緯度 いど 角 かく (
ϕ
{\displaystyle \phi }
)に対応 たいおう する弧 こ が子午線 しごせん 弧 こ 。
子午線 しごせん 弧 こ (しごせんこ、Meridian arc)とは、測地 そくち 学 がく において、地球 ちきゅう 表面 ひょうめん または地球 ちきゅう 楕円 だえん 体 たい に沿 そ った子午線 しごせん (経線 けいせん )の弧 こ を指 さ す。子午線 しごせん は楕円 だえん 弧 こ で南北 なんぼく 方向 ほうこう に延 の びる測地 そくち 線 せん となる。
天文学 てんもんがく において、2地点 ちてん の天文 てんもん 緯度 いど 測定 そくてい と子午線 しごせん 弧 こ の長 なが さとを結合 けつごう することで地球 ちきゅう の円周 えんしゅう ・半径 はんけい を決定 けってい した。その始 はじ まりは、紀元前 きげんぜん 3世紀 せいき のエジプト のエラトステネス で、地球 ちきゅう が球体 きゅうたい であることを定量 ていりょう 的 てき に示 しめ した。
緯度 いど 差 さ 1分 ぶん に相当 そうとう する子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう は、海 うみ 里 さと の定義 ていぎ にも参考 さんこう にされた。
エラトステネスの子午線 しごせん 弧 こ
アレクサンドリア の科学 かがく 者 しゃ エラトステネス による測定 そくてい は、地球 ちきゅう の大円 だいえん 周 しゅう 長 ちょう を計算 けいさん した最初 さいしょ であった。彼 かれ は、夏至 げし の正午 しょうご において、太陽 たいよう が古代 こだい エジプト の都市 とし シエネ(現在 げんざい のアスワン )で天頂 てんちょう を通過 つうか するということを知 し っていた。一方 いっぽう で、彼 かれ は自身 じしん の測定 そくてい 結果 けっか から、彼 かれ の居住 きょじゅう 地 ち であるアレクサンドリアで、同 どう 時刻 じこく の太陽 たいよう 天頂 てんちょう 距離 きょり が天球 てんきゅう 大 だい 円周 えんしゅう 長 ちょう の1/50であるということも日時計 ひどけい が作 つく る角度 かくど (7.2°)によって既知 きち としており、天球 てんきゅう と地球 ちきゅう は同心 どうしん であることから、アレクサンドリアがシエネの真 ま 北 きた にあるならばアレクサンドリア-シエネ間 あいだ の距離 きょり は地球 ちきゅう の大 だい 円周 えんしゅう 長 ちょう の1/50でなければならないと結論 けつろん づけた。隊商 たいしょう の往来 おうらい 日数 にっすう のデータを使 つか って、彼 かれ はアレクサンドリア-シエネ間 あいだ の距離 きょり を5,000スタディア であると推定 すいてい した。
この結果 けっか は250,000スタディアの地球 ちきゅう 周 しゅう 長 ちょう を意味 いみ し、単位 たんい スタディオンをアッティカ スタディオン (185m) と仮定 かてい すると、これは46,250kmに相当 そうとう し、現在 げんざい の値 ね から約 やく 16%大 おお きい。しかし、エラトステネスがエジプトスタディオン (157.5m) を使 つか ったとすれば、彼 かれ の測定 そくてい 値 ち は 39,375km(わずか1%程度 ていど の誤差 ごさ )であることが分 わ かる。いずれにしても、幾何 きか 設定 せってい と古代 こだい の状況 じょうきょう を斟酌 しんしゃく すれば、16%の誤差 ごさ は称賛 しょうさん に値 あたい するものである。
シエネは、正確 せいかく にアレクサンドリアの真 ま 南 みなみ にはなく、太陽 たいよう の軌道 きどう は想定 そうてい よりも0.5°傾 かたむ いていた。また、ナイル川 がわ に沿 そ って、または、砂漠 さばく を行旅 こうりょ することからの陸路 りくろ の距離 きょり はおよそ10%程度 ていど の誤差 ごさ があったとされる。
エラトステネスによる地球 ちきゅう 形状 けいじょう の見積 みつ もりは、その後 ご 何 なん 百 ひゃく 年 ねん もの間 あいだ 受 う け入 い れられた。およそ150年 ねん 後 ご にポセイドニオス が同様 どうよう の方法 ほうほう によりアレクサンドリア-ロドス島 とう 間 あいだ の緯度 いど 差 さ を測定 そくてい するとともに、子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう を船 ふね の速度 そくど と航海 こうかい の期間 きかん から仮想 かそう 的 てき に割 わ り出 だ し、地球 ちきゅう 周 しゅう 長 ちょう の算出 さんしゅつ を試 こころ みた。
中世 ちゅうせい から近世 きんせい にかけての子午線 しごせん 弧 こ の測量 そくりょう
8世紀 せいき に入 はい ると中国 ちゅうごく でも子午線 しごせん の計測 けいそく が行 おこな われた。玄 げん 宗 むね より新暦 しんれき 編纂 へんさん の勅命 ちょくめい を受 う けた僧 そう 一 いち 行 ぎょう は、鉄 てつ 勒 から交州 にかけての測量 そくりょう を実施 じっし し、緯度 いど 1度 ど の子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう を351里 さと 80歩 ほ (約 やく 123.7km)と算出 さんしゅつ した。この算定 さんてい と実際 じっさい との誤差 ごさ は11パーセントである。9世紀 せいき 前期 ぜんき には、アッバース朝 あさ 第 だい 7代 だい カリフ であるアル=マアムーン の命 いのち により、アル=フワーリズミー がシンジャール平原 へいげん において実施 じっし した、角度 かくど 測量 そくりょう によって多少 たしょう 良 よ い結果 けっか が算出 さんしゅつ された。ヨーロッパ では、それまで子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 測量 そくりょう が行 おこな われた記録 きろく が残 のこ っておらず、14世紀 せいき にジョン・マンデヴィル が編纂 へんさん したとされる"The Travels of Sir John Mandeville " (大場 おおば 正史 せいし 訳 わけ 「東方 とうほう 旅行 りょこう 記 き 」, 東洋文庫 とうようぶんこ 第 だい 19巻 かん , 平凡社 へいぼんしゃ , 1964, ISBN 9784582800197 )において地球 ちきゅう が球形 きゅうけい であることが言及 げんきゅう されている程度 ていど であったが、16世紀 せいき になって、もともと医師 いし 、生理学 せいりがく 者 しゃ であり、天文学 てんもんがく 、数学 すうがく にも関心 かんしん を持 も ったジャン・フェルネル (フランス語 ふらんすご 版 ばん 、英語 えいご 版 ばん ) が、経度 けいど がほぼ等 ひと しいパリ -アミアン 間 あいだ の緯度 いど 差 さ を1度 ど とみなした上 うえ で、荷車 にぐるま の車軸 しゃじく の回転 かいてん 数 すう からその子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう を決定 けってい したことを、著書 ちょしょ "Ioannis Fernelii Ambianatis Cosmotheoria, libros duos complexa " (1528)に書 か きしている。
1615年 ねん には三角 さんかく 測量 そくりょう によるものとしては最初 さいしょ の子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう 測量 そくりょう がヴィレブロルト・スネル により行 おこな われたが、測量 そくりょう 結果 けっか には数 すう パーセントの誤差 ごさ があった。その約 やく 半 はん 世紀 せいき 後 ご の1669年 ねん にジャン・ピカール が本格 ほんかく 的 てき な三角 さんかく 測量 そくりょう を行 おこな い、緯度 いど 差 さ 1度 ど に相当 そうとう する子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう を0.3%程度 ていど の精度 せいど で測定 そくてい した。しかしながら、この頃 ころ 辺 あた りまでは地球 ちきゅう の形状 けいじょう はあくまでも真 しん 球 だま であるという前提 ぜんてい の下 した に議論 ぎろん が行 おこな われていた。
フランス科学 かがく アカデミー遠征 えんせい 隊 たい のペルーとラップランドへの派遣 はけん
ピカールによる測量 そくりょう 以降 いこう 、測量 そくりょう 精度 せいど が向上 こうじょう するにつれて、地球 ちきゅう の正確 せいかく な形状 けいじょう についての問題 もんだい が顕在 けんざい 化 か し、地球 ちきゅう は正確 せいかく には真 しん 球 だま より回転 かいてん 楕円 だえん 体 たい と考 かんが えるべきとの意見 いけん が多 おお くなったが、長 ちょう 球 たま なのか扁 ひらた 球 だま なのかについて議論 ぎろん が分 わ かれていた。ジャック・カッシーニ は、1713年 ねん に自 みずか らが行 おこな ったダンケルク-ペルピニャン 間 あいだ の測量 そくりょう 結果 けっか を『地球 ちきゅう の大 おお きさと形状 けいじょう 』(De la grandeur et de la figure de la terre 、1720年 ねん )に取 と りまとめ、この結果 けっか とルネ・デカルト の渦動 かどう 説 せつ から、地球 ちきゅう が南北 なんぼく に長 なが い長 ちょう 球 たま であることを提唱 ていしょう した。一方 いっぽう では、振 ふ り子 こ 時計 とけい をパリから赤道 あかみち 付近 ふきん へ持 も ってゆくと遅 おそ くなるというジャン・リシェ による報告 ほうこく からの推測 すいそく により、アイザック・ニュートン が発表 はっぴょう した万有引力 ばんゆういんりょく の理論 りろん から赤道 あかみち 方向 ほうこう に長 なが い扁 ひらた 球 だま であると主張 しゅちょう する学者 がくしゃ も多数 たすう いた。
これを受 う け、18世紀 せいき 半 なか ば(1735年 ねん ~1740年 ねん )には、フランス科学 かがく アカデミー が、地球 ちきゅう 楕円 だえん 体 たい の形状 けいじょう の論争 ろんそう に決着 けっちゃく をつけるために赤道 せきどう 近傍 きんぼう と北極 ほっきょく 近傍 きんぼう の子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう を比較 ひかく した。この測量 そくりょう 事業 じぎょう は、ピエール・ブーゲ 、ルイ・ゴダン 、シャルル=マリー・ド・ラ・コンダミーヌ 、ピエール・ルイ・モーペルテュイ 及 およ びアントニオ・デ・ウジョーア らによってペルー (現在 げんざい のエクアドル )[ 1] とラップランド (トルネ谷 だに )で実行 じっこう された。
測量 そくりょう 結果 けっか は2地域 ちいき の同 どう 緯度 いど 差 さ での子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう に対 たい する有意 ゆうい 差 さ を示 しめ し、極 ごく 付近 ふきん の弧 こ 長 ちょう が赤道 せきどう 付近 ふきん の弧 こ 長 ちょう よりも大 おお きいというものであった。これは赤道 せきどう 付近 ふきん のほうが極 ごく 付近 ふきん よりも曲 きょく 率 りつ が大 おお きいことを示唆 しさ しており、1687年 ねん にニュートンが彼 かれ の著書 ちょしょ 『自然 しぜん 哲学 てつがく の数学 すうがく 的 てき 諸 しょ 原理 げんり 』の第 だい 3巻 かん において提唱 ていしょう したとおり、地球 ちきゅう の数学 すうがく 的 てき 形状 けいじょう は扁 ひらた 球 だま として解釈 かいしゃく できることが確認 かくにん された。カッシーニが得 え た測量 そくりょう 結果 けっか が不正確 ふせいかく であったことは、彼 かれ の弟子 でし ともいうべきニコラ・ルイ・ド・ラカーユ が1739年 ねん から2年 ねん を費 つい やして再 さい 測量 そくりょう を行 おこな うことにより確認 かくにん された。
18世紀 せいき 後半 こうはん にかけて、フランス科学 かがく アカデミー によってダンケルク -バルセロナ 間 あいだ の子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう の測量 そくりょう が行 おこな われ、メートル の定義 ていぎ のために使 つか われた。
伊能 いのう 忠敬 ちゅうけい
日本 にっぽん では伊能 いのう 忠敬 ちゅうけい が第 だい 二 に 次 じ 測量 そくりょう (1801年 ねん )の結果 けっか から緯度 いど 1度 ど に相当 そうとう する子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう を28.2里 さと と導 みちび き出 だ している。
子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう の計算 けいさん
地球 ちきゅう 楕円 だえん 体 たい に基 もと づく子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう の計算 けいさん は地図 ちず 投影 とうえい 法 ほう 、特 とく に横 よこ メルカトル図法 ずほう (ガウス・クリューゲル図法 ずほう )において重要 じゅうよう な役割 やくわり を果 は たす。
赤道 あかみち から地理 ちり 緯度 いど
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi \,}
までの子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう
S
(
φ ふぁい
)
{\displaystyle S(\varphi )\,}
は、楕円 だえん 積分 せきぶん が含 ふく まれているため、初等 しょとう 関数 かんすう では表 あらわ すことができないが、
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi \,}
の一 いち 次 じ 単項式 たんこうしき と
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi \,}
の偶数 ぐうすう 倍 ばい を位相 いそう とする正弦 せいげん 高調 こうちょう 波 は の無限 むげん 級数 きゅうすう の一般 いっぱん 式 しき で書 か き表 あらわ すことができる。またこれを指定 してい した次数 じすう で打 う ち切 き れば有限 ゆうげん 級数 きゅうすう の形 かたち で近似 きんじ 計算 けいさん に用 もち いることができる。
第 だい 三 さん 離 はなれ 心 しん 率 りつ を用 もち いた一般 いっぱん 式 しき
オイラー は1755年 ねん に第 だい 三 さん 離 はなれ 心 しん 率 りつ
e
′
′
{\displaystyle e^{\prime \prime }\,}
の二乗 にじょう を微小 びしょう 量 りょう として用 もち いて無限 むげん 級数 きゅうすう の一般 いっぱん 式 しき を得 え た。
第 だい 一 いち 離 はなれ 心 しん 率 りつ を用 もち いた表 ひょう 式 しき
地球 ちきゅう 楕円 だえん 体 たい の長 ちょう 半径 はんけい を
a
{\displaystyle a\,}
、第 だい 一 いち 離 はなれ 心 しん 率 りつ を
e
{\displaystyle e\,}
として、子午線 しごせん 曲 きょく 率 りつ 半径 はんけい [ 2] は
M
φ ふぁい
=
a
(
1
−
e
2
)
(
1
−
e
2
sin
2
φ ふぁい
)
3
/
2
{\displaystyle M_{\varphi }={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{3/2}}}\,}
となる。赤道 あかみち から地理 ちり 緯度 いど
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi \,}
までの子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう
S
(
φ ふぁい
)
{\displaystyle S(\varphi )\,}
は以下 いか のように
M
φ ふぁい
{\displaystyle M_{\varphi }}
の部分 ぶぶん 積分 せきぶん で与 あた えられる。
S
(
φ ふぁい
)
=
∫
0
φ ふぁい
M
θ しーた
d
θ しーた
=
a
(
1
−
e
2
)
Π ぱい
(
e
2
;
φ ふぁい
,
e
)
{\displaystyle S(\varphi )=\int _{0}^{\varphi }M_{\theta }\mathrm {d} \theta =a(1-e^{2})\Pi (e^{2};\varphi ,e)}
歴史 れきし 的 てき に広 ひろ く用 もち いられてきた
S
(
φ ふぁい
)
{\displaystyle S(\varphi )\,}
の無限 むげん 級数 きゅうすう 一般 いっぱん 式 しき は、ジャン=バティスト・ジョゼフ・ドランブル が1799年 ねん に公表 こうひょう し、共通 きょうつう 係数 けいすう として率直 そっちょく に
a
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle a(1-e^{2})}
を括 くく り出 だ し、
e
2
{\displaystyle e^{2}}
を微小 びしょう 量 りょう として級数 きゅうすう 展開 てんかい したものである[ 3] 。
S
(
φ ふぁい
)
=
a
(
1
−
e
2
)
(
D
0
φ ふぁい
+
D
2
sin
2
φ ふぁい
+
D
4
sin
4
φ ふぁい
+
D
6
sin
6
φ ふぁい
+
D
8
sin
8
φ ふぁい
+
⋯
)
,
D
0
=
1
+
3
4
e
2
+
45
64
e
4
+
175
256
e
6
+
11025
16384
e
8
+
⋯
,
D
2
=
−
3
8
e
2
(
1
+
5
4
e
2
+
175
128
e
4
+
735
512
e
6
+
⋯
)
,
D
4
=
15
256
e
4
(
1
+
7
4
e
2
+
147
64
e
4
+
⋯
)
,
D
6
=
−
35
3072
e
6
(
1
+
9
4
e
2
+
⋯
)
,
D
8
=
315
131072
e
8
(
1
+
⋯
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S\left(\varphi \right)&=a\left(1-e^{2}\right)\left(D_{0}\varphi +D_{2}\sin 2\varphi +D_{4}\sin 4\varphi +D_{6}\sin 6\varphi +D_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right),\\D_{0}&=1+{\tfrac {3}{4}}e^{2}+{\tfrac {45}{64}}e^{4}+{\tfrac {175}{256}}e^{6}+{\tfrac {11025}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\D_{2}&=-{\tfrac {3}{8}}e^{2}\left(1+{\tfrac {5}{4}}e^{2}+{\tfrac {175}{128}}e^{4}+{\tfrac {735}{512}}e^{6}+\cdots \right),\\D_{4}&={\tfrac {15}{256}}e^{4}\left(1+{\tfrac {7}{4}}e^{2}+{\tfrac {147}{64}}e^{4}+\cdots \right),\\D_{6}&=-{\tfrac {35}{3072}}e^{6}\left(1+{\tfrac {9}{4}}e^{2}+\cdots \right),\\D_{8}&={\tfrac {315}{131072}}e^{8}\left(1+\cdots \right).\end{aligned}}}
しかしながら、これはヘルメルトの式 しき などに比 くら べると、係数 けいすう
D
{\displaystyle D}
の
(
)
{\displaystyle (\ )}
内 うち に
e
2
,
e
6
,
⋯
{\displaystyle e^{2},\ e^{6},\ \cdots }
の項 こう が現 あらわ れ、多 おお くの項 こう 数 すう を必要 ひつよう とする。また共通 きょうつう 係数 けいすう として
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle (1-e^{2})}
を括 くく り出 だ していることが原因 げんいん で[ 4] 、
(
⋯
)
{\displaystyle \left(\cdots \right)}
内 うち で
e
2
{\displaystyle e^{2}}
の冪 べき 乗 じょう の級数 きゅうすう の収束 しゅうそく 性 せい が劣 おと る。
第 だい 三 さん 扁平 へんぺい 率 りつ を用 もち いた表 ひょう 式 しき
更 さら 成 なり 緯度 いど で表 あらわ した表 ひょう 式 しき
フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセル は1825年 ねん に更 さら 成 なり 緯度 いど
β べーた
=
tan
−
1
(
1
−
e
2
tan
φ ふぁい
)
{\displaystyle \beta =\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \varphi \right)}
で表 あらわ した子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう
S
(
β べーた
)
{\displaystyle S(\beta )}
に対 たい して、第 だい 三 さん 扁平 へんぺい 率 りつ
n
=
1
−
1
−
e
2
1
+
1
−
e
2
{\displaystyle n={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}}
を用 もち い、共通 きょうつう 係数 けいすう として
a
1
+
n
{\displaystyle {\frac {a}{1+n}}}
を括 くく り出 だ し微小 びしょう 量 りょう として
n
{\displaystyle n}
を用 もち いて二 に 項 こう 定理 ていり を利用 りよう しフーリエ級数 きゅうすう 展開 てんかい を行 おこな った一般 いっぱん 式 しき を得 え た[ 5] 。その級数 きゅうすう 係数 けいすう は
n
{\displaystyle n}
の偶数 ぐうすう もしくは奇数 きすう 冪 べき 乗 じょう の冪 べき 級数 きゅうすう となる。
S
(
β べーた
)
=
a
1
+
n
∫
0
β べーた
1
−
2
n
cos
2
β べーた
+
n
2
d
β べーた
=
a
1
+
n
(
c
0
β べーた
+
∑
l
=
1
∞
(
−
1
)
l
c
l
l
sin
2
l
β べーた
)
.
c
l
=
∑
k
=
0
∞
a
k
a
k
+
l
.
a
k
=
(
1
/
2
k
)
n
k
=
(
−
1
)
k
+
1
(
2
k
−
3
)
!
!
(
2
k
)
!
!
n
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\beta )&={\frac {a}{1+n}}\int _{0}^{\beta }{\sqrt {1-2n\cos 2\beta +n^{2}}}\,d\beta \\&={\frac {a}{1+n}}\left(c_{0}\beta +\sum _{l=1}^{\infty }(-1)^{l}{\frac {c_{l}}{l}}\sin 2l\beta \right).\\c_{l}&=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,a_{k+l}.\\a_{k}&={\binom {1/2}{k}}n^{k}=(-1)^{k+1}{\frac {\left(2k-3\right)!!}{\left(2k\right)!!}}n^{k}.\end{aligned}}}
ここで、
j
!
!
{\displaystyle j!!}
は
j
{\displaystyle j}
の二 に 重 じゅう 階 かい 乗 じょう を表 あらわ す。ただしこの式 しき は子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう の計算 けいさん には広 ひろ くは用 もち いられなかった。なお一般 いっぱん 式 しき ではないがベッセルは、求 もとめ 長 ちょう 緯度 いど
μ みゅー
=
π ぱい
2
S
S
(
π ぱい
/
2
)
{\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {S}{S\!\left(\pi /2\right)}}}
で
β べーた
{\displaystyle \beta }
を表 あらわ す逆 ぎゃく 関数 かんすう に当 あ たる級数 きゅうすう 展開 てんかい も示 しめ している。
地理 ちり 緯度 いど で表 あらわ した表 ひょう 式 しき
ここで楕円 だえん 積分 せきぶん の関係 かんけい 式 しき 及 およ び
n
{\displaystyle n}
の符号 ふごう 反転 はんてん を考 かんが えると、地理 ちり 緯度 いど
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
で
S
{\displaystyle S}
を表 あらわ した一般 いっぱん 式 しき が得 え られる。これらの級数 きゅうすう の収束 しゅうそく 性 せい は他 た に知 し られている計算 けいさん 式 しき よりも優 すぐ れている(級数 きゅうすう 展開 てんかい に
n
{\displaystyle n}
の奇数 きすう 次項 じこう が現 あらわ れないなど)。
S
(
φ ふぁい
)
=
a
1
+
n
∫
0
φ ふぁい
(
1
−
n
2
)
2
(
1
+
2
n
cos
2
φ ふぁい
+
n
2
)
3
2
d
φ ふぁい
=
a
1
+
n
(
∫
0
φ ふぁい
1
+
2
n
cos
2
φ ふぁい
+
n
2
d
φ ふぁい
−
2
n
sin
2
φ ふぁい
1
+
2
n
cos
2
φ ふぁい
+
n
2
)
=
a
1
+
n
(
c
0
φ ふぁい
+
∑
l
=
1
∞
c
l
l
sin
2
l
φ ふぁい
−
2
n
sin
2
φ ふぁい
1
+
2
n
cos
2
φ ふぁい
+
n
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\varphi )&={\frac {a}{1+n}}\int _{0}^{\varphi }{\frac {\left(1-n^{2}\right)^{2}}{\left(1+2n\cos 2\varphi +n^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,d\varphi \\&={\frac {a}{1+n}}\left(\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}\,d\varphi -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}\right)\\&={\frac {a}{1+n}}\left(c_{0}\varphi +\sum _{l=1}^{\infty }{\frac {c_{l}}{l}}\sin 2l\varphi -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}\right)\end{aligned}}}
これらの無限 むげん 級数 きゅうすう は、含 ふく まれる
n
{\displaystyle n}
の次数 じすう を
l
max
{\displaystyle l_{\max }}
で打 う ち切 き れば有限 ゆうげん 級数 きゅうすう となる。すなわち、
c
l
{\displaystyle c_{l}}
を下記 かき のように近似 きんじ することになる。
c
l
,
approx
=
{
∑
k
=
0
⌊
(
l
max
−
l
)
/
2
⌋
a
k
a
k
+
l
(
l
≤
l
max
)
0
(
l
>
l
max
)
{\displaystyle c_{l,\,{\textrm {approx}}}={\begin{cases}\sum _{k=0}^{\lfloor (l_{\max }-l)/2\rfloor }a_{k}\,a_{k+l}&(l\leq l_{\max })\\0&(l>l_{\max })\end{cases}}}
ただし、
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
は床 ゆか 関数 かんすう (
x
{\displaystyle x\,}
を超 こ えない最大 さいだい の整数 せいすう )を表 あらわ すものとする。
ヘルメルト・ベッセルの式 しき
ベッセルはまた1837年 ねん に上記 じょうき の
S
(
φ ふぁい
)
{\displaystyle S(\varphi )}
に対 たい しても同 おな じく二 に 項 こう 定理 ていり の手法 しゅほう で級数 きゅうすう 展開 てんかい 一般 いっぱん 式 しき を得 え た。括 くく り出 だ された共通 きょうつう 係数 けいすう は
a
(
1
−
n
)
2
(
1
+
n
)
{\displaystyle a(1-n)^{2}(1+n)}
だった。
さらに、1880年 ねん にフリードリヒ・ロベルト・ヘルメルト が、括 くく り出 だ す共通 きょうつう 係数 けいすう を前節 ぜんせつ と同 おな じ
a
1
+
n
{\displaystyle {\frac {a}{1+n}}}
へ変更 へんこう し、
n
4
{\displaystyle n^{4}}
で打切 うちき られた近似 きんじ 式 しき を提示 ていじ した[ 6] 。
S
(
φ ふぁい
)
≈
a
1
+
n
{
(
1
+
n
2
4
+
n
4
64
)
φ ふぁい
−
3
2
n
(
1
−
n
2
8
)
sin
2
φ ふぁい
+
15
16
n
2
(
1
−
n
2
4
)
sin
4
φ ふぁい
−
35
48
n
3
sin
6
φ ふぁい
+
315
512
n
4
sin
8
φ ふぁい
}
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\varphi )\approx &\;{\frac {a}{1+n}}\left\{\left(1+{\frac {n^{2}}{4}}+{\frac {n^{4}}{64}}\right)\varphi -{\frac {3}{2}}n\left(1-{\frac {n^{2}}{8}}\right)\sin 2\varphi \right.\\&\ \left.+{\frac {15}{16}}n^{2}\left(1-{\frac {n^{2}}{4}}\right)\sin 4\varphi -{\frac {35}{48}}n^{3}\sin 6\varphi +{\frac {315}{512}}n^{4}\sin 8\varphi \right\}\\\end{aligned}}}
これは一般 いっぱん 式 しき にするならば下記 かき となる。
S
(
φ ふぁい
)
=
a
1
+
n
(
c
0
φ ふぁい
+
∑
l
=
1
∞
(
1
−
4
l
2
)
c
l
l
sin
2
l
φ ふぁい
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\varphi )&={\frac {a}{1+n}}\left(c_{0}\varphi +\sum _{l=1}^{\infty }\left(1-4l^{2}\right){\frac {c_{l}}{l}}\sin 2l\varphi \right).\end{aligned}}}
しかしながら前節 ぜんせつ の一般 いっぱん 式 しき と比 くら べるならば
−
2
n
sin
2
φ ふぁい
1
+
2
n
cos
2
φ ふぁい
+
n
2
{\displaystyle {\frac {-2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}}
の項 こう [ 7] も級数 きゅうすう 展開 てんかい したことは収束 しゅうそく 性 せい を悪 わる くしており、
(
1
−
4
l
2
)
{\displaystyle (1-4l^{2})}
の乗数 じょうすう に現 あらわ れている。
加 くわ えて、ヘルメルトによる導出 どうしゅつ 過程 かてい は一般 いっぱん 論 ろん としては不備 ふび があり、一般 いっぱん 式 しき の導出 どうしゅつ ・証明 しょうめい には至 いた らないものだった。しかしヘルメルトの式 しき は簡潔 かんけつ で精度 せいど も良 よ いため近似 きんじ 式 しき としては普及 ふきゅう した。
河瀬 かわせ の式 しき
一般 いっぱん 式 しき としてのヘルメルトの式 しき の証明 しょうめい 自体 じたい については長年 ながねん 放置 ほうち されていたが、
最終 さいしゅう 的 てき に2009年 ねん に河瀬 かわせ 和重 かずえ により証明 しょうめい が行 おこな われた。
その際 さい に用 もち いられた一般 いっぱん 式 しき は、二 に 項 こう 定理 ていり を経由 けいゆ するものではなく、ゲーゲンバウアー多項式 たこうしき による級数 きゅうすう 展開 てんかい を利用 りよう し一 いち 種類 しゅるい の無限 むげん 和 わ に集約 しゅうやく された形 かたち であった[ 8] 。
S
(
φ ふぁい
)
=
a
1
+
n
∑
j
=
0
∞
(
∏
k
=
1
j
ε いぷしろん
k
)
2
{
φ ふぁい
+
∑
l
=
1
2
j
(
1
l
−
4
l
)
sin
2
l
φ ふぁい
∏
m
=
1
l
ε いぷしろん
j
+
(
−
1
)
m
⌊
m
/
2
⌋
(
−
1
)
m
}
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\varphi )&={\frac {a}{1+n}}\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}\varepsilon _{k}\right)^{2}\left\{\varphi +\sum _{l=1}^{2j}\left({\frac {1}{l}}-4l\right)\sin 2l\varphi \prod _{m=1}^{l}\varepsilon _{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{(-1)^{m}}\right\}\\\end{aligned}}}
ここで、
ε いぷしろん
i
=
3
n
/
2
i
−
n
{\displaystyle \varepsilon _{i}=3n/2i-n\,}
である。上 うえ 式 しき で
j
=
2
{\displaystyle j=2\,}
まで取 と れば、ヘルメルトの提示 ていじ した近似 きんじ 式 しき が得 え られる[ 9] [ 10] 。級数 きゅうすう を
j
=
J
{\displaystyle j=J\,}
で打 う ち切 き れば、
n
{\displaystyle n\,}
について
2
J
{\displaystyle 2J\,}
次 つぎ までで打 う ち切 き った近似 きんじ 式 しき が得 え られることになる。
脚注 きゃくちゅう
^ 18世紀 せいき においては、エクアドルという国 くに はまだ存在 そんざい していなかった。当該 とうがい 地域 ちいき は、当時 とうじ スペイン の管轄 かんかつ 下 か に置 お かれており、後 ご のキト 市 し となる“キト特別 とくべつ 行政 ぎょうせい 区 く ”と呼 よ ばれていた。1830年 ねん に独立 どくりつ を果 は たした際 さい に国 くに の名称 めいしょう として採用 さいよう された“エクアドル共和 きょうわ 国 こく ”(「エクアドル」にはスペイン語 ご で『赤道 せきどう 』の意味 いみ がある)には、“赤道 あかみち 付近 ふきん の地域 ちいき ”として選 えら ばれたこの地 ち において実施 じっし されることとなった、フランス測地 そくち 測量 そくりょう 事業 じぎょう の名声 めいせい が影響 えいきょう していると考 かんが えられている。
^ 子午線 しごせん 曲 きょく 率 りつ 半径 はんけい は平面 へいめん 曲線 きょくせん (楕円 だえん )の幾何 きか 学 がく 的 てき 性質 せいしつ から初等 しょとう 的 てき に求 もと められる。例 たと えば、Rapp, R, (1991): Geometric Geodesy, Part I , §3.5.1, pp. 28–32参照 さんしょう 。
^ この式 しき は日本 にっぽん でも広 ひろ く用 もち いられ、昭和 しょうわ 61年版 ねんばん から平成 へいせい 21年版 ねんばん までの理科 りか 年表 ねんぴょう (地学 ちがく 部 ぶ )にも掲載 けいさい されていた。
^ 共通 きょうつう 係数 けいすう
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle (1-e^{2})}
を括 くく り出 だ さずに級数 きゅうすう に組 く み込 こ むか、もしくは
(
1
−
1
4
e
2
)
{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{4}}e^{2}\right)}
を括 くく り出 だ すなどで、収束 しゅうそく 性 せい は改善 かいぜん される。
^ 二 に 項 こう 定理 ていり を利用 りよう した級数 きゅうすう 展開 てんかい は、
(
1
+
2
n
cos
θ しーた
+
n
2
)
α あるふぁ
=
(
1
+
n
e
i
θ しーた
)
α あるふぁ
(
1
+
n
e
−
i
θ しーた
)
α あるふぁ
=
(
∑
k
=
0
∞
(
α あるふぁ
k
)
n
k
e
i
k
θ しーた
)
(
∑
k
=
0
∞
(
α あるふぁ
k
)
n
k
e
−
i
k
θ しーた
)
=
∑
k
=
0
∞
(
α あるふぁ
k
)
2
n
2
k
+
2
∑
l
=
1
∞
∑
k
=
0
∞
(
α あるふぁ
k
)
(
α あるふぁ
k
+
l
)
n
2
k
+
l
cos
l
θ しーた
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+2n\cos \theta +n^{2}\right)^{\alpha }\\&=\left(1+n\,e^{i\theta }\right)^{\alpha }\left(1+n\,e^{-i\theta }\right)^{\alpha }\\&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}n^{k}e^{ik\theta }\right)\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}n^{k}\,e^{-ik\theta }\right)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}^{2}n^{2k}+2\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}{\binom {\alpha }{k+l}}\,n^{2k+l}\cos l\theta \\\end{aligned}}}
^ ヘルメルトの提示 ていじ では実際 じっさい には式 しき の形 かたち にまとまっていなかったが、1912年 ねん にヨハン・ハインリヒ・ルイ・クリューゲル (ドイツ語 ご 版 ばん ) がヘルメルトの結果 けっか を式 しき の形 かたち に取 と りまとめている。
^ この項 こう は、不完全 ふかんぜん 楕円 だえん 積分 せきぶん 項 こう の
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
に関 かん する二 に 階 かい 微分 びぶん に等 ひと しいので、級数 きゅうすう 展開 てんかい 形 がた では乗数 じょうすう
−
4
l
2
{\displaystyle -4l^{2}}
が得 え られる。
^ ゲーゲンバウアー多項式 たこうしき を利用 りよう した級数 きゅうすう 展開 てんかい は、二 に 項 こう 定理 ていり を利用 りよう した級数 きゅうすう 展開 てんかい の和 わ の取 と りまとめ方 かた を変 か えることでも同様 どうよう の結果 けっか が得 え られるが、
(
1
+
2
n
cos
θ しーた
+
n
2
)
α あるふぁ
=
∑
k
=
0
∞
(
−
n
)
k
C
k
(
−
α あるふぁ
)
(
cos
θ しーた
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
n
)
k
∑
l
=
0
k
(
k
−
l
−
α あるふぁ
−
1
k
−
l
)
(
l
−
α あるふぁ
−
1
l
)
cos
(
k
−
2
l
)
θ しーた
=
∑
j
=
0
∞
(
∏
k
=
1
j
ν にゅー
k
α あるふぁ
)
2
(
1
+
2
∑
l
=
1
2
j
cos
2
l
θ しーた
∏
m
=
1
l
(
ν にゅー
j
+
(
−
1
)
m
⌊
m
/
2
⌋
α あるふぁ
)
(
−
1
)
m
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+2n\cos \theta +n^{2}\right)^{\alpha }\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-n)^{k}C_{k}^{(-\alpha )}(\cos \theta )\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-n)^{k}\sum _{l=0}^{k}{\binom {k-l-\alpha -1}{k-l}}{\binom {l-\alpha -1}{l}}\cos(k-2l)\theta \\&=\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}\nu _{k}^{\alpha }\right)^{2}\left(1+2\sum _{l=1}^{2j}\cos 2l\theta \prod _{m=1}^{l}\left(\nu _{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{\alpha }\right)^{(-1)^{m}}\right)\\\end{aligned}}}
ただし、
ν にゅー
i
α あるふぁ
=
(
α あるふぁ
+
1
i
−
1
)
n
{\displaystyle \nu _{i}^{\alpha }=\left({\frac {\alpha +1}{i}}-1\right)n}
である。
^ 平成 へいせい 23年版 ねんばん の理科 りか 年表 ねんぴょう から、それまで掲載 けいさい されていたドランブルの近似 きんじ 式 しき に取 と って代 が わり、河瀬 かわせ の一般 いっぱん 式 しき とヘルメルトの近似 きんじ 式 しき が掲載 けいさい されている。
^ 同 おな じ考 かんが え方 かた に立 た てば、ベッセルが1825年 ねん に得 え た
S
(
β べーた
)
{\displaystyle S(\beta )}
及 およ び1837年 ねん に得 え た
S
(
φ ふぁい
)
{\displaystyle S(\varphi )}
を次 つぎ のように書 か き下 くだ すこともできる。
S
(
β べーた
)
=
a
1
+
n
∑
j
=
0
∞
(
∏
k
=
1
j
ε いぷしろん
¯
k
)
2
(
β べーた
+
∑
l
=
1
2
j
sin
2
l
β べーた
l
∏
m
=
1
l
ε いぷしろん
¯
j
+
(
−
1
)
m
⌊
m
/
2
⌋
(
−
1
)
m
)
,
S
(
φ ふぁい
)
=
a
(
1
−
n
2
)
2
1
+
n
∑
j
=
0
∞
(
∏
k
=
1
j
δ でるた
k
)
2
(
φ ふぁい
+
∑
l
=
1
2
j
sin
2
l
φ ふぁい
l
∏
m
=
1
l
δ でるた
j
+
(
−
1
)
m
⌊
m
/
2
⌋
(
−
1
)
m
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S(\beta )&={\frac {a}{1+n}}\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}{\bar {\varepsilon }}_{k}\right)^{2}\left(\beta +\sum _{l=1}^{2j}{\frac {\sin 2l\beta }{l}}\prod _{m=1}^{l}{\bar {\varepsilon }}_{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{(-1)^{m}}\right),\\S(\varphi )&={\frac {a(1-n^{2})^{2}}{1+n}}\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}\delta _{k}\right)^{2}\left(\varphi +\sum _{l=1}^{2j}{\frac {\sin 2l\varphi }{l}}\prod _{m=1}^{l}\delta _{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{(-1)^{m}}\right).\end{aligned}}}
ただし、
ε いぷしろん
¯
i
=
−
ε いぷしろん
i
=
n
−
3
n
/
2
i
{\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{i}=-\varepsilon _{i}=n-3n/2i}
及 およ び
δ でるた
i
=
−
n
/
2
i
−
n
{\displaystyle \delta _{i}=-n/2i-n}
である。
参考 さんこう 文献 ぶんけん
Euler, L. (1755). “Élémens de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et plus petits” . Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin 1753 9 : 258–293. http://books.google.com/books?id=QIIfAAAAYAAJ&pg=PA258 . Figures .
Delambre, J. B. J. (1799): Méthodes Analytiques pour la Détermination d'un Arc du Méridien ; précédées d'un mémoire sur le même sujet par A. M. Legendre , De L'Imprimerie de Crapelet, Paris, 72–73
Bessel, F. W. (1825): Ueber die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen , Astronomische Nachrichten 4 , 241–254
Bessel, F. W. (1837): Bestimmung der Axen des elliptischen Rotationssphäroids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht , Astronomische Nachrichten, 14 , 333–346
Helmert, F. R. (1880): Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie , Einleitung und 1 Teil , Druck und Verlag von B. G. Teubner, Leipzig, 44–48
Krüger, L. (1912): Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene , Veröffentlichung Königlich Preuszischen geodätischen Institutes, Neue Folge, 52 , Druck und Verlag von B. G. Teubner, Potsdam, 12
Florence, Trystram (2001). L'épopée du méridien terrestre (Le procès des étoiles) . ISBN 978-2277220138
Florence, Trystram (1983/07). 地球 ちきゅう を測 はか った男 おとこ たち . リブロポート. ISBN 978-4845700974
河瀬 かわせ 和重 かずえ (2009): 緯度 いど を与 あた えて赤道 せきどう からの子午線 しごせん 弧 こ 長 ちょう を求 もと める一般 いっぱん 的 てき な計算 けいさん 式 しき , 国土 こくど 地理 ちり 院 いん 時報 じほう , 119 , 45–55
飛田 ひだ 幹男 みきお , 河瀬 かわせ 和重 かずえ , 政春 まさはる 尋 ひろ 志 こころざし 、「赤道 せきどう からある緯度 いど までの子午線 しごせん 長 ちょう を計算 けいさん する3つの計算 けいさん 式 しき の比較 ひかく 」 『測地 そくち 学会 がっかい 誌 し 』 2009年 ねん 55巻 かん 3号 ごう p.315-324, 日本 にっぽん 測地 そくち 学会 がっかい
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