい量りょう场：标量场是0-向むこう量りょう场，向むこう量りょう场是1-向むこう量りょう场，伪向量りょう场是2-向むこう量りょう场，伪标量りょう场是3-向むこう量りょう场。在ざい更さら高だか维度中ちゅう，还有更さら多た类似的てき场（标量/向むこう量りょう/伪向量りょう/伪标量りょう对应0/1/n-1/n维，这在3维中详尽无遗），因いん此不能ふのう只ただ用よう（伪）标量和わ（伪）向むかい量りょう。

在ざい任意にんい维度中ちゅう，假定かてい一いち个非退化たいか形式けいしき，标量函数かんすう的てき梯はしご度ど是ぜ向むこう量りょう场，而向量りょう场的散ち度たび是ぜ标量函数かんすう，但ただし只ただ有ゆう3维、7维^[2]（1维、0维是平凡へいぼん的てき）中ちゅう，才能さいのう定てい义叉积（其他维度的てき推广或ある要ようn-1个向量りょう才能さいのう得え到いた一いち个向量りょう，或ある要用ようよう李り代数だいすう代替だいたい，即そく更さら一般的反对称双线性积）。总之，向むこう量りょう场的旋度是ぜ二に重じゅう向むこう量りょう场，可か解かい释为无穷小しょう旋转的てき特殊とくしゅ正せい交李代数だいすう；但ただし这不能ふのう视作向むこう量りょう场，因いん为维数すう不同ふどう——3维旋转有3维，但ただし4维旋转有6维（n维中的てき旋转有ゆう $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$ 维）。

向こう量りょう分析ぶんせき有ゆう两个重要じゅうよう的てき替がえ代だい性せい推广。第だい一いち个是几何代数だいすう，用ようk向むかい量りょう场（3维及以下いか时，k向むかい量りょう场都可用かよう标量函数かんすう或ある向こう量りょう场识别，但ただし更さら高だか维并非ひ如此）。外そと积取と代だい了りょう叉また积，可か在ざい所有しょゆう维度中ちゅう，由ゆかり两个向むこう量りょう场输出で一个二重向量场。这产生せい了りょう作さく为向量りょう空そら间上代数だいすう结构的てき克利かつとし福德ふくとく代数だいすう（具有ぐゆう有向ゆうこう非ひ退化たいか形式けいしき）。几何代数だいすう主要しゅよう用よう于物理学りがく等とう应用领域向こう更さら高だか维的推广。

第だい二に个运用よう微分びぶん形式けいしき（k余よ向こう量りょう场），在ざい数学すうがく中有ちゅうう广泛应用，尤ゆう常つね见于微分びぶん几何、几何拓つぶせ扑、调和分析ぶんせき等とう领域，在ざい有向ゆうこう伪黎曼流形がた上じょう产生了りょう霍奇理り论。从这个角度かくど看み，梯はしご度ど、旋度、散ち度ど分ぶん别对应0形式けいしき、1形式けいしき、2形式けいしき的てき外そと导数，而向量りょう分析ぶんせき的てき关键定理ていり都と是ぜ斯托克かつ斯定理ていり一般いっぱん形式けいしき的てき特例とくれい。

从这两种推广来らい看み，向むこう量りょう分析ぶんせき隐式地ち标识了りょう不同ふどう的てき数学すうがく对象，使つかい表ひょう述じゅつ更さら简单，但ただし底そこ层的数学すうがく结构与推广却不那な么清晰。从几何なん代数だいすう的てき角度かくど来らい看み，向むこう量りょう分析ぶんせき隐式地ち将はたk向むかい量りょう场与向むこう量りょう场与标量函数かんすう区分くぶん开来：0向こう量りょう与あずか3向こう量りょう同どう标量有ゆう关，1向こう量りょう和わ2向こう量りょう同どう向むこう量りょう有ゆう关。从微分ぶん形式けいしき的てき角度かくど来らい看み，向むこう量りょう分析ぶんせき隐式地ち将はたk形式けいしき同どう标量场与向むこう量りょう场相联系：0形式けいしき、3形式けいしき与あずか标量场有关，1形式けいしき、2形式けいしき与あずか向こう量りょう场有关。因よし此，举例来らい说，旋度自然しぜん地ち将はた向こう量りょう场或1形式けいしき作さく为输入いれ，将はた2向こう量りょう场或2形式けいしき作さく为输出で（因いん此是伪向量りょう场），然しか后きさき将はた其解释为向むこう量りょう场，而非直接ちょくせつ从向量りょう场映射い到いた向こう量りょう场，这在高だか维空间反映はんえい为旋度ど的てき输出不ふ是ぜ向むこう量りょう场。

参まいり见[编辑]

参考さんこう文献ぶんけん[编辑]

脚注きゃくちゅう[编辑]

^ Galbis, Antonio; Maestre, Manuel. Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. 2012: 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.
^ Lizhong Peng & Lei Yang (1999) "The curl in seven dimensional space and its applications", Approximation Theory and Its Applications 15(3): 66 to 80 doi:10.1007/BF02837124

参考さんこう资料[编辑]

Sandro Caparrini (2002) "The discovery of the vector representation of moments and angular velocity", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.
Crowe, Michael J. A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System reprint. Dover Publications. 1967. ISBN 978-0-486-67910-5.
Marsden, J. E. Vector Calculus. W. H. Freeman & Company. 1976. ISBN 978-0-7167-0462-1.
Schey, H. M. Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company. 2005. ISBN 978-0-393-92516-6.
Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.

外部がいぶ链接[编辑]

The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 2: Differential Calculus of Vector Fields
Hazewinkel, Michiel (编), Vector analysis, 数学すうがく百科ひゃっか全ぜん书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel (编), Vector algebra, 数学すうがく百科ひゃっか全ぜん书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
A survey of the improper use of ∇ in vector analysis (1994) Tai, Chen-To
Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.

延伸えんしん阅读[编辑]

A History of Vector Analysis（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）

[Galbis-2012-p12-1] Galbis, Antonio; Maestre, Manuel. Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. 2012: 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.

[2] Lizhong Peng & Lei Yang (1999) "The curl in seven dimensional space and its applications", Approximation Theory and Its Applications 15(3): 66 to 80 doi:10.1007/BF02837124

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