イロレーティング

イロレーティング (Elo rating) とは、対戦たいせん型がたの競技きょうぎ（2人ふたりのプレイヤーまたは2つのチームが対戦たいせんして勝敗しょうはいを決きめるタイプの競技きょうぎ）において、相対そうたい評価ひょうかで実力じつりょくを表あらわすために使つかわれる指標しひょうの一ひとつ。数学すうがく的てき裏付うらづけのある最もっとも著名ちょめいなレーティングシステムである。

イロレーティングは、もともとチェスの実力じつりょくを表あらわすために考案こうあんされたものだが、様々さまざまな競技きょうぎに応用おうようされている。具体ぐたい的てきには

• 国際こくさいチェス連盟れんめいの公式こうしき記録きろく
• 日本にっぽんアマチュア将棋しょうぎ連盟れんめいの公式こうしき記録きろく
• 将棋しょうぎや囲碁いごなどのオンライン対局たいきょく場じょう
• サッカーのFIFAランキング
• ラグビーなどの一部いちぶの競技きょうぎ団体だんたいのランキング
• 対戦たいせん型がたオンラインゲームのランキングやマッチング

などでイロレーティング、あるいはイロレーティングを改変かいへんしたレーティングシステムが採用さいようされている。一部いちぶの競技きょうぎでは単たんにレーティングと呼よぶこともある。

なお、「イロ」とは、考案こうあん者しゃであるアルパド・イロ（ハンガリー生うまれのアメリカ人じん物理ぶつり学者がくしゃ）に由来ゆらいする。

概要がいよう

例たとえば100m走はしのような絶対ぜったい値ちを競きそう競技きょうぎでは、その絶対ぜったい値ち（例たとえば100m走はしのタイム）が試合しあいの結果けっかとなるので、これをそのまま実力じつりょくの基準きじゅんとして使つかうことができる（自己じこベストタイムなど）。しかし、チェスやサッカーのような対戦たいせん型がたの競技きょうぎでは、試合しあいの結果けっかは勝敗しょうはいであるから、そのままでは実力じつりょくを表あらわすことができない。そこで、勝敗しょうはいを実力じつりょくの指標しひょうに変換へんかんする工夫くふうが必要ひつようとなる。

古典こてん的てき指標しひょうとしては、勝率しょうりつ（勝敗しょうはい比ひに変換へんかんすることもできる）がある。しかし、勝率しょうりつには「対戦たいせん相手あいての強つよさを考慮こうりょしていない」という欠点けってんがあった。すなわち、トッププレイヤーばかりを相手あいてにして勝率しょうりつ5割わりの場合ばあいと、初心者しょしんしゃばかりを相手あいてにして勝率しょうりつ5割わりの場合ばあいとでは、言いうまでもなく前者ぜんしゃのほうが実力じつりょくが上うえであるが、勝率しょうりつではこのような事情じじょうが反映はんえいされない。対戦たいせん相手あいてが均等きんとうになる総そう当あたり戦せんの競技きょうぎでは、この欠点けってんが問題もんだいとなることはないが、チェスなどでは、実力じつりょくがあるプレイヤーほど強つよい相手あいてとの対戦たいせんが増ふえることから、勝率しょうりつでは強つよさを表あらわすことができないという事態じたいに陥おちいった。

この問題もんだいを解消かいしょうする手段しゅだんが、イロレーティングである。イロレーティングは、平均へいきん的てき強つよさのプレイヤーと対戦たいせんしたときに予想よそうされる勝利しょうり勝率しょうりつを数学すうがく的てきに推計すいけいし、対数たいすうに変換へんかんした指標しひょうである。実際じっさいには、試合しあいのたびに対戦たいせん前まえの相互そうごのレーティングに基もとづいて勝利しょうり確かく率りつ（期待きたい勝率しょうりつ）を計算けいさんし、これと実際じっさいの対戦たいせん結果けっかとの差異さいに基もとづいてレーティングを更新こうしんする。この作業さぎょうを試合しあいのたびに繰くり返かえすことで、いずれ平均へいきん的てき強つよさのプレイヤーと対戦たいせんしたときの真しんの勝利しょうり確かく率りつ、すなわち強つよさを表あらわす適正てきせいな値ねにレーティングが収束しゅうそくするというわけである。

なお、勝率しょうりつなどでも同様どうようであるが、イロレーティングは勝敗しょうはいを計算けいさんの対象たいしょうとしているため、引ひき分わけは勝敗しょうはいに変換へんかんしなければ計算けいさんの対象たいしょうにできない。引ひき分わけの扱あつかいは競技きょうぎ団体だんたいによって異ことなるが、

• 引ひき分わけは0.5勝しょう0.5敗はいとして計算けいさんする。
• 引ひき分わけは再さい試合しあいを行おこなうものとして再さい試合しあいの結果けっかによって計算けいさんする。
• 引ひき分わけの試合しあいはレーティング計算けいさんの対象たいしょう外がいとする。

という3つの手法しゅほうが知しられている。後述こうじゅつする「勝敗しょうはい比ひは積せきによって推移すいいする」という関係かんけい性せいが満みたされるように競技きょうぎの性質せいしつに応おうじて引ひき分わけの扱あつかいを適切てきせつに定さだめる必要ひつようがある。なお、イロレーティングの発祥はっしょうであるチェスでは、引ひき分わけを0.5勝しょう0.5敗はいとする方法ほうほうが採用さいようされている。以下いかでは、引ひき分わけの場合ばあいについて言及げんきゅうしない。

歴史れきし

イロレーティング以前いぜん

イロは物理ぶつり学者がくしゃであると同時どうじにチェスにおいてはマスターレベルであり、アメリカ合衆国あめりかがっしゅうこくチェス連盟れんめい（USCF）でプレーしていた。 当時とうじUSCFでは、ケネス・ハークネスが考案こうあんしたレーティングシステムを採用さいようしていた。このシステムでは大会たいかいごとに算出さんしゅつした平均へいきんレーティングに準じゅんじて個人こじんのレーティングが決定けっていされる方法ほうほうをとっており、例たとえば著名ちょめいなトーナメントで優勝ゆうしょうした場合ばあい、別べつのトーナメントで優勝ゆうしょうした場合ばあいに比くらべて、5倍ばいのポイントが与あたえられることがあった。

イロレーティングの特徴とくちょう

イロレーティングは統計とうけい的てきな推定すいていに基もとづいたシステムである。試合しあいの勝敗しょうはいを直接的ちょくせつてきに各かくプレーヤーの能力のうりょくを表あらわす基礎きそ的てきな変数へんすうに関連付かんれんづけるモデルを使用しようする。

イロの理論りろんでは二ふたつの前提ぜんていをおいている。

• 試合しあいの勝敗しょうはいは、プレイヤーの評価ひょうか値ちの大小だいしょうによって決きまる - あるプレイヤーがゲームに勝かてば、そのゲームでは相手あいてより評価ひょうか値ちが高たかかったとみなす。負まけた場合ばあいは相手あいてより評価ひょうか値ちが低ひくい、引ひき分わけの場合ばあいは評価ひょうか値ちは同等どうとうだったとする。
• 各かくゲームにおけるプレイヤーの評価ひょうか値ちは、正規せいき分布ぶんぷの確かく率りつ変数へんすうである - あるプレイヤーの評価ひょうか値ちは対局たいきょくのたびに好調こうちょう不調ふちょうで変動へんどうはするものの、評価ひょうか値ちの平均へいきん値ちは時間じかんの経過けいかとともにゆっくりとしか変化へんかしないと考かんがえた。

プレイヤー毎ごとの標準ひょうじゅん偏差へんさ（レーティング偏差へんさ）のばらつきを考慮こうりょしない単純たんじゅん化かしたモデルとしている。

イロレーティングの活用かつようと発展はってん

またイロは各かく選手せんしゅの真しんの実力じつりょく（＝モデルの変数へんすう）を推定すいていする簡単かんたんな方法ほうほうを提案ていあんしている。対戦たいせん相手あいてのレーティングとの比較ひかくから、予想よそうされる勝率しょうりつを表ひょうから比較的ひかくてき簡単かんたんに算出さんしゅつすることができる。 勝利しょうり数すうが多おおい選手せんしゅのレーティングは上方かみがた修正しゅうせいされ、少すくない選手せんしゅのレーティングは下方かほう修正しゅうせいされる。 その調整ちょうせいは、予想よそう勝率しょうりつを上回うわまわった勝利しょうり数すうと下回したまわった勝利しょうり数すうに直線ちょくせん的てきに比例ひれいすることになっていた。

イロレーティングは計算けいさんのシンプルさから計算けいさん機きのない時代じだいは特とくに有用ゆうようであった。 電卓でんたくひとつで計算けいさんできたため、公式こうしき発表はっぴょうの前まえにレーティングを1ポイント以内いないで計算けいさんすることができた。これはレーティングの公正こうせい性せいが一般いっぱんに受うけ入いれられる一助いちじょとなった。一方いっぽうでイロレーティングの欠点けってんである、インフレやデフレにより過去かこのレーティングと比較ひかくできないといった問題もんだいに対応たいおうして発展はってんさせたグリコレーティングがマーク・グリックマンにより提案ていあんされた。また、FIDEではこうした問題もんだいへの対処たいしょとして、より正確せいかくなレーティングシステムをKaggleでのコンペにより募集ぼしゅうしている。

レーティングの定義ていぎ

あるプレイヤーのイロレーティング$R$は、そのプレイヤーが平均へいきん的てきプレイヤーと対戦たいせんした場合ばあいに予想よそうされる勝利しょうり確かく率りつと敗北はいぼく確かく率りつをそれぞれ$W,L$、平均へいきん的てきなプレイヤーのレーティングを$R_{0}$として、

$R=400\log _{10}{\frac {W}{L}}+R_{0}$

で表あらわされる。式しき変形へんけいして勝敗しょうはい比ひの側がわから見みれば、

${\frac {W}{L}}=10^{(R-R_{0})/400}$

である。$R_{0}$の値ねとしては、イロは完全かんぜんに任意にんいとしつつも便宜上べんぎじょう2000を用もちいたが、慣習かんしゅう的てきに1500が用もちいられることが多おおい。

ここで、400や$R_{0}$といった定数ていすうは、単たんに数値すうちを見みやすくするために調整ちょうせいしているに過すぎず、イロレーティングの本質ほんしつは、勝敗しょうはい比ひを対数たいすうに変換へんかんしたものということである。

以下いか、プレイヤー$A$がプレイヤー$B$に勝利しょうりする確かく率りつ（＝プレイヤー$B$がプレイヤー$A$に敗北はいぼくする確かく率りつ）を$W_{AB}$、プレイヤー$A$のイロレーティングを$R_{A}$などと表記ひょうきすることとする。

レーティングから算出さんしゅつされる勝利しょうり確かく率りつ

ここで、勝敗しょうはい比ひは積せきによって推移すいいするという重要じゅうような仮定かていを置おく。すなわち、3人にんのプレイヤー$X,Y,Z$について、イロレーティングでは、

${\frac {W_{XZ}}{W_{ZX}}}={\frac {W_{XY}}{W_{YX}}}\times {\frac {W_{YZ}}{W_{ZY}}}$

という関係かんけいが満みたされることを前提ぜんていとする。例たとえば$X$が$Y$に対たいして平均へいきんして2勝しょう1敗はいのペース（勝率しょうりつ約やく67%）、$Y$が$Z$に対たいして平均へいきんして3勝しょう1敗はいのペース（勝率しょうりつ75%）だとすれば、$2\times 3=6$なので、$X$は$Z$に対たいして平均へいきんして6勝しょう1敗はいのペース（勝率しょうりつ約やく86%）となることが必要ひつようである。このような関係かんけいが満みたされない競技きょうぎでは、イロレーティングで適切てきせつに実力じつりょくを評価ひょうかすることができない（格かく上じょうばかりと対戦たいせんするプレイヤーと格下かくしたばかりと対戦たいせんするプレイヤーを比くらべると、同おなじ強つよさでもレーティングが異ことなった値ねになってしまう）。

このような仮定かていを置おくことで、任意にんいのプレイヤー$A,B$の対戦たいせんにおいて、平均へいきん的てきプレイヤーを$\alpha$として、

${\frac {W_{AB}}{W_{BA}}}={\frac {W_{A\alpha }}{W_{\alpha A}}}\times {\frac {W_{\alpha B}}{W_{B\alpha }}}={\frac {10^{(R_{A}-R_{0})/400}}{10^{(R_{B}-R_{0})/400}}}=10^{(R_{A}-R_{B})/400}$

という関係かんけいを導出どうしゅつすることができる。ここで、$W_{AB}+W_{BA}=1$であることから、

$W_{AB}={\frac {1}{10^{(R_{B}-R_{A})/400}+1}}$

となり、レーティング差さから勝利しょうり確かく率りつが得えられることになる。

このようにして計算けいさんされる勝利しょうり確かく率りつは以下いかの常識じょうしきにかなう特徴とくちょうを満みたす。

• 勝利しょうり確かく率りつは、常つねに0%から100%の間あいだに収おさまる。
• レーティングが等ひとしいプレイヤー同士どうしの対戦たいせんでは、勝利しょうり確かく率りつは50%となる。
• レーティング差さの絶対ぜったい値ちが大おおきくなるほど、上位じょうい者しゃの勝利しょうり確かく率りつが高たかくなる。
• レーティング差さがプラスの無限むげん大だいに近ちかづけば、勝利しょうり確かく率りつは100%に漸近ぜんきんし、レーティング差さがマイナスの無限むげん大だいに近ちかづけば、勝利しょうり確かく率りつは0%に漸近ぜんきんする（レーティング差さを横よこ軸じくに、勝利しょうり確かく率りつを縦たて軸じくに取とれば、ロジスティック曲線きょくせんを描えがく）。

レーティングからの実力じつりょくの把握はあく

ここまでの説明せつめいから、以下いかが得えられる。

• 平均へいきん的てきプレイヤーのレーティングは、レーティングを計算けいさんされた時ときに用もちいた$R_{0}$（例たとえば1500など）である。

• レーティング差さごとに勝利しょうり確かく率りつを計算けいさんすると次つぎの表ひょうのようになる。

レーティング差さ	0	50	100	150	200	250	300	350	400	450	500
上位じょうい者しゃ勝利しょうり確かく率りつ	50%	57%	64%	70%	76%	81%	85%	88%	91%	93%	95%
下位かい者しゃ勝利しょうり確かく率りつ	50%	43%	36%	30%	24%	19%	15%	12%	9%	7%	5%

これにより、レーティングからそのプレイヤーの強つよさを容易よういに把握はあくすることが可能かのうとなる。

例たとえば、以下いかのように実力じつりょくを把握はあくすることができる。

レーティング1700は、レーティング1500のプレイヤーを相手あいてに76%の勝率しょうりつとなる強つよさである。レーティング1900は、レーティング1700のプレイヤーを相手あいてに76%の勝率しょうりつとなる強つよさである。以下いか同様どうように、76%の勝率しょうりつとなるごとにレーティングが200ずつ上あがっていく。

ただし、平均へいきん的てきプレイヤーの基準きじゅんは、競技きょうぎによっては、対局たいきょく場じょうごとに異ことなることがある。例たとえば、将棋しょうぎの場合ばあいには、プロ棋士きしのレーティングはプロ棋士きしの平均へいきんを1500と、日本にっぽんアマチュア将棋しょうぎ連盟れんめいのレーティングはアマチュアの平均へいきんを1500としている。言いうまでもなく、前者ぜんしゃのほうが高こうレベルとなるため、補正ほせいなしで両者りょうしゃを比較ひかくすることはできない。チェスでは、レーティングの基準きじゅんは国際こくさい的てきに統一とういつされているものの、対局たいきょく場じょうや団体だんたいごとに誤差ごさがあるため、比較ひかくには注意ちゅういを要ようする。

算出さんしゅつ方法ほうほう

各かくプレイヤーについて、いきなり勝利しょうり確かく率りつを適切てきせつに表あらわすレーティング値ちを算出さんしゅつすることはできない。そこで、イロレーティングでは、最初さいしょは仮かりの値ねを置おいておき、試合しあいごとに少すこしずつレーティングを更新こうしんしていって、徐々じょじょに適正てきせい値ちに収束しゅうそくさせるという手段しゅだんをとる。具体ぐたい的てきには、試合しあいのたびに、従前じゅうぜんのレーティングに基もとづく勝利しょうり確かく率りつと実際じっさいの試合しあい結果けっかとを比較ひかくし、この差異さいによって、レーティング値ちを更新こうしんする。

例たとえば、$A,B$が${\text{Games}}$回かい続つづけて試合しあいを行おこなうとする（チェスの対局たいきょくでは、一いち度どに複数ふくすう局きょくを行おこなうのが通例つうれいである）。このとき、イロレーティングから計算けいさんされる$A$の勝利しょうり確かく率りつは、

$W_{AB}={\frac {1}{10^{(R_{B}-R_{A})/400}+1}}$

であり、$A$に期待きたいされる勝利しょうり数すうは、${\text{Games}}\times W_{AB}$である。試合しあいの結果けっか、$A$の勝利しょうり数すうが${\text{Wins}}$だったとする。その場合ばあい、レーティングから期待きたいされた勝利しょうり数すうと実際じっさいの勝利しょうり数すうとの差さに基もとづいて、$A$のレーティングを

$R_{A}^{\prime }=R_{A}+K({\text{Wins}}-{\text{Games}}\times W_{AB})$

に更新こうしんする（$B$についても同様どうように更新こうしんする）。なお、$K$は自由じゆうに設定せっていできる定数ていすう値ちであり、一般いっぱん的てきには32が採用さいようされることが多おおいが、プロレベルでは16が使つかわれることもある。$K$が大おおきいほど、適正てきせいレーティングに収束しゅうそくするのが早はやくなる一方いっぽう、収束しゅうそくした後のちも頻繁ひんぱんに上下じょうげする不安定ふあんていな値ねとなる。

要ようするに、実際じっさいの勝利しょうり数すうがレーティングから期待きたいされる勝利しょうり数すうを上回うわまわれば、レーティングが過小かしょうであったと判断はんだんしてレーティングをプラスに更新こうしんし、逆ぎゃくに実際じっさいの勝利しょうり数すうがレーティングから期待きたいされる勝利しょうり数すうを下回したまわれば、レーティングが過大かだいであったと判断はんだんしてレーティングをマイナスに更新こうしんするわけである。

$A,B$の対戦たいせんを何なん試合しあいも続つづけて行おこなうのでなければ、${\text{Games}}$は1、${\text{Wins}}$は0か1となるので、$W_{AB}+W_{BA}=1$であることに注意ちゅういすれば、計算けいさんはより単純たんじゅんになる。すなわち、$A$が勝利しょうりしたとき、

$R_{A}^{\prime }=R_{A}+K\times W_{BA}$

$R_{B}^{\prime }=R_{B}-K\times W_{BA}$

とレーティングを更新こうしんする。

式しきを見みれば分わかるように、敗北はいぼくしたプレイヤーのレーティング減少げんしょう分ぶんと同おなじ値ちが、勝利しょうりしたプレイヤーのレーティングに加算かさんされる。そして、レーティング変動へんどう分ぶんは、敗北はいぼくした側がわの勝利しょうり確かく率りつが高たかいほど大おおきくなる（つまり番狂ばんくるわせが起おきるほど実際じっさいの実力じつりょくとレーティング値ちの乖離かいりが大おおきいと判断はんだんしてレーティング値ちを大おおきく変動へんどうさせる）。

例れいとして、レーティング1500のプレイヤー$A$とレーティング1700のプレイヤー$B$が対戦たいせんし、$A$が勝利しょうりしたとする。この場合ばあい、$W_{BA}$は約やく76%であるから、$K$を32とすると、

$R_{A}^{\prime }=1500+32\times 0.76=1524$

$R_{B}^{\prime }=1700-32\times 0.76=1676$

が$A,B$の新あらたなレーティングとなる。

擬似ぎじ的てきな算出さんしゅつ方法ほうほう

日本にっぽんの囲碁いごや将棋しょうぎのオンライン対戦たいせんサイトなどでは、イロレーティングを簡略かんりゃく化かしたレーティングが使用しようされることが多おおい。本来ほんらいのイロレーティングの計算けいさんは、上述じょうじゅつの通とおり、$K$を32とすれば、プレイヤー$A$がプレイヤー$B$に勝利しょうりした場合ばあい、

$R_{A}^{\prime }=R_{A}+32\times W_{BA}$

$R_{B}^{\prime }=R_{B}-32\times W_{BA}$

$W_{BA}={\frac {1}{10^{(R_{A}-R_{B})/400}+1}}$

で行おこなわれるが、$W_{BA}$の計算けいさんが多少たしょう煩雑はんざつになる。そこで、

$W_{BA}={\frac {R_{B}-R_{A}}{800}}+0.5$

と$W_{BA}$の計算けいさんを線型せんけいの式しきに簡略かんりゃく化かする（レーティング差さを横よこ軸じくに、勝利しょうり確かく率りつを縦たて軸じくに取とれば、元々もともとのイロレーティングはロジスティック曲線きょくせんだったが、簡略かんりゃく版ばんのこの式しきは単純たんじゅんな直線ちょくせんとなる）。

この簡易かんいイロレーティングを採用さいようした場合ばあい、レーティング差さに基もとづく勝利しょうり確かく率りつは以下いかのようになる。

レーティング差さ	0	50	100	150	200	250	300	350	400
上位じょうい者しゃ勝利しょうり確かく率りつ	50%	56%	62%	69%	75%	81%	88%	94%	100%
下位かい者しゃ勝利しょうり確かく率りつ	50%	44%	38%	31%	25%	19%	12%	6%	0%

勝利しょうり確かく率りつの計算けいさん式しきこそ異ことなるが、勝利しょうり確かく率りつと試合しあい結果けっかを用もちいてレーティングを更新こうしんしていく点てんは、本来ほんらいのイロレーティングと同様どうようである。ただし、この簡略かんりゃく化かされた勝利しょうり確かく率りつでは、レーティング差さが400以上いじょうになると計算けいさん上じょうの勝利しょうり確かく率りつが0%以下いか・100%以上いじょうになるという重大じゅうだいな欠陥けっかんがある。そのため、この方法ほうほうを使つかう場合ばあいは、基本きほん的てきにレーティング差さ400未満みまんのプレイヤー同士どうしでの対戦たいせんが前提ぜんていとなり、レーティング差さ400以上いじょうのプレイヤー間あいだでは、$W_{BA}$と無関係むかんけいにレーティング変動へんどう値ちを決きめるなど特殊とくしゅな処理しょりが必要ひつようとなる。

実際じっさいのレーティングの計算けいさんは、簡略かんりゃく化かされた$W_{BA}$を代入だいにゅうすれば、

$R_{A}^{\prime }=R_{A}+32\times ({\frac {R_{B}-R_{A}}{800}}+0.5)=R_{A}+(0.04\times (R_{B}-R_{A})+16)$

$R_{B}^{\prime }=R_{B}-32\times ({\frac {R_{B}-R_{A}}{800}}+0.5)=R_{B}-(0.04\times (R_{B}-R_{A})+16)$

となる。

この方法ほうほうは、オンライン将棋しょうぎ対局たいきょく場じょうの将棋しょうぎ倶楽部くらぶ24や近代きんだい将棋しょうぎ道場どうじょうなどで使つかわれている。ただし、これらの対局たいきょく場じょうでは、小数点しょうすうてん以下いかは四捨五入ししゃごにゅうとし、レーティングの変動へんどう分ぶんが1から31の範囲はんいに収おさまらない場合ばあい（レーティング差さが400以上いじょうとなる場合ばあいや400に近ちかい場合ばあい）には、上記じょうきの計算けいさんによらず変動へんどう分ぶんを1あるいは31とするという特殊とくしゅな処理しょりをしている。

なお、TAISENの囲碁いご対局たいきょくでは、

$W_{BA}={\frac {R_{B}-R_{A}\pm H}{800}}+0.5$

という式しきを用もちいている。ここで、$H$はハンデ（置おき石せきやコミの調整ちょうせいによる）ごとに定さだめられた点数てんすうであり、ハンデをレーティングに反映はんえいしている点てんが、将棋しょうぎ倶楽部くらぶ24や近代きんだい将棋しょうぎと異ことなる。

その上うえで、TAISENは$K$を24とし、

$R_{A}^{\prime }=R_{A}+24\times ({\frac {R_{B}-R_{A}\pm H}{800}}+0.5)=R_{A}+(0.03\times (R_{B}-R_{A}\pm H)+12)$

$R_{B}^{\prime }=R_{B}-24\times ({\frac {R_{B}-R_{A}\pm H}{800}}+0.5)=R_{B}-(0.03\times (R_{B}-R_{A}\pm H)+12)$

でレーティングを計算けいさんする。なお、小数点しょうすうてん以下いかは四捨五入ししゃごにゅうとし、極端きょくたんにレーティング差さがある場合ばあいに特例とくれいを設もうけている点てんは他たと同様どうようである。

レーティングの初期しょき値ち

イロレーティングでは、新規しんきのプレイヤーに対たいしては、初期しょきレーティングとして暫定ざんてい的てきな値ねを設定せっていしておき、試合しあいの度たびにレーティングを更新こうしんすることで徐々じょじょに適正てきせい値ちに近付ちかづけていく。初期しょきレーティングが過小かしょうの場合ばあいは、試合しあいの度たびにレーティングが上あがっていくし、逆ぎゃくに初期しょきレーティングが過大かだいの場合ばあいは、試合しあいの度たびにレーティングが下さがっていく。つまり、どのような値ねにしたとしても、いずれは適正てきせい値ちに収束しゅうそくするので、初期しょきレーティングは何なんでもよく、この値ねの設定せっていに関かんして明確めいかくなルールはない。

とはいえ、あまりにも過大かだいまたは過小かしょうな初期しょきレーティングを設定せっていすると、

• 新しんプレイヤーのレーティングが適正てきせい値ちに収束しゅうそくするまでに時間じかんがかかる。
• 新しんプレイヤーの対戦たいせん相手あいてのレーティングが必要ひつよう以上いじょうに変動へんどうするので、レーティングが一時いちじ的てきに不安定ふあんていになる（例たとえば、新しんプレイヤーの初期しょきレーティングを適正てきせい値ちよりも極きわめて低ひくい値ねに設定せっていすると、新しんプレイヤーの対戦たいせん相手あいてのレーティングだけが一時いちじ的てきに大幅おおはばに減少げんしょうしてしまう）。
• レーティングインフレまたはレーティングデフレ（後述こうじゅつ）の原因げんいんとなる。

といった問題もんだいが発生はっせいすることがある。

初期しょきレーティングの定さだめ方かたは、とりあえず平均へいきん的てきプレイヤーのレーティング$R_{0}$としたり、プレイヤーの自己じこ申告しんこくによって定さだめたりといった方法ほうほうもあるが、上記じょうきの問題もんだいに対応たいおうするために工夫くふうをする場合ばあいもある。

まず、新規しんきプレイヤーは、一定いっていの試合しあい数すうをこなすまではレーティング計算けいさんの対象たいしょう外がいとし、一定いっていの試合しあい数すうをこなした時点じてんでそれまでの試合しあい結果けっかから初期しょきレーティングを決定けっていするという方法ほうほうがある。例たとえば、それまでの勝利しょうり数すうを$W$、敗北はいぼく数すうを$L$、対戦たいせん相手あいてのレーティングの平均へいきん値ちを$O$として、

$R=400\log _{10}{\frac {W}{L}}+O$

を初期しょきレーティングとする（ただし、全勝ぜんしょうまたは全敗ぜんぱいだった場合ばあいには計算けいさんができなくなるため、初期しょきレーティングの上限じょうげん・下限かげんを定さだめておく必要ひつようがある）。こうすることで、初期しょきレーティングの時点じてんから適正てきせい値ちに近ちかい値ねになるため、収束しゅうそくが早はやくなり、対戦たいせん相手あいてのレーティングが乱みだれることもなくなる。この他ほか、通常つうじょうのレーティング計算けいさんの対象たいしょう外がいとしつつも、$K$を大おおきくとって収束しゅうそくを早はやめたレーティング値ちを新しんプレイヤーの分ぶんだけ別途べっと計算けいさんしておき、一定いっていの試合しあい数すうをこなした時点じてんでそれを初期しょきレーティングとするという方法ほうほうもある。

また、レーティングのインフレ・デフレを防止ぼうしするために、同どう時期じきに引退いんたいするプレイヤーの最終さいしゅうレーティングと平均へいきんレーティング（ここでは1500の場合ばあいを考かんがえる）との差さを引ひき継つぐという方法ほうほうもある。例たとえば、引退いんたいするプレイヤーが2名めいでその最終さいしゅうレーティングが1300と1200、新規しんき参加さんかするプレイヤーが5名めいだったとする。この場合ばあい、引退いんたいするプレイヤーは、平均へいきん的てきプレイヤー（1500）と比較ひかくして、それぞれ200、300だけレーティングが少すくない。これらを合計ごうけいすれば、2名めいのプレイヤーの引退いんたいによって合計ごうけい500のレーティングがリーグ全体ぜんたいで増加ぞうかしたことになる。そこで、この500を新規しんき参加さんかする5名めいで折半せっぱんした100を平均へいきんレーティングから差さし引ひいて、5名めいは初期しょきレーティング1400でスタートする。こうすることで、リーグの平均へいきんレーティングは常つねに1500に保たもたれるので、レーティングのインフレ・デフレを防ふせぐことができる。ただし、この方法ほうほうは新しんプレイヤーのレーティングが適正てきせい値ちに収束しゅうそくするまでに時間じかんがかかる問題もんだいなどを解決かいけつできず、逆ぎゃくにより時間じかんがかかるようになることもあるため、注意ちゅういが必要ひつようである。

初期しょき値ちとして設定せっていしたレーティングが適正てきせいな値ねに収束しゅうそくするまでの間あいだは、レーティングが真しんの強つよさを表あらわしているとは言いえないが、イロレーティングでは値ねが収束しゅうそく済ずみであるかどうかが明確めいかくでないという問題もんだいがある。この問題もんだいを解決かいけつするため、イロレーティングを改良かいりょうしたグリコレーティングと呼よばれるレーティングシステムが考案こうあんされ、一部いちぶのチェス団体だんたい（オーストラリアチェス連盟れんめいなど）、インターネット上じょうのチェスサイトなどで利用りようが始はじまっている。グリコレーティングでは、そのプレイヤーの現在げんざいのレーティングと真しんのレーティングとの間あいだにどの程度ていどの誤差ごさが予測よそくされるかをRD（標準ひょうじゅん偏差へんさ）として算出さんしゅつすることで、そのレーティングの信頼しんらい性せいが分わかるようにしている。

レーティングのインフレ・デフレ

イロレーティングは、試合しあいが行おこなわれるごとに対戦たいせんした当事とうじ者しゃ間あいだでレーティングが更新こうしんされるため、本来ほんらい平均へいきん的てきプレイヤーを表あらわすはずだった値ねが、実際じっさいの平均へいきん値ちから乖離かいりすることがある。すなわち、全ぜんプレイヤーのレーティングが過大かだいになるレーティングインフレ、あるいは全ぜんプレイヤーのレーティングが過小かしょうになるレーティングデフレが起おきうる。イロレーティングは、そもそも相対そうたい評価ひょうかの指標しひょうであるから、レーティングがインフレ・デフレしたとしても、現在げんざいそのリーグに所属しょぞくするプレイヤー間あいだの実力じつりょくの比較ひかくに支障ししょうはない。しかしながら、レーティングインフレ・デフレによって、過去かこのプレイヤーのレーティングとの比較ひかくができなくなったり、あるいは特定とくていのリーグでレーティングインフレ・デフレが生しょうじた結果けっか、他たのリーグのレーティングとの比較ひかくができなくなったりするという問題もんだいが生しょうじることがある。

例たとえば、あるプレイヤーがレーティング3000でリーグに参戦さんせんし、レーティングを1000まで落おとしてから引退いんたいしたとする。このとき、このプレイヤーは、現役げんえき中ちゅうに差さし引ひき2000のレーティングを他たのプレイヤーに奪うばわれたことになる。すなわち、このプレイヤーによって、リーグ全体ぜんたいのレーティングの合計ごうけい値ちが2000増加ぞうかしたことになる。逆ぎゃくに、レーティング1000で参入さんにゅうして3000で引退いんたいするプレイヤーがいれば、リーグ全体ぜんたいのレーティングを合計ごうけい2000減少げんしょうさせたことになる。このように、各かくプレイヤーのレーティングの著いちじるしい減少げんしょう（増加ぞうか）は、リーグ全体ぜんたいのレーティングの増加ぞうか（減少げんしょう）に繋つながる。

もっとも、プレイヤー1人にんの影響えいきょうによるレーティングの増減ぞうげんはわずかなものであり、増加ぞうかさせるプレイヤーと減少げんしょうさせるプレイヤーとが互たがいに相殺そうさいしていることから、大おおきな影響えいきょうはない。しかし、何なんらかの原因げんいんにより、レーティングの増加ぞうかあるいは減少げんしょうばかりが生しょうずれば、レーティングインフレやレーティングデフレが起おきるのである。

この他ほかに、イロレーティングが前提ぜんていとしている「勝敗しょうはい比ひは積せきによって推移すいいする」という仮定かてい（前述ぜんじゅつ）が満みたされない場合ばあい、すなわち、3人にんのプレイヤー$X,Y,Z$について、

${\frac {W_{XZ}}{W_{ZX}}}={\frac {W_{XY}}{W_{YX}}}\times {\frac {W_{YZ}}{W_{ZY}}}$

という関係かんけいが満みたされない場合ばあいには、上位じょうい者しゃと下位かい者しゃのレーティング差さが過大かだいになったり過小かしょうになったりすることがある。その結果けっか、平均へいきん的てきプレイヤーのレーティングは安定あんていしていても上位じょういプレイヤーのレーティングだけがインフレして下位かいプレイヤーのレーティングだけがデフレする（またはその逆ぎゃく）という現象げんしょうが生しょうずることがある。

具体ぐたい的てきには、チェスのFIDE公式こうしきレーティングは、新あたらしい世代せだいのプレイヤーにおけるコンピューターソフトを利用りようした研究けんきゅうの普及ふきゅうなどの原因げんいんにより、旧きゅう時代じだいのトッププレイヤーの多おおくがレーティングを大おおきく落おとして引退いんたいし、結果けっかとして1985年ねんごろから年としに数すう点てんずつレーティングインフレを起おこしている。チェスではグランドマスターをはじめとするタイトルをレーティングで規定きていしているため、レーティングインフレによってタイトル保持ほじ者しゃが増加ぞうかするという現象げんしょうに繋つながっている。

また、日本にっぽんのオンライン将棋しょうぎ対局たいきょく場じょうである将棋しょうぎ倶楽部くらぶ24では、初期しょきレーティングを自己じこ申告しんこくで決きめられることから、これを過小かしょうに申告しんこくして登録とうろく後ごにレーティングを急上昇きゅうじょうしょうさせたり、あるいはコンピューター将棋しょうぎソフトを利用りようした不正ふせい行為こういによってレーティングを上昇じょうしょうさせた後のちで不正ふせいが発覚はっかくして退会たいかい処分しょぶんになったりといった事例じれいが重かさなり、著いちじるしいレーティングデフレの状態じょうたいにあると指摘してきされている。将棋しょうぎ倶楽部くらぶ24では、段だん級きゅう位いの基準きじゅんをレーティングで定さだめているため、レーティングデフレによって一般いっぱんの段だん級きゅう位いとの釣つり合あいが取とれなくなる問題もんだいに繋つながっている。

レーティングインフレ・デフレの問題もんだいを解決かいけつするため、様々さまざまな改良かいりょうが試こころみられており、例たとえばオンライン将棋しょうぎ対局たいきょく場じょうの81Dojoでは、オンライン将棋しょうぎ対局たいきょくではレーティングデフレが起おきやすいことを考慮こうりょして、レーティングを下さがりにくく調整ちょうせいした非対称ひたいしょうレーティングを採用さいようしている。

文献ぶんけん

• The Rating of Chessplayers, Past and Present (1978), Arco. ISBN 0-668-04721-6 - 考案こうあん者しゃによる解説かいせつ

関連かんれん項目こうもく

• Chessgraphs.com - Compare chess players' rating histories with FIDE data back to 1970
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