素数そすう

素数そすう（そすう、英えい: primeあるいはprime number）とは、 $2$ 以上いじょうの自然しぜん数すうで、正せいの約数やくすうが $1$ と自分じぶん自身じしんのみであるもののことである。正せいの約数やくすうの個数こすうが $2$ である自然しぜん数すうとい換いかえることもできる。 $1$ より大おおきい自然しぜん数すうで素数そすうでないものは合成ごうせい数すうと呼よばれる。

日本にっぽんでは、英えい: prime number の日本語にほんごへの訳語やくごは「素数そすう」とすることが1881年ねん（明治めいじ14年ねん）に決きまった^[1]^[2]。

一般いっぱんには、素数そすうは代数だいすう体たいの整数せいすう環たまきの素もと元もととして定義ていぎされる（そこでは反はん数かずなどの同伴どうはんなものも素数そすうに含ふくまれる）。このため、有理ゆうり整数せいすう環たまき $\mathbb {Z}$ での素数そすうは有理ゆうり素数そすう（ゆうりそすう、英えい: rational prime）と呼よばれることもある。

最小さいしょうの素数そすうは $2$ である。素数そすうは無数むすうに存在そんざいする。したがって、素数そすうからなる無限むげん数列すうれつが得えられる^[3]。

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,\dots

素数そすうが無数むすうに存在そんざいすることは、紀元前きげんぜん3世紀せいき頃ころのエウクレイデス（以下いかユークリッド）の著書ちょしょ『原論げんろん』で既すでに証明しょうめいされていた。そこでの証明しょうめいは、背理法はいりほうにより次つぎのようになる：

『素数そすう全体ぜんたいは有限ゆうげん個こと仮定かていして、全すべての素数そすうの総そう乗じょうに1を足たした数かずをNとする。Nはどの素数そすうで割わっても余あまりが1となる。一方いっぽう、Nはどの素数そすうよりも大おおきいので、Nは素数そすうではない。すなわち、Nはある素数そすうで割わり切きれる。これは、Nを素数そすうで割わった余あまりが1であることに矛盾むじゅんする。ゆえに、素数そすうは無数むすうにある。』

自然しぜん数すうあるいは実数じっすうの中なかでの素数そすうの分布ぶんぷの様子ようすは高度こうどに非ひ自明じめいで、リーマン予想よそうなどの現代げんだい数学すうがくの重要じゅうような問題もんだいとの興味深きょうみぶかい結むすび付つきが発見はっけんされている。

分散ぶんさんコンピューティング・プロジェクト GIMPS により、史上しじょう最大さいだいの素数そすうの探求たんきゅうが行おこなわれている。現在げんざい知しられている最大さいだいの素数そすうは、2018年ねん 12月7日にちに発見はっけんされた、それまでに分わかっている中なかで51番目ばんめのメルセンヌ素数そすう $282589933 - 1$ であり、十進法じっしんほうで表記ひょうきしたときの桁数けたすうは2486万まん2048桁けたに及およぶ^[4]。

定義ていぎと例れい

$100$ 以下いかの素数そすう一覧いちらん
	0 $2$	$3$	00	0 $5$	00	$7$	00		00
$11$		$13$				$17$		$19$
		$23$						$29$
$31$						$37$
$41$		$43$				$47$
		$53$						$59$
$61$						$67$
$71$		$73$						$79$
		$83$						$89$
						$97$

素数そすうとは、自明じめいな正せいの因数いんすう（ $1$ と自分じぶん自身じしん）以外いがいに因数いんすうを持もたない自然しぜん数すうであり、 $1$ でない数かずのことである。つまり、正せいの因数いんすうの個数こすうが 2 である自然しぜん数すうである。

例たとえば、 $2$ は、正せいの因数いんすうが $1, 2$ のみなので素数そすうである。

素数そすうでない $2$ 以上いじょうの自然しぜん数すうを合成ごうせい数すうと呼よぶ。

合成ごうせい数すうであることの判定はんてい法ほうとして、たとえば下記かきの4条件じょうけんがある：

4以上いじょうの偶数ぐうすう。（2で割わり切きれる）
10以上いじょうで末尾まつびが5か0の数かず。（5で割わり切きれる）
6以上いじょうで、数字すうじ根ねが3, 6, 9となる数かず（3で割わり切きれる）。（20以上いじょうでは、 $21, 27, 33, 39, 51, 57, 63, 69, 81, 87, 93, 99, \dots$ ）
一いちの位くらいから見みて奇き数すう番目ばんめの位くらいの数かずの和わと、偶数ぐうすう番目ばんめの位くらいの数かずの和わとの差さが11の倍数ばいすうであれば、11の倍数ばいすうである（11で割わり切きれる）。（100以上いじょうでは、 $110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, \dots$ ）^[5]

逆ぎゃくに、この4条件じょうけんを、全すべて満みたさない数かずでも素数そすうとは限かぎらない。例たとえば、 $91$ は、正せいの因数いんすうが $1, 7, 13, 91$ なので素数そすうではない。

また、 $2, 3$ 以外いがいの素数そすうは、最もっとも近ちかい6の倍数ばいすうとの差さが $1$ か $-1$ である。

$2$ でない素数そすうは奇数きすうであり、奇き素数そすうと呼よぶ。

100以下いかの素数そすうは25個こ存在そんざいし、小ちいさい順じゅんに次つぎの通とおりである^[3]。

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

詳細しょうさいは「素数そすうの一覧いちらん」を参照さんしょう

素因数そいんすう分解ぶんかいの可能かのう性せい・一意いちい性せい

詳細しょうさいは「算術さんじゅつの基本きほん定理ていり」を参照さんしょう

「 $2$ 以上いじょうの自然しぜん数すうは、素数そすうの積せきで表あらわせる。その表あらわし方かたは積せきの順序じゅんじょを除のぞけば一意いちいである」という、素因数そいんすう分解ぶんかいの可能かのう性せい・一意いちい性せいが成立せいりつする（算術さんじゅつの基本きほん定理ていり）。素因数そいんすう分解ぶんかいの可能かのう性せいから、素数そすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうは、2以上いじょうの自然しぜん数すう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうとその乗法じょうほうからなる半はん群ぐんの最小さいしょう^{[注釈ちゅうしゃく 1]}の生成せいせい系けいである。い換いかえれば、これは「素数そすうは自然しぜん数すうの構成こうせい要素ようそである」などとなる^[6]。

素数そすうの定義ていぎである「 $1$ と自分じぶん自身じしんでしか割わり切きれない」という条件じょうけん（既すんで約やく性せい）は、抽象ちゅうしょう代だい数学すうがくにおいて、環たまきの既すんで約やく元もとの概念がいねん（一部いちぶの環たまきでは素もと元もとの概念がいねんと一致いっちする）に抽象ちゅうしょう化かされ一般いっぱん的てきに取とり扱あつかわれる。一般いっぱんの環たまきで、任意にんいの元もとは既すんで約やく元もとの積せきに分解ぶんかいされ、しかもその表示ひょうじは一意いちいであるという性質せいしつは稀有けうである。例たとえばネーター環たまきでは、任意にんいの元もとは既すんで約やく元もと分解ぶんかいが可能かのうであるが、その表示ひょうじが一意いちいではないネーター環たまきの例れいはいくつも知しられている。一意いちいに既すんで約やく元もと分解ぶんかいができる環たまきは一意いちい分解ぶんかい環たまきと呼よばれ、既すんで約やく元もと分解ぶんかいは素もと元もと分解ぶんかいともなる。

1 は素数そすうか

現代げんだいの定義ていぎでは $1$ は素数そすうではない。歴史れきしを通とおしても $1$ を素数そすうに含ふくめない数学すうがく者しゃが多数たすう派はであったが、20世紀せいき初頭しょとうの環たまき論ろんの成熟せいじゅくまで定義ていぎは統一とういつされていなかった^[7]。プラトンやアリストテレスを含ふくむほとんどの古代こだいギリシアの哲学てつがく者しゃは $1$ を数すうとさえ見みなさず^[8]^[9]、素数そすう性せいの考察こうさつの対象たいしょうとしなかった。スペウシッポスは $1$ を数すうと見みなし素数そすうとしたが、当時とうじとしては異端いたんであった^[10]。この時代じだいには素数そすうを奇数きすうの一部分いちぶぶんと考かんがえ、 $2$ を素数そすうに含ふくめない数学すうがく者しゃもいた（ただしユークリッドをはじめとする多数たすう派はは $2$ を素数そすうに含ふくめている）。アラビアではおおむね古代こだいギリシアに倣ならって $1$ は数かずでないとされた^[8]。中世ちゅうせいからルネサンスにかけて、 $1$ が数かずとして扱あつかわれるようになり、 $1$ を最初さいしょの素数そすうとする数学すうがく者しゃも現あらわれた^[11]。18世紀せいき半なかば、ゴールドバッハはオイラーに宛あてた書簡しょかんで $1$ を素数そすうに挙あげている（ただしオイラー自身じしんは $1$ を素数そすうとは考かんがえていなかった）^[12]。19世紀せいきにも少数しょうすう派はだが $1$ を素数そすうに含ふくめる数学すうがく者しゃはかなりいた^[7]。ハーディの『A Course of Pure Mathematics』では、1933年ねんに出版しゅっぱんされた第だい6版はんまでは $1$ を素数そすうに含ふくめているが、1938年ねんの第だい7版はんから $2$ を最小さいしょうの素数そすうとするよう改訂かいていされている。レーマー（英語えいご版ばん）の $1$ を含ふくむ素数そすう表ひょうは1956年ねんまで出版しゅっぱんされた^[13]。ルベーグは $1$ を素数そすうだと考かんがえた最後さいごの専門せんもん的てきな数学すうがく者しゃだと言いわれている^[14]。

$1$ も素数そすうと定義ていぎすると、素数そすうに関かんする多おおくの定理ていりで、もとの「素数そすう」を「 $1$ 以外いがいの素数そすう」と呼よび替かえる記述きじゅつの修正しゅうせいが必要ひつようになる。例たとえば $6$ の素因数そいんすう分解ぶんかいは、（積せきの順序じゅんじょを除のぞいても）

6 = 2 \times 3 = 1 \times 2 \times 3 = 1 2 \times 2 \times 3 = 1 3 \times 2 \times 3 =\dots

と無数むすうに与あたえられることになり、一意いちい性せいは「 $1$ を含ふくむ素数そすう」については成なりたない^[7]。エラトステネスの篩ふるいにおいては、 $1$ も素数そすうとすると、 $1$ の倍数ばいすう（すなわち他たのすべての数かず）を消去しょうきょし、残のこった唯一ゆいいつの数かず $1$ を出力しゅつりょくするので機能きのうしない^[15]。さらに、 $1$ 以外いがいの素数そすうで成なり立たつ様々さまざまな性質せいしつがある（例たとえば、自然しぜん数すうとそれに対応たいおうするオイラーのφふぁい関数かんすうや約数やくすう関数かんすうの値ねとの関係かんけいなど）^[16]^[17]^[18]。20世紀せいき初頭しょとうまでに $1$ は素数そすうではなく「単数たんすう」という特別とくべつな分類ぶんるいに属ぞくするという見方みかたが一般いっぱん的てきになった^[7]。

歴史れきし

紀元前きげんぜん1600年ねん頃ころのエジプト第だい2中ちゅう間あいだ期きにおいて、素数そすうの初等しょとう的てきな性質せいしつが部分ぶぶん的てきに知しられていたことが、リンド数学すうがくパピルスなどの資料しりょうによって示唆しさされている。例たとえば分数ぶんすうをエジプト式しき分数ぶんすうで表あらわす場合ばあい、素数そすうと合成ごうせい数すうの場合ばあいで異ことなる計算けいさんをしなければならないからである。しかし、記録きろくに残のこっている限かぎりにおいて、明確めいかくに素数そすうを研究けんきゅう対象たいしょうとしたのは古代こだいギリシア人じんが最初さいしょである。紀元前きげんぜん約やく300年ねん頃ごろに書かかれたユークリッドの『原論げんろん』には素数そすうが無数むすうに存在そんざいすることや、その他たの素数そすうの性質せいしつが証明しょうめいされている。また、ユークリッドはメルセンヌ素数そすうから完全かんぜん数すうを構成こうせいする方法ほうほうを示しめしている。ギリシアの数学すうがく者しゃ、エラトステネスに因ちなんで名付なづけられたエラトステネスの篩ふるいは、素数そすうを列挙れっきょするための計算けいさん方法ほうほうである。

古代こだいギリシア時代じだいの後のち、17世紀せいきになるまで素数そすうの研究けんきゅうにはそれほどの進展しんてんが無なかった。1640年ねんに、ピエール・ド・フェルマーはフェルマーの小しょう定理ていりを（未み証明しょうめいではあるが）述のべた。この定理ていりは後のちにライプニッツとオイラーによって証明しょうめいされた。

素数そすうが無数むすうに存在そんざいすることは既すでに古代こだいギリシア時代じだいから知しられていて、ユークリッドが彼かれの著作ちょさく『原論げんろん』^[19]の中なかで証明しょうめいしている。

ユークリッドによる証明しょうめい

『原論げんろん』第だい9巻かん命題めいだい20^[19]: 素数そすうの個数こすうはいかなる定さだめられた素数そすうの個数こすうよりも多おおい。; 定さだめられた個数こすうの素数そすうを $p 1, p 2, \dots, p n$ とせよ。 $p 1, p 2, \dots, p n$ より多おおい個数こすうの素数そすうがあると主張しゅちょうする。
『原論げんろん』による証明しょうめい^{[注釈ちゅうしゃく 2]}: 定さだめられた素数そすうの個数こすうが $n$ 個こであるとき、 $n$ 個この素数そすうを小ちいさい順番じゅんばんに並ならべて $i$ 番ばん目めの素数そすうを $p i$ とする。; $1 < p 1 < p 2 < \dots < p n .$; このとき、 $n$ 個この素数そすうをすべて掛かけ合あわせた数かずに $1$ を加くわえた数かずを $q$ とすると、; $q = p 1 \times p 2 \times \dots \times p n + 1$ .; $q$ は有限ゆうげん個この自然しぜん数すうの積せきに $1$ を加くわえた数かずなので $1$ より大おおきい自然しぜん数すうである。ゆえに、 $q$ は素数そすうまたは合成ごうせい数すうのどちらかである。; $q$ が素数そすうのとき、 $q$ は最大さいだいの素数そすう $p n$ より大おおきい素数そすうになるので、定さだめられた個数こすうの素数そすうよりも多おおくの素数そすうが存在そんざいする。; $q$ が合成ごうせい数すうのとき、 $q$ を割わり切きる素数そすうが存在そんざいする。一方いっぽう、 $q$ の定義ていぎより、すべての $p i$ で割わった余あまりは $1$ になるので、 $q$ はすべての $p i$ で割わり切きれない。したがって、すべての $p i$ 以外いがいに素数そすうが存在そんざいする。すなわち、定さだめられた個数こすうの素数そすうよりも多おおくの素数そすうが存在そんざいする。（証明しょうめい終おわり）
例れい: 自然しぜん数すうの有限ゆうげん集合しゅうごう $A$ の全すべての要素ようそを掛かけ合あわせた自然しぜん数すうを $f (A)$ とする。; 定さだめられた個数こすうの素数そすうから成なる集合しゅうごうを $A 3 = {2, 3, 5}$ とするとき、 $f (A 3) = 2 \times 3 \times 5 + 1 = 31$ は素数そすうなので、新あたらしい素数そすう $31$ が得えられる。したがって、定さだめられた個数こすうより多おおくの素数そすうが存在そんざいする。; 定さだめられた個数こすうの素数そすうから成なる集合しゅうごうを $A 4 = {2, 3, 5, 31}$ とするとき、 $f (A 4) = 2 \times 3 \times 5 \times 31 + 1 = 931 = 7 \times 7 \times 19$ なので、新あたらしい素数そすう $7$ と $19$ が得えられる。したがって、定さだめられた個数こすうより多おおくの素数そすうが存在そんざいする。

他たの証明しょうめい

上記じょうきのユークリッドによる証明しょうめい以外いがいにも、素数そすうが無数むすうに存在そんざいすることの証明しょうめい方法ほうほうが存在そんざいする。

素数そすうの逆数ぎゃくすうの和わが発散はっさんすることを利用りようした証明しょうめい^{[注釈ちゅうしゃく 3]}（#素数そすうの逆数ぎゃくすう和わを参照さんしょう）
2つの異ことなるフェルマー数すうが互たがいに素そであることを利用りようした証明しょうめい^{[注釈ちゅうしゃく 4]}
整数せいすうの集合しゅうごうに、等差とうさ数列すうれつの族ぞくを開基かいきとする位相いそうを入いれる証明しょうめい^{[注釈ちゅうしゃく 5]}
$n \geq 2$ に対たいして、 $n (n + 1)$ は少すくなくとも相あい異ことなる2個この素因数そいんすうを持もつことを利用りようした証明しょうめい^{[注釈ちゅうしゃく 6]}。おそらく最もっとも短みじかい証明しょうめい。

素数そすう判定はんていと素因数そいんすう分解ぶんかい

詳細しょうさいは「素数そすう判定はんてい」および「素因数そいんすう分解ぶんかい」を参照さんしょう

与あたえられた自然しぜん数すう $n$ が素数そすうであるか合成ごうせい数すうであるかを判定はんていするためのアルゴリズムが多数たすう考案こうあんされている。最もっとも素朴そぼくな方法ほうほうは、 $2$ から $\sqrt n$ 以下いかの素数そすうまで順番じゅんばんに割わっていく、試ためし割わり法ほうと呼よばれる方法ほうほうである。 $n$ が $\sqrt n$ 以下いかの全すべての素数そすうで割わり切きれなければ $n$ は素数そすうである。試ためし割わり法ほうは、 $n$ が大おおきくなるに従したがって、急速きゅうそくに速度そくどが低下ていかするため、実用じつよう的てきではない。任意にんいの数かずに適用てきようできる試ためし割わり法ほうよりも高速こうそくなアルゴリズムが考案こうあんされている。また、特殊とくしゅな形かたちをした数かずに対たいしてはより高速こうそくなアルゴリズムも存在そんざいする。素数そすう判定はんていは、与あたえられた数かずが素数そすうであるか否ひかだけを判定はんていするものであるが、素因数そいんすう分解ぶんかいとはより強つよく、与あたえられた数かずの全すべての素因数そいんすうを列挙れっきょすることであるとも言いえる。

上記じょうきの通とおり2を除のぞく偶数ぐうすう、2桁けた以上いじょうで末尾まつびが5の数かず、数字すうじ和わが3の倍数ばいすうとなる数かずは合成ごうせい数すうと分わかるのでそれを省はぶき、7以上いじょうの素数そすうを順番じゅんばんに割わる方法ほうほうがある。

分布ぶんぷ

ある自然しぜん数すうまでにどのくらいの素数そすうがあるのかという問題もんだいは、基本きほん的てきだが非常ひじょうに難むずかしい問題もんだいである。これに関かんして、次つぎの素数そすう定理ていりは有名ゆうめいである。この定理ていりは1896年ねんに、アダマールとド・ラ・ヴァレ・プサンによって独立どくりつに証明しょうめいされた。

$x$ 以下いかの素数そすうの個数こすうを $π ぱい (x)$ （素数そすう計数けいすう関数かんすう）とすると、

\pi (x)\sim \int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}\sim {\frac {x}{\log x}}\quad (x\to \infty )

が成なり立たつ。この定理ていりは、1792年ねんに15歳さいのカール・フリードリヒ・ガウスによって予想よそうされていた（ガウスが最初さいしょに予想よそうしたのかどうかは不明ふめい）。この定理ていりの証明しょうめいは、ゼータ関数かんすうと複素ふくそ関数かんすう論ろんを用もちいる高度こうどなものであったが、1949年ねんにアトル・セルバーグとポール・エルデシュは独立どくりつに初等しょとう的てきな証明しょうめいを与あたえた。この評価ひょうか式しきはリーマン予想よそうを仮定かていすると大幅おおはばに精度せいどをよくすることができる。

次つぎのような定理ていりもある。

「任意にんいの自然しぜん数すう

n

に対たいして、

n < p \leq 2 n

を満みたす素数そすう

p

が存在そんざいする」（ベルトランの仮説かせつ、チェビシェフの定理ていり）

この主張しゅちょうは「任意にんいの素数そすう $p$ の次つぎの素数そすうは $2 p$ 未み満まん」ともい換いかえられる。したがって、2017年ねん5月がつ現在げんざい知しられている最大さいだいの素数そすう $282589933 - 1$ の次つぎの素数そすうは $282589934 - 2$ 未み満まんである。

一方いっぽうで、例たとえば $n 2$ と $(n + 1) 2$ の間あいだに素数そすうが存在そんざいするかという問題もんだいは未解決みかいけつである（ルジャンドル予想よそう）。

素数そすうが全まったく無ない区間くかんは、いくらでも長ながいものがあることが知しられている。 $n \geq 2$ に対たいして、連続れんぞくする $n - 1$ 個この自然しぜん数すう $n! + 2, \dots, n! + n$ はそれぞれ、それらより小ちいさい $2, \dots, n$ で割わり切きれるので、どれも素数そすうでない。 $n$ は任意にんいにとれるから、素数そすうが全まったく無ないいくらでも長ながい区間くかんがあると言いえる。これは一いち例れいにすぎず、実際じっさいにはもっと小ちいさい所ところで、素数そすうが全まったく無ない長ながい区間くかんが生しょうじるようである。例たとえば、 $114$ から $126$ まで $13$ 個こ連続れんぞくで合成ごうせい数すうである^[23]。

素数そすう計数けいすう

2015年ねんに、ゴールドバッハの予想よそう検証けんしょうプロジェクトは $4 \times 10 18$ 以下いかの全すべての素数そすう（9京きょう5676兆ちょう2609億おく0388万まん7607個こ、約やく 10¹⁷個こ）を計算けいさんしたと報告ほうこくした^[24]が、結果けっかは保存ほぞんされていない。しかしながら、素数そすう計数けいすう関数かんすうを計算けいさんするには、実際じっさいに素数そすうを数かぞえるより高速こうそくな公式こうしきが存在そんざいする。この公式こうしきを使つかって、 $1023$ 以下いかに 19垓2532京きょう0391兆ちょう6068億おく0396万まん8923個こ（約やく 2×10²¹個こ）の素数そすうがあると計算けいさんされた。

また、別べつの計算けいさんによると、リーマン予想よそうが真しんであると仮定かていした場合ばあい、 $1024$ 以下いかに 184垓3559京きょう9767兆ちょう3492億おく0086万まん7866個こ（約やく 2×10²²個こ）の素数そすうが存在そんざいする^[25]。

分布ぶんぷの視覚しかく化か

エラトステネスの篩ふるい
ウラムの螺旋らせん
プリヒタの素もと数すう円えん

素数そすうに関連かんれんする主おもな性質せいしつ

素数そすうの逆数ぎゃくすう和わ

素数そすうの逆数ぎゃくすうの和わは（無限むげん大だいに）発散はっさんする。この命題めいだいは『素数そすうは無数むすうに存在そんざいする』という命題めいだいを含ふくんでいる（有限ゆうげん個こならば収束しゅうそく、すなわち発散はっさんしないはずである）が、それだけではなく素数そすうの分布ぶんぷに関かんしてより多おおくの情報じょうほうを提供ていきょうしている。

この結果けっかは最初さいしょにレオンハルト・オイラーによりゼータ関数かんすうを研究けんきゅうすることでもたらされた。以下いかの証明しょうめいはポール・エルデシュによる、より直接的ちょくせつてきで、また簡潔かんけつな証明しょうめいである^{[注釈ちゅうしゃく 7]}。素数そすうが無数むすうに存在そんざいすることを証明しょうめいに用もちいないため、その証明しょうめいをも含ふくんでいる。

エルデシュによる証明しょうめい

素数そすうの逆数ぎゃくすう和わは収束しゅうそくすると仮定かていする。 $i$ 番ばん目めの素数そすうを $p i$ で表あらわすと、

\sum _{i=N+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\cdots (1)

を満みたす $N$ が存在そんざいする。

$n$ 以下いかの自然しぜん数すうのうち最大さいだい素因数そいんすうが $p N$ 以下いかのものからなる集合しゅうごうを $A n$ とする。任意にんいの $k \in A n$ に対たいして、

k = u 2 v

（

v

の各かく素因数そいんすうの指数しすうは全すべて

1

）

と表示ひょうじすると、 $v$ は高こう々 $2 N$ 通とおり、 $u 2 \leq k \leq n$ より

# A n \leq 2 N \sqrt n

…(2)

$A n c$ の元もとは、 $p N +1$ 以上いじょうの素因数そいんすうを少すくなくとも1つ持もつから、(1) より

\#{A_{n}}^{c}\leq \sum _{i=N+1}^{\infty }\left[{\frac {n}{p_{i}}}\right]\leq n\sum _{i=N+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {n}{2}}

$# A n c = n - # A n$ より

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}n/2 < #An

…(3)

(2), (3) より $n / 2 < 2 N \sqrt n$ , ∴ $n < 2 2 N +2$ 。これは $n$ の任意にんい性せいに矛盾むじゅん。（証明しょうめい終おわり）

双子ふたご素数そすうに限かぎると、逆数ぎゃくすう和わは $B 2 = 1.902\dots$ に収束しゅうそくすることが証明しょうめいされている（ブルン定数ていすう）。

その他たの性質せいしつ

$(a, m) = 1$ のとき、等差とうさ数列すうれつ： $a, a + m, a + 2 m, \dots$ には素数そすうの項こうが無数むすうに含ふくまれている。（ディリクレの算術さんじゅつ級数きゅうすう定理ていり）

ここで

m = 10

とすると、十じゅう進しん表記ひょうきにおいて一いちの位くらいが

1, 3, 7, 9

である素数そすうはどれも無数むすうにあることが分わかる。

素数そすう $p$ に対たいして、 $(a, p) = 1 \Rightarrow a p -1 \equiv 1 (mod p)$ （フェルマーの小しょう定理ていり）
$p$ が素数そすう $\Leftrightarrow (p - 1)! \equiv -1 (mod p)$ （ウィルソンの定理ていり）
素数そすうの2乗じょう差さは $5$ の倍数ばいすう, $3$ の倍数ばいすう, $8$ の倍数ばいすうのいずれかである。

5 ( = 3 2 - 2 2), 16 ( = 5 2 - 3 2), 21 ( = 5 2 - 2 2), 24 ( = 7 2 - 5 2), 40 ( = 7 2 - 3 2), \dots

約数やくすうの和わが素数そすうになる自然しぜん数すうは、 $2$ と素数そすうかその累乗るいじょう数すうの平方へいほう数すうである。しかし、素数そすうやその累乗るいじょう数すうの自乗じじょうであっても約数やくすうの和わが素数そすうになるとは限かぎらない。約数やくすうの和わが素数そすうになる数かずが無限むげんにあるかどうかの証明しょうめいはされていない（後述こうじゅつ）。
七なな進しん表記ひょうきにおいて、5以上いじょうの素数そすうの数字すうじ根ねは、必かならず1か5となる。

素数そすう生成せいせい式しき

詳細しょうさいは「en:Formula for primes」を参照さんしょう

$n$ 番ばん目めの素数そすうを求もとめる素数そすう生成せいせい式しきは存在そんざいしないと主張しゅちょうされることがあるが、これは誤あやまりである（ウィルソンの定理ていりやミルズの定理ていり（英語えいご版ばん）を用もちいたものが存在そんざいする）^[26]。しかしながら、そのような式しきで実効じっこう的てきに計算けいさん可能かのう（英語えいご版ばん）なものは知しられていない。

以下いかは1964年ねんに Willans C.P. が報告ほうこくしたウィルソンの定理ていりに基もとづく公式こうしきで、 $n$ 番ばん目めの素数そすう $p n$ を求もとめることができる：

p(n)=1+\textstyle \sum \limits _{m=1}^{2^{n}}\left\lfloor {\sqrt[{n}]{\dfrac {n}{\sum \limits _{k=1}^{m}\left\lfloor \cos ^{2}{\frac {\left(k-1\right)!+1}{k}}\pi \right\rfloor }}}\right\rfloor

^[27]

1変数へんすう多項式たこうしき

オイラーの発見はっけんした式しき：

$f (n) = n 2 - n + 41$

は、自然しぜん数すう $n$ が $n < 41$ で全すべて素数そすうとなる。これは、虚きょ二に次じ体たい $\mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})$ の類るい数すうが $1$ であることと関係かんけいしている^[28]^[29]。一般いっぱんに、 $0 \leq n < p$ で多項式たこうしき $f (n) = n 2 - n + p$ が素数そすうの値ねを取とるとき、素数そすう $p$ の値ねを「オイラーの幸運こううん数すう」^[30]という。オイラーの幸運こううん数すうは $p = 2, 3, 5, 11, 17, 41$ の6つのみであり、これらはすべてヘーグナー数すうと対応たいおうする。

ルビーの多項式たこうしき：

$f (n) = 36 n 2 - 810 n + 2753$

は $n = 0, \dots, 44$ で全すべて素数そすうとなる。同様どうように

$103 n 2 - 3945 n + 34891$ (Ruby)
$47 n 2 - 1701 n + 10181$ (Fung)

は $n = 0, \dots, 42$ で全すべて素数そすうとなる。

$36 n 2 - 2358 n + 36809$ (Willium)

は $n = 0, \dots, 44$ で絶対ぜったい値ちは全すべて素数そすうとなる。

高たかい次数じすうでの多項式たこうしきはあまり知しられていないが

$n 3 - 34 n 2 + 381 n - 1511$ (Goetgheluck)
$2 n 3 - 45 n 2 + 331 n - 3191$ (Goetgheluck)

は $n = 0, \dots, 25$ で絶対ぜったい値ちは全すべて素数そすうとなる。ただし $n 3 - 34 n 2 + 381 n - 1511$ の $n = 9, 12, 13$ で $-107$ を取とるなど、同おなじ素数そすうが何なん度ども出現しゅつげんする場合ばあいがある。

多た変数へんすう多項式たこうしき

多た変数へんすうの多項式たこうしきでは、全すべての素数そすうを生成せいせいすることができる式しきがいくつか知しられている。例たとえば、 $k + 2$ が素数そすうとなる必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、次つぎのディオファントス方程式ほうていしきが自然しぜん数すう解かいを持もつことである^[31]：

wz + h + j - q = 0

(gk + 2 g + k + 1)(h + j) + h - z = 0

16(k + 1) 3 (k + 2)(n + 1) 2 + 1 - f 2 = 0

2 n + p + q + z - e = 0

e 3 (e + 2)(a + 1) 2 + 1 - o 2 = 0

(a 2 - 1) y 2 + 1 - x 2 = 0

16 r 2 y 4 (a 2 - 1) + 1 - u 2 = 0

n + l + v - y = 0

(a 2 - 1) l 2 + 1 - m 2 = 0

ai + k + 1 - l - i = 0

[{a + u 2 (u 2 - a)} 2 - 1](n + 4 dy) 2 + 1 - (x + cu) 2 = 0

p + l (a - n - 1) + b (2 an + 2 a - n 2 - 2 n - 2) - m = 0

q + y (a - p - 1) + s (2 ap + 2 a - p 2 - 2 p - 2) - x = 0

z + pl (a - p) + t (2 ap - p 2 - 1) - pm = 0

特殊とくしゅな形かたちをした素数そすう

メルセンヌ素数そすう： $2 n - 1$ （ $n$ は素数そすう、 $n = 2, 3, 5, 7, 13, \dots$ ）
フェルマー素数そすう： $2 2 n + 1$
オイラー素数そすう： $n 2 + n + 41$
階かい乗じょう素数そすう
- $n! + 1$ 型かた $(n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, \dots)$
- $n! - 1$ 型かた $(n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, \dots)$
素数そすう階かい乗じょう素数そすう： $p # \pm 1$ （ $p$ は素数そすう、 $p #$ は $p$ の素数そすう階かい乗じょう）
レピュニット $R 2, R 19, R 23, \dots$ （ $R n$ は $1$ が $n$ 個こ続つづく数かず、通常つうじょうは基数きすうを $10$ にとる）
双子ふたご素数そすう（差さが $2$ である2つの素数そすう）
いとこ素数そすう（差さが $4$ である2つの素数そすう）
セクシー素数そすう（差さが $6$ である2つの素数そすう）
三みつ子ご素数そすう（3つの素数そすうの組くみ $(p, p + 2, p + 6)$ または $(p, p + 4, p + 6)$ （ $(p, p + 2, p + 4$ )型がたは $(3, 5, 7)$ のみ。）
四よっつ子こ素数そすう（ $p, p + 2, p + 6, p + 8$ が全すべて素数そすう）
ソフィー・ジェルマン素数そすう（ $p$ と $2 p + 1$ がともに素数そすうである時ときの $p$ のこと)
安全あんぜん素数そすう（ $p$ と $2 p + 1$ がともに素数そすうである時ときの $2 p + 1$ のこと)
スーパー素数そすう（素もと数列すうれつにおける素もと数すう番目ばんめの素数そすう）
切きり捨すて可能かのう素数そすう（「素そな素数そすう」。与あたえられた基数きすうにおいて $0$ を含ふくまず、左右さゆう一いち方ぽうの端はしから順じゅんに数かずを取とり除のぞいた数かずがすべて素数そすうとなる素数そすう）
陳ちん素数そすう（ $p + 2$ が半はん素数そすうまたはともに素数そすう）
正則せいそく素数そすう（円えんの $p$ 分ぶん体からだの類るい数すうを割わり切きらない奇き素数そすう）
非ひ正則せいそく素数そすう（円えんの $p$ 分ぶん体からだの類るい数すうを割わり切きる奇き素数そすう）
フィボナッチ素数そすう（フィボナッチ数すうの数列すうれつに含ふくまれる素数そすう）
ヴィーヘリッヒ素数そすう ( $2 p -1 \equiv 1 (mod p 2)$ を満みたす素数そすう $p$ )
グロタンディーク素数そすう (57のことでグロタンディークが演説えんぜつしている際さいに " わかり易やすい例れいを上あげてほしい " と言いわれて合成ごうせい数すうである " 57 " を挙あげてしまった)
その他たの素数そすう
- $n 2 + 1$ の形かたちで表あらわせる素数そすう^[32]： $2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, \dots$
- $n 4 + 1$ の形かたちで表あらわせる素数そすう^[33]： $2, 17, 257, 1297, 65537, 160001, \dots$
- $n 4 + (n + 1) 4$ の形かたちで表あらわせる素数そすう^[34]： $17, 97, 337, 881, 3697, \dots$
- ある数かずの約数やくすうの和わになる素数そすう^[35]： $3, 7, 13, 31, 127, 307, 1093, \dots$

未み解決かいけつ問題もんだい

双子ふたご素数そすうの予想よそう：双子ふたご素数そすうは無数むすうに存在そんざいする、という予想よそう。
ゴールドバッハの予想よそう：6 以上いじょうの全すべての偶数ぐうすうは 2 つの奇き素数そすうの和わで表あらわすことができる、という予想よそう。
弱よわいゴールドバッハ予想よそう：7 以上いじょうの全すべての奇数きすうは 3 つの素数そすうの和わで表あらわすことができる、という予想よそう。ただしハラルド・ヘルフゴットによる証明しょうめいが2013年ねんに発表はっぴょうされている^[36]^[37]^[38]。
ルジャンドル予想よそう：全すべての $n$ に対たいし、 $n 2$ と $(n + 1) 2$ の間あいだに素数そすうが存在そんざいするかという予想よそう。
既知きちのフェルマー素数そすう以外いがいに、フェルマー数すうにフェルマー素数そすうは存在そんざいするか？
メルセンヌ素数そすうは無数むすうに存在そんざいするか？
ソフィー・ジェルマン素数そすう、安全あんぜん素数そすうは無数むすうに存在そんざいするか？
フィボナッチ数すう列れつには、素数そすうである項こうが無数むすうに現あらわれるか？（フィボナッチ素数そすう）
幸運こううん数すうでも素数そすうでもあるような数かずは無数むすうに存在そんざいするか？
ハッピー素数そすうは無数むすうに存在そんざいするか？
$n 2 + 1$ の形かたちの素数そすうは無数むすうに存在そんざいするか？（ブニャコフスキー予想よそう）
約数やくすうの和わの列れつになる素数そすうは無数むすうに存在そんざいするか？

応用おうよう

長ながい間あいだ、数かず論ろん、その中なかでもとりわけ素数そすうに関かんする研究けんきゅうは、その分野ぶんや以外いがいでの応用おうようの全まったくない純粋じゅんすい数学すうがくの見本みほんと見みなされていた。特とくに、イギリスの数かず論ろん研究けんきゅう者しゃであるハーディは、自身じしんの研究けんきゅうが軍事ぐんじ的てきに何なんの重要じゅうよう性せいも持もたないことを誇ほこっていた。しかし、この見方みかたは1970年代ねんだいには覆くつがえされてしまった。素数そすうが公開こうかい鍵かぎ暗号あんごうのアルゴリズムに使用しようできると広ひろく知しられるようになったためである。現在げんざいでは素数そすうはハッシュテーブルや擬似ぎじ乱数らんすう生成せいせいにも用もちいられ、工学こうがく的てき応用おうよう上じょう重要じゅうよう度どの高たかいものとなっている。

公開こうかい鍵かぎ暗号あんごう

詳細しょうさいは「公開こうかい鍵かぎ暗号あんごう」を参照さんしょう

公開こうかい鍵かぎ暗号あんごうのアルゴリズムとして、RSA暗号あんごうやディフィー・ヘルマン鍵かぎ共有きょうゆうといった、大おおきな数かずの素因数そいんすう分解ぶんかいは困難こんなんであるという性質せいしつに基礎きそを置おくものがある。RSA暗号あんごうは、2つの（大おおきな）素数そすうの掛かけ算ざんは比較的ひかくてき簡単かんたんに（効率こうりつ的てきに）行おこなえるが、その積せきを素因数そいんすう分解ぶんかいして元もとの2つの素数そすうを求もとめることは難むずかしいという事実じじつに基もとづいている。

自然しぜん界かいの素数そすう

自然しぜん界かいに現あらわれる素数そすうの一いち例れいとして、素数そすうゼミと呼よばれるセミの一種いっしゅがいる。アメリカ合衆国あめりかがっしゅうこくに分布ぶんぷするこのセミの成虫せいちゅうは、ある周期しゅうきごとに、13年ねんないしは17年間ねんかんの周期しゅうきで大量たいりょう発生はっせいする。成虫せいちゅうになった後のちは、数すう週間しゅうかんだけを地上ちじょうで成虫せいちゅうとして過すごし交配こうはいと産卵さんらんを行おこなう。このセミが素数そすう周期しゅうきで発生はっせいする理由りゆうとして、寄生虫きせいちゅうや捕食ほしょく者しゃに対抗たいこうするための進化しんかであるという説せつや近きん縁えん種しゅとの交雑こうざつを避さけるためであるという説せつがある。つまり、もしこのセミが12年ねんの発生はっせい周期しゅうきを持もっていた場合ばあい、12の約数やくすうである2, 3, 4, 6年ねんの寿命じゅみょうを持もつ捕食ほしょく者しゃと同時どうじに発生はっせいしてしまうことになり、捕食ほしょく対象たいしょうにされやすくなる。また、地理ちり的てきに近ちかい場所ばしょで12年ねん周期しゅうきと15年ねん周期しゅうきのセミが存在そんざいした場合ばあい、60年ねんごとに2種しゅは同時どうじに発生はっせいし、交雑こうざつしてしまう可能かのう性せいがある。すると、雑種ざっしゅは発生はっせい周期しゅうきがずれてしまい、同種どうしゅのセミとの交尾こうびの機会きかいが失うしなわれる。素数そすうの周期しゅうきを持もつものは交雑こうざつが起おこりにくく、淘汰とうたされにくいと考かんがえられる^[39]。

また、ゼータ関数かんすう上うえの零れい点てんの分布ぶんぷの数式すうしきが、原子核げんしかくのエネルギー間隔かんかくを表あらわす式しきと一致いっちすることを示しめし、素数そすうと核かく物理ぶつり現象げんしょうとの関連かんれん性せいが示唆しさされている。

詳細しょうさいは「リーマン予想よそう」を参照さんしょう

コンピュータゲーム

パナソニック株式会社かぶしきがいしゃが2011年ねんにリリースしたiPad用ようアプリケーション「Panasonic Prime Smash!」は空中くうちゅうに打うち上あげられたボールに書かかれた数字すうじが素数そすうであればタップして得点とくてん、合成ごうせい数すうであればスワイプすることで割わり算ざんし、素数そすうになったらタップして得点とくてんにするゲームである^[40]。第だい15回かい文化庁ぶんかちょうメディア芸術げいじゅつ祭さいエンターテインメント部門ぶもんの審査しんさ委員いいん会かい推薦すいせん作品さくひんに選えらばれ^[41]、第だい6回かい企業きぎょうウェブグランプリスチューデント部門ぶもん特別とくべつ賞しょうを受賞じゅしょうした^[42]。

2016年ねんにイギリスの数学すうがく者しゃクリスチャン・ローソン=パーフェクトが公開こうかいした「これは素数そすうですか？ (Is this prime?)」は、画面がめんに表示ひょうじされる数字すうじを素数そすうと合成ごうせい数すうに仕分しわけるゲームで、2021年ねん7月がつにプレイ回数かいすうが300万まん回かいを突破とっぱした^[43]。このゲームのプログラムにはミラー–ラビン素数そすう判定はんてい法ほうが組くみ込こまれている^[43]。

連続れんぞく素数そすう

連続れんぞく素数そすう和わ

連続れんぞく数すう	数かず	参照さんしょう	含ふくまれる素もと数列すうれつ
2	$5, 8, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 52, 60, 68, 78, 84, \dots$	A001043
3	$10, 15, 23, 31, 41, 49, 59, 71, 83, 97, 109, \dots$	A034961	A034962
4	$17, 26, 36, 48, 60, 72, 88, 102, 120, 138, 152, \dots$	A034963
5	$28, 39, 53, 67, 83, 101, 119, 139, 161, 181, \dots$	A034964	A034965
6	$41, 56, 72, 90, 112, 132, 156, 180, 204, 228, \dots$	A127333
7	$58, 75, 95, 119, 143, 169, 197, 223, 251, 281, \dots$	A127334	A082246
8	$77, 98, 124, 150, 180, 210, 240, 270, 304, \dots$	A127335
9	$100, 127, 155, 187, 221, 253, 287, 323, 363, \dots$	A127336	A082251
10	$129, 158, 192, 228, 264, 300, 340, 382, 424, \dots$	A127337
11	$160, 195, 233, 271, 311, 353, 399, 443, 491, \dots$	A127338	A127340
12	$197, 236, 276, 318, 364, 412, 460, 510, 562, \dots$	A127339
13	$238, 279, 323, 371, 423, 473, 527, \dots$		A127341

各かく連続れんぞく素数そすう和わの最初さいしょの数かずについては「[[オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A007504]]」を、この数かずが素数そすうになる数かずについては「[[オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A013918]]」を参照さんしょう

連続れんぞく素数そすう積せき

連続れんぞく数すう	数かず	参照さんしょう
2	$6, 15, 35, 77, 143, 221, 323, 437, 667, 899, 1147, 1517, 1763, \dots$	A006094
3	$30, 105, 385, 1001, 2431, 4199, 7429, 12673, 20677, 33263, 47027, \dots$	A046301
4	$210, 1155, 5005, 17017, 46189, 96577, 215441, 392863, 765049, \dots$	A046302
5	$2310, 15015, 85085, 323323, 1062347, 2800733, \dots$	A046303
6	$30030, 255255, 1616615, 7436429, 30808063, 86822723, \dots$	A046324
7	$510510, 4849845, \dots$	A046325
8	$9699690, 111546435, \dots$	A046326
9	$223092870, 3234846615, \dots$	A046327
10	$6469693230, 100280245065, \dots$	A127342
11	$200560490130, 3710369067405, \dots$	A127343
12	$7420738134810, 152125131763605, \dots$	A127344

各かく連続れんぞく素数そすう積せきの最初さいしょの数かずについては「素数そすう階かい乗じょう」を参照さんしょう

素数そすう砂漠さばく

自然しぜん数すうで素数そすうでないものが連続れんぞくしている区間くかんを「素数そすう砂漠さばく」という。例たとえば ${24, 25, 26, 27, 28}$ は「長ながさ 5 の素数そすう砂漠さばく」である。素数そすう砂漠さばくを挟はさむ2個この素数そすうは $3$ 以上いじょうであるため、共ともに奇数きすうである。このことから、素数そすう砂漠さばくの長ながさは必かならず奇数きすうである。いくらでも長ながい素数そすう砂漠さばくが構成こうせいできる（#分布ぶんぷを参照さんしょう）。

初はじめから60個この素数そすうの間隔かんかくは^[44]

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, …

詳細しょうさいは「素数そすうの間隔かんかく」を参照さんしょう

脚注きゃくちゅう

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

注釈ちゅうしゃく

^ どの素数そすうも他たの自然しぜん数すうの積せきでは表あらわせないためこれ以上いじょう小ちいさい生成せいせい系けいは存在そんざいしない。
^ ユークリッドによる証明しょうめいでは、変数へんすう・数式すうしき・任意にんいの個数こすうを示しめすパラメーター $n$ を使用しようせずに、定さだめられた個数こすうが 3個この素数そすう $Α あるふぁ, Β べーた, Γ がんま$ の場合ばあいに証明しょうめいしている。これを「準じゅん一般いっぱん的てき」な証明しょうめいという。詳細しょうさいは素数そすうが無数むすうに存在そんざいすることの証明しょうめい#ユークリッドを参照さんしょう。
^ レオンハルト・オイラーによる。現代げんだい的てきな用語ようごで言いえば、リーマンゼータ関数かんすうのオイラー積つもる表示ひょうじを用もちいる^[20]。
^ ジョージ・ポーヤによる^[20]^[21]。
^ ヒレル・ファステンバーグによる。en:Furstenberg's proof of the infinitude of primesを参照さんしょう。
^ 素数そすうが無数むすうに存在そんざいすることの証明しょうめい#サイダックを参照さんしょう^[22]。
^ 『天てん書しょの証明しょうめい』第だい1章しょう^[21]を参照さんしょう。原はら論文ろんぶんは Erdös, P. (1938-07), “Über die Reihe ∑ 1/p” (German) (PDF), Mathematica, Zutphen B: 1-2 。

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外部がいぶリンク

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[6] どの素数そすうも他たの自然しぜん数すうの積せきでは表あらわせないためこれ以上いじょう小ちいさい生成せいせい系けいは存在そんざいしない。

[21] ユークリッドによる証明しょうめいでは、変数へんすう・数式すうしき・任意にんいの個数こすうを示しめすパラメーター $n$ を使用しようせずに、定さだめられた個数こすうが 3個この素数そすう $Α あるふぁ, Β べーた, Γ がんま$ の場合ばあいに証明しょうめいしている。これを「準じゅん一般いっぱん的てき」な証明しょうめいという。詳細しょうさいは素数そすうが無数むすうに存在そんざいすることの証明しょうめい#ユークリッドを参照さんしょう。

[23] レオンハルト・オイラーによる。現代げんだい的てきな用語ようごで言いえば、リーマンゼータ関数かんすうのオイラー積つもる表示ひょうじを用もちいる^[20]。

[25] ジョージ・ポーヤによる^[20]^[21]。

[26] ヒレル・ファステンバーグによる。en:Furstenberg's proof of the infinitude of primesを参照さんしょう。

[28] 素数そすうが無数むすうに存在そんざいすることの証明しょうめい#サイダックを参照さんしょう^[22]。

[32] 『天てん書しょの証明しょうめい』第だい1章しょう^[21]を参照さんしょう。原はら論文ろんぶんは Erdös, P. (1938-07), “Über die Reihe ∑ 1/p” (German) (PDF), Mathematica, Zutphen B: 1-2 。

[1] 「創立そうりつ80周年しゅうねん特集とくしゅう」『数学すうがく』第だい9巻かん第だい2号ごう、1957年ねん、72頁ぺーじ、doi:10.11429/sugaku1947.9.65。

[2] 「東京とうきょう數學すうがく會社かいしゃ雑誌ざっし第だい四よん十じゅう二に號ごう附録ふろく」『東京とうきょう數學すうがく會社かいしゃ雑誌ざっし』1881年ねん、13頁ぺーじ、doi:10.11429/sugakukaisya1877.1881.42sup_1。

[名前なし-1-3] オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A40

[4] “The Largest Known Primes”. The Prime Pages (2021年ねん5月がつ13日にち). 2021年ねん5月がつ13日にち閲覧えつらん。

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[7] ttp://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ogawa/pdfs/v_lec/HimejiNishi-2006-12.pdf

[cx-8] Caldwell & Xiong 2012

[crxk-34-9] Caldwell et al. 2012。古代こだいギリシアについては pp.3-4、アラビアについては p.6 を参照さんしょう。

[10] 例たとえば David E. Joyce's のユークリッド原論げんろんについてのコメンタリー Book VII, definitions 1 and 2 を参照さんしょう。

[11] Tarán 1981

[12] Caldwell et al. 2012, pp. 7–13。特とくにStevin、Brancker、Wallis、Prestetの項こうを参照さんしょう。

[13] Caldwell et al. 2012, p. 15

[14] Conway & Guy 1996, pp. 129f

[15] Derbyshire 2003, p. 33

[16] Conway & Guy 1996, pp. 129–130

[17] φふぁい関数かんすうについてはSierpiński 1988、p. 245を参照さんしょう。約数やくすう関数かんすうについてはSandifer 2007、p. 59を参照さんしょう。

[18] "Arguments for and against the primality of 1".

[19] "Why is the number one not prime?"

[euclid-20] ユークリッド 2011, 9-20

[Ribenboim-22] Ribenboim 2001, 第だい1章しょう

[Aigner&Ziegler-24] アイグナー & ツィーグラー 2012, 第だい1章しょう

[27] :10.2307/27642094 https://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/Saidak.html

[29] この区間くかんの最初さいしょの値ねはオンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A008950を、終了しゅうりょうの値ねはオンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A008995をその区間くかん幅はばについてはオンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A008996を参照さんしょう

[30] Tomás Oliveira e Silva, Goldbach conjecture verification. Retrieved 16 July 2013.

[31] Jens Franke (2010年ねん7月がつ29日にち). “Conditional Calculation of pi(10²⁴)”. 2018年ねん12月30日にち閲覧えつらん。

[33] Prime Formulas -- from Wolfram MathWorld

[34] Willans, C. P (1964-12), “On formulae for the $n$ th prime number”, The Mathematical Gazette 48 (366): 413-415, doi:10.2307/3611701, JSTOR 3611701, https://jstor.org/stable/3611701

[35] Ribenboim 2001, 第だい3章しょう

[36] オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A005846

[37] オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A014556

[38] Jones, James P.; Sato, Daihachiro; Wada, Hideo; Wiens, Douglas (1976), "Diophantine representation of the set of prime numbers", American Mathematical Monthly 83: 449-464, doi:10.2307/2318339

[39] オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A002496

[40] オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A037896

[41] オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A152913

[42] オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A023195

[43] Helfgott, H.A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem". arXiv:1305.2897 [math.NT]。

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[45] Dossier Alexander von Humboldt-Professur - Alexander von Humboldt-Stiftung

[46] 吉村よしむら 2008

[47] 田崎たさき恭子きょうこ (2011年ねん5月がつ16日にち). “素数そすうの不思議ふしぎをゲームで学まなぶiPadアプリ”. リセマム (イード) 2023年ねん8月がつ24日にち閲覧えつらん。

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表ひょう話はなし編へん歴れき素数そすうの分類ぶんるい
生成せいせい式しき	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二に重じゅうメルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階かい乗じょう ( $n! \pm 1$ ) 素数そすう階かい乗じょう ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語えいご版ばん） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語えいご版ばん） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語えいご版ばん） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語えいご版ばん） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸やや化か式しき（英語えいご版ばん）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ぶんかつベルモツキン
各種かくしゅの性質せいしつ	ヴィーフェリッヒ（英語えいご版ばん） (対たい（英語えいご版ばん）) ウォール–孫まご–孫まご（英語えいご版ばん）ウォルステンホルムウィルソン幸運こううんフォーチュンラマヌジャン（英語えいご版ばん）ピライ正則せいそく強つよ（英語えいご版ばん）スターン Supersingular (楕円だえん曲線きょくせん)（英語えいご版ばん） Supersingular (ムーンシャイン理論りろん)（英語えいご版ばん）良よいスーパーヒッグス（英語えいご版ばん）高度こうどコトーティエント（英語えいご版ばん）
基数きすう依存いぞん	ハッピー二に面めん（英語えいご版ばん）回文かいぶんエマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換ちかん可能かのう Circular（英語えいご版ばん）切きり捨すて可能かのう Strobogrammatic（英語えいご版ばん） Minimal（英語えいご版ばん）弱よわいフルサイクルプライム Unique（英語えいご版ばん） Primeval（英語えいご版ばん）自己じこスマランダチェ–ウェラン（英語えいご版ばん）
組くみ	互たがいに素もと双子ふたご ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三みつ子ご ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四よっつ子こ ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ひねソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖くさり ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全あんぜん ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術さんじゅつ数列すうれつ（英語えいご版ばん） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡へいこう ( $p - n, p, p + n$ )
桁数けたすう	タイタニック ( $103$ 桁けた以上いじょう) 巨大きょだい ( $104$ 桁けた以上いじょう) メガ ( $106$ 桁けた以上いじょう)
複素数ふくそすう	アイゼンシュタイン素数そすう（英語えいご版ばん）ガウス素数そすう
合成ごうせい数すう	擬なずらえ素数そすう概がい素数そすう半はん素数そすう楔くさび数すう Interprime（英語えいご版ばん）
関連かんれんする話題わだい	確かく率りつ的てき素数そすう Industrial-grade prime（英語えいご版ばん）違法いほう素数そすう素数そすうの公式こうしき（英語えいご版ばん）素数そすうの間隔かんかく『巨大きょだいな素数そすうの一覧いちらん』
最初さいしょの50個こ	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数そすうの一覧いちらん

表ひょう話はなし編へん歴れき被ひ整除せいじょ性せいに基もとづいた整数せいすうの集合しゅうごう
概要がいよう	素因数そいんすう分解ぶんかい約数やくすう単たん約数やくすう約数やくすう関数かんすう素因数そいんすう算術さんじゅつの基本きほん定理ていり
因数いんすう分解ぶんかいによる分類ぶんるい	素数そすう合成ごうせい数すう半はん素数そすう矩形くけい数すう楔くさび数すう平方へいほう因子いんしをもたない整数せいすう多た冪べき数すう累乗るいじょう数すうアキレス数すう滑なめらかな数かず（英語えいご版ばん）ハミング数すう（英語えいご版ばん）粗あらい数かず（英語えいご版ばん）異常いじょう数すう（英語えいご版ばん）
約数やくすう和わによる分類ぶんるい	完全かんぜん数すう概がい完全かんぜん数すう準じゅん完全かんぜん数すう倍ばい積せき完全かんぜん数すう Hemiperfect number（英語えいご版ばん）ハイパー完全かんぜん数すう超ちょう完全かんぜん数すう単たん完全かんぜん数すう（英語えいご版ばん）擬似ぎじ完全かんぜん数すうプラクティカル数すうエルデシュ・ニコラス数すう（英語えいご版ばん）
約数やくすうが多おおいもの	過剰かじょう数すう原始げんし過剰かじょう数すう（英語えいご版ばん）高度こうど過剰かじょう数すう超ちょう過剰かじょう数すう巨大きょだい過剰かじょう数すう高度こうど合成ごうせい数すう優ゆう高度こうど合成ごうせい数すう（英語えいご版ばん）不思議ふしぎ数すう
アリコット数列すうれつ関連かんれん	アンタッチャブル数すう（英語えいご版ばん）友愛ゆうあい数すう (友愛ゆうあい三さん数すう（英語えいご版ばん）) 社交しゃこう数すう婚約こんやく数すう
位取くらいどり記法きほうに基もとづくもの	Equidigital number（英語えいご版ばん） Extravagant number（英語えいご版ばん） Frugal number（英語えいご版ばん）ハーシャッド数すう Polydivisible number（英語えいご版ばん）スミス数すう
その他た	Arithmetic number（英語えいご版ばん）不足ふそく数すう Friendly number（英語えいご版ばん） Solitary（英語えいご版ばん）サブライム数すう調和ちょうわ数すうデカルト数すう（英語えいご版ばん）タウ数すう超ちょう完全かんぜん数すう

典拠てんきょ管理かんりデータベース
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