限界げんかい (音楽おんがく)

音楽おんがく理論りろんにおける限界げんかい（げんかい、リミット）とは、特定とくていの楽曲がっきょくまたは音楽おんがくジャンルに見みられる和声わせい、またはその拡張かくちょうとして、特定とくていの音階おんかいまたは音階おんかいのクラスを使つかって構成こうせいできる和声わせいを特徴付とくちょうづけるために使つかわれるさまざまな方法ほうほうの一ひとつである。 この用語ようごを導入どうにゅうしたのはハリー・パーチで、特定とくていの楽曲がっきょく中ちゅうの和声わせいの複雑ふくざつさの上限じょうげんを示しめすために使つかった。限界げんかいという名前なまえはそこから来くる。 和声わせいの'複雑ふくざつさ'を定義ていぎする困難こんなんさのため、限界げんかい概念がいねんには複数ふくすうの異ことなる定式ていしき化かがある。

倍音ばいおん列れつと音楽おんがくの発展はってん

ハリー・パーチ、Ivor Darreg、ラルフ・デヴィッド・ヒルなどの微分びぶん音おん音楽おんがくの作曲さっきょく家かたちは、音楽おんがくの構成こうせいにおいて次第しだいにより高次こうじの倍音ばいおんが使つかわれるようになったことを指摘してきしている。

中世ちゅうせい西洋せいよう音楽おんがくでは、オクターヴと完全かんぜん五ご度どから構成こうせいされる（つまり最初さいしょの３みっつの倍音ばいおんだけが関与かんよする、3限界げんかいの）和音わおんだけが協和きょうわ音おんであると考かんがえられていた。

西洋せいようでは、ルネサンスのころに三和音さんわおんが出現しゅつげんし、間まもなく西洋せいよう音楽おんがくの基本きほん的てきな構成こうせい要素ようそとなった。このような三和音さんわおん中ちゅうの長ちょう三さん度どや短たん三さん度どは、最初さいしょの５いつつの倍音ばいおんの関係かんけいを利用りようしている。5限界げんかい、今日きょう言いわれるところの純正じゅんせい律りつである。

20世紀せいきになると、ブラックミュージックの基本きほん的てきな構成こうせい要素ようそとして四よん和音わおんが登場とうじょうした。 伝統でんとう的てきな音楽おんがく理論りろん教育きょういくでは通常つうじょう、このような七ななの和音わおんを、長ちょう三さん度どと短たん三さん度どの連鎖れんさとして説明せつめいしている。 けれども、これは５倍ばいを超こえる倍音ばいおん同士どうしの関係かんけいから直接ちょくせつ派生はせいするものとしても説明せつめい可能かのうである。 例たとえば、12平均へいきん律りつにおけるドミナントセブンスコードは4:5:6:7で近似きんじできるし、メジャーセブンスコードは8:10:12:15で近似きんじできる。

この歴史れきしは、少すくなくとも革命かくめい的てきなジャンルにおいては(単純たんじゅんな三和音さんわおんはジャズではめったに使つかわれない)、各かく時代じだいの支配しはい的てきなテクノロジー（三和音さんわおんなど）が、旧きゅう時代じだいのテクノロジー（中世ちゅうせいの空虚くうきょ四よん度ど、五ご度どなど）に完全かんぜんに取とって代かわるという、断続だんぞく平衡へいこう説せつ的てきな進化しんかを示唆しさしている。 このことから、和声わせいの複雑ふくざつさを説明せつめいするために上限じょうげん概念がいねんを使つかうことが正当せいとう化かされると考かんがえられる。

奇数きすう限界げんかいと素数そすう限界げんかい

純正じゅんせい律りつ音階おんかいでは、音程おんていを有理数ゆうりすうから導みちびく。 音楽おんがく理論りろんの文献ぶんけんにおいては、音程おんていに関かんして奇数きすう限界げんかい(協和きょうわ音おんの議論ぎろんに使用しよう)と素数そすう限界げんかい(音階おんかいの構築こうちくに使用しよう)の二に種類しゅるいの限界げんかいが使つかわれる。 ただし、この区別くべつはあらゆる著者ちょしゃが意識いしきしているわけではない。 素数そすう限界げんかいと奇数きすう限界げんかいに含ふくまれる音程おんていの集合しゅうごうは、たとえ「n」が奇数きすう素数そすうであっても同おなじではないことに注意ちゅういすること。

奇数きすう限界げんかい

「n」奇数きすう限界げんかいの調律ちょうりつでは、分子ぶんしまたは分母ぶんぼを割わる最大さいだいの奇数きすうが「n」以下いかになるような有理数ゆうりすうから音程おんていを求もとめる。

純正じゅんせい律りつでは、音程おんていは周波数しゅうはすう比ひによって表あらわされる。 ハリー・パーチは「Genesis of a Music」において、純正じゅんせい律りつ音程おんていの複雑ふくざつさを、（既すんで約分やくぶん数すうとして表あらわされた）周波数しゅうはすう比ひを構成こうせいする数かずの大おおきさを、オクターブで割わった剰余じょうよに比例ひれいすると定義ていぎした。 純正じゅんせい律りつではオクターブは因数いんすう２によって表あらわされるので、オクターブより狭せまいいかなる音程おんていの複雑ふくざつさも、比ひを構成こうせいする最大さいだいの奇数きすうによって簡単かんたんに測定そくていできる。 この限界げんかいは、他たの限界げんかい概念がいねんの定式ていしき化かと区別くべつするため、しばしば奇数きすう限界げんかいと呼よばれる。 Paul Erlichたちは、このパーチの枠組わくぐみが現代げんだい的てきな音響おんきょう心理しんり学がくの基礎きそになることを示しめした。

素数そすう限界げんかい

「n」素数そすう限界げんかいの調律ちょうりつでは、「n」以下いかの素数そすうによって素因数そいんすう分解ぶんかいできるような有理数ゆうりすうから音程おんていを求もとめる。

1970年代ねんだい後半こうはんのアメリカの西海岸にしかいがんでは、アメリカン・ガムランと呼よばれる新あたらしい音楽おんがくジャンルが形作かたちづくられようとしていた。 カリフォルニアなどのミュージシャンは、インドネシアのガムランに影響えいきょうを受うけて、独自どくじのガムラン楽器がっきを製作せいさくしだした。その楽器がっきは純正じゅんせい律りつで調律ちょうりつされることが多おおかった。 このムーブメントの中心ちゅうしん人物じんぶつは、アメリカ人じんの作曲さっきょく家かルー・ハリソンだった。 アメリカン・ガムランの作曲さっきょく家かたちは、音階おんかいを倍音ばいおん列れつから構成こうせいすることが多おおかったパーチとは異ことなり、フォッカーの周期しゅうきブロックの構成こうせいに使つかわれるのと類似るいじの方法ほうほうで、純正じゅんせい律りつの格子こうしから音階おんかいを構成こうせいすることが多おおかった。 そのような音階おんかいの周波数しゅうはすう比ひには、非常ひじょうに大おおきな数かずが含ふくまれることが多おおいが、にもかかわらず、音階おんかい中ちゅうの他ほかの音おととは単純たんじゅんな音程おんていで関連付かんれんづけられる。 そのような音階おんかいからパーチの奇数きすう限界げんかいを求もとめると、誤解ごかいを招まねく結果けっかになりやすいので、このようなミュージシャンは、代かわりに特定とくていの音階おんかいを構成こうせいするあらゆる音程おんていを素因数そいんすう分解ぶんかいできる最大さいだいの素数そすうを使用しようした。 これが後のちに素数そすう限界げんかいとして知しられるようになった。

例れい

比ひ	奇数きすう限界げんかい	素数そすう限界げんかい
3/2	3	3
4/3	3	3
5/4	5	5
5/2	5	5
10/3	5	5
7/5	7	7
10/7	7	7
9/8	9	3
27/16	27	3
81/64	81	3
243/128	243	3

純正じゅんせい律りつを超こえて

平均へいきん律りつにおいては、純正じゅんせい律りつの単純たんじゅんな比ひは、近似きんじする無理むり数すうに変換へんかんされる。 この操作そうさは、うまくいけば、さまざまな音程おんてい間あいだの和声わせいの相対そうたい的てきな複雑ふくざつさ自体じたいを変かえることはないが、和音わおんの限界げんかいの計算けいさんはより困難こんなんになる。 この場合ばあい、まず近似きんじ元もとになっている有理数ゆうりすう音程おんていを判定はんていしてから、奇数きすう限界げんかいや素数そすう限界げんかいを計算けいさんする必要ひつようがある。 ただし、和音わおんの中なかには、有効ゆうこうな純正じゅんせい律りつの調律ちょうりつが複数ふくすうある和音わおんもある(12平均へいきん律りつの減げん七なな和音わおんなど)ので、この方法ほうほうでうまくいくとは限かぎらない。

外部がいぶリンク

• Limits – Consonance Theory Explained
• Limit definition – Encyclopedia of Microtonal Music Theory
• Just Intonation Explained
• Some music theory from Paul Erlich