子午線弧

緯度いど角かく（$\phi$）に対応たいおうする弧こが子午線しごせん弧こ。

子午線しごせん弧こ（しごせんこ、Meridian arc）とは、測地そくち学がくにおいて地球ちきゅう表面ひょうめんまたは地球ちきゅう楕円だえん体たいに沿そった子午線しごせん（経線けいせん）の弧こを指さす。子午線しごせんは楕円だえん弧こで南北なんぼく方向ほうこうに延のびる測地そくち線せんとなる。

天文学てんもんがくにおいて、2地点ちてんの天文てんもん緯度いど測定そくていと子午線しごせん弧この長ながさとを結合けつごうすることで地球ちきゅうの円周えんしゅう・半径はんけいを決定けっていした。その始はじまりは、紀元前きげんぜん3世紀せいきのエジプトのエラトステネスで、地球ちきゅうが球体きゅうたいであることを定量ていりょう的てきに示しめした。

緯度いど差さ1分ぶんに相当そうとうする子午線しごせん弧こ長ちょうは、海うみ里さとの定義ていぎにも参考さんこうにされた。

エラトステネスによる子午線しごせん弧こ長ちょうの推定すいてい

アレクサンドリアの科学かがく者しゃエラトステネスによる測定そくていは、地球ちきゅうの大円だいえん周しゅう長ちょうを計算けいさんした最初さいしょであった。彼かれは、夏至げしの正午しょうごにおいて、太陽たいようが古代こだいエジプトの都市としシエネ（現在げんざいのアスワン）で天頂てんちょうを通過つうかするということを知しっていた。一方いっぽうで、彼かれは自身じしんの測定そくてい結果けっかから、彼かれの居住きょじゅう地ちであるアレクサンドリアで、同どう時刻じこくの太陽たいよう天頂てんちょう距離きょりが天球てんきゅう大だい円周えんしゅう長ちょうの1/50であるということも日時計ひどけいが作つくる角度かくど(7.2°)によって既知きちとしており、天球てんきゅうと地球ちきゅうは同心どうしんであることから、アレクサンドリアがシエネの真ま北きたにあるならばアレクサンドリア-シエネ間あいだの距離きょりは地球ちきゅうの大だい円周えんしゅう長ちょうの1/50でなければならないと結論けつろんづけた。隊商たいしょうの往来おうらい日数にっすうのデータを使つかって、彼かれはアレクサンドリア-シエネ間あいだの距離きょりを5,000スタディアであると推定すいていした。

この結果けっかは250,000スタディアの地球ちきゅう周しゅう長ちょうを意味いみし、単位たんいスタディオンをアッティカスタディオン (185m) と仮定かていすると、これは46,250kmに相当そうとうし、現在げんざいの値ねから約やく16%大おおきい。しかし、エラトステネスがエジプトスタディオン (157.5m) を使つかったとすれば、彼かれの測定そくてい値ちは 39,375km（わずか1%程度ていどの誤差ごさ）であることが分わかる。いずれにしても、幾何きか設定せっていと古代こだいの状況じょうきょうを斟酌しんしゃくすれば、16%の誤差ごさは称賛しょうさんに値あたいするものである。

シエネは、正確せいかくにアレクサンドリアの真ま南みなみにはなく、太陽たいようの軌道きどうは想定そうていよりも0.5°傾かたむいていた。また、ナイル川がわに沿そって、または、砂漠さばくを行旅こうりょすることからの陸路りくろの距離きょりはおよそ10%程度ていどの誤差ごさがあったとされる。

エラトステネスによる地球ちきゅう形状けいじょうの見積みつもりは、その後ご何なん百ひゃく年ねんもの間あいだ受うけ入いれられた。およそ150年ねん後ごにポセイドニオスが同様どうようの方法ほうほうによりアレクサンドリア-ロドス島とう間あいだの緯度いど差さを測定そくていするとともに、子午線しごせん弧こ長ちょうを船ふねの速度そくどと航海こうかいの期間きかんから仮想かそう的てきに割わり出だし、地球ちきゅう周しゅう長ちょうの算出さんしゅつを試こころみた。

中世ちゅうせいから近世きんせいにかけての子午線しごせん弧この測量そくりょう

8世紀せいきに入はいると中国ちゅうごくでも子午線しごせんの計測けいそくが行おこなわれた。玄げん宗むねより新暦しんれき編纂へんさんの勅命ちょくめいを受うけた僧そう一いち行ぎょうは、鉄てつ勒から交州にかけての測量そくりょうを実施じっしし、緯度いど1度どの子午線しごせん弧こ長ちょうを351里さと80歩ほ（約やく123.7km）と算出さんしゅつした。この算定さんていと実際じっさいとの誤差ごさは11パーセントである。9世紀せいき前期ぜんきには、アッバース朝あさ第だい7代だいカリフであるアル＝マアムーンの命いのちにより、アル＝フワーリズミーがシンジャール平原へいげんにおいて実施じっしした、角度かくど測量そくりょうによって多少たしょう良よい結果けっかが算出さんしゅつされた。ヨーロッパでは、それまで子午線しごせん弧こ長ちょう測量そくりょうが行おこなわれた記録きろくが残のこっておらず、14世紀せいきにジョン・マンデヴィルが編纂へんさんしたとされる"The Travels of Sir John Mandeville" （大場おおば正史せいし訳わけ「東方とうほう旅行りょこう記き」, 東洋文庫とうようぶんこ第だい19巻かん, 平凡社へいぼんしゃ, 1964, ISBN 9784582800197）において地球ちきゅうが球形きゅうけいであることが言及げんきゅうされている程度ていどであったが、16世紀せいきになって、もともと医師いし、生理学せいりがく者しゃであり、天文学てんもんがく、数学すうがくにも関心かんしんを持もったジャン・フェルネルが、経度けいどがほぼ等ひとしいパリ-アミアン間あいだの緯度いど差さを1度どとみなした上うえで、荷車にぐるまの車軸しゃじくの回転かいてん数すうからその子午線しごせん弧こ長ちょうを決定けっていしたことを、著書ちょしょ"Ioannis Fernelii Ambianatis Cosmotheoria, libros duos complexa" (1528)に書かきしている。

1615年ねんには三角さんかく測量そくりょうによるものとしては最初さいしょの子午線しごせん弧こ長ちょう測量そくりょうがヴィレブロルト・スネルにより行おこなわれたが、測量そくりょう結果けっかには数すうパーセントの誤差ごさがあった。その約やく半はん世紀せいき後ごの1669年ねんにジャン・ピカールが本格ほんかく的てきな三角さんかく測量そくりょうを行おこない、緯度いど差さ1度どに相当そうとうする子午線しごせん弧こ長ちょうを0.3%程度ていどの精度せいどで測定そくていした。しかしながら、この頃ころ辺あたりまでは地球ちきゅうの形状けいじょうはあくまでも真しん球だまであるという前提ぜんていの下したに議論ぎろんが行おこなわれていた。

フランス科学かがくアカデミー遠征えんせい隊たいのペルーとラップランドへの派遣はけん

詳細しょうさいは「フランス科学かがくアカデミーによる測地そくち遠征えんせい」を参照さんしょう

ピカールによる測量そくりょう以降いこう、測量そくりょう精度せいどが向上こうじょうするにつれて、地球ちきゅうの正確せいかくな形状けいじょうについての問題もんだいが顕在けんざい化かし、地球ちきゅうは正確せいかくには真しん球だまより回転かいてん楕円だえん体たいと考かんがえるべきとの意見いけんが多おおくなったが、長ちょう球たまなのか扁ひらた球だまなのかについて議論ぎろんが分わかれていた。ジャック・カッシーニは、1713年ねんに自みずからが行おこなったダンケルク-ペルピニャン間あいだの測量そくりょう結果けっかを『地球ちきゅうの大おおきさと形状けいじょう』（De la grandeur et de la figure de la terre、1720年ねん）に取とりまとめ、この結果けっかとルネ・デカルトの渦動かどう説せつから、地球ちきゅうが南北なんぼくに長ながい長ちょう球たまであることを提唱ていしょうした。一方いっぽうでは、振ふり子こ時計とけいをパリから赤道あかみち付近ふきんへ持もってゆくと遅おそくなるというジャン・リシェによる報告ほうこくからの推測すいそくにより、アイザック・ニュートンが発表はっぴょうした万有引力ばんゆういんりょくの理論りろんから赤道あかみち方向ほうこうに長ながい扁ひらた球だまであると主張しゅちょうする学者がくしゃも多数たすういた。

これを受うけ、18世紀せいき半なかば（1735年ねん～1740年ねん）には、フランス科学かがくアカデミーが、地球ちきゅう楕円だえん体たいの形状けいじょうの論争ろんそうに決着けっちゃくをつけるために赤道せきどう近傍きんぼうと北極ほっきょく近傍きんぼうの子午線しごせん弧こ長ちょうを比較ひかくした。この測量そくりょう事業じぎょうは、ピエール・ブーゲ、ルイ・ゴダン、シャルル＝マリー・ド・ラ・コンダミーヌ、ピエール・ルイ・モーペルテュイ及およびアントニオ・デ・ウジョーアらによってペルー（現在げんざいのエクアドル）とラップランド（トルネ谷だに）で実行じっこうされた。

測量そくりょう結果けっかは2地域ちいきの同どう緯度いど差さでの子午線しごせん弧こ長ちょうに対たいする有意ゆうい差さを示しめし、極ごく付近ふきんの弧こ長ちょうが赤道せきどう付近ふきんの弧こ長ちょうよりも大おおきいというものであった。これは赤道せきどう付近ふきんのほうが極ごく付近ふきんよりも曲きょく率りつが大おおきいことを示唆しさしており、1687年ねんにニュートンが彼かれの著書ちょしょ『自然しぜん哲学てつがくの数学すうがく的てき諸しょ原理げんり』の第だい3巻かんにおいて提唱ていしょうしたとおり、地球ちきゅうの数学すうがく的てき形状けいじょうは扁ひらた球だまとして解釈かいしゃくできることが確認かくにんされた。カッシーニが得えた測量そくりょう結果けっかが不正確ふせいかくであったことは、彼かれの弟子でしともいうべきニコラ・ルイ・ド・ラカーユが1739年ねんから2年ねんを費ついやして再さい測量そくりょうを行おこなうことにより確認かくにんされた。

18世紀せいき後半こうはんにかけて、フランス科学かがくアカデミーによってダンケルク-バルセロナ間あいだの子午線しごせん弧こ長ちょうの測量そくりょうが行おこなわれ、メートルの定義ていぎのために使つかわれた。

伊能いのう忠敬ちゅうけいによる子午線しごせん弧この測量そくりょう

日本にっぽんでは伊能いのう忠敬ちゅうけいが第だい二に次じ測量そくりょう（1801年ねん）の結果けっかから緯度いど1度どに相当そうとうする子午線しごせん弧こ長ちょうを28.2里さとと導みちびき出だしている。

子午線しごせん弧こ長ちょうの計算けいさん

地球ちきゅう楕円だえん体たいに基もとづく子午線しごせん弧こ長ちょうの計算けいさんは地図ちず投影とうえい法ほう、特とくに横よこメルカトル図法ずほう（ガウス・クリューゲル図法ずほう）において重要じゅうような役割やくわりを果はたす。またその面めん上じょうの二に点てん間あいだ測地そくち線せん距離きょり（最短さいたん距離きょり）を求もとめる問題もんだいもこれに帰着きちゃくされる。

赤道あかみちから地理ちり緯度いど $\varphi \,$ までの子午線しごせん弧こ長ちょう $S(\varphi )\,$ は、楕円だえん積分せきぶんが含ふくまれているため、初等しょとう関数かんすうでは表あらわすことができないが、$\varphi \,$ の一いち次じ単項式たんこうしきと $\varphi \,$ の偶数ぐうすう倍ばいを位相いそうとする正弦せいげん高調こうちょう波はの無限むげん級数きゅうすうの一般いっぱん式しきで書かき表あらわすことができる。またこれを指定していした次数じすうで打うち切きれば有限ゆうげん級数きゅうすうの形かたちで近似きんじ計算けいさんに用もちいることができる。

第だい三さん離はなれ心しん率りつを用もちいた一般いっぱん式しき

オイラーは1755年ねんに第だい三さん離はなれ心しん率りつ $e^{\prime \prime }\,$ の二乗にじょうを微小びしょう量りょうとして用もちいて無限むげん級数きゅうすうの一般いっぱん式しきを得えた。

第だい一いち離はなれ心しん率りつを用もちいた表ひょう式しき

地球ちきゅう楕円だえん体たいの長ちょう半径はんけいを $a\,$、第だい一いち離はなれ心しん率りつを $e\,$として、子午線しごせん曲きょく率りつ半径はんけいは $M_{\varphi }={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{3/2}}}\,$ となる。赤道あかみちから地理ちり緯度いど $\varphi \,$ までの子午線しごせん弧こ長ちょう $S(\varphi )\,$ は以下いかのように$M_{\varphi }$の部分ぶぶん積分せきぶんで与あたえられる。

$S(\varphi )=\int _{0}^{\varphi }M_{\theta }\mathrm {d} \theta =a(1-e^{2})\Pi (e^{2};\varphi ,e)$

歴史れきし的てきに広ひろく用もちいられてきた $S(\varphi )\,$ の無限むげん級数きゅうすう一般いっぱん式しきは、ジャン＝バティスト・ジョゼフ・ドランブルが1799年ねんに公表こうひょうし、共通きょうつう係数けいすうとして率直そっちょくに $a(1-e^{2})$を括くくり出だし、$e^{2}$ を微小びしょう量りょうとして級数きゅうすう展開てんかいしたものである。

${\begin{aligned}S\left(\varphi \right)&=a\left(1-e^{2}\right)\left(D_{0}\varphi +D_{2}\sin 2\varphi +D_{4}\sin 4\varphi +D_{6}\sin 6\varphi +D_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right),\\D_{0}&=1+{\tfrac {3}{4}}e^{2}+{\tfrac {45}{64}}e^{4}+{\tfrac {175}{256}}e^{6}+{\tfrac {11025}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\D_{2}&=-{\tfrac {3}{8}}e^{2}\left(1+{\tfrac {5}{4}}e^{2}+{\tfrac {175}{128}}e^{4}+{\tfrac {735}{512}}e^{6}+\cdots \right),\\D_{4}&={\tfrac {15}{256}}e^{4}\left(1+{\tfrac {7}{4}}e^{2}+{\tfrac {147}{64}}e^{4}+\cdots \right),\\D_{6}&=-{\tfrac {35}{3072}}e^{6}\left(1+{\tfrac {9}{4}}e^{2}+\cdots \right),\\D_{8}&={\tfrac {315}{131072}}e^{8}\left(1+\cdots \right).\end{aligned}}$

しかしながら、これはヘルメルトの式しきなどに比くらべると、係数けいすう $D$ の $(\ )$ 内うちに $e^{2},\ e^{6},\ \cdots$の項こうが現あらわれ、多おおくの項こう数すうを必要ひつようとする。また共通きょうつう係数けいすうとして$(1-e^{2})$を括くくり出だしていることが原因げんいんで、$\left(\cdots \right)$ 内うちで $e^{2}$ の冪べき乗じょうの級数きゅうすうの収束しゅうそく性せいが劣おとる。

第だい三さん扁平へんぺい率りつを用もちいた表ひょう式しき

更さら成なり緯度いどで表あらわした表ひょう式しき

フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルは1825年ねんに更さら成なり緯度いど$\beta =\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \varphi \right)$ で表あらわした子午線しごせん弧こ長ちょう $S(\beta )$ に対たいして、第だい三さん扁平へんぺい率りつ $n={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}$を用もちい、共通きょうつう係数けいすうとして${\frac {a}{1+n}}$ を括くくり出だし微小びしょう量りょうとして$n$を用もちいて二に項こう定理ていりを利用りようしフーリエ級数きゅうすう展開てんかいを行おこなった一般いっぱん式しきを得えた。その級数きゅうすう係数けいすうは $n$ の偶数ぐうすうもしくは奇数きすう冪べき乗じょうの冪べき級数きゅうすうとなる。

${\begin{aligned}S(\beta )&={\frac {a}{1+n}}\int _{0}^{\beta }{\sqrt {1-2n\cos 2\beta +n^{2}}}\,d\beta \\&={\frac {a}{1+n}}\left(c_{0}\beta +\sum _{l=1}^{\infty }(-1)^{l}{\frac {c_{l}}{l}}\sin 2l\beta \right).\\c_{l}&=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,a_{k+l}.\\a_{k}&={\binom {1/2}{k}}n^{k}=(-1)^{k+1}{\frac {\left(2k-3\right)!!}{\left(2k\right)!!}}n^{k}.\end{aligned}}$

ここで、$j!!$ は $j$ の二に重じゅう階かい乗じょうを表あらわす。ただしこの式しきは子午線しごせん弧こ長ちょうの計算けいさんには広ひろくは用もちいられなかった。なお一般いっぱん式しきではないがベッセルは、求もとめ長ちょう緯度いど $\mu ={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {S}{S\!\left(\pi /2\right)}}$ で $\beta$ を表あらわす逆ぎゃく関数かんすうに当あたる級数きゅうすう展開てんかいも示しめしている。

地理ちり緯度いどで表あらわした表ひょう式しき

ここで楕円だえん積分せきぶんの関係かんけい式しき及および $n$ の符号ふごう反転はんてんを考かんがえると、地理ちり緯度いど $\varphi$ で $S$ を表あらわした一般いっぱん式しきが得えられる。これらの級数きゅうすうの収束しゅうそく性せいは他たに知しられている計算けいさん式しきよりも優すぐれている（級数きゅうすう展開てんかいに$n$の奇数きすう次項じこうが現あらわれないなど）。

${\begin{aligned}S(\varphi )&={\frac {a}{1+n}}\int _{0}^{\varphi }{\frac {\left(1-n^{2}\right)^{2}}{\left(1+2n\cos 2\varphi +n^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,d\varphi \\&={\frac {a}{1+n}}\left(\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}\,d\varphi -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}\right)\\&={\frac {a}{1+n}}\left(c_{0}\varphi +\sum _{l=1}^{\infty }{\frac {c_{l}}{l}}\sin 2l\varphi -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}\right)\end{aligned}}$

これらの無限むげん級数きゅうすうは、含ふくまれる $n$ の次数じすうを $l_{\max }$ で打うち切きれば有限ゆうげん級数きゅうすうとなる。すなわち、$c_{l}$ を下記かきのように近似きんじすることになる。

$c_{l,\,{\textrm {approx}}}={\begin{cases}\sum _{k=0}^{\lfloor (l_{\max }-l)/2\rfloor }a_{k}\,a_{k+l}&(l\leq l_{\max })\\0&(l>l_{\max })\end{cases}}$

ただし、$\lfloor x\rfloor$ は床ゆか関数かんすう（$x\,$ を超こえない最大さいだいの整数せいすう）を表あらわすものとする。

ヘルメルト・ベッセルの式しき

ベッセルはまた1837年ねんに上記じょうきの $S(\varphi )$ に対たいしても同おなじく二に項こう定理ていりの手法しゅほうで級数きゅうすう展開てんかい一般いっぱん式しきを得えた。括くくり出だされた共通きょうつう係数けいすうは$a(1-n)^{2}(1+n)$だった。

さらに、1880年ねんにフリードリヒ・ロベルト・ヘルメルトが、括くくり出だす共通きょうつう係数けいすうを前節ぜんせつと同おなじ${\frac {a}{1+n}}$へ変更へんこうし、$n^{4}$ で打切うちきった近似きんじ式しきを提示ていじした。

${\begin{aligned}S(\varphi )\approx &\;{\frac {a}{1+n}}\left\{\left(1+{\frac {n^{2}}{4}}+{\frac {n^{4}}{64}}\right)\varphi -{\frac {3}{2}}n\left(1-{\frac {n^{2}}{8}}\right)\sin 2\varphi \right.\\&\ \left.+{\frac {15}{16}}n^{2}\left(1-{\frac {n^{2}}{4}}\right)\sin 4\varphi -{\frac {35}{48}}n^{3}\sin 6\varphi +{\frac {315}{512}}n^{4}\sin 8\varphi \right\}\\\end{aligned}}$

これは一般いっぱん式しきにするならば下記かきとなる。

${\begin{aligned}S(\varphi )&={\frac {a}{1+n}}\left(c_{0}\varphi +\sum _{l=1}^{\infty }\left(1-4l^{2}\right){\frac {c_{l}}{l}}\sin 2l\varphi \right).\end{aligned}}$

しかしながら前節ぜんせつの一般いっぱん式しきと比くらべるならば ${\frac {-2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}$ の項こうも級数きゅうすう展開てんかいしたことは収束しゅうそく性せいを悪わるくしており、乗数じょうすうの中なかには $-4l^{2}$ が加くわわっている。

加くわえて、ヘルメルトによる導出どうしゅつ過程かていは一般いっぱん論ろんとしては不備ふびがあり、一般いっぱん式しきの導出どうしゅつ・証明しょうめいには至いたらないものだった。しかしヘルメルトの式しきは簡潔かんけつで精度せいども良よいため近似きんじ式しきとしては普及ふきゅうした。

河瀬かわせの式しき

一般いっぱん式しきとしてのヘルメルトの式しきの証明しょうめい自体じたいについては長年ながねん放置ほうちされていたが、 最終さいしゅう的てきに2009年ねんに河瀬かわせ和重かずえにより証明しょうめいが行おこなわれた。

その際さいに用もちいられた一般いっぱん式しきは、二に項こう定理ていりを経由けいゆするものではなく、ゲーゲンバウアー多項式たこうしきによる級数きゅうすう展開てんかいを利用りようし一いち種類しゅるいの無限むげん和わに集約しゅうやくされた形かたちであった。

${\begin{aligned}S(\varphi )&={\frac {a}{1+n}}\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}\varepsilon _{k}\right)^{2}\left\{\varphi +\sum _{l=1}^{2j}\left({\frac {1}{l}}-4l\right)\sin 2l\varphi \prod _{m=1}^{l}\varepsilon _{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{(-1)^{m}}\right\}\\\end{aligned}}$

ここで、$\varepsilon _{i}=3n/2i-n\,$ である。上うえ式しきで $j=2\,$ まで取とれば、ヘルメルトの提示ていじした近似きんじ式しきが得えられる。級数きゅうすうを $j=J\,$ で打うち切きれば、$n\,$ について $2J\,$ 次つぎまでで打うち切きった近似きんじ式しきが得えられることになる。

参考さんこう文献ぶんけん

• Euler, L. (1755). “Élémens de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et plus petits”. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin 1753 9: 258–293. https://books.google.co.jp/books?id=QIIfAAAAYAAJ&pg=PA258&redir_esc=y&hl=ja. Figures. 
• Delambre, J. B. J. (1799): Méthodes Analytiques pour la Détermination d'un Arc du Méridien; précédées d'un mémoire sur le même sujet par A. M. Legendre, De L'Imprimerie de Crapelet, Paris, 72–73
• Bessel, F. W. (1825): Ueber die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen, Astronomische Nachrichten 4, 241–254
• Bessel, F. W. (1837): Bestimmung der Axen des elliptischen Rotationssphäroids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht, Astronomische Nachrichten, 14, 333–346
• Helmert, F. R. (1880): Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie, Einleitung und 1 Teil, Druck und Verlag von B. G. Teubner, Leipzig, 44–48
• Krüger, L. (1912): Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene, Veröffentlichung Königlich Preuszischen geodätischen Institutes, Neue Folge, 52, Druck und Verlag von B. G. Teubner, Potsdam, 12
• Florence, Trystram (2001). L'épopée du méridien terrestre (Le procès des étoiles). ISBN 978-2277220138 
• Florence, Trystram (1983/07). 地球ちきゅうを測はかった男おとこたち. リブロポート. ISBN 978-4845700974 
• 河瀬かわせ和重かずえ (2009): 緯度いどを与あたえて赤道せきどうからの子午線しごせん弧こ長ちょうを求もとめる一般いっぱん的てきな計算けいさん式しき, 国土こくど地理ちり院いん時報じほう, 119, 45–55
• 飛田ひだ幹男みきお, 河瀬かわせ和重かずえ, 政春まさはる尋ひろ志こころざし、「赤道せきどうからある緯度いどまでの子午線しごせん長ちょうを計算けいさんする3つの計算けいさん式しきの比較ひかく」 『測地そくち学会がっかい誌し』 2009年ねん 55巻かん 3号ごう p.315-324, 日本にっぽん測地そくち学会がっかい

関連かんれん項目こうもく

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外部がいぶリンク

• Weekend Mathematics: コロキウム室しつ No.1747